SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 1
Diseño de una ingeniería didáctica para promover el razonamiento inductivo y el
razonamiento deductivo en el contexto de la construcción de paralelogramos, utilizando
software de geometría dinámica
José Luis Calderón García
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Nota del autor
Tesis Modalidad Profundización elaborada como requisito para optar al título de Magister
en Educación con Énfasis en Matemáticas, bajo la Dirección del Dr Martín Acosta G de la
Facultad de Ciencias y Educación.
Correspondencia: [email protected]
Bogotá D.C., Octubre de 2016
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Dedicatoria
A mi compañera y socia por excelencia en esta vida, Nidia, por su apoyo y compromiso, en
este viaje que hacemos juntos en pos del crecimiento intelectual y espiritual. Gracias, mi Amor
A Daniel por su valiosa participación en el sondeo de las actividades, Gracias, Hijo.
A mi Ángel, que ha sido una inefable bendición.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 3
Agradecimientos
A Dios por darme la energía necesaria para llevar a cabo esta nueva etapa de formación
profesional.
A mis estudiantes que son el resorte que me impulsa a seguir avanzando.
A mi mentor Dr. Martin Acosta por brindarme su sabiduría y apoyo en la realización de este
proyecto.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 4
Contenido
1 Resumen. ........................................................................................................................................ 10
2 Introducción ................................................................................................................................... 11
3 Pregunta de investigación ............................................................................................................. 15
4 Objetivos ........................................................................................................................................ 15
4.1 Objetivo general. ................................................................................................................... 15
4.2 Objetivos específicos. ............................................................................................................. 15
5 Metodología .................................................................................................................................... 16
5.1 Diseño de investigación. ........................................................................................................ 16
5.1.1 Ingeniería didáctica. ....................................................................................................... 16
6 Marco teórico ................................................................................................................................. 19
6.1 Teoría de las situaciones didácticas ..................................................................................... 19
6.1.1 Aprendizaje por adaptación............................................................................................ 19
6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica ................................................................... 21
6.1.3 CarMetal como medio .................................................................................................... 23
6.2 Razonamiento ........................................................................................................................ 25
6.2.1 Razonamiento inductivo. ................................................................................................ 25
6.2.2 Razonamiento deductivo................................................................................................. 29
7 Análisis preliminares ..................................................................................................................... 32
7.1 Análisis Epistemológico ........................................................................................................ 32
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7.1.1 La geometría de Euclides. .............................................................................................. 32
7.1.2 Una mirada epistemológica de los elementos. ............................................................... 34
7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del
conocimiento ....................................................................................................................................... 35
7.2 Análisis didáctico ................................................................................................................... 38
7.2.1 Enseñanza de la geometría............................................................................................. 38
7.2.2 Aprendizaje de la Geometría. ......................................................................................... 39
8 Análisis a priori actividades paralelogramo ............................................................................... 42
8.1 Actividad 1 ............................................................................................................................. 42
8.1.1 Primera parte. ................................................................................................................. 42
8.1.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 48
8.2 Actividad 2. ............................................................................................................................ 51
8.2.1 Primera parte. ................................................................................................................. 52
8.2.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 52
8.2.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 58
8.3 Actividad 3. ............................................................................................................................ 61
8.3.1 Primera parte. ................................................................................................................. 62
8.3.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 62
8.3.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 66
8.4 Actividad 4 ............................................................................................................................. 68
8.4.1 Primera parte. ................................................................................................................. 69
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 6
8.4.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 71
9 Pilotaje ............................................................................................................................................ 73
9.1 Actividad 1 ............................................................................................................................. 73
9.1.1 Primera parte. ................................................................................................................. 73
9.1.2 Segunda parte. ............................................................................................................... 76
9.2 Actividad 2 ............................................................................................................................ 78
9.2.1 Primera parte. ................................................................................................................. 78
9.2.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 80
9.2.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 83
9.3 Actividad 3 ............................................................................................................................ 84
9.3.1 Primera parte. ............................................................................................................... 84
9.3.2 Segunda parte ................................................................................................................. 85
9.3.3 Tercera parte. .................................................................................................................. 88
9.4 Actividad 4 ............................................................................................................................. 90
9.4.1 Primera parte. ................................................................................................................. 90
9.4.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 92
10 Conclusiones .............................................................................................................................. 94
11 Reflexiones ................................................................................................................................. 98
12 Referencias Bibliografía ............................................................................................................ 99
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Lista de figuras
Figura: 1 Aprendizaje por adaptación .................................................................................................... 20
Figura: 2 Situación Didáctica ................................................................................................................. 22
Figura: 3 Razonamiento Inductivo ......................................................................................................... 27
Figura: 4 Razonamiento Deductivo ........................................................................................................ 29
Figura: 5 Construcción Propuesta .......................................................................................................... 43
Figura: 6 Construcción Estudiantes ........................................................................................................ 43
Figura: 7 Estrategia de Validación ......................................................................................................... 44
Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero ........................................... 45
Figura: 9 Estrategia de Validación ......................................................................................................... 46
Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes ............................................................................. 48
Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software .................................................. 49
Figura: 12 Descripciones propuestas ...................................................................................................... 50
Figura: 13 Construcción Esperada ......................................................................................................... 52
Figura: 14 Construcción con medida fija ............................................................................................... 53
Figura: 15 Estrategias de Construcción a) .............................................................................................. 55
Figura: 16 Estrategias de Construcción b) ............................................................................................. 56
Figura: 17 Estrategias de Construcción c) .............................................................................................. 57
Figura: 18 Validación mediante herramienta Test. ................................................................................ 57
Figura: 19 Construcciones para verificar ............................................................................................... 59
Figura: 20 Cuadriláteros para Anticipar ................................................................................................. 61
Figura: 21 Construcción Esperada ......................................................................................................... 62
Figura: 22 Construcción con ángulo de Amplitud fija ........................................................................... 63
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 8
Figura: 23 Intento de construcción ........................................................................................................ 65
Figura: 24 Construcción para verificar .................................................................................................. 67
Figura: 25 Construcción para Anticipar ................................................................................................. 68
Figura: 26 Segmentos propuestos .......................................................................................................... 69
Figura: 27 Intento de construcción ........................................................................................................ 70
Figura: 28 Construcción esperada .......................................................................................................... 70
Figura: 29 Intento de construcción ......................................................................................................... 71
Figura: 30 Estrategias de Construcción .................................................................................................. 72
Figura: 31 Validación por Arrastre ........................................................................................................ 73
Figura: 32 Validación mediante rectas que contienen los lados............................................................. 74
Figura: 33 Validación perceptual ........................................................................................................... 75
Figura: 34 Uso de la herramienta recta paralela .................................................................................... 75
Figura: 35 Paralelogramo construido por estudiante ............................................................................ 76
Figura: 36 Descripción construcción propuesta por el software ............................................................ 77
Figura: 37 Descripción construcción propuesta como actividad ............................................................ 77
Figura: 38 Construcción propuesta por el estudiante ............................................................................ 78
Figura: 39 Intento de Acomodación ....................................................................................................... 79
Figura: 40 Estrategia de verificación ..................................................................................................... 79
Figura: 41 Validación perceptual ........................................................................................................... 80
Figura: 42 Uso de herramienta circulo de radio fijo .............................................................................. 81
Figura: 43 Validación por Arrastre ....................................................................................................... 81
Figura: 44 Aproximación a paralelogramo ............................................................................................ 82
Figura: 45 Validación con herramienta test ........................................................................................... 82
Figura: 46 Verificación medida y anticipación de propiedades ............................................................. 84
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 9
Figura: 47 Verificación de propiedades ................................................................................................. 85
Figura: 48 Verificación de paralelismo ................................................................................................. 86
Figura: 49 Estrategia de construcción con ángulos ................................................................................ 86
Figura: 50 Conjetura ángulos opuestos .................................................................................................. 87
Figura: 51 Revisión construcción ángulos opuestos ............................................................................. 88
Figura: 52 Verificación medida ángulos ................................................................................................ 88
Figura: 53 Anticipación medida ángulos interiores ............................................................................... 89
Figura: 54 Construcción Polígono .......................................................................................................... 90
Figura: 55 Conjetura punto medio ......................................................................................................... 91
Figura: 56 Aproximación punto medio .................................................................................................. 91
Figura: 57 Intento construcción exacta .................................................................................................. 92
Figura: 58 Construcción exacta punto medio ......................................................................................... 92
Figura: 59 Verificación construcción diagonales ................................................................................... 93
Figura: 60 Verificación paralelogramo .................................................................................................. 93
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
10
1 Resumen.
En este trabajo se presenta el diseño de una secuencia de actividades desde el enfoque de
la teoría de situaciones de Brousseau que aporten al currículo de matemáticas, especialmente a
la enseñanza de la geometría. Las actividades buscan a través de la experimentación incentivar
el razonamiento inductivo como proceso de reconocimiento y generalización de propiedades,
para paulatinamente adentrase en procesos de verificación, anticipación y justificación de
propiedades, propios del razonamiento deductivo. Se propone la mediación del software de
geometría dinámica (SGD) CarMetal, con el fin de resaltar sus ventajas como medio facilitador
con el cual los estudiantes pueden interactuar validando sus acciones gracias a las
retroacciones del mismo, posibilitando un aprendizaje por adaptación.
Palabras Clave: software de geometría dinámica, aprendizaje por adaptación, geometría
experimental, razonamiento.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
11
2 Introducción
En mi práctica profesional he enfrentado dificultades causadas por la falta de manejo de
las nuevas tecnologías. En clase es usual ver a los estudiantes utilizar, por ejemplo la
calculadora graficadora, escribir la fórmula de una función para observar en la pantalla la gráfica
de la misma, ampliarla o reducirla con gran exactitud y en tiempo record. Este hecho contrasta
con lo complejo que puede ser para el profesor representar ese mismo objeto en el tablero,
tratando de hacerlo lo mejor posible.
El hecho de que una calculadora o software realice procesos de representación de manera
rápida y precisa, invita a reconsiderar su rol en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Sin
embargo, muchos profesores experimentan temor o rechazo por el uso de las tecnologías,
probablemente debido a su desconocimiento de las mismas y su ignorancia de una forma
provechosa de incluirlas en el proceso de enseñanza. También hay quienes las rechazan porque
creen que perjudican el desarrollo de habilidades fundamentales (Gamboa, 2007).
No obstante, el estudiante llega a la escuela con referentes de la sociedad de la
información, de la era digital, y ello obliga al profesor a adaptar su discurso y sus estrategias
(Prensky, 2001). En efecto, uno de los impactos que se ha originado por el uso de las nuevas
tecnologías en la educación tiene que ver con la adaptación del sistema educativo; puesto que
cuando surge un cambio que modifica la manera como se comunican o se transmiten
conocimientos, surge una nueva forma de adquirir educación (Mendoza, 2006).
Sin embargo esta incursión de la tecnología en la escuela se ha asumido de una manera un
poco ingenua, y más como un elemento motivador para los estudiantes, que como una
herramienta que puede contribuir a transformar las prácticas pedagógicas del profesor (Acosta,
2005). Cambiar esta percepción, implica una auténtica revolución profesional de los profesores
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
12
que exige tiempo de adaptación a los nuevos contextos tecnológicos y comunicativos, pero
especialmente grandes esfuerzos de formación permanente. Sin esta formación y
perfeccionamiento del profesor en el uso de las tecnologías, es muy difícil la integración de estas
al proceso de enseñanza y aprendizaje (Alemañy, 2009).
Por lo tanto, se hace necesaria la reflexión sobre cuáles son los atributos de las
tecnologías, que posibilitan una mejor enseñanza y aprendizaje. Para el profesor es inevitable
indagar por razones más específicas que permitan planificar un uso más racional de las
tecnologías en su clase.
Según Crawford (1994) el impacto de la tecnología en educación ha propiciado:
Un cambio en la forma de acceder al conocimiento, particularmente en matemáticas
donde la implementación de software abrió la posibilidad de sistematizar y modelar
distintos objetos matemáticos, originando avances en diferentes ramas de este saber.
Una nueva forma de aprendizaje; ya que la implementación de software en la clase de
matemáticas posibilita una nueva forma de cognición la cual todavía no es reconocida
en la escuela.
Finalmente, frente al ambiente escolar, afirma que la incursión de nuevas tecnologías
en la escuela afecta las relaciones de poder establecidas en el aula (cambiando la
ecología de la clase) ya que representan una fuente de autoridad que compite con la
del profesor.
Estos aspectos no son los únicos sobre los cuales debe reflexionar el profesor si quiere
integrar las tecnologías a su práctica, también debe considerar aspectos de carácter disciplinar.
Al respecto Acosta, Monroy y Rueda (2010) señalan que aunque se reconoce el potencial
del software en la educación matemática, se desconoce como una herramienta legítima para hacer
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
13
matemáticas, generando conflicto entre la intención de cambiar la práctica didáctica y la
intención de dejar intacta la práctica matemática. La introducción del software en el proceso de
enseñanza tiene implicaciones tanto en la actividad matemática como en la actividad didáctica y
se hace necesario un análisis cuidadoso de estas implicaciones para investigar sus efectos.
