UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Clave-101-1-V-1-00-2015
CURSO MatemáticaBásica 1
SEMESTRE Primero
CÓDIGO DEL CURSO 101
TIPO DE EXAMEN Primer Examen Parcial
FECHA DE EXAMEN 18 De Febrero De 2015
NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN
Javier López
NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISO EL EXAMEN
Ing. Mario de León
Universidad de San Carlos de Guatemala Jornada matutina Facultad de Ingeniería Matemática Básica 1 Departamento de Matemática Temario F Guatemala 18 de febrero de 2015
Primer examen parcial Tema 1 (25 puntos) Determinar el valor del área sombreada:
Tema 2 (30 puntos) Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)
�� 32� � 2 � 12� 1 �� 2� 4 � 6 �� � 3� 6� �� √5� � 6 � √3� 7 1
Tema 3 (25 puntos) Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva: La diagonal de un rectángulo
es � centímetros mayor que su altura y
� centímetros mayor que su base. Determinar las
dimensiones del rectángulo. Tema 4 (20 puntos) Un vitral se va a construir con vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 6 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para diseñar el vitral, como se observa en la figura.
SOLUCIÓN DE EXAMEN
Tema 1 (25 puntos) Determinar el valor del área sombreada:
Determinar la altura del triángulo.
Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantesdeterminar ��
�4 � 4√38
� � 4 ∗ 4√38
� � 16 ∗ √38
� � �√�
�4 � 48
� � 4 ∗ 48
� � 4 ∗ 48
Determinar el valor del área sombreada:
� !� "#$� !�%� � �& �& � �� �
' � �(8� � (4�
' � √64 � 16
' � √48
' � √16 ∗ 3
' � 4√3 ) 6.93
Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantes
, � �
Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantes para
Paso 3. Con las dimensiones encontradas en el paso anterior encontrar ��
�� � � !� %! - .�/012# � 12 ∗ � ∗ ' � 12 ∗ � ∗ �
�� � 12 ∗ � ∗ �
�� � 12 ∗ (2� ∗ (2√3�
�� � 12 ∗ (2� ∗ (2√3�
�� � 2√3
Paso 4. Encontrar � restando el área del sector circular al triangulo.
� !� %! - .�/012# � 12 ∗ � ∗ '
� !� %! - .�/012# � 12 ∗ 4 ∗ 4√3
� !� %! - .�/012# � 12 ∗ 4 ∗ 4√3
3456 75 8496:;<=> � ?√�
� !� %!2 &!�-# �. �12� � 12 ∗ ∗ @
El Angulo"@"se obtiene, el triángulo cumple con los ángulos30° � 60° � 90°, donde la hipotenusa tiene una longitud 2, siendo ésta 8 unidades, la base 2/2, siendo 4 unidades, y la hipotenusa es √E 2, siendo 4√3.
� !� %!2 &!�-# �. �12� � @360 (F ∗ �
� !� %!2 &!�-# �. �12� � 60360 (F ∗ 4 �
� !� %!2 &!�-# �. �12� � 16 (F ∗ 16�
3456 75= G5H8>4 H94H<=64 � ?� I
3� � 3456 75 8496:;<=> � 3456 75= G5H8>4 H94H<=64
3� � ?√� � ?� I
�& � �� �
3G � �√� J?√� � ?� IK ) ?. LM�
Tema 2 (30 puntos) Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)
�� 32� � 2 � 12� 1 �� 2� 4 � 6 �� � 3� 6� �� √5� � 6 � √3� 7 1
6� ��, � � � N�, N
32� � 2 � 12� 1 � 0
3(2� 1�(2� � 2�(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0
3(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0
3(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0
6� 3 � 2� 2(2� 1�(2� � 2� � 0
4� 5(2� 1�(2� � 2� � 0
Encontrando los puntos críticos del Numerador
4� 5 � 0
, � � OM
Encontrando los puntos críticos del denominador
2� 1 � 0
, � � N�
2� � 2 � 0
, � N
Reescribiendo los posibles intervalos de la solución
(�∞Q, Q� 54S , T� 54Q , Q� 12K , J� 12 , 1K , (1, ∞�
Factor/Intervalo (�∞Q, Q� 54S T� 54Q , Q� 12K, J� 12 , 1K (1, ∞�
4� 5 - + + + 2� 1 - - + + 2� � 2 - - - + Signo - + - +
La solución de la desigualdad se encuentra en los intervalos
T� OMQ , Q� N�K U(N, ∞�
V� �W� M � X �W� � �W XW
2� 4 � 6 �� � 3� 6�
� 2 � 3 �� � 3� 3�
� � 3� 2 � 3 �� � 3�
(� � 3� 2� � Y3 �� � 3�Z
�[�6�E 13� � 12� 4 � 9 (� � 3��
�[�6�E 13� � 12� 4 � 9� � 27�
�[�6�E 13� � 12� 4 � 9� 27� � 0
�[�6�E 4� 15� 4 � 0
\] � 41 � ±1, ±2, ±4±1 � ±1, ±2, ±4
Utilizando división sintética para obtener las raíces del polinomio
1 -6 4 15 4
1 1 -5 -1 14
1 -5 -1 14 18
1 no es solución
1 -6 4 15 4
-1 -1 7 -11 -4
1 -7 11 4 0
-1 es solución
Reescribiendo el polinomio
�E � 7� 11� 4 � 0
1 -7 11 4
4 4 -12 -4
1 -3 -1 0
4 es solución
Reescribiendo el polinomio
� � 3� � 1 � 0
Se utiliza la formula cuadrática para determinar las raíces restantes
�E,[ � �(�3� ± �(�3� � 4(1�(�1�2(1� � 3 ± √132
,N � �N
,� � M
,� � �_√N�� )3.30278
,M � �`√N�� )-0.302776
H� √O, � X � √�, a N √5� � 6 � √3� 7 1 √5� � 6 � √3� 7 � 1
(5� � 6� � 2√5� � 6 ∗ √3� 7 (3� 7� � 1 (5� � 6� � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� (3� 7� � 1 8� 1 � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 1
8� � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 0 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 8� �(5� � 6� ∗ (3� 7� � 4�
Y�(5� � 6� ∗ (3� 7�Z � 16�
(5� � 6�(3� 7� � 16�
15� 17� � 42 � 16�
� � 17� 42 � 0
(� � 3�(� � 14� � 0
,N � � ,� � NM Comprobación
√O ∗ NM � X � √� ∗ NM a N
? � ?
14 si cumple con la igualdad
√O ∗ � � X � √� ∗ � a N
� ≠ O
3no cumple con la igualdad
Tema 3 (25 puntos) Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva:
es � centímetros mayor que su altura y
dimensiones del rectángulo.
� �
�� � �(�28� �(�2� � �(�28� � �(�2
c �d �
Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva: La diagonal de un rectángulo
centímetros mayor que su altura y � centímetros mayor que su base. Determinar las
,� � J, � L�K� J, � O�K�
� � � 9� 814 � � 5� 254
� � 2� � 14� 81 254
� � 2� � 14� 532
0 � � � 14� 532
2� � 28� 53 � 0
, � �V ± √V� � M6H�6
� �28� � 4(2�(53�2(2� � 28 √3604 ) 11.743416� �28� � 4(2�(53�2(2� � 28 � √3604 ) 2.25658351
Dimensiones
� NN. aM�MNX � L� ) a. �M�MNX
� NN. aM�MNX � O� ) L. �M�MNX
La diagonal de un rectángulo
centímetros mayor que su base. Determinar las
743416
25658351
Tema 4 (20 puntos) Un vitral se va a construir con vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 3 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para diseñar el vitral, como se observa en la figura.
� �
vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 3 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para
l, como se observa en la figura.
� (2�� � 144
� 4� � 144
5� � 144
� � 1445
e1445 � √5√5 ∗ e1445 � 125 ∗ √5
Area Vidrio Rojo
3fghigj ijkj � N� � ∗ '
3fghigj ijkj � � ∗ lN� m12 ∗ √55 n ∗ m12 ∗ √55 no
3fghigj ijkj � J144 ∗ 525 K � NMMO
Area Vidrio Azul
3fghigj pqrs � N� � ∗ '
3fghigj ijkj � � ∗ lN� m12 ∗ √55 n ∗ m12 ∗ √55 no
3fghigj ijkj � J144 ∗ 525 K � NMMO
Area Vidrio Blanco
3fghigj tspuvj � I ∗ 4� � 3fghigj pqrs � 3fghigj ijkj
3fghigj tspuvj � I ∗ (X�� � NMMO � NMMO
3fghigj tspuvj � �XI � �??O
3fghigj tspuvj � OO. MLa��O
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