Sumário EQUAÇÕES LINEARES ................................................. 1
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 1
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ........................................................................................................... 1
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................. 1
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ..................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2
2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma solução do sistema linear
6
2 3 9
2 0
x y z
x y z
x y z
. .................... 2
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 2
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 2
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 2
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL ........................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2
ESCALONAMENTO ..................................................... 3
SISTEMA ESCALONADO ................................................................................................................................. 3
Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não
nulo aumenta a cada equação. ...................................................................................................................... 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 3
ESCALONAMENTO......................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 4
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4
PROBLEMAS ............................................................... 4
PROBLEMAS .................................................................................................................................................. 4
REGRA DE CRAMER .................................................... 5
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 5
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR .......................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 6
QUESTÕES EXTRAS ........................................................................................................................................ 6
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 EQUAÇÕES LINEARES
Denomina-se equação linear nas incógnitas
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 toda equação do tipo
𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏,
em que 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são denominados coeficientes
reais e 𝑏 ∈ ℝ é denominado termo independente.
Exemplo 1
As equações a seguir são exemplos de
equações lineares
• 1 2 32 5 7 3x x x
• 1 2 3 4 1x x x x
• 2 3 4 2x y z w
• 0p q r
Obs.1: Quando o termo independente de equação é
nulo, a mesma é dita equação homogênea.
Exemplo 2
As equações a seguir não são exemplos de
equações lineares
• 1 2 35 1x x x
• 21 2 1x x
• 2
3 2x zy
Obs.2: Usualmente denotamos as variáveis com as
letras 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, … .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Verifique em cada caso a seguir se a equação
apresentada é linear.
a) 2 5 3 2x y z
b) 3 2x y z
c) 3 2x y
d) 2 5 0m n
e) 2 3
0z wx y
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é
uma solução da equação linear
𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏,
se, e somente se,
𝑎1 ⋅ 𝛼1 + 𝑎2 ⋅ 𝛼2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝛼𝑛 = 𝑏,.
Exemplo 3
A terna ordenada 2, 1, 1 é solução da equação
2 3 8x y z , pois 2 2 1 3 1 8 .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. Dada a equação linear 2 3 5x y verifique se os
pares ordenados a seguir são soluções
a) 1, 1
b) 4, 1
c) 2, 1
1.3. Determine 𝑚 ∈ ℝ de forma que o par ordenando
1,m m seja solução da equação 3 2 5x y .
1.4. Determine uma solução geral da equação 𝑥 +
3𝑦 = 2 em função de um parâmetro real 𝛼 ∈ ℝ.
1.5. Se um estudante tem em seu cofre muitas
moedas de 10 e de 25 centavos, de quantas maneiras
distintas pode pagar seu lanche que custou R$ 2,65
com essas moedas.
AULA 02 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Um conjunto de duas ou mais equações lineares é
denominado sistema de equações lineares.
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é
uma solução de um sistema linear se, e somente se,
EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA
TAREFA 1 – No capítulo “Equações lineares”, fazer
PSA 1 e 2.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
ela é uma solução de todas as equações desse
sistema.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma
solução do sistema linear
6
2 3 9
2 0
x y z
x y z
x y z
.
Exemplo 1
O sistema de equações {𝑥 − 𝑦 = −3𝑥 − 𝑦 = 5
não
admite solução real, visto que é impossível que a
subtração de dois números reais seja igual a −3 e 5 ao
mesmo tempo.
Exemplo 2
O sistema de equações {𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 = 0 admite
infinitas soluções, como por exemplo (0; 0) e (1; 1).
Obs.3: Quando os termos independentes 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛
forem iguais a zero, o sistema linear denomina-se
sistema linear homogêneo. Todo sistema homogêneo
admite a solução trivial (0; 0; … ; 0).
Obs.4: Não necessariamente um sistema admite
solução única. Ele pode não ter solução ou ter infinitas
soluções.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar um sistema, quanto as suas
soluções, dentre as seguintes categorias.
• Sistema Possível e Determinado (SPD): uma única
solução.
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): terá
infinitas soluções.
• Sistema Impossível (SI): não tem solução, ou seja,
seu conjunto solução será vazio.
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL A cada sistema linear podemos associar três matrizes
que resumem o sistema: a matriz dos coeficientes, a
matriz das incógnitas e a matriz dos termos
independentes.
No sistema 𝑆 a seguir temos associado a ele a matriz
dos coeficientes 𝐴, das incógnitas 𝑋 e dos termos
independentes 𝐵.
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
,
1
2
3
n
x
x
X x
x
e
1
2
3
m
b
b
B b
b
Observe que assim o sistema S pode ser escrito como
uma operação entre essas matrizes, ou seja, A X B .
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn n m
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Exemplo 1
Considere o sistema linear
2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
x y z
y z
,
podemos escrevê-lo da forma a seguir.