Además, señala la necesidad de un discurso teórico para describir, analizar y justificar las nuevas
prácticas didácticas que incluyen el uso del software.
Los aspectos anteriormente considerados muestran un panorama más amplio, acerca de lo
que implica para el profesor integrar las nuevas tecnologías a su clase, puesto que no es suficiente
con su disposición, sino que requiere considerar aspectos didácticos, disciplinares, así como de
formación.
Sin embargo, algunos investigadores en educación (por ejemplo Acosta, Laborde,
Mariotti, Arzarello, Camargo) conscientes de la complejidad de la implementación de la
tecnología en los proceso de enseñanza y aprendizaje particularmente en educación matemática,
han realizado experiencias con Software de Geometría Dinámica, brindando de esta forma
modelos y prácticas de referencia para los profesores.
En este sentido, este trabajo pretende contribuir a la solución de las dificultades que se
presentan al profesor en su intención de integrar la tecnología a la clase diseñando una secuencia
de actividades haciendo uso de software de geometría dinámica (SGD). Siguiendo una
metodología de ingeniería didáctica, se realiza un análisis epistemológico y didáctico de la
geometría escolar que permite identificar las características del software que tienen un mayor
potencial para influir en el aprendizaje de los estudiantes y en el proceso de enseñanza.
Asumiendo la orientación de la teoría de las situaciones didácticas, proponemos el diseño de
situaciones a didácticas que conduzcan a la construcción de conocimientos sobre las propiedades
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
14
de los paralelogramos y contribuyen al desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento
deductivo.
Las situaciones están dirigidas a estudiantes de grado séptimo y se enmarcan dentro del
campo disciplinar de la geometría euclidiana concebida como una ciencia de las construcciones
geométricas. Desde este punto de vista, la actividad geométrica se propone producir
construcciones exactas1 o justificar que una construcción es exacta.
La secuencia de actividades se realiza utilizando como medio de interacción el software
de geometría dinámica (SGD) CarMetal en el cual el comportamiento de los objetos es
geométrico; es decir, guarda una coherencia con el saber disciplinar que se quiere transmitir.
Se tiene como hipótesis principal el Software de Geometría Dinámica como medio en una
situación a-didáctica contribuye a promover el aprendizaje del razonamiento inductivo y el
razonamiento deductivo en la construcción de paralelogramos.
En consecuencia el objeto de estudio es el potencial del uso de software en el proceso de
enseñanza y aprendizaje del razonamiento inductivo y del razonamiento deductivo en la
construcción de paralelogramos.
1 Ver Análisis Epistemológico
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
15
3 Pregunta de investigación
¿Qué aspectos se deben tener en cuenta al utilizar software de geometría dinámica en el
proceso de enseñanza, para lograr un aprendizaje por adaptación de las propiedades de los
paralelogramos y promover el desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento
deductivo en los estudiantes?
4 Objetivos
4.1 Objetivo general.
Diseñar una secuencia de actividades que aproveche el potencial del SGD para promover
el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en estudiantes de séptimo grado, en el
contexto de la construcción de paralelogramos, propiciando el aprendizaje por adaptación.
4.2 Objetivos específicos.
Explicitar un modelo de actividades para promover el razonamiento inductivo y el
razonamiento deductivo en el que se privilegia la experimentación con figuras
dinámicas como estrategia para suscitar el aprendizaje por adaptación.
Referenciar las características del SGD que potencian el aprendizaje del razonamiento
inductivo y del razonamiento deductivo en el contexto de la construcción de
paralelogramos.
Diseñar situaciones a-didácticas que potencien los procesos de verificación,
anticipación y justificación de propiedades en los paralelogramos, fomentando el
razonamiento deductivo como acercamiento a la demostración en geometría.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
16
5 Metodología
El propósito de este trabajo es diseñar una secuencia de actividades para promover el
razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en geometría; particularmente en el
contexto de la construcción de paralelogramos utilizando el software Carmetal. Dicho diseño se
realizará dentro del marco de la Ingeniería Didáctica como metodología de investigación, la cual
se caracteriza en primer lugar, por un esquema experimental basado en las realizaciones
didácticas en clase, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias
de enseñanza (Artigue, Douady & Moreno, 1995).
5.1 Diseño de investigación.
5.1.1 Ingeniería didáctica.
Una Ingeniería Didáctica busca la validación de los modelos (situaciones), contrastando
las hipótesis del funcionamiento de la situación (análisis a priori) con el funcionamiento
efectivo de la situación en condiciones reales (análisis a posteriori). Por lo tanto el proceso
experimental de una ingeniería didáctica implica cuatro fases:
1º. Fase de Análisis Preliminar
2º. Fase de Diseño y Análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería
3º. Fase de experimentación y recolección de datos
4º. Fase de análisis a posteriori y evaluación.
En el presente estudio se realizará el análisis preliminar junto con el diseño y análisis a
priori de las situaciones.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
17
5.1.1.1 Análisis preliminar.
Según Artigue et al. (1995) el análisis preliminar puede incluir:
Análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza.
Análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
Análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que
determinan su evolución.
Análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica
efectiva.
En el caso de este trabajo se realizaran los dos primeros tipos de análisis preliminares.
5.1.1.2 Diseño y análisis a priori.
Esta fase permite determinar las variables relacionadas con el problema objeto de estudio,
sobre las cuales se va actuar.
Según Artigue et al. (1995) estas variables pueden ser de dos tipos:
1. Variables macro didácticas concernientes a la organización global de la ingeniería.
2. Variables micro-didácticas concernientes a la organización local de la ingeniería. Es
decir, la organización de una secuencia o de una fase.
En el presente trabajo nos centraremos en las variables micro- didácticas
Según Artigue et al. (1995) este análisis debe constituirse en un análisis de control de
relaciones entre significado y las situaciones, por lo tanto se basa en un conjunto de hipótesis.
En el análisis a priori se hacen consideraciones de tipo descriptivo y predictivo, en cada
una de las cuales se analiza el comportamiento de los estudiantes frente al origen de su
aprendizaje.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
18
5.1.1.3 Pilotaje y ajuste.
Finalmente se llevará a cabo un pilotaje de la secuencia de actividades con una pareja de
estudiantes, con el propósito de detectar posibles fallas o dificultades en las situaciones
propuestas posibilitando de esta manera un afinamiento de las mismas.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
19
6 Marco teórico
6.1 Teoría de las situaciones didácticas
La Teoría de las situaciones Didácticas (TDS) de Brousseau, proporciona un marco de
referencia para entender el rol del software en el proceso de enseñanza al tiempo que permite
observar cómo se transforma la gestión del profesor, posibilitando una nueva forma de
aprendizaje para el alumno.
Según Brousseau (2007):
El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, dificultades,
desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Ese saber fruto de la
adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje (p. 59).
Para entender con mayor claridad el rol de la tecnología dentro de la teoría, es necesario
profundizar en conceptos como aprendizaje, medio, validación y devolución.
6.1.1 Aprendizaje por adaptación
En la Teoría de Situaciones Didácticas se hace énfasis en el Aprendizaje por
Adaptación, el cual según Brousseau (2007 como se citó en Acosta et al., 2010) es el producto
de la interacción del estudiante con el medio (Ver figura 1.).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
20
Figura: 1 Aprendizaje por adaptación
.
Dicha interacción comprende cinco elementos. El sujeto tiene una intención y para
lograrla realiza acciones sobre ese medio. El medio reacciona a esa acción con algo que
llamamos una retroacción. El sujeto interpreta esta retroacción, es decir toma conciencia de ella y
le da un sentido. Finalmente el sujeto valida su acción es decir decide si esa acción le sirvió para
alcanzar su intención o no. En caso afirmativo refuerza la acción, en caso negativo modifica su
acción y empieza otro ciclo acción - retroacción, hasta que logra obtener lo que quería.
6.1.1.1 Medio
Para la TSD el medio es una entidad que el profesor puede moldear con el propósito de
facilitar los objetivos de aprendizaje; tiene un componente externo al alumno, de naturaleza
material. Debe permitirle al alumno actuar en él. Es neutral en cuanto a las intenciones del
alumno, aunque reacciona a las acciones de éste e impone restricciones ya que no es posible
cualquier acción (Acosta et al., 2010)
Según el mismo Acosta et al (2010):
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
21
Para lograr que el aprendizaje por adaptación producido por la interacción con el medio
responda a los objetivos de aprendizaje, el profesor debe controlar las acciones que puede
realizar el alumno y las retroacciones del medio, de manera que solo se validen las
acciones que corresponden al saber que se desea enseñar (p.178)
En la teoría de las situaciones didácticas, el rol del profesor es muy importante, puesto
que es el encargado de crear la intención en el estudiante y preparar correctamente el medio. El
profesor debe anticipar las posibles acciones del estudiante y las retroacciones del medio para
garantizar que puedan ser interpretadas por el estudiante, con el fin de validar o invalidar sus
acciones, y que de esta manera se dé un aprendizaje por adaptación.
6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica
Según Acosta et al. (2010):
Una situación es didáctica cuando un individuo (profesor) tiene la intención de enseñar a
otro individuo (alumno) un saber matemático dado. Una situación es a-didáctica cuando
se da interacción entre un sujeto y un medio para resolver un problema. Como el medio
es impersonal, no tiene ninguna intención didáctica: no desea enseñarle nada al alumno.
Por eso este tipo de situación recibe el nombre de a-didáctica. Aunque podría pensarse
que estas dos situaciones están totalmente en oposición, puesto que una necesita del
profesor y la otra no, según la TSD se da una interacción de estas dos situaciones, en la
que la situación a-didáctica puede ser parte de una situación didáctica (p.176).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
22
Figura: 2 Situación Didáctica
Más adelante explica:
Se tiene la situación global, que es la situación didáctica, pues comprende las relaciones
entre el profesor, el alumno y el saber. El profesor desea enseñar el saber al alumno, no
comunicándoselo directamente, sino planteándole una situación a-didáctica (en el interior
de la situación didáctica), planeada para producir un aprendizaje por adaptación. Con este
fin, el profesor prepara cuidadosamente un medio con el cual el alumno podrá interactuar,
y un problema que produzca en el alumno una intención y desencadene unas acciones
sobre el medio. El producto de esa situación a-didáctica es un conocimiento: una
estrategia que permite resolver el problema (Acosta et al., 2010, pp.176-177).
Se tiene entonces al interior de la situación didáctica una situación a-didáctica que el
profesor utiliza para que los alumnos construyan un conocimiento, a la cual podrá referirse para
exponer el saber.
Durante la fase a-didáctica se desarrollan dos procesos:
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
23
6.1.2.1 Validación.
Este proceso tiene lugar en la interacción del sujeto con el medio. Podemos considerar la
totalidad de esa interacción como conducente a la validación por parte del alumno de sus
acciones.
No es posible para el alumno decidir sobre la validez de una acción sin hacer referencia a
su intención o sin haber interpretado las retroacciones del medio.
6.1.2.2 Devolución.
Es el proceso mediante el cual el profesor acompaña el proceso de validación de los
estudiantes, reforzándolo y evitando interrumpirlo. Por ejemplo, mientras se lleva a cabo la
situación a-didáctica, el profesor se abstiene de comunicar el saber a los alumnos, pues de esa
manera impedirá que se realice un aprendizaje por adaptación; esto no implica que el profesor no
deba intervenir, sino que animara al alumno a resolver el problema, hacerle tomar conciencia de
las acciones que puede realizar y de las retroacciones del medio pidiéndole que sea él mismo
quien decida si resolvió el problema.
6.1.3 CarMetal como medio
En este trabajo se utiliza el Software CarMetal como medio con el cual el estudiante
interactúa para adquirir un aprendizaje por adaptación. Dicho Software recibe el nombre de
geometría dinámica, porque permite realizar construcciones geométricas por medio de la
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
24
manipulación directa de objetos en la pantalla y también permite la manipulación de objetos ya
construidos, redibujándolos en tiempo real.
En CarMetal se pueden efectuar dos tipos de acción:
6.1.3.1 Acción de construcción.
Haciendo uso de las herramientas es posible dibujar en la pantalla diferentes objetos
(segmentos, rectas, círculos, polígonos, ángulos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia,
perpendicularidad, paralelismo, etc.). La retroacción del medio es un dibujo estático en la
pantalla, que corresponde a lo que se pidió que construyera.
6.1.3.2 Acción de arrastre.
Este atributo permite asir los objetos ya construidos y desplazarlos en la pantalla,
garantizando que las relaciones geométricas construidas se mantienen durante el movimiento. La
retroacción correspondiente son fenómenos dinámicos en la pantalla.
