Primer examen previo de Matemáticas II/ Segundo Parcial 22 de septiembre de 2015
1. Estime los límites: (4.5 puntos)
a¿ limx→∞
x tan( 1x ) b¿ lim
x→∞(1+x )1/ x c ¿ lim
x→1+¿( 2
x2−1−
1x−1 )¿
¿
2. Determine el polinomio de Taylor para f ( x )=√x+2 , n=3 y c=2. (2 puntos)3. Dada la función f ( x )=ex. (3.5 puntos)
a) Determine los primeros cuatro términos de la serie de Maclaurin de f (x)b) Use la serie como base para predecir la serie de g ( x )=e− x
2
−1c) Evalúe g (0.5 ) a partir de la serie y estime el porcentaje de error
d) Integre ∫0
1
g ( x )dx
SOLUCIÓNReactivo 1
a¿ limx→∞
x tan( 1x ) , indet .(∞ .0)
limx→∞
tan( 1x )
1/ x,indet .( 0
0 )aplicar L ' Hopital limx→∞−x−2 sec( 1
x )−x−2
limx→∞
sec( 1x )=1
b¿ limx→∞
(1+x )1/ x , indet .(∞0)
lny=limx→∞
1x
ln (1+x ) , indet .(∞∞ )aplicar L' Hopital ,lny=limx→∞
11+x
1
lny=limx→∞
11+x
=0 , lny=0 , y=e0=1 , limx→∞
(1+x )1/ x=1
c ¿ limx→1+¿( 2
x2−1−
1x−1 ), indet .(∞−∞ )¿
¿
limx→1+¿( 2
x2−1−
1x−1 )= lim
x→1+¿ 2− ( x+1 )x2−1
¿ limx→1+¿ 2−x−1
x2−1= limx→ 1+¿ 1−x
x2−1,indet.( 0/0)¿
¿¿
¿¿¿
¿
aplicar L'Hopital limx→1+¿ 1− x
x2−1= limx→ 1+¿−1
2 x=−1
2¿
¿ ¿
¿
Reactivo 2f ( x )=√x+2 , n=3 y c=2
f ( x )=√x+2 , f ' ( x )=12( x+2)−1 /2 , f ' ' ( x )=−1
4(x+2)−3/2 , f IV ( x )=3
8(x+2)−5 /2 ,
f (2 )=2 , f ' (2)= 14, f ' ' ( 2)= 1
32, f IV (2 )= 3
256
√ x+2=2+ 14
( x−2 )+ 132
(x−2)2!
+ 3256
(x−2)3 !
Reactivo 3
a) f ( x )=1+x+ x2
2!+ x
3
3 !
b) g ( x )=−x2+ x4
2 !− x6
3 !c) g (0.5 )=−0.221199216, g (0.5 ) serie=−0.221354166, %error=-0.07
d) ∫0
1
g ( x )dx=−935
=−0.2571
Primer examen previo de Matemáticas II/ Segundo Parcial 22 de septiembre de 2015
1. Estime los límites: (4.5 puntos)
a¿ limx→∞
x sen ( 1x ) b¿ lim
x→0(1+ x )1 / x
c ¿ limx→2 ( 1
x−2−
4
x2−4 )2. Determine el polinomio de Taylor para f ( x )= 2
x+1, n=3 yc=1. (2 puntos)
3. Dada la función f ( x )=cos x. (3.5 puntos)a) Determine los primeros tres términos de la serie de Maclaurin de f (x)b) Use la serie como base para predecir la serie de g ( x )=√ xcos xc) Evalúe g (0.5 ) a partir de la serie y estime el porcentaje de error
d) Integre ∫0
π /2
g ( x )dx
SOLUCIÓNReactivo 1
a¿ limx→∞
x sen ( 1x ), indet .(∞ .0)
limx→∞
sen ( 1x )
1 /x, indet .( 0
0 )aplicar L' Hopital limx→∞−x−2 cos( 1
x )−x−2
limx→∞
cos ( 1x )=1
b¿ limx→0
(1+ x )1 / x ,indet .(1∞)
lny=limx→0
1x
ln (1+x ) ,indet .( 00 )aplicar L'Hopital ,lny=lim
x→0
11+ x
1
lny=limx→ 0
11+x
=1, lny=1 , y=e1, limx→0
(1+ x )1 / x=e
c ¿ limx→2 ( 1
x−2−
4
x2−4 )❑ , indet .(∞−∞)
limx→2 ( 1
x−2− 4x2−4 )=
limx→2
x+2−4
x2−4=
limx→2
x−2
x2−4, indet .(0 /0)
aplicar L'Hopitallimx→2
1
2 x=1
4
Reactivo 2
f ( x )= 2x+1
, n=3 yc=1
f ( x )= 2x+1
, f ' ( x )=−2(x+1)−2 , f ' ' ( x )=4 (x+1)−3 , f IV ( x )=−12(x+1)−5 ,
f (1 )=1 , f ' (1)=−12, f ' ' (1 )=1
2, f IV (1 )=−3
82x+1
=1−12
(x−1 )+ 12
(x−1)2 !
+ 38
(x−1)3!
Reactivo 3
a) f ( x )=1− x2
2 !+ x
4
4 !
b) g ( x )=√ x− x52
2!+x9 /2
4 !c) g (0.5 )=0.62054458, g (0.5 ) serie=0.620559857, %error=-0.0024617
a) ∫0
π /2
g ( x )dx=0.7093
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