2 3 5 3
1 2 1 2
0 1 2 1
x
y
z
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Reescreva os sistemas lineares a seguir utilizando
suas matrizes associadas.
a)
3 5
7 5 6
0
x y z
x y z
x y z
MATRIZ DOS
TERMOS
INDEPENDENTES
MATRIZ DOS
COEFICIENTES
MATRIZ DAS
INCÓGNITAS
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
b)
2 2 1
3
3 2
x y z
x z
y z
c)
1
7 2
1
x z
x y
y z
AULA 03
ESCALONAMENTO
SISTEMA ESCALONADO Diz-se que um sistema está escalonado se o número
de coeficientes igual a zero antes do primeiro
coeficiente não nulo aumenta a cada equação.
Exemplo 1
Os sistemas lineares a seguir são exemplos de
sistemas lineares escalonados
•
2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
y z
z
,
•
5 0
2 3 1
2 5
x y z w
y z w
z w
• 2 3
2
x y z w
z w
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
3.1. Resolva, em ℝ, o sistema
2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
y z
z
.
ESCALONAMENTO
Escalonar um sistema é fazer combinações lineares
com suas equações até obter um sistema equivalente
na forma escalonada.
PASSO A PASSO
1. Utilizando a primeira equação faça
combinações lineares com as equações
seguintes de modo a zerar o coeficiente da
primeira incógnita de todas elas.
2. Do novo sistema utilizando a segunda
equação faça combinação linear com as
demais equações de modo a zerar o
coeficiente da segunda incógnita de todas
elas.
3. Repita o processo para cada equação até
obter um sistema escalonado.
Exemplo 2
Vamos escalonar o sistema linear a seguir
3 2 1 (I)
2 3 (II)
3 2 5 (III)
x y z
x y z
x y z
1º: Com a 1ª equação vamos zerar os coeficientes de x
nas equações seguintes. Para isso faça o seguinte:
•
2 6 4 2
2 (I) (II) 2 3
5 3 1
x y z
x y z
y z
•
3 9 6 3
3 (I) (III) 3 2 5
8 8 8
1
x y z
x y z
y z
y z
3 2 1 (I)
5 3 1 (II)
1 (III)
x y z
y z
y z
2º: Com a 2ª equação vamos zerar os coeficientes de y
na equação seguinte. Para isso faça o seguinte:
•
5 3 1
(II) 5 (III) 5 5 5
2 6
3
y z
y z
z
z
Obtendo assim o sistema na forma escalonada.
3 2 1
5 3 1
3
x y z
y z
z
Uma vez na forma escalonada fica fácil determinar a
solução do sistema, basta substituir as soluções
obtidas nas equações da última para a primeira.
Assim, no exemplo acima podemos determinar a
seguinte solução.
TAREFA 2 – No capítulo “Equações lineares”, fazer
PSA 3 e 4.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
3 5 3 3 1 2
3 e y=2 3 2 2 3 1 1
1, 2, 3
z y y
z x x
S
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.2. Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir
a)
2 1
3 5 2 4
3 3 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 1
3 2 1
3 1
x y z
x y z
x y z
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar o sistema entre SPD, SPI e SI no
meio de escalonamento:
• Sistema Possível e Determinado pode ser
identificado quando for obtido uma solução única
ao fim do processo.
• Sistema Possível e Indeterminado pode ser
identificado quando uma vez escrito na forma
escalonada o número de equações for menor que
o número de incógnitas.
• Sistema Impossível pode ser identificado quando
no processo de escalonamento do sistema
acontecer algum absurdo (do tipo 0 = 2).
Obs.1: As incógnitas que não iniciam nenhumas das
equações de um sistema linear escalonado são
chamadas de variáveis independentes e são a elas que
atribuímos valores para resolver um sistema possível
indeterminado.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Escalone, classifique e resolva os sistemas
lineares a seguir.
a)
2 1
2 1
2 3 4
x y z
x y z
x y z
b)
2 1
2 1
2 7 5 2
x y z
x y z
x y z
c)
2 3 2
2 3 1
3 8 5
x y z
x y z
x y z
d)
AULA 04
PROBLEMAS
PROBLEMAS 4.1. Uma loja de doces vende brigadeiro, bombom e trufa.
Sabe-se que um brigadeiro custa 𝑅$2,00, um bombom
𝑅$4,00 e uma trufa 𝑅$3,00. Um cliente comprou 100
doces, gastando 𝑅$280 reais. Se o total de brigadeiros
comprados é igual a soma das quantidades dos outros dois
doces. então o número de trufas compradas foi
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E)30
4.2. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3
reais e de 5 reais de modo que se gaste 50 reais.