En Carmetal el comportamiento de los objetos es geométrico; es decir, “se conservan
intactas las relaciones geométricas que hayan sido declaradas en la construcción, así como las
propiedades geométricas implícitas” Acosta et al. (2010, p. 178) tanto al construir como al
arrastrar. Esta característica supone una gran ventaja, pues las retroacciones del medio
corresponden al saber geométrico, y por lo tanto los conocimientos que construyen los
estudiantes en interacción con el software tendrán una correspondencia directa con el saber que
se quiere enseñar (Acosta et al., 2010).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
25
6.2 Razonamiento
En este trabajo entendemos por razonamiento a cualquier procedimiento que nos permita
desprender nueva información de informaciones previas, ya sean aportadas por el problema o
derivadas del conocimiento anterior (Arsac, 1992).
Según sea el desarrollo de dicho proceso se distingue entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo.
6.2.1 Razonamiento inductivo.
Es una modalidad del razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a
partir de premisas que contienen datos particulares o individuales.
Para Clemens, O‟ Daffer, y Cooney (1989) esta clase de razonamiento es un proceso que
puede describirse así:
1. Se observa que una propiedad es verdadera para cada caso que se verifica.
2. Dado que la propiedad es verdadera en todos los casos verificados, se concluye que es
verdadera para todos los demás casos y se establece una generalización.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
26
Utilizando la estructura propuesta por Toulmin para describir y estudiar los procesos de
razonamiento como formas de argumentación*, podemos ilustrar el razonamiento inductivo como
se muestra en la figura 3.
* “La argumentación que estudiamos es un razonamiento lógico, que puede descomponerse en partes para hacer emerger su
estructura. Cada parte de la argumentación es un paso constituido por al menos tres elementos: unos datos, una conclusión y un
permiso de inferir” (Toulmin, 1958)
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27
Figura: 3 Razonamiento Inductivo
Usualmente esta forma de razonamiento es poco apreciada por el profesor, quien
privilegia el razonamiento deductivo propio del sistema axiomático de la geometría. Su
relevancia en la construcción del conocimiento geométrico es evidente si se considera que
civilizaciones como los babilonios y egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo
matemático. Es importante que el alumno pueda visualizar los problemas, lanzar conjeturas,
construir argumentos, analizar propiedades y luego si axiomatizar. (Larios, 2006)
Mediante el razonamiento inductivo, a partir de la experimentación, el estudiante puede
llegar a formular Reglas Teóricas Generales que posteriormente puede utilizar como permiso de
inferir en un Razonamiento Deductivo
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28
6.2.1.1 Estrategias para promover el razonamiento inductivo.
6.2.1.1.1 Contraejemplo.
Es usual para el alumno que realiza la construcción de objetos geométricos dar por
cumplidas algunas propiedades a partir del dibujo o asumir la generalidad de una propiedad
solamente porque un caso particular la cumple. Mediante el contraejemplo se invita al alumno a
confrontar la validez de sus aseveraciones con ejemplos que las contradicen. Así, entonces el
contraejemplo es visto como una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso
específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo").
En estos experimentos, tienen como finalidad confrontar en los alumnos, la validez de sus
aproximaciones a las reglas teóricas con la universalidad de las mismas.
6.2.1.1.2 Construcciones imposibles.
Las actividades propuestas sugieren la elaboración de construcciones que aparentemente
se pueden realizar, pero que en realidad no son posibles. La intención es que los alumnos, luego
de enfrentarse empíricamente con la imposibilidad de la construcción solicitada, traten de buscar
argumentos para validar que efectivamente no hay objeto que cumpla con lo pedido.
Este tipo de actividades no suele ser común en clase de geometría, requieren aceptar la no
solución como respuesta a una actividad, es usual que los alumnos piensen que lo que no se
puede realizar tiene que ver con algún error cometido por ellos en el desarrollo de la tarea, pues si
el profesor lo pide tiene que poder efectuarse. Justamente, para distinguir entre no hay solución y
no me salió son necesarios argumentos que se apoyen en propiedades.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
29
Pedir una justificación es colocar al alumno en un plano diferente del dibujo y la
visualización. De este modo se pretende lograr que los alumnos se involucren en la elaboración
de argumentos, lo cual permitirá al profesor ir instalando la argumentación como actividad usual
de la clase.
6.2.2 Razonamiento deductivo.
Es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas.
Según Clemens et al. (1989). Existe razonamiento deductivo cuando:
1. Se inicia con las condiciones dadas (hipótesis).
2. Se usa definiciones, postulados o teoremas previamente probados para justificar una
serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.
3. Se afirma el resultado (conclusión).
Figura: 4 Razonamiento Deductivo
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30
Es común en nuestro currículo escolar, cuando se habla de Razonamiento Deductivo
asociarlo exclusivamente con Demostración e implementar un tratamiento de los problemas de
forma axiomática. Este fenómeno ocasiona el desconocimiento del razonamiento deductivo en
procesos como la verificación de propiedades, la anticipación de magnitudes y la justificación de
construcciones.
6.2.2.1 Estrategias para promover el razonamiento deductivo.
6.2.2.1.1 Verificación.
Son problemas en los que el estudiante debe verificar unas propiedades que no pueden
constatar de manera directa. Por lo tanto tiene que recurrir a una implicación lógica para poder
realizar la verificación. Es decir, el estudiante puede utilizar herramientas para verificar otras
propiedades que están relacionadas de manera lógica con la propiedad pedida
Por ejemplo: para verificar el paralelismo de un cuadrilátero si no se dispone de una
herramienta que permita hacerlo de manera directa, los estudiantes pueden medir los lados
opuestos de la figura para deducir que si no tienen la misma medida entonces no son paralelos.
6.2.2.1.2 Anticipación.
Son problemas en los que el estudiante tiene que predecir una característica de un objeto
con base en unas propiedades que se afirman que son verdaderas. Es decir, para poder anticipar el
estudiante tiene que necesariamente utilizar una regla teórica.
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31
Por ejemplo: si se afirma que un cuadrilátero es paralelogramo y se conoce la medida de
uno de sus lados se puede predecir la medida de su lado opuesto.
6.2.2.1.3 Justificación.
Son problemas en los cuales dada la descripción de una construcción, el estudiante debe
predecir las propiedades que se mantienen al arrastrar.
Hay dos tipos de justificaciones.
Justificaciones donde las propiedades son producto de la aplicación directa de una
herramienta de construcción.
Justificaciones donde las propiedades no son el producto directo de una herramienta,
de construcción. Para justificar que estas propiedades se conservan al arrastrar es
necesario invocar una regla teórica general
Por ejemplo: Dada la descripción de la construcción de un rectángulo justificar que todos
sus ángulos interiores son rectos y que se conservaran durante el arrastre
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32
7 Análisis preliminares
7.1 Análisis Epistemológico
7.1.1 La geometría de Euclides.
El gran aporte de Euclides fue tomar los saberes geométricos de su tiempo, ordenarlos,
clasificarlos y sistematizarlos, para luego ponerlos a disposición de la comunidad de estudiosos
en su conocido texto los Elementos, sentando de esta forma las bases de un sistema axiomático
para la geometría (Sánchez, 2012). La forma como se expone el saber geométrico en los
Elementos pone de manifiesto una manera deductiva de razonar, ya que es posible ver como una
afirmación es consecuencia de la anterior gracias a una cadena de razonamientos finamente
articulados. El razonamiento deductivo posibilita la demostración, considerada la herramienta
preferida por la comunidad matemática para validar sus declaraciones y mostrar su universalidad,
manifestando de esta forma rigurosidad en sus afirmaciones (Crespo, Farfan & Lezama, 2010).
Sin embargo, no hay que olvidar que los conocimientos teóricos expuestos en Los
Elementos no se construyeron en su totalidad de forma deductiva. Los predecesores de Euclides
aceptaban como verdaderas muchas de las preposiciones de Los Elementos basados en la
experimentación. La organización deductiva fue posterior a su reconocimiento como verdades
generales (Sánchez, 2012).
Mucho del conocimiento teórico expuesto en los elementos fue construido con
anterioridad y de forma empírica. Al respecto, el historiador Heródoto (como se citó en Sánchez,
2012) dice:
La geometría nace en Egipto debido a la necesidad de trazar los linderos de las tierras
cada vez que el río Nilo las inundaba, pues a partir de esos linderos había que pagar los
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33
impuestos. Del trabajo de esos agrimensores quedan algunas recetas, métodos prácticos,
para calcular longitudes, áreas y volúmenes que se encuentran en los Papiros de Ahmes y
de Moscú (p.73).
Este hecho evidencia que la construcción del conocimiento geométrico no es
exclusivamente deductiva como aparece en Los Elementos, sino que la actividad empírica,
experimental y el razonamiento inductivo son formas legítimas utilizadas y necesarias en el
quehacer geométrico. Al respecto, Kline (como se citó en Larios & González, 2010) afirma:
Los babilonios y los egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo
matemático. Por medición deben haber determinado que el área de un triángulo es la
mitad del producto de la base por la altura y, habiendo empleado esta fórmula varias veces
y obtenido resultados correctos, habrán llegado a la conclusión de que la fórmula era
intachable (p.148).
Históricamente el camino recorrido para llegar a la organización deductiva del
conocimiento geométrico es un camino en el que primero se construyeron algunas cadenas de
deducciones aisladas, antes de intentar reunir todos los conocimientos en una estructura
axiomático-deductiva.
Según Heath (como se citó en Masdexexas, 1986):
Los Elementos de Euclides no tanto son una obra de creación que abra nuevos e
importantes problemas u horizontes, cuanto una obra de compilación de los resultados
más importantes obtenidos durante más de tres siglos de profunda y continuada actividad
matemática (p. 1).
Más adelante, el mismo autor señala:
… antes de Euclides, ya Hipócrates y después León (S. IV a. d. C) y después Teudio de
Magnesia (miembro de la Academia de Platón) compusieron Elementos de geometría: el
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34
compendio de este último fue como un libro de texto en la Academia y parece que fue el
punto de partida de Euclides para la composición de sus Elementos (Masdexexas, 1986, p.
1).
En resumen, se puede decir que Los Elementos de Euclides no son el comienzo del
trabajo teórico en geometría sino el resultado de un proceso; en consecuencia, el razonamiento
deductivo y la estructura axiomática no son los únicos procedimientos legítimos para la
construcción del conocimiento. El método empírico, el razonamiento inductivo y la
experimentación también hacen parte de la actividad geométrica.
Esta constatación conduce al problema didáctico de cómo articular la actividad
experimental, el razonamiento inductivo, y el razonamiento deductivo en el proceso de
construcción del conocimiento teórico.
7.1.2 Una mirada epistemológica de los elementos.
Desde un punto de vista epistemológico, más que reconocer que el conocimiento teórico
expuesto en los elementos tiene una estructura axiomático-deductiva que permite el
encadenamiento deductivo de las proposiciones, es fundamental responder las siguientes
preguntas:
¿Por qué se necesitan los conocimientos teóricos?
¿Por qué se necesita organizar el conocimiento geométrico en un sistema axiomático
deductivo?
En el presente trabajo asumimos la postura epistemológica de autores como (Gascón,
Gaud, Minet, Knorr, Acosta, etc), según los cuales, la razón de ser de los Elementos de Euclides,
es la respuesta a dos grandes necesidades: ¿Cómo hacer una construcción exacta?, ¿Cómo
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
35
justificar que una construcción es exacta? Es decir, consideramos que los conocimientos teóricos
de la geometría son necesarios para producir construcciones exactas y que la estructura
axiomático-deductiva es necesaria para poder justificar que una construcción es exacta.
En efecto, como es bien conocido, el desarrollo de la geometría ha estado estrechamente
relacionado con la resolución de problemas de construcción, algunos de ellos muy famosos,
como la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo. Según Knorr,
citado por Acosta, los problemas de construcción fueron el motor de investigación de la
construcción teórica de la geometría griega posibilitando la construcción con sentido del saber e
introduciendo la necesidad de una organización y validación del mismo (Acosta, 2.008).
Esta postura epistemológica conduce al problema didáctico de cómo hacer que los
estudiantes experimenten la necesidad del conocimiento teórico para producir una construcción
exacta y la necesidad de la estructura Axiomático-Deductiva para producir una justificación.
7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del
conocimiento
El uso de software para la enseñanza de la geometría se generalizó a comienzos de los
años 80 con la aparición de Logo. Años después se popularizó, con la aparición del Software de
Geometría Dinámica (SGD) Cabri (Gutiérrez, 2005). El SGD es un recurso innovador e
importante en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, puesto que permite la exploración, la
construcción de figuras con determinadas propiedades, la visualización de estas propiedades y la
posibilidad de transformarlas en tiempo real (Gamboa, 2007).
Compartimos con Larios y González (2010) que la principal ventaja de SGD sobre los
materiales didácticos tradicionales está en “ser una herramienta que proporciona un medio para la
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
36
manipulación directa de las representaciones de los objetos geométricos a través de su principal
rasgo que es el arrastre” (p. 149).
