El solucionario Matemáticas 1, para 1.º ESO, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.
En su elaboración ha participado el siguiente equipo: Ana de la Cruz Fayos Ana María Gaztelu Villoria Augusto González García Silvia Marín García Federico Rodríguez Merinero
EDICIÓN Ana de la Cruz Fayos Silvia Marín García
EDITOR EJECUTIVO Carlos Pérez Saavedra
DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
MatemáticasSOLUCIONARIO
SERIE RESUELVE
ES
O
1
Presentación
El nombre de la serie, Saber Hacer Contigo, responde al planteamiento de presentar un
proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos y procedimientos
necesarios para que los alumnos y alumnas puedan desenvolverse en la vida real.
El saber matemático, dentro de esta etapa de la enseñanza, debe garantizar no solo
la interpretación y la descripción de la realidad, sino también la actuación sobre ella.
En este sentido, y considerando las Matemáticas a estos niveles como una materia
esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumnado.
Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento, sino que pueda entenderse
como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los distintos conceptos
y procedimientos que se presentan en el libro del alumnado.
Fracciones
102
4
a) d)
b) e)
c) f)
VIDA COTIDIANA
Para congelar el movimiento, debemos tener abierto el obturador 1/60 segundos o menos tiempo (es decir, que la velocidad sea mayor). En el caso de 1/30 segundos tenemos el obturador abierto más tiempo, con lo que la imagen estará movida.
RESUELVE EL RETO
No, porque para que sea el doble tenemos que multiplicar el numerador y denominador por 2, lo que la convertiría en una fracción equivalente.
Fracciones
102
Fracciones
132
4
COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana
a) FOTO I: 1/6, FOTO II: 1/30 FOTO III: 1/400.
b) Cada fracción es la mitad de la anterior, excepto para 1/8 y 1/15 y para 1/60 y 1/125.
Fracciones
132
Índice Unidad 1: Números naturales ........................................................................ 5-36
Unidad 2: Divisibilidad .................................................................................... 37-66
Unidad 3: Números enteros ....................................................................... 67-100
Unidad 4: Fracciones ................................................................................... 101-134
Unidad 5: Números decimales ................................................................. 135-158
Unidad 6: Álgebra ........................................................................................ 159-198
Unidad 7: Sistema Métrico Decimal ..................................................... 199-224
Unidad 8: Proporcionalidad y porcentajes ........................................ 225-256
Unidad 9: Rectas y ángulos ..................................................................... 257-294
Unidad 10: Polígonos. Triángulos .......................................................... 295-330
Unidad 11: Cuadriláteros y circunferencia ......................................... 331-362
Unidad 12: Perímetros y áreas ............................................................... 363-402
Unidad 13: Funciones y gráficas ........................................................... 403-436
Unidad 14: Estadística y probabilidad ................................................ 437-466
SABER MÁS ..................................................................................................... 467-470
Números naturales
5
1
VIDA COTIDIANA
Se trata de los números diferentes que pueden formarse con 6 cifras, es decir, puede haber 1 000 000 de líneas diferentes que empezarán por 925.
RESUELVE EL RETO
Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero, por esta razón la frase que dice Bart Simpson equivaldría a decir ¡DESAPARECE DE MI VISTA!, ¡NO QUIERO VERTE!, o cualquier otra similar.
MCXLIII = 1 143 = 1 · 1 000 + 1 · 100 + 4 · 10 + 3 = 1 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 3
El número más grande que se puede escribir con tres cifras es .
Se puede formar un cuadrado con 49 monedas colocándolas en 7 filas de 7 monedas cada una porque 49 = 72, pero no se puede formar un cuadrado con 42 monedas porque 42 no es un cuadrado perfecto.
9(99 )
5
Números naturales 1
Números naturales 1
ACTIVIDADES
a) 342 531 = 3 CM + 4 DM + 2 UM + 5 C + 3 D + 1 U
b) 7 100 203 = 7 U. de millón + 1 CM + 2 C + 3 U
c) 7 345 000 = 7 U. de millón + 3 CM + 4 DM + 5 UM
a) XXII = 22 c) DCLXIII = 663 e) XXIX = 29 g) CMX = 910
b) CXVI = 116 d) IV = 4 f) XCII = 92 h) XLIX = 49
Respuesta abierta. Por ejemplo: 94 167, 194 