Trigonometría
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1. Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx
Solución :
En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:
Cscx = ; Secx =
Tanx= ; Cotx=
En el problema :
Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :
Tan2 =
. Cosx . = tanx
Reduciendo :
= tanx tanx = tanx
2. Simplifica :
L = tanx . cos2x - cotx . sen2x
Solución :
Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así :
L = tanx . cos2x – cotx . sen2x
L =
Reduciendo : L = senx . cosx – cosx . senx
L = 0
3. Reduce:
L = (secx - cosx) (cscx – senx)
Solución :Pasando a senos y cosenos:
L =
operando :
L = ;
pero : 1- cos2x = sen2x
1- sen2x = cos2x
reemplazando :
L = L = senx.cosx
4. Simplifica :
L =
Solución :
Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así :
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Trigonometría
L =
Operando y ordenando :
L =
Reduciendo :
L = L =
L = 1
5. Reduce :
L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)
Solución :Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo :
L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)
operando :
L = sec2x – secx . tanx + secx + tanx . secx
– tan2x + tanx – secx + tanx – 1
2tanx
reduciendo :
L = sec2x - tan2x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1 1
L = 2tanx
6. Reduce :
L =
Solución :
En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema, tenemos :
L = - cos x ; nota que :
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
En la expresión :
L =
L =
Pero : sen2x + cos2x = 1
Luego :
L = - cosx
Note :
sen2x-cos2x = (senx + cosx)(senx-cosx)
L =
Reduciendo .
L = senx + cosx – cosx
L = senx
7. Simplifique:
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Trigonometría
A) 2 B) -2 C)
D) 1 E) -1
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
8. Simplifique:
A) 1 B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN 1
“1”
RPTA.: B
9. Simplifique:
A) 2 sen b B) 2 cos b C) tg b D) sec b E) ctg b
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
10. Indique el equivalente de la expresión:
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
11. Simplifique:
A) B)
C) D) E) 1
RESOLUCIÓN
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Trigonometría
RPTA.: C
12. Reducir:
A) B)
C) D) E) sen 180º
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
13. Si:
Calcule:
A) B)
C) D)
E)
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado:
RPTA.: D
14. Calcule:
Si:
A) B)
C) D)
E)
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
15. Reduce:
A) B)
C) D) E) 1
RESOLUCIÓN
1
RPTA.: C
16. Si:
Halle:
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Trigonometría A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN
……………..…..
E=
RPTA.: C
17. Reduce:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
RPTA.: A18. Halle el valor de “A” si:
A) B)
C) D)
E) 1
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
19. Si:
Entonces “sen x” es:
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓNDonde:
RPTA.: B
20. Simplifique:
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
21. Calcule “n” para que la siguiente igualdad sea una identidad.
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Trigonometría A) tg x B) ctg x C) sen x D) cos x E) sec x
RESOLUCIÓNEl primer miembro:
RPTA.: A
22. Si:
Halle:
A) 1 B) C)
D) 2 E)
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
23. Indique el equivalente de :
A)
B)
C)
D)
E) 1
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
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Trigonometría 24. Si:
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓNPiden: tg x =?
Dato:
RPTA.: B
25. Si: halle:
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUCIÒNPiden:
Dato:
“1”
x -3 x -1
RPTA.: E
26. Si: .
Halle:
A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) -2
RESOLUCIÓN
*
RPTA.: C
27. Si: y son las “raíces”
de la ecuación:
; luego se cumple la
relación:
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUCIÓN
Se observa:
i) …..(I)
ii) ..(II)
:
RPTA.: A
28. Si:
Calcule:
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Trigonometría A) B)
C) D)
E)
RESOLUCIÓN
*
ctg x = sec x
RPTA.: D
29. Simplifique:
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x D)2-cov x E) 2 + cov x
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
30. Simplifique:
A) B)
C) 1- sen x D) 1 + sen x
E)
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
31. Eliminar “x” si:
A) B)
C) D)
E)
RESOLUCIÓN
………(*)
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Trigonometría
…………….…(*)(*)
(*) + (*) (*)
RPTA.: D
32. Si:
Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
RESOLUCIÓN
A = 1 B = 6A + B =7
RPTA.: C
33. Reducir:
……………
A) B) C)
D) E) 1
RESOLUCIÓN
……………
“H”
RPTA.: B
34. Si:
Calcule:
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
35. Si:
Halle:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
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Trigonometría RPTA.: A
36. Si:
Calcule el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUCIÓN
Reemplazando
RPTA.: A
37. Simplifica :
L =
Solución :En la expresión; desarrollando cada término del numerador :
L =
L =
Simplificando:
L =
L = 2Sen60°=2
L =
38. Determina el valor de :
L =
Solución :
Recuerda que :Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+)
Luego; si : =3x =2x
Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)= Sen5x
En la expresión :
L =
L = L=1
39. Calcula el valor de “Sen75°”
Solución :En este caso, descomponemos “75°” como la suma de dos ángulos conocidos, por ejemplo :
Sen75° = Sen(45°+30°)
desarrollando :
Sen75° = Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45°
Reemplazando valores notables:
Sen75°=
Sen75° =
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Trigonometría Sugerencia, no olvides el siguiente triángulo :
40. Reduce :
L =
Solución :
Vamos a desarrollar los términos conocidos; así :
L =
L =
Reduciendo :
L = L = Tanx
41. Calcula el valor de “Cos8°”
Solución :Descomponemos 8° usando dos ángulos conocidos :
8° = 45° - 37°Esto es : Cos8° = Cos(45°-37°)
Cos8° = Cos45°.Cos37°+Sen45°.Sen37°
Reemplazando valores conocidos :
Cos8° =
Cos8° =
como sugerencia; no olvides este triángulo :
42. Simplifica : L = - Tan
Solución :
En estos casos; lo ideal es desarrollar la fórmula :
L = - Tan
Luego, la fracción desdoblar en homogéneas así :
L = -Tan
Reduciendo :
L = - Tan
L = Tan + Tan - Tan
L = Tan
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15°
4
26
26
75°
8°
5
7
82°
1
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