En nuestro caso el arrastre permite negociar con los estudiantes la distinción entre una
construcción exacta y una que no es exacta. La característica fundamental que hace que el
software de geometría dinámica sea una herramienta potente para la enseñanza de la geometría es
la coherencia entre el lenguaje, los trazados y las medidas. Esta coherencia permite crear una
ilusión de exactitud: las figuras dinámicas cuyo procedimiento de construcción tiene en cuenta
propiedades geométricas, conservan dichas propiedades y aquellas que son consecuencias lógicas
de estas aunque los objetos que constituyen la figura cambien de tamaño y posición; además, las
medidas de longitud, área y ángulos corresponden a las prescritas por la teoría. De esta manera,
es posible acordar con los estudiantes que una figura exacta es aquella que conserva sus
propiedades al arrastrar, mientras que aquellas que pierden sus propiedades al arrastrar no son
exactas.
Esta nueva forma de realizar el trabajo geométrico mediante el uso de software permite
concebir la geometría como una ciencia experimental. Al respecto Acosta (2005) afirma:
La geometría dinámica experimental puede definirse como una práctica geométrica que
privilegia la observación y manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de la
computadora, con la intención de emitir conjeturas sobre las propiedades geométricas de
dichos objetos, conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medición y la
construcción de objetos auxiliares (p. 27).
La actividad fundamental en la que se inserta el SGD es una actividad de
experimentación, en el sentido de que es posible emitir conjeturas y verificarlas por medio de un
experimento. La invalidación de una conjetura en geometría experimental puede concebirse como
equivalente a una demostracion de su falsedad mediante un contraejemplo (Acosta, 2005).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
37
El proceso de enseñanza que busca introducir a los estudiantes en el mundo teórico de la
geometría aprovechando el contexto de la resolución de problemas de construcción, puede
concebirse como una secuencia con tres etapas principales. La primera etapa consiste en negociar
con los estudiantes la distinción entre una figura exacta y una aproximada utilizando el arrastre.
Esta distinción busca crear en los estudiantes la necesidad de producir una construcción exacta.
La segunda etapa consiste en identificar las propiedades que caracterizan la figura que se desea
construir y asociar dichas propiedades a herramientas de construcción. En efecto, toda
herramienta de construcción garantiza determinadas propiedades. La tercera etapa consiste en
reconocer que las construcciones exactas poseen propiedades que no son el resultado directo del
uso de determinadas herramientas de construcción, sino que son consecuencia de la combinación
de otras propiedades. Este hecho es el que conduce a la formulación de Reglas Teóricas
Generales (RTG) de la forma Si…..entonces…… y esas reglas generales son la base del
Razonamiento Deductivo.
Para Ortegón, Salas y Samper (2013) el uso de la geometría dinámica impulsa la
comprensión y uso de la condicional, ayudando a los estudiantes a mejorar sus prácticas
argumentativas para justificar sus afirmaciones. Para Larios y González (2010) el SGD permite
explorar situaciones geométricas, posibilitando la generalización de situaciones y buscar
propiedades invariantes a partir de casos particulares. Es decir, que los estudiantes utilicen el
Razonamiento Inductivo (RI) para llegar a la formulación de las Reglas Teóricas y utilizar esas
Reglas Teóricas en Razonamiento Deductivos para verificar, anticipar o justificar propiedades en
las construcciones. La justificación de propiedades a partir de la construcción puede conducir al
trabajo de demostración.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
38
7.2 Análisis didáctico
7.2.1 Enseñanza de la geometría
En la actualidad, los libros de texto de geometría toman como modelo para la enseñanza
de la geometría en secundaria, el Sistema Axiomático Deductivo (SAD) propuesto por Euclides
en Los Elementos. Como señala Hershkowitz (2001). “por generaciones, la geometría ha sido
enseñada como el contexto para la enseñanza del razonamiento deductivo y ha sido dominada por
los aspectos clásicos” (p.1).
Esta forma de concebir la enseñanza de la geometría, aunque válida, no es del todo
apropiada, pues se tiende a omitir tanto el contexto de experimentación, visualización geométrica
(formas y relaciones entre ellas) como al estudiante.
A esto se debe agregar que la forma como frecuentemente se imparte la clase de
geometría es de carácter expositivo; es decir, hay una aproximación hacia el aprendizaje como
un proceso receptivo de transferencia de conocimiento, promoviéndose la argumentación en
geometría como una comunicación muy formal regulada por reglas fijas (Hershkowitz, 2001).
Al respecto Hershkowitz (2001) expone:
En los tiempos actuales, los esfuerzos de desarrollo e investigación están siendo dirigidos
hacia la creación innovadora de ambientes de aprendizaje que aún refieren al
razonamiento deductivo como un elemento básico del aprendizaje. Sin embargo, estos
ambientes de aprendizaje tratan de tomar en cuenta el punto de vista de los estudiantes
diseñando situaciones de aprendizaje que ayuden a los estudiantes a sentir una necesidad
intrínseca por las explicaciones, y consecuentemente hacen la invitación a apreciar la
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
39
fuerza de la justificación deductiva como una herramienta de explicación, e incluso
intentan producirlas (p. 1. párr. 23).
La importancia de la experimentación en el aprendizaje de la geometría mediante SGD
también se reconoce en documentos de orientación curricular, al respecto el Ministerio de
Educación Nacional –MEN (2004) menciona:
Con el acceso a la manipulación directa, la enseñanza de la geometría ofrece un
interesante desarrollo hacia una nueva conceptualización de ésta, como el estudio de las
propiedades invariantes de las figuras geométricas. Al permitir la posibilidad de
experimentar con una especie de “materialización” de los objetos matemáticos, de sus
representaciones y de sus relaciones, los estudiantes pueden vivir un tipo de
experimentación matemática que otros ambientes de aprendizaje no proporcionan (p. 17).
7.2.2 Aprendizaje de la Geometría.
Distintos autores recomiendan centrar la atención de los profesores, no en su propio
discurso y maneras de proceder, ni en la necesidad de corregir las acciones y el lenguaje de los
estudiantes, sino en las formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes expresan
con su lenguaje y sus acciones.
Según Crespo et al. (2010):
Para lograr que los estudiantes comprendan la necesidad de argumentar matemáticamente
e incluso de demostrar propiedades matemáticas, resulta indispensable que construyan la
significatividad de la argumentación. La importancia de favorecer escenarios donde se
alcance este objetivo, deberá ser comprendida por los docentes (p. 284).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
40
En clase es necesario conocer qué pasa por la cabeza de los estudiantes cuando están
inmersos en una actividad geométrica; cuáles son sus procesos de razonamiento, cómo analizan
la información que les llega, cómo validan sus decisiones, todo esto con el propósito de mejorar
los procesos de enseñanza y aprendizaje (Quesada & Torregrosa 2007).
Por ejemplo, en la construcción de figuras geométricas, los estudiantes manifiestan
dificultades al tener que desarrollar actividades que involucran el uso de reglas teóricas propias
del saber geométrico, pero ajenas a su experiencia, pues no se les da la posibilidad de
construirlas.
El profesor entonces está llamado a proponer una alternativa que permita solucionar la
falta de experimentación de los estudiantes y una manera es mediante el diseño de experimentos
en los que los estudiantes puedan descubrir regularidades y por lo tanto llegar a formular
mediante razonamiento inductivo reglas teóricas generales que describan y expliquen esas
regularidades.
Según Piaget (como se citó en Castro, Cañadas & Molina, 2010) “la generalización es un
proceso fundamental en la construcción del conocimiento (…) La generalización estaría sometida
a la abstracción y tendría como tarea el establecimiento de regularidades en lo real (p. 57).
Gracias al software de geometría dinámica los estudiantes pueden experimentar: explorar
los objetos geométricos y su comportamiento, sistematizar sus acciones y desarrollar argumentos
de explicación.
Según Hershkowitz (2001) una característica pedagógica principal del Software es que
mediante la exploración y el razonamiento inductivo los estudiantes colaboran para el
descubrimiento de hechos geométricos y la reinvención de las relaciones geométricas. El mismo
autor más adelante señala que la actividad de aprendizaje en ambientes de geometría dinámica es
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
41
una tendencia que demuestra la “democratización” del razonamiento en el aprendizaje de la
geometría.
La identificación de propiedades invariantes por parte de los estudiantes, conduce a la
formulación de reglas teóricas generales. Estas reglas teóricas generales se convierten en una
herramienta que permite a los estudiantes llevar a cabo procesos de verificación, anticipación y
justificación de propiedades en una construcción geométrica, procesos característicos del
razonamiento deductivo.
En conclusión, la enseñanza de la geometría no debe intentar reproducir la estructura y el
orden expositivo de los Elementos de Euclides, como era el caso hasta hace poco. Por el
contrario, debe promover actividades de experimentación que conduzcan a la formulación de
reglas teóricas generales y actividades de verificación, anticipación y justificación en las que los
estudiantes utilicen esas reglas teóricas de manera deductiva.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
42
8 Análisis a priori actividades paralelogramo
Grado séptimo
En estas actividades trabajaremos alrededor de la construcción de paralelogramos.
Los objetivos generales de estas actividades son:
1. Reforzar la distinción dibujo/construcción
2. Reforzar el arrastre de validación.
3. Desarrollar habilidades de escritura y lectura de la descripción de la Construcción.
4. Experimentar con figuras aproximadas para buscar propiedades.
5. Formular „hechos geométricos‟ a partir de experimentaciones (razonamiento
inductivo)
6. Anticipar o verificar propiedades sin construir (razonamiento deductivo)
7. Justificar que una construcción garantiza una propiedad utilizando herramientas de
construcción y hechos geométricos (demostración)
8.1 Actividad 1
8.1.1 Primera parte.
Definición de Paralelogramo.
Se entrega a los estudiantes una figura preparada, donde hay construido un
paralelogramo, acomodado de tal manera que parece un rectángulo, y de forma tal que si
muestran los objetos ocultos no puedan ver el procedimiento de construcción (macro).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
43
Figura: 5 Construcción Propuesta
Se les pide que observen esa figura, la dibujen en su cuaderno y digan qué figura es. Se
espera que todos digan que es un rectángulo.
Luego se les pide que construyan una figura igual. Se espera que utilicen las herramientas
„segmento‟ o „polígono‟ para hacer un dibujo con forma de rectángulo.
Figura: 6 Construcción Estudiantes
Cuando han terminado, se les pide que arrastren los lados y vértices de la figura modelo y
de la figura que ellos construyeron. Se espera que digan que la figura modelo en realidad no es un
rectángulo, y que la figura que ellos construyeron no se comporta de la misma manera que la
figura modelo.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
44
Figura: 7 Estrategia de Validación
Se les pide entonces que intenten hacer una construcción que se comporte igual que la
figura modelo. Los estudiantes podrán intentar diversas estrategias perceptivas para acomodar su
construcción, pero al arrastrar los vértices y los lados podrán invalidar su construcción,
concluyendo que no se comporta de la misma manera que la figura modelo. El profesor les pide
entonces que examinen la figura modelo para decir qué propiedades tiene y qué se mantienen
aunque se arrastren sus vértices y lados. Como recurso para que los estudiantes se den cuenta de
la propiedad que se desea resaltar en la figura modelo (paralelismo de los lados opuestos), el
profesor les propone que construyan las rectas que contienen los lados, que realicen zoom y
arrastren vértices y lados tanto en la figura modelo como en la que ellos construyeron y que
comparen lo que sucede.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
45
Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero
Se espera que los estudiantes al arrastrar los vértices y lados de su construcción, así como
los del modelo, digan que en la figura modelo las rectas que contienen los lados opuestos no se
cruzan mientras que en la figura que ellos construyeron sí. De esta manera las retroacciones del
software permiten identificar el paralelismo como un invariante de la figura modelo lo que se
constituye en un aprendizaje por adaptación. Al mismo tiempo, el profesor puede introducir un
nuevo contrato didáctico sobre lo que constituye la solución de un problema de construcción en
geometría: no basta con producir un dibujo con una forma determinada; es necesario que al
arrastrar se conserven determinadas propiedades. Una vez los estudiantes reconozcan el
invariante (propiedad) que se debe conservar, el profesor debe propiciar la reflexión sobre lo que
significa ser paralelo, estableciendo mediante una puesta en común que: dos rectas son
paralelas si no se cortan.
Después de la puesta en común los estudiantes pueden validar e invalidar perceptivamente
si dos rectas son paralelas, ya que tienen una herramienta práctica y a la vez teórica y es: si las
rectas se cortan no son paralelas esto les permite decidir si lo que construyen produce rectas
paralelas o no.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
46
Figura: 9 Estrategia de Validación
Una vez que los estudiantes han identificado la propiedad que se debe cumplir, el profesor
les pide que intenten que esa propiedad se cumpla en su figura. Los estudiantes pueden volver a
utilizar estrategias perceptivas para lograr el paralelismo ajustando el dibujo para que las rectas
no se crucen.
Es posible que los estudiantes después de varios intentos ajustando la figura para que
cumpla la propiedad; renuncien a esta estrategia argumentando que no es posible garantizar la
propiedad de esta forma, por lo que surge en estos la necesidad de un nuevo conocimiento:
¿cómo lograr que el paralelismo se conserve? El profesor debe recalcar a los estudiantes la
importancia de garantizar que la figura tenga esta propiedad y aprovechar esta situación para
introducir un nuevo contrato didáctico mostrando a los estudiantes la herramienta recta paralela
y explicando cómo esta garantiza la propiedad. Para esto el profesor debe enseñar a los
estudiantes a utilizarla, indicando como construir rectas paralelas a segmentos y a rectas. Esta
herramienta permitirá a los estudiantes convencerse de que es posible garantizar que la figura
tenga esta propiedad.
Después de explicar la utilidad de la herramienta recta paralela, el profesor vuelve a
plantear el problema de construir una figura igual al modelo.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
47
Es importante recordar que los estudiantes pueden hacer tres tipos de construcciones:
totalmente perceptivas – que no garantizan las propiedades por construcción sino por ajuste,
teóricas – que garantizan todas las propiedades por construcción, y mixtas – en las que se
garantizan algunas propiedades por construcción y otras se obtienen por ajuste- el profesor debe
insistir a los estudiantes que arrastren todos los elementos de la figura (vértices y lados) y
verifiquen que se cumple la propiedad en cuestión.
A partir de ese momento el profesor debe nombrar la propiedad, la cual consiste en el
paralelismo de los lados opuestos; es posible que algunos estudiantes digan que los lados
opuestos tienen las mismas medidas; el profesor no retomará esta idea, centrándose en el
paralelismo.
El propósito de la tarea estará cumplido si los estudiantes al comparar su construcción con
la figura modelo constatan que efectivamente se comporta de la misma manera.
El profesor debe tener cuidado de que los estudiantes no se confundan por el exceso de
objetos geométricos cuando realizan la construcción, indicándoles cómo ocultar aquellos que no
son relevantes en la figura.
El conocimiento adquirido por los estudiantes mediante el desarrollo de esta actividad les
permite establecer que para que una propiedad sea invariante en el arrastre es necesario utilizar la
herramienta de construcción que la garantiza en este caso recta paralela.
Al finalizar esta parte de la actividad el profesor les dice a los estudiantes que la figura
modelo recibe el nombre de paralelogramo e institucionaliza la definición de paralelogramo:
Si un cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos entonces es un paralelogramo
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
48
Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes
8.1.2 Segunda parte.
Descripción y Socialización de la Construcción.
Después de la institucionalización, el profesor les pide a los estudiantes que vuelvan a
hacer la figura y luego describan el proceso de construcción en su cuaderno. Este ejercicio de
descripción tiene el propósito de concientizar a los estudiantes sobre la necesidad de utilizar
ciertas convenciones al momento de comunicarnos en contextos geométricos (dar nombre a los
puntos, a los lados, a los segmentos y rectas) y que usualmente no saben.
El profesor indica a los estudiantes cómo mostrar en la pantalla la descripción de la
construcción producida por el software y les presenta esta descripción como un modelo a imitar,
por lo cual les pide comparar la descripción que ellos hicieron con la que produce el software*.
Luego revisa con todo el grupo algunas de las descripciones para señalar pasos faltantes o pasos
que sobran.
* Se espera que los estudiantes gradualmente vayan interiorizando y reproduciendo esa forma de descripción que es precisa y
concisa, dos cualidades importantes del lenguaje geométrico que es necesario que adquieran.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
49
Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software
Después el profesor les propone algunas descripciones de construcciones y pide a los
estudiantes decidir (sin realizar la construcción) si tales descripciones corresponden a
paralelogramos o no; es importante presentarles diferentes construcciones, algunas que sí
producen paralelogramos, otras que no. Los estudiantes deben poder argumentar sus respuestas
por ejemplo: diciendo que son paralelas porque se utilizó la herramienta recta paralela. El
profesor debe tener claro que lo importante es que los estudiantes verifiquen si se cumple o no la
propiedad de paralelismo entre los lados opuestos de la figura y no si la construcción está bien
hecha.
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50
Figura: 12 Descripciones propuestas
Una vez los estudiantes hayan argumentado sus afirmaciones, se les pide que verifiquen
si lo que dicen se cumple o no, para lo cual deben realizar la construcción que se les propone y
arrastrar la figura de forma que puedan identificar cuales lados son paralelos y cuáles no.
Las acciones desarrolladas durante proceso por los estudiantes se constituyen en un
Razonamiento Deductivo, ya que se busca que el estudiante anticipe el cumplimiento de una
propiedad desde la descripción de la construcción invocando un hecho teórico.. Al mismo
tiempo se posibilita un aprendizaje por adaptación puesto que las retroacciones del software le
permiten a los estudiantes decidir si la figura es un paralelogramo o no, constatando de esta
manera la veracidad de su afirmación.
Después de verificar, es necesario que los estudiantes retomen las descripciones en las que
no anticiparon correctamente e intenten identificar los pasos que le permiten justificar la
presencia o ausencia del paralelismo.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
51
8.2 Actividad 2.
Hecho geométrico „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos
miden lo mismo‟.
En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan una construcción imposible (un
paralelogramo que tenga tres lados de medidas diferentes) para que concluyan que si es
paralelogramo sus lados opuestos deben tener medidas iguales. Se sigue la secuencia: dibujo
aproximado-intento de construcción exacta- verificación, con medidas de lados opuestos cada vez
más aproximadamente iguales.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
52
8.2.1 Primera parte.
Trabajo de ajuste sobre un dibujo.
Se les pide a los estudiantes que construyan un cuadrilátero cualquiera, y que lo acomoden
para que parezca paralelogramo. Luego se les pregunta si es posible ajustar esa figura para que
tenga un lado de 3 cm, otro de 4 cm y otro de 3,2 cm, y que siga pareciendo paralelogramo. El
profesor debe indicar a los estudiantes como hacer visible la medida de los segmentos.
Se espera que los estudiantes hagan diferentes intentos de ajustar tanto las medidas de los
lados como el paralelismo de los lados opuestos, sin lograrlo.
Figura: 13 Construcción Esperada
8.2.2 Segunda parte.
Intento de una construcción.
Se les enseña a los estudiantes a construir un circulo de radio fijo y se les pide que utilicen
ese procedimiento para producir un segmento de longitud dada. Luego se les pide que utilicen ese
procedimiento para construir un cuadrilátero que tenga un lado de 3 cm, uno de 4 cm y otro de
3,2 cm, y que lo acomoden para que parezca un paralelogramo.
Es posible que los estudiantes construyan primero dos segmentos independientes de
longitud fija y luego traten de unirlos con un segmento, pero este entonces no puede tener
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53
longitud fija. El profesor debe recomendarles que construyan un primer segmento, y utilicen un
extremo de ese segmento para construir el segundo, y luego el otro extremo del segundo para
construir el tercero.
El profesor deberá preguntar a los estudiantes cuánto mide el segmento que construyen
entre el centro del círculo de radio fijo y un punto sobre el círculo. Los estudiantes deberían
predecir la longitud del segmento sin necesidad de medirlo, y deberían poder explicar por qué
tiene esa medida (es un radio del círculo, el círculo es de esa medida, por lo tanto el segmento
tiene esa longitud).
Cuando los estudiantes hayan construido los tres segmentos de 3, 4 y 3,2 cm, solo les
queda unir el primer punto con el último para formar un cuadrilátero, y arrastrar los vértices para
tratar de que tenga forma de paralelogramo.
Figura: 14 Construcción con medida fija
Posibles estrategias que los estudiantes podrían proponer, o que el profesor puede sugerir
para hacer este ajuste:
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54
Trazar las rectas que contienen los lados opuestos del cuadrilátero y haciendo zoom
observar si se cortan o no. Pueden acomodar la figura para que los pares de rectas
opuestas parezcan paralelas. Se espera que los estudiantes constaten que si logran el
paralelismo de un par de rectas, pierden el paralelismo de las otras dos.
Trazar una recta paralela a un lado por uno de los vértices del lado opuesto y
acomodar el otro vértice para que quede sobre la paralela. Se espera que los
estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de lados, pierden el
paralelismo de los otros dos.
Trazar una recta paralela al primer segmento por el extremo del segundo segmento y
trazar una recta paralela al segundo segmento por el otro extremo del primer
segmento. Finalmente, acomodar el tercer segmento para que quede sobre la recta
paralela al primero.
Se espera que concluyan que no es posible obtener un paralelogramo con esas medidas.
Si los estudiantes proponen otras medidas se pueden aceptar siempre y cuando las tres
sean diferentes. En caso de que los estudiantes no propongan ninguna estrategia, el profesor debe
proponer cambiar la medida del tercer lado a 3.1 cm*. Los estudiantes podrán hacer una
construcción nueva o modificar el radio del círculo de 3,2 cm.
Se espera que al experimentar, algunos estudiantes afirmen que con estas medidas sí es
posible ajustar la figura para que sea un paralelogramo. Entonces el profesor les pide hacer una
construcción que resista el arrastre. En este caso los estudiantes pueden intentar varias posibles
construcciones.
* La finalidad de esta propuesta es eliminar la duda de que la imposibilidad de armar un paralelogramo se deba a las medidas
empleadas y no al hecho de que esas tres medidas son diferentes.
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55
a). Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm y por el extremo de este trazar
la paralela al primer segmento, luego construir la circunferencia de radio 3,1 cm con centro en el
extremo del segundo segmento. Posteriormente hallar el punto de intersección entre la
circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego unir el primer segmento
con el tercero.
Figura: 15 Estrategias de Construcción a)
Se espera que los estudiantes afirmen que la figura es un paralelogramo, ya que garantizan
por construcción que el primer y el tercer lado son paralelos, los otros dos lados parecen ser
paralelos y al arrastrar los vértices los segmentos no se tocan. El profesor debe pedir que
verifiquen si los otros dos lados son paralelos trazando las rectas que los contienen y haciendo
zoom. Los estudiantes podrán concluir que esos dos lados no son paralelos pues al ser zoom las
rectas que los contienen se cortan en algún punto.
b) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm y por el extremo de este trazar
la paralela al primer segmento, luego construir la circunferencia de radio 3,1 cm con centro en el
extremo del segundo segmento. Posteriormente hallar el punto de intersección entre la
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56
circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego trazar la paralela al
segundo segmento por el extremo del tercero.
Figura: 16 Estrategias de Construcción b)
En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el
extremo del primer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la
recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas
posiciones en las que la recta no pasa por el punto.
c) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm, seguidamente la paralela al
primer segmento por el extremo del segundo, posteriormente con centro en el extremo del
segundo segmento y sobre la paralela construir el radio de 3,1cm, trazar la paralela al segundo
lado por el extremo de primer segmento.
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57
Figura: 17 Estrategias de Construcción c)
En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el
extremo del tercer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la
recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas
posiciones en las que la recta no pasa por el punto.
Se espera que los estudiantes durante el desarrollo de esta actividad utilicen como
herramienta de validación el hecho geométrico: si un cuadrilátero tiene lados opuestos
paralelos entonces es paralelogramo, el cual se institucionalizó con anterioridad.
Figura: 18 Validación mediante herramienta Test.
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58
Después que los estudiantes intenten diferentes estrategias, invalidando la posibilidad de
tener un paralelogramo con esas medidas, el profesor propone modificar nuevamente la longitud
del tercer lado, para hacerlo aún más cercano a 3 (por ejemplo, 3.01) e intentar hacer la
construcción del paralelogramo con esas medidas. En este caso, será más difícil constatar de
manera visual que las rectas no son paralelas, o que un punto no está sobre una recta. El profesor
debe entonces enseñar a los estudiantes a utilizar el test de paralelismo como una herramienta que
les permitirá verificar si los lados opuestos son paralelos sin necesidad de prolongar las rectas y
hacer zoom.
Para cualquier estrategia de construcción con esas medidas, esta última retroacción del
software permite invalidar la afirmación de que el cuadrilátero construido es un paralelogramo.
Este proceso de proponer la medida de los lados opuestos cada vez más cercana, hacer la
construcción y utilizar el test para constatar que no se obtiene el paralelismo, puede repetirse
varias veces, hasta que los estudiantes se convenzan de que la única opción para obtener el
paralelismo es que los lados opuestos tengan exactamente la misma medida.
El profesor debe entonces organizar una puesta en común en la que los estudiantes
expongan sus experimentaciones y sus conclusiones. Al terminar la puesta en común, el profesor
debe consignar en el tablero las conclusiones de los estudiantes, y proponer como resumen las
siguientes afirmaciones: “si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos
son iguales”; “si los lados opuestos de un cuadrilátero no son iguales, entonces no es un
paralelogramo”.
8.2.3 Tercera parte.
Uso del hecho geométrico.
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59
El profesor prepara una figura donde aparecen varios cuadriláteros, todos aparentemente
paralelogramos, y les pide que verifiquen si son paralelogramos o no. Para este ejercicio el
profesor debe proponer construcciones que parecen paralelogramos pero que no resisten el
arrastre, construcciones con forma de paralelogramo con la medida de sus lados opuestos
aproximadamente iguales y dos de sus lados paralelos pero que resisten el arrastre. El test de
paralelismo no debe estar disponible para que los estudiantes se vean obligados a buscar otra
estrategia de verificación.