4.3. Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram
pagos 31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se
que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que
todos os cavalos. Determine quantos cavalos e
quantos bois foram comprados, sabendo que o
número de bois está entre 30 e 45.
Resolução de um sistema possível indeterminado
Considere o sistema 5
2 1
x y z
y z
, observe que ele
está na sua forma escalonada e que o número de
equações é menor que o número de incógnitas, assim
esse sistema é possível e indeterminado (SPI).
Observe que para cada valor de 𝑧 que escolhermos
encontraremos um único valor de 𝑥 e 𝑦 que resolve o
sistema. Assim vamos escolher um valor arbitrário
para 𝑧, por exemplo, tomemos z , com 𝛼 ∈ ℝ.
Assim, o sistema ficará da seguinte forma:
5
1 2
x y
y
Se substituirmos o valor de y na primeira equação
teremos o seguinte
1 2 5 4x x
Temos assim os valores de x, y e z em função de um
valor escolhido. Podemos então escrever a
solução geral desse sistema na forma.
𝑆 = {(4 − 𝛼, 1 + 2𝛼, 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ}
TAREFA 3 – No capítulo “Equações lineares”, fazer
PSA 5 a 10.
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AULA 05
REGRA DE CRAMER A regra de Cramer utiliza o cálculo de determinantes
para determinar as incógnitas de um sistema linear.
PASSO A PASSO
1. Calcule o determinante, D , da matriz dos
coeficientes do sistema.
2. Na matriz dos coeficientes, substitua a
coluna dos coeficientes de x pela coluna dos
termos independentes e calcule o seu
determinante, xD .
3. O valor da incógnita 𝒙 será dado por xDx
D .
4. Repita o processo para cada incógnita do
sistema.
Exemplo 1
Vamos determinar a solução , ,x y z do sistema
3 2 1
2 3
3 2 5
x y z
x y z
x y z
1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos
coeficientes.
1 3 2
2 1 1 2 9 4 6 12 1 16
3 1 2
D
2º: Calcule , ,x y zD D D
1 3 2
3 1 1 2 15 6 10 18 1 16
5 1 2xD
1 1 2
2 3 1 6 3 20 18 4 5 32
3 5 2yD
1 3 1
2 1 3 5 27 2 3 30 3 48
3 1 5zD
2º: Calcule , ,x y z
161
16xD
xD
322
16
yDy
D
483
16zD
zD
Portanto, 1, 2, 3S
Obs.1: Só será possível resolver um sistema utilizando
a regra de Cramer se o determinante da matriz dos
coeficientes for diferente de zero, e nesse caso o
sistema será possível e determinado.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 5.1. Resolva, utilizando a regra de Cramer, os sistemas
lineares a seguir.
a) 2 3 1
3 4 1
x y
x y
b)
2 3 9
3 4 3 5
5 10 5 5
x y z
x y z
x y z
5.2. Uma distribuidora de lanches vende suco, misto-
quente e hambúrguer. Sabe-se que o preço de um
suco é R$ 1,00, um misto quente R$ 2,00 e um
hambúrguer é R$ 4,00. Uma lanchonete comprou 60
desses três produtos da distribuidora, gastando R$
170,00. Se o total de sucos comprados é igual à
diferença entre a quantidade de hambúrgueres e
mistos-quentes comprados, nessa ordem, então o
número de mistos-quentes comprados foi igual a
A) 5. B) 10. C)20. D)30. E)50.
AULA 06
DISCUSSÃO DE UM
SISTEMA LINEAR Discutir um sistema em função de um parâmetro real
k é dizer para quais valores de k o sistema será
possível e determinado (SPD), possível e
indeterminado (SPI) e impossível (SI).
PASSO A PASSO
1. Calcule o determinante, D , da matriz dos
coeficientes do sistema.
2. Quando 0D temos que o sistema será
possível e determinado.
3. Quando 0D temos que o sistema será
possível e indeterminado ou impossível.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
4. Escalone o sistema após substituir o valor do
parâmetro que zera o determinante para
decidir se o sistema será SPI ou SI.
Exemplo 1
Vamos discutir o sistema a seguir em função do
parâmetro real k
3 1
2 3
x y
x ky
1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos
coeficientes.
1 36
2D k
k
2º: Verifique para quais valores de k temos 0D .
0 6 0 6D k k
Ou seja,
• 6k SPD
• 6 ou k SPI SI
3º: Para o caso 6k decida se o sistema é SPI ou SI,
utilizando o escalonamento.
3 1
22 6 3
3 1
0 1
x yI II
x y
x y
Logo o sistema é impossível para 6k .
Assim, 6
6
k SPD
k SI
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Discuta, em função do parâmetro real k, os
sistemas lineares a seguir.
a) 2 3 1
3 2
x y
x ky
b)
3 2
4 3 3
2 13 3
x y z
x y z
x y kz
c)
4
2 3
2 3 1 1
x y z
x ky z
x y k z
6.2. Discuta, em função dos parâmetros reais m e n, o
sistema linear a seguir.