Figura: 19 Construcciones para verificar
Se espera, inicialmente, que los estudiantes arrastren los vértices de la figura para detectar
las propiedades que se conservan y así descarten algunos de los cuadriláteros como
paralelogramos.
Con los que quedan, se espera que utilicen una de las siguientes estrategias:
- Trazar las rectas que contienen los lados para observar si se cortan.
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60
- Trazar una recta paralela a un lado por un vértice del lado opuesto para observar si el
otro vértice está sobre la paralela.
Se espera que los estudiantes al aplicar estas estrategias de verificación constaten que no
es posible visualmente decidir si la construcción efectivamente es un paralelogramo o no, por lo
que se espera que las consideren como insuficientes.
Sin embargo, la estrategia principal que se espera apliquen los estudiantes es mostrar las
medidas de los lados, para descartar aquellos cuadriláteros cuyos lados opuestos no tienen las
medidas iguales. Lo cual constituye un razonamiento de carácter deductivo pues utiliza una
implicación lógica que relaciona las medidas de los lados opuestos con el paralelismo. Es decir,
emplean el hecho geométrico institucionalizado. En el caso en el que los estudiantes no utilicen
esta estrategia y por consiguiente no invaliden algunas de las figuras aproximadas, se les
presentarán las mismas figuras en una ventana que tenga disponible el test de paralelismo, con el
fin de verificar sus juicios. Al constatar que los criterios utilizados no fueron suficientes para
descartar las construcciones aproximadas, sentirán la necesidad de encontrar criterios más
precisos.
Finalmente, el profesor prepara una figura donde hay diferentes paralelogramos, en los
que aparecen las medidas de uno o dos de sus lados, y les pide que digan (sin medir), cuál es la
medida de los otros lados. Se espera que los estudiantes anticipen la medida de los lados opuestos
de aquellos que tienen la medida, y que justifiquen su respuesta invocando el hecho geométrico
estudiado. Finalmente, se les pide que verifiquen mostrando las medidas de los que faltan.
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61
Figura: 20 Cuadriláteros para Anticipar
El profesor institucionaliza el hecho de que las afirmaciones “si un cuadrilátero es
paralelogramo, entonces sus lados opuestos tienen la misma medida”, “si los lados opuestos
de un cuadrilátero no son iguales, entonces no es un paralelogramo” pueden utilizarse para
verificar si una construcción es exacta y para anticipar las medidas de los lados de un
paralelogramo.
8.3 Actividad 3.
Hechos geométricos „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos
opuestos miden lo mismo‟ y „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos
consecutivos son suplementarios‟.
En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan una construcción imposible (un
paralelogramo que tenga ángulos de medidas diferentes y no suplementarios) para que concluyan
que si es paralelogramo sus ángulos opuestos deben tener medidas iguales y sus ángulos
consecutivos deben ser suplementarios.
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62
8.3.1 Primera parte.
Trabajo de ajuste sobre un dibujo.
Se les pide a los estudiantes que construyan un cuadrilátero ABCD cualquiera, y que lo
acomoden para que parezca paralelogramo. Luego se les pregunta si es posible ajustar esa figura
para que tenga un ángulo de 60° y otro de 100°, y que siga pareciendo paralelogramo. Si es
necesario el profesor mostrará a los estudiantes el uso de la herramienta ángulo.
Figura: 21 Construcción Esperada
Se espera que los estudiantes hagan diferentes intentos de ajustar tanto las medidas de los
ángulos como el paralelismo de los lados opuestos, sin lograrlo.
8.3.2 Segunda parte.
Intento de una construcción.
Se les enseña a los estudiantes a construir un ángulo de amplitud fija (utilizando la
herramienta correspondiente). Luego se les pide que construyan un cuadrilátero que tenga un
ángulo de 60° y otro de 100°, y que lo acomoden para que sea un paralelogramo.
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63
Es posible que los estudiantes construyan primero dos ángulos independientes de
amplitud fija y luego traten de unirlos, pero no es posible. El profesor debe recomendarles que
construyan un primer ángulo, y utilicen un lado de ese ángulo para construir el segundo. Si lo
considera necesario el profesor podrá sugerirles que oculten las semirrectas producidas por la
herramienta y tracen los segmentos que conforman el cuadrilátero.
Figura: 22 Construcción con ángulo de Amplitud fija
Cuando los estudiantes hayan construido los dos ángulos de 60° y 100°, solo les queda
construir un segmento para formar un cuadrilátero, y arrastrar los vértices para tratar de ajustarlo
para que tenga forma de paralelogramo. Se espera que digan que no es posible y que justifiquen
que pueden lograr que dos lados sean paralelos, pero los otros dos no quedan paralelos. Los
estudiantes pueden utilizar los hechos geométricos tratados con anterioridad, para validar su
construcción.
Si un cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos entonces es paralelogramo.
Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus lados puestos tienen igual medida
El profesor les pregunta a los estudiantes que cambiarían para lograr que la figura sea un
paralelogramo. Si los estudiantes no proponen ninguna estrategia el profesor puede sugerir
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64
cambiar la medida de 100° por 119°. La finalidad de esta propuesta es eliminar la duda de que la
imposibilidad de armar un paralelogramo con dos ángulos de medidas diferentes se deba a las
medidas empleadas.
Los estudiantes podrán hacer una construcción nueva o modificar el valor del ángulo.
Posibles estrategias que los estudiantes podrían proponer, o que el profesor puede sugerir
para decidir si es posible construir un paralelogramo con esas medidas:
Trazar las rectas que contienen los lados del cuadrilátero, para observar si se cortan o
no, y acomodar la figura para que los lados opuestos parezcan paralelos. Se espera que
los estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de rectas, pierden el
paralelismo de las otras dos.
Trazar una recta paralela a un lado por uno de los vértices del lado opuesto y
acomodar el otro vértice para que quede sobre la paralela. Se espera que los
estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de lados, pierden el
paralelismo de los otros dos.
Mostrar las medidas de los lados: si es un paralelogramo, los lados opuestos deben ser
iguales, en caso contrario no es un paralelogramo.
Utilizando estas estrategias de verificación los estudiantes deberían concluir que hay dos
lados que no son paralelos y que no es posible construir un paralelogramo con esas medidas.
El profesor entonces propone modificar nuevamente el ángulo, para hacerlo aún más
cercano a 120° (por ejemplo, 119,9°). En este caso, será más difícil constatar de manera visual
que las rectas no son paralelas, y los estudiantes afirmarán que sí es posible construir un
paralelogramo con esas medidas. Entonces el profesor les pregunta si pueden construir un
paralelogramo con un ángulo de 60° y otro de 119,9° „que resista el arrastre‟.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
65
Posibles construcciones que pueden realizar los estudiantes
a. Construir dos ángulos consecutivos de 60° y 119,9° sobre la semirrecta del segundo
ángulo colocar un punto cualquiera y unirlo con un segmento al primer punto trazado.
Es posible que los alumnos coloquen visualmente el último punto en una posición
adecuada para que la figura parezca un paralelogramo. Sin embargo, al arrastrar los
vértices se perderá el paralelismo.
b. Construir dos ángulos consecutivos de 60° y 119,9°. Trazar una recta paralela al lado
común de los dos ángulos por el primer punto construido y construir la intersección de
esta recta con la semirrecta del segundo ángulo.
En esta figura hay dos lados paralelos por construcción. Para verificar el paralelismo de
los otros dos lados podrán utilizar el test o mostrar la medida de los lados, en ambos casos podrán
constatar que la figura no es un paralelogramo.
Figura: 23 Intento de construcción
Este proceso de proponer un número aún más cercano a 120°, hacer la construcción y
verificar para constatar que no se obtiene el paralelismo puede repetirse varias veces, hasta que
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66
los estudiantes se convenzan de que la única opción para obtener el paralelismo es que uno de los
ángulos mida 60° y el otro mida exactamente 120°.
Es probable que los estudiantes no tomen conciencia de que estos ángulos suman 180°. El
profesor debe proponer el mismo problema utilizando otras medidas de ángulos y solicitar a los
estudiantes construir una tabla donde puedan registrar los diferentes valores dados a las parejas
de ángulos (es importante que no solo se utilicen medidas enteras) y propiciar la búsqueda de un
patrón o regularidad (la suma de los ángulos consecutivos debe ser exactamente 180°) conclusión
que debe ser propuesta por los estudiantes y constituye un razonamiento inductivo.
El profesor debe entonces organizar una puesta en común en la que los estudiantes
expongan sus experimentaciones y sus conclusiones. Al terminar la puesta en común, el profesor
debe consignar en el tablero las conclusiones de los estudiantes, y proponer como resumen la
siguiente afirmación: “si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos
consecutivos deben sumar 180°”, o también “si un cuadrilátero tienen ángulos consecutivos
que no suman 180° entonces no es un paralelogramo”.
8.3.3 Tercera parte.
Uso del hecho geométrico
En esta actividad se busca que los estudiantes, mediante un razonamiento deductivo,
comprueben si una cuadrilátero es paralelogramo o no. Para esto el profesor prepara una figura
donde aparecen varios cuadriláteros, todos aparentemente paralelogramos, y les pide que
verifiquen si son paralelogramos o no. Dentro de los cuadriláteros propuestos por lo menos dos
de estos deben tener ángulos consecutivos cuya suma sea aproximadamente igual a 180° y que
soporten el arrastre, dos cuadriláteros deben tener ángulos consecutivos suplementarios y
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67
soportar el arrastre, y dos cuadriláteros cualesquiera que no soporten el arrastre. Es importante
para el desarrollo de la actividad que no esté disponible el test de paralelismo.
Figura: 24 Construcción para verificar
Se espera que inicialmente los estudiantes arrastren los vértices para detectar las
propiedades que se conservan y así descarten algunos de los cuadriláteros como paralelogramos.
Con los que quedan, se espera que utilicen una de las siguientes estrategias:
Trazar las rectas que contienen los lados para observar si se cortan
Trazar una recta paralela a un lado por un vértice del lado opuesto para observar si el
otro vértice está sobre la paralela.
Mostrar las medidas de los lados, para verificar si los lados opuestos miden lo mismo.
El profesor debe preguntar a los estudiantes si es posible utilizar la conclusión de la
actividad anterior para verificar si la figura es paralelogramo.
La estrategia esperada es mostrar las medidas de los ángulos consecutivos, para descartar
aquellos cuadriláteros cuyos ángulos consecutivos no son suplementarios.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
68
Finalmente, el profesor propone a los estudiantes una figura con 6 cuadriláteros diferentes
y afirma que estos 6 cuadriláteros son paralelogramos. En cada uno de ellos aparece la medida de
un ángulo, y les pide que digan (sin medir), cuál es la medida de los otros ángulos. Se espera que
los estudiantes predigan la medida de los ángulos consecutivos del que está medido y que
justifiquen su respuesta invocando el hecho geométrico estudiado. También deberán notar que los
ángulos opuestos deben ser iguales, y es posible que lo justifiquen diciendo que como es el
suplementario del suplementario, debe ser igual.
Figura: 25 Construcción para Anticipar
El profesor institucionaliza los hechos geométricos: “si un cuadrilátero es
paralelogramo, entonces sus ángulos consecutivos son suplementarios” y “si un cuadrilátero
es paralelogramo, entonces sus ángulos opuestos tienen la misma medida”.
8.4 Actividad 4
Hecho geométrico las diagonales de un paralelogramo se bisecan
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69
8.4.1 Primera parte.
Intento de construcción.
Se entrega a los estudiantes una figura con dos segmentos AB y CD, y se les pide que
construyan el polígono ACBD (utilizando la herramienta polígono y señalando los vértices en ese
orden).Debería aparecer un cuadrilátero cruzado en la pantalla.
Figura: 26 Segmentos propuestos
Se les pide que acomoden los segmentos AB y CD de manera que ese cuadrilátero
parezca un paralelogramo. (Es posible que algunos estudiantes no trabajen con el cuadrilátero que
se construyó, sino con el cuadrilátero ABDC; hay que mostrarles que el cuadrilátero que debe
parecer paralelogramo es el que aparece sombreado).
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
70
Figura: 27 Intento de construcción
Al principio no podrán hacer que el cuadrilátero parezca paralelogramo, pues al mover los
puntos o los segmentos, evitan que estos se crucen. Una vez que aceptan la posibilidad de que los
segmentos se crucen pueden comenzar a ajustar la figura para que parezca un paralelogramo.
Cuando los estudiantes tengan una imagen que parece un paralelogramo, el profesor les
pide que escriban un mensaje a una persona que no sabe que es un paralelogramo ni que son
rectas paralelas, dándoles instrucciones para que acomoden los segmentos AB y CD de manera
que el cuadrilátero ACBD parezca paralelogramo. En su mensaje los únicos segmentos que puede
nombrar son AB y CD.
Figura: 28 Construcción esperada
Es posible que algunos estudiantes trabajen con los segmentos o rectas AC y BD, tratando
de que sean paralelas. En ese caso, el mensaje invalidará esta estrategia, pues no pueden hablar de
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
71
esos segmentos. Se espera que los estudiantes digan que los segmentos AB y CD deben cortarse
en su punto medio, o que sus puntos medios deben coincidir.
Luego de una puesta en común donde se concluya esa estrategia como la ganadora, el
profesor les pide que en un archivo nuevo construyan el segmento AB y luego construyan el
segmento CD garantizando esa propiedad.
8.4.2 Segunda parte.
Uso del hecho geométrico.
Seguramente los estudiantes construirán el punto medio de AB utilizando la herramienta
correspondiente (punto medio).
Posibles estrategias erróneas que los estudiantes pueden sugerir:
a. Teniendo el segmento AB y su punto medio M, construir un segmento que
aparentemente pasa por M.
b. Construir una recta que pasa por M, y colocar a ojo los puntos C y D sobre esa recta, a
igual distancia de M.
Para cualquiera de estas estrategias las retroacciones del software permitirán a los
estudiantes invalidar las construcciones puesto que no soportan el arrastre.
Figura: 29 Intento de construcción
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72
Estrategia correcta:
Teniendo el segmento AB y su punto medio M, construir un punto C, la recta CM, el
círculo de centro M que pasa por C, y D la segunda intersección del círculo y la recta.
Figura: 30 Estrategias de Construcción
Cuando los estudiantes hayan hecho esa construcción, el profesor les pide que verifiquen
si es un paralelogramo (utilizando test de paralelismo, medida de los lados y medida de los
ángulos). Es posible que algunos estudiantes sugieran que las diagonales deben ser iguales, o ser
perpendiculares; el profesor debe prever estos casos y mostrar contra ejemplos de
paralelogramos que no cumplen esas condiciones.
Finalmente, deben escribir el procedimiento de construcción, y constatar que en ese
procedimiento no se utilizó la herramienta „recta paralela‟; sin embargo, los lados opuestos son
paralelos.
Se termina con la institucionalización del hecho geométrico: “si las diagonales de un
cuadrilátero se cortan en su punto medio, entonces es un paralelogramo”, o “si los puntos
medios de las diagonales de un cuadrilátero coinciden, entonces es un paralelogramo”, o “si
las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces es un paralelogramo”.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
73
9 Pilotaje
Se llevó a cabo con una pareja de estudiantes de grado séptimo de colegio Distrital CEDID
CIUDAD BOLIVAR, jornada mañana, de la localidad 19 del distrito capital. Esta
experimentación tuvo como propósito posibilitar un afinamiento de las actividades propuestas
para perfeccionar el diseño y el análisis a priori.
9.1 Actividad 1
9.1.1 Primera parte.
Definición de paralelogramo.
El comportamiento de los estudiantes fue el esperado en el análisis a priori: identificaron
la figura modelo como un rectángulo y construyeron un dibujo utilizando la herramienta
segmento.
Las experimentaciones de los estudiantes con las figuras y las retroacciones del Software
al arrastrar les permitieron concluir que la figura dada no es un rectángulo y que la figura que
ellos construyeron no se comporta de la misma manera.
Figura: 31 Validación por Arrastre
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
74
Los estudiantes no identificaron de manera espontánea el paralelismo de los lados
opuestos. El profesor intervino proponiendo la construcción de las rectas que contienen los lados,
esto les permitió caracterizar la figura modelo como una figura en la que esas rectas no se cortan.
Figura: 32 Validación mediante rectas que contienen los lados
Los estudiantes logran identificar el paralelismo como un invariante de la figura modelo
aunque no lo nombran de esa forma, por ejemplo dicen: “los lados están a la misma distancia, los
lados están en la misma dirección”. El profesor mediante puesta en común nombra la propiedad
como paralelismo.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
75
Figura: 33 Validación perceptual
El profesor interviene recordando la herramienta que garantiza la propiedad de
paralelismo de los lados y haciendo tomar conciencia de las retroacciones del software para
utilizar dicha herramienta.
Figura: 34 Uso de la herramienta recta paralela
Después de varios intentos los estudiantes logran realizar la construcción y verificar que
se comporta como la figura modelo
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
76
Figura: 35 Paralelogramo construido por estudiante
Se puede concluir que aunque inicialmente los estudiantes reconocieron el invariante en la
figura modelo, esto no garantizo su comprensión inmediata, necesitaron experimentar hasta
lograr asociar la propiedad con la herramienta que la garantiza y utilizarla en la construcción de
una figura.
9.1.2 Segunda parte.
Descripción y socialización de la Construcción.
Los estudiantes aprendieron a mostrar la descripción de la construcción y compararon sus
descripciones con las propuestas por el software. Se mostró la necesidad de un lenguaje conciso
y preciso en geometría.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
77
Figura: 36 Descripción construcción propuesta por el software
Se propuso a los estudiantes algunas descripciones y se les pide realizar las
construcciones descritas. Se evidenció un nivel de lectura de la descripción suficiente como para
realizar las construcciones propuestas y se les pidió anticipar si correspondían a paralelogramos o
no. De las descripciones dadas anticiparon correctamente una, cuando se le pidió que justificara
porque consideraban que la descripción era un paralelogramo sus explicaciones fueron
insuficientes. Esto puso en evidencia lo complejo que representa para los estudiantes la
realización del proceso de justificación a partir de la descripción.
Figura: 37 Descripción construcción propuesta como actividad
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78
9.2 Actividad 2
Hecho geométrico „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos
miden lo mismo‟.
9.2.1 Primera parte.
Trabajo de ajuste sobre un dibujo
Los estudiantes construyen el cuadrilátero y lo acomodan para que parezca paralelogramo
e intentan que tenga lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. El profesor interviene para indicarles cómo
mostrar la medida de los lados.
Figura: 38 Construcción propuesta por el estudiante
Realizan varios intentos de acomodar la medida de los lados, logran que un lado tenga 3
cm y otro 4 cm pero no consiguen acomodar el tercero para que tenga exactamente 5 cm.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
79
Figura: 39 Intento de Acomodación
Al pregunta si la figura es paralelogramo responden: si porque sus lados no se cruzan. Sin
embargo al cuestionar nuevamente si están seguros sugieren que deben mover la figura, entonces
el profesor pregunta: qué pasa si se mueve, a lo que responden que la figura se desconfigura,
nuevamente se les pregunta si tienen otra forma para verificar si es paralelogramo, después de
reflexionar, responden que con las rectas, refiriéndose a la estrategia de las rectas paralelas.
Construyen las rectas que contienen dos lados opuestos, y validan perceptualmente que no es un
paralelogramo porque sus lados se cruzan.
Figura: 40 Estrategia de verificación
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
80
Al preguntar qué cambiarían a la figura para lograr que sea paralelogramo responden que
la medida de uno de sus lados (lado adyacente a la intercepción de las rectas), tratando que sea
igual al opuesto Sin embargo, notan que pierden la medida de los otros.
Intentan la construcción cambiando en varias oportunidades la medida de uno de los lados
haciéndolo más cercano al lado opuesto sin embargo al verificar comprueban que los lados se
siguen cruzando.
Figura: 41 Validación perceptual
Las retroacciones del software permiten que los estudiantes invaliden sus estrategias de
construcción posibilitándoles anticipar perceptualmente que los lados se cruzan concluyendo la
imposibilidad de la tarea.
9.2.2 Segunda parte.
Intento de una Construcción
Para garantizar la exactitud de las medidas en la figura se propone a los estudiantes el uso
de la herramienta círculo de radio fijo. Con anterioridad los estudiantes han conjeturado que la
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
81
medida de los lados opuestos debe ser igual, por lo que proponen cambiar la medida de un lado
(el lado de 5 cm) y hacerla aproximadamente igual al opuesto hasta llegar a 3,01 cm.
Figura: 42 Uso de herramienta circulo de radio fijo
Los estudiantes acomodan la figura para que parezca paralelogramo y aunque trazan las rectas
y hacen zoom, la construcción no soporta el arrastre
Figura: 43 Validación por Arrastre
El profesor interviene sugiriendo la estrategia de garantizar que un lado sea paralelo por
construcción. Los estudiantes retoman la idea, realizan la construcción logrando que la figura
soporte el arrastre y parezca paralelogramo
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
82
Figura: 44 Aproximación a paralelogramo
Esta estrategia de cambiar la medida de uno de los lados, para hacerla más
aproximadamente igual a su lado opuesto, debilito la estrategia de validación perceptual,
surgiendo la necesidad de realizar zoom hasta que no fue posible invalidar la construcción
mediante las retroacciones del software conocidas por los estudiantes.
En este punto fue necesaria la intervención del profesor proponiendo el uso de la
herramienta test retomando el paralelismo como propiedad que se debe cumplir.
Fue importante retomar la conjetura de los estudiantes de que los lados opuestos deberían
tener igual medida y mostrar la medida de los lados con mayor precisión.
Figura: 45 Validación con herramienta test
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
83
Finalmente mediante la herramienta test los estudiantes pueden validar sus
construcciones y concluir que para que la figura sea paralelogramo los lados opuestos deben ser
exactamente iguales.
9.2.3 Tercera parte.
Uso del hecho geométrico.
En esta actividad se propuso un archivo con 6 figuras, las cuales los estudiantes validaron
perceptualmente nombrando las que consideraban paralelogramos y las que no, seguidamente se
les posibilitó usar el software y aplicar estrategias de validación para para corroborar sus
afirmaciones. Los estudiantes implementaron el arrastre, trazaron las rectas de lados opuestos.
Fue necesario la intervención del profesor sugiriendo que podían utilizar lo que se había
trabajado en las actividades anteriores incluido mostrar la medida de los lados que era la
estrategia esperada
En un segundo archivo se entregó a los estudiantes 6 figuras con la medida de dos lados
consecutivos en cada una afirmando que eran paralelogramos y que debían anticipar la medida de
los otros lados, los estudiantes realizaron la actividad sin ninguna dificultad invocando el hecho:
los lados opuestos deben tener la misma medida y diciendo la medida de los lados faltantes,
después verificaron en el software.
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Figura: 46 Verificación medida y anticipación de propiedades
Estas actividades propiciaron como era su objetivo procesos de verificación de
propiedades y anticipación de medidas, mostrando la posibilidad de que los estudiantes realicen
procesos deductivos mediante la aplicación de las reglas teóricas producidas.
9.3 Actividad 3
Hechos geométricos „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos
opuestos miden lo mismo‟ y „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos
consecutivos son suplementarios
9.3.1 Primera parte.
Trabajo de ajuste sobre un dibujo.
Los estudiantes realizan la construcción acomodándola para que parezca paralelogramo e
implementan el uso de la herramienta ángulo realizan varios intentos para ajustar la figura.
El profesor interviene preguntando cuáles estrategias tienen para verificar que la figura es
paralelogramo, sugieren que con las rectas paralelas y con la medida de sus lados.
Para validar muestran la medida de los lados, después trazan una paralela a uno de sus
lados y hacen zoom concluyendo que la figura no puede ser paralelogramo.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
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Figura: 47 Verificación de propiedades
Al preguntar qué cambiarían a la figura para que fuera paralelogramo los estudiantes
propusieron que cambiar un ángulo de posición pero descartan esta posibilidad porque ya lo
había intentado con anterioridad.
9.3.2 Segunda parte
Intento de una construcción
Para garantizar exactitud en la medida de los ángulos se les enseña el uso de la
herramienta ángulo de amplitud fija
Después de varios intentos de ajuste sugieren modificar la medida de uno de los ángulos,
acomodan la figura en este caso ya parece paralelogramo; para verificar trazan las rectas que
contienen dos lados opuestos, realizan zoom y no pueden invalidar perceptualmente por lo que
acuden a la herramienta test. Aunque logran que dos lados sean paralelos no pasa lo mismo con
los otros dos por lo tanto invalidan la construcción.
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Figura: 48 Verificación de paralelismo
Como nueva estrategia sugieren la construcción de los otros dos ángulos, en este caso
propusieron medidas de 140° y 40° realizan la construcción y muestran la medida de sus lados.
Figura: 49 Estrategia de construcción con ángulos
Al arrastrar la figura constatan que la medida de los lados se mantiene por lo tanto
validan la construcción invocando que los lados opuestos tienen igual medida por lo tanto la
figura es un paralelogramo.
Sin embargo en esta construcción, los estudiantes no toman en cuenta la relación entre los
ángulos adyacentes o los ángulos opuestos. Fue necesario la intervención del profesor llamando
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87
su atención de por qué con los ángulos de 40° y 140° si fue posible la construcción y con los
demás no. Para esto se les pide realizar la construcción con nuevos ángulos suplementarios y que
registren en una tabla estas medidas y miren si pueden encontrar alguna relación entre ellos
Figura: 50 Conjetura ángulos opuestos
Después de realizar varias construcciones y mostrar los ángulos interiores conjeturan que
los ángulos opuestos deben ser iguales hecho que constatan en otras construcciones.