2 3x y
x my n
6.3. Determine o valor do parâmetro real k de modo
que o sistema linear homogêneo a seguir admita
apenas a solução trivial.
2 3 0
2 0
0
x y z
x y z
x y kz
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1. Em um restaurante, há 16 mesas e 62 fregueses,
todos sentados. Algumas mesas estão ocupadas por
cinco fregueses e as demais, por dois fregueses.
Sendo x o número de mesas ocupadas por cinco
fregueses e y o número de mesas ocupadas por dois
fregueses determine x y .
2. Classifique e determine o conjunto-solução,
emℝ × ℝ, do sistema
2 4
33 6
2
x y
xy
, nas incógnitas x
e y.
3. João entrou em uma lanchonete e pediu três
hambúrgueres, um suco de laranja e duas cocadas,
gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas
pediram oito hambúrgueres, três sucos de laranja e
cinco cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo que o
preço de um hambúrguer, mais o de um suco de
laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00,
determine o preço, em reais, de um hambúrguer.
4. Determine o valor real de m para que o sistema
0
2 3 0
4 0
x y z
x y z
x my z
seja SPI.
5. Em um processo seletivo contendo 40 questões objetivas, para cada resposta correta ganha-se 4
TAREFA 4 – Do capítulo "Sistemas lineares -
discussão" fazer PSA 1 a 6, 10 e 12.
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pontos e, para cada resposta errada, perde-se 2 pontos. Se um candidato respondeu todas as questões e obteve 100 pontos, quantas questões ele acertou?
6. Classifique e determine o conjunto-solução do
sistema {𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
𝑦 − 𝑧 = 62𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 10
.
7. Julgue os itens
Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de pelúcia, uma indústria utiliza três tipos de materiais: tecido, espuma e plástico. A quantidade de material usado na fabricação de cada um desses brinquedos está indicada na tabela acima, onde 𝑝 ∈ ℝ+
∗ . Nessa indústria, um funcionário, para produzir 𝑥 ursos, 𝑦 coelhos e 𝑧 elefantes de pelúcia em um dia de trabalho, utiliza 3 kg de plástico; 4,4 kg de tecido e 5,2 kg de espuma. 1. Se 𝑝 = 100, então o referido funcionário produziu mais ursos do que elefantes em um dia de trabalho. 2. Para qualquer valor de 𝑝 ∈ ℝ+
∗ o número de ursos, elefantes e coelhos produzidos pelo referido funcionário será único e possível de determinar.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) linear b) linear c) linear d) não linear e) não
linear
1.2. a) é solução b) é solução c) não é solução
1.3. 𝑚 =2
5
1.4. 𝑆 = {(2 − 3𝛼; 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ
1.5. 4 maneiras distintas
2.1. É solução
2.2. a) (1 3 −17 5 1
−1 1 −1) (
𝑥𝑦𝑧
) = (560
)
b) (2 1 −21 0 10 3 −1
) (𝑥𝑦𝑧
) = (1
−32
)
c) (1 0 −17 1 00 1 −1
) (𝑥𝑦𝑧
) = (−121
)
3.1. 𝑆 = {(17
8;
5
4;
1
2)}
3.2. a) 𝑆 = {(4; 2; 1)} b) 𝑆 = {−1; 0; 2}
3.3. a) SPD 𝑆 = {(0; 1; 1)}b) SPI 𝑆 = {(1 − 𝛼; 𝛼; 𝛼)}
c) SI 𝑆 = ∅
4.1. C
4.2. 𝑆 = {(7; 5); (4; 10); (1; 15)}
4.3. Bois: 36 cavalos: 23
5.1. a) 𝑆 = {(−7; 5)} b) 𝑆 = {(3; 1; 0)}
5.2. C
6.1. a) {𝑘 =
9
2⇒ 𝑆𝐼
𝑘 ≠9
2⇒ 𝑆𝑃𝐷
b) {𝑘 = 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑘 ≠ 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
c) {𝑘 = −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑘 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
6.2. {𝑚 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
𝑚 = 2 𝑒 𝑛 = −3 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑚 = 2 𝑒 𝑛 ≠ −3 ⇒ 𝑆𝐼
6.3 𝑘 ≠ 0
QUESTÕES EXTRAS 1. 60
2. SPI 𝑆 = (4 + 2𝛼; 𝛼)} ; 𝛼 ∈ ℝ
3. R$ 4
4. 𝑚 = 2
5. 30
6. SPI 𝑆 = {(−1 + 𝛼; 6 + 𝛼; 𝛼)}𝛼 ∈ ℝ
7. EC
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