El profesor les sugiere considerar si también existe alguna relación entre los ángulos
adyacentes, para ello les pide intentar construcciones con nuevas medidas tratando de establecer
alguna relación entre los ángulos adyacentes medidas. Las devoluciones del profesor pidiéndoles
observaran en varias de las construcciones los ángulos adyacentes permiten que los estudiantes
afirmen: la suma de los ángulos consecutivos da 180°.
Para reafirmar el hecho el profesor les propone revisar una construcción anterior donde no
ocurre este hecho y cambiar la medida de un ángulo consecutivo para que la figura sea
paralelogramo, los estudiantes logran anticipar la medida del ángulo y concluyendo que la suma
de los ángulos debe ser exactamente 180°. Como estrategia de validación en esta actividad usaron
el hecho geométrico de la igualdad de los lados opuestos.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
88
Figura: 51 Revisión construcción ángulos opuestos
9.3.3 Tercera parte.
Uso del hecho geométrico.
Inicialmente se propuso a los estudiantes un archivo con seis construcciones y se pidió
que validaran perceptualmente si cada figura era paralelogramo o no. Después se les pidió
verificar sus conclusiones con ayuda del software. Se les sugirió utilizar todos los conocimientos
construidos con anterioridad.
Mediante arrastre invalidaron algunos cuadriláteros, para otros miden los ángulos y
aplican el criterio de la igualdad de los ángulos opuestos y verifican que la figura soporte el
arrastre, también para validar otras figuras aplican el criterio de igualdad de los lados opuestos.
Figura: 52 Verificación medida ángulos
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89
En estas actividades los estudiantes aplicaron distintas estrategias de verificación de
forma simultánea involucrando reglas producidas con anterioridad sin limitarse al uso de una
estrategia en particular.
Posteriormente en un otro archivo se planteó seis figuras afirmando que son
paralelogramos e indicando en cada construcción la medida de uno de sus ángulos y se solcito a
los estudiantes anticipar la medida del ángulo consecutivo; después se permitió que verificaran
sus conclusiones mediante el uso del software.
Figura: 53 Anticipación medida ángulos interiores
Mediante cálculos en papel los estudiantes consiguieron anticipar los ángulos
correctamente y gracias a las retroacciones del software constaron la validez de sus
anticipaciones.
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
90
9.4 Actividad 4
Hecho geométrico las diagonales de un paralelogramo se bisecan
9.4.1 Primera parte.
Intento de construcción.
En la actividad los estudiantes realizan la construcción del polígono ABDC con la
herramienta segmento. El profesor interviene aclarando que ese no es polígono pedido.
Después de varios intentos no logran realizar la construcción propuesta, no aceptan que
los segmentos se crucen. El profesor sugiere usar la herramienta polígono. Los estudiantes
realizan la construcción, pero no es claro para ellos cuál es el polígono. El profesor les sugiere
revisar el nombre del polígono pedido, al constatar cómo se nombra la figura advierten cual es
éste. Luego se pidió a los estudiantes acomodar la figura para que parezca paralelogramo
Figura: 54 Construcción Polígono
Al pedir a los estudiantes escribir un mensaje a una persona que no sabe qué es un
paralelogramo ni qué son rectas paralelas, dándoles instrucciones para que acomoden los
segmentos AB y CD de manera que el cuadrilátero ACBD parezca paralelogramo. Sus
producciones se limitaron a describir el proceso seguido por ellos, nombrando los lados del
polígono lo cual no estaba permitido.
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El profesor interviene pidiendo a los estudiantes que digan qué sucede con los segmentos
AC y BD, los estudiantes manifiestan que los segmentos se deben de cruzar. Se retomó el
ejercicio de descripción de la construcción, pero esta vez uno de los estudiantes ejecutó las
instrucciones dadas por su compañero señalando que los segmentos se cruzan en su mitad.
Figura: 55 Conjetura punto medio
El profesor propone a los estudiantes constatar su conjetura realizando una construcción
pero esta vez mostrando que los segmentos AB y CD se cruzan en la mitad, se enseña el uso de la
herramienta punto medio, los estudiantes ajustan la construcción para que los puntos medios de
los segmentos coincidan, después verifican que los lados opuestos tengan igual medida pero la
figura no resiste el arrastre.
Figura: 56 Aproximación punto medio
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
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9.4.2 Segunda parte.
Uso del Hecho geométrico.
Los estudiantes intentan una construcción para constatar su conjetura y que además
soporte el arrastre, trazan el segmento AB y hallan su punto medio M, luego trazan el segmento
CD de manera perceptual por M pero al arrastrar no soporta el arrastre.
Figura: 57 Intento construcción exacta
El profesor sugiere la búsqueda de una estrategia que garantice que el segmento CD pase
por M y que los extremos CD estén a igual distancia de M. Los estudiantes construyen una
circunferencia con centro M que pasa por C después trazan la recta CM y ubican D en la
intercepción de la circunferencia con la recta.
Figura: 58 Construcción exacta punto medio
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Los estudiantes realizan la construcción y verifican que soporte el arrastre.
Figura: 59 Verificación construcción diagonales
El profesor les pregunta si la figura es un paralelogramo, entonces los estudiantes
muestran la medida de los lados y arrastran. Luego afirman que como los lados opuestos tienen
igual medida y soporta el arrastre la figura es un paralelogramo.
Figura: 60 Verificación paralelogramo
Fue necesario que el profesor aclarara a los estudiantes que los segmentos AB y CD
corresponden a las diagonales del paralelogramo. Por último se institucionalizó el hecho
geométrico en un paralelogramo las diagonales se bisecan
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10 Conclusiones
Desde el punto de vista epistemológico se pudo evidenciar que la razón de ser de la
estructura axiomático-deductiva de la geometría, propuesta por Euclides en Los Elementos es la
respuesta a dos grandes interrogantes ¿Cómo hacer una construcción exacta?, ¿Cómo justificar
que una construcción es exacta? justificando de esta manera los conocimientos teóricos como
necesarios para realizar construcciones exactas.
Así mismo la revisión del origen de los conceptos geométricos puso en evidencia su
naturaleza experimental, justificando de esta forma el diseño de actividades de experimentación
para la exploración de invariantes en las figuras geométricas. En efecto, si bien Los Elementos
de Euclides constituyen un modelo de organización axiomático-deductiva, no deben constituir el
punto de partida de la enseñanza. Por el contrario, es necesario reconstruir las condiciones y los
procesos que condujeron a su formulación.
El problema epistemológico de la enseñanza de la geometría no radica tanto en lograr que
los estudiantes reproduzcan la estructura axiomática-deductiva de los conocimientos teóricos,
sino más bien en generar en los estudiantes la necesidad de esos conocimientos teóricos y esa
estructura.
El SGD permite distinguir de manera experimental una construcción exacta de una
construcción aproximada posibilitando la organización del proceso de enseñanza como una
secuencia en la que se negocia la diferencia entre una construcción exacta y una construcción
aproximada, asociar construcción exacta a propiedades, asociar propiedades a herramientas de
construcción y finalmente asociar propiedades a reglas teóricas generales
Así mismo, el SGD posibilita en los estudiantes el desarrollo de procesos de inducción
mediante la experimentación con figuras dinámicas, permitiendo el reconocimiento de
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
95
invariantes, la producción de reglas teóricas generales, las cuales fueron usadas en procesos
deductivos como la verificación, anticipación y justificación.
Se evidencia la necesidad de desplazar el énfasis en la estructura formal del razonamiento
deductivo mediante la utilización de reglas teóricas fruto de la imposición del profesor hacia la
necesidad de predecir y explicar fenómenos geométricos consecuencia lógica de un proceso de
experimentación, descubrimiento de invariantes y procesos de generalización mediante un
razonamiento inductivo.
La experimentación con figuras dinámicas posibilita una forma de tratar las dificultades
que encuentran los estudiantes cuando reciben una enseñanza basada en definiciones formales y
prácticas rutinarias facilitando el desplazamiento del énfasis en lo formal mediante la
experimentación, la exploración de propiedades invariantes, la generalización de propiedades y
la formulación de reglas teóricas resultado de procesos de inducción.
Es necesario que el profesor centre la atención, no en un discurso teórico correcto, sino
en las formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes expresan cuando explican
con su lenguaje o acciones la solución de un problema. En efecto, la comprensión adecuada de
las acciones de los estudiantes cuando utilizan una estrategia, por parte del profesor, garantiza la
posibilidad de una devolución apropiada que permita a los estudiantes la construcción de la
estrategia de solución.
La actividad experimental con SGD permite un nuevo rol para el profesor, ya que
posibilita mediante las potencialidades y restricciones del software su intervención en el proceso
de validación de las estrategias de los estudiantes, reforzándolo y evitando interrumpirlo.
El uso de la TSD como referente teórico para el diseño de las actividades permitió
identificar el rol del software en el proceso de aprendizaje. En efecto, se muestra cómo las
acciones y retroacciones que ofrece el SGD posibilitan al estudiante experimentar sus estrategias
SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO
96
para ponerlas a prueba, invalidar las estrategias no matemáticas y validar las estrategias
matemáticas. Así mismo, la importancia del software se evidencia en los actos de devolución del
profesor, ya que le permite proponer a los estudiantes acciones de verificación de las estrategias
empleadas en la resolución de problemas sin la necesidad de emitir un juicio de valor.
La descripción propuesta en el análisis a priori muestra un control de las posibles
acciones de los estudiantes y de las retroacciones del medio, haciendo evidentes las posibilidades
que tienen los estudiantes de invalidar todas las estrategias de solución basadas en la percepción y
de validar todas las estrategias basadas en propiedades geométricas.
Con el diseño de las situaciones se consiguió fusionar la exploración de propiedades
invariantes con el arrastre exploratorio, esto permite dar cuenta experimentalmente de lo
oportuno de las retroacciones del software en la construcción del conocimiento geométrico,
promoviendo en los estudiantes un aprendizaje por adaptación.
Las actividades están basadas en la experimentación, buscan generar en los estudiantes
procesos de reflexión conducentes a conclusiones sobre la solución a los problemas propuestos
gracias a la validación o invalidación de las retroacciones del Software.
El diseño muestra que es posible llevar a cabo experimentos que permitan a los
estudiantes explorar las propiedades invariantes de los paralelogramos y mediante un
razonamiento inductivo producir reglas teóricas generales, las cuales constituyen conocimientos
teóricos que son la base para determinar si una construcción es exacta o no. Las actividades de
verificación y anticipación conducen a los estudiantes a utilizar esas reglas teóricas en
razonamientos de tipo deductivo.
Se evidencia la necesidad de espacios de discusión o puestas en común donde los
estudiantes puedan unificar los diferentes puntos de vista, posibilitando al profesor la
institucionalización del saber a enseñar.
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97
La gestión del profesor se realiza de manera indirecta por medio de las restricciones y
potencialidades del software, originando actos de devolución que permiten que los estudiantes
tomen conciencia de las opciones de validación de sus estrategias en la resolución de problemas.
Así mismo, se encontró que las actividades de justificación propuestas resultaron muy
complejas para los estudiantes, por lo tanto se deben realizar mayores esfuerzos de análisis para
el diseño de esta clase de actividades.
Frente a las potencialidades del presente trabajo es posible su extensión a otros
cuadriláteros como el rectángulo, cuadrado y rombo, esta secuencia posibilitaría la justificación
de afirmaciones: todo cuadrado es un rectángulo, y todo rectángulo es un paralelogramo.
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11 Reflexiones
Este trabajo contribuyó a transformar mi concepción acerca del uso de la tecnología en la
enseñanza y aprendizaje de la geometría, pasando de una concepción ingenua al considerarla
como un elemento motivador, para asumirla de una manera más racional como medio que
posibilita un mejor aprendizaje.
El diseño de actividades desde un marco teórico como la TSD, me permitió reconocer
otras formas de aprendizaje en los estudiantes que van más allá de las que se imponen por la
autoridad del profesor o la imitación de rutinas; propiciando la reflexión sobre mis prácticas de
enseñanza e impulsándome a restaurar el papel protagónico de los estudiantes en su aprendizaje.
El concebir la geometría como ciencia de las construcciones dentro un contexto
experimental, me permitió una transformación a nivel epistemológico y didáctico al tener la
posibilidad de promover el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo de los
estudiantes, permitiendo la exploración de propiedades mediante experimentos, reconocimiento
de invariantes, formulación de reglas teóricas las cuales son utilizadas en procesos deductivos.
La búsqueda de recursos didácticos que viabilizaran una mejor enseñanza me permitió
reconocer en la tecnología el potencial del software en el proceso de aprendizaje de los
estudiantes, especialmente por ofrecer la posibilidad de realizar acciones y devolver retroacciones
que pueden ser validadas por el estudiante promoviendo un aprendizaje por adaptación.
Con este trabajo se quiere contribuir a la reflexión sobre el uso de la tecnología en las
matemáticas, y a la vez ser un modelo de referencia para los demás profesores que comparten el
interés por el uso de la tecnología de forma racional en sus prácticas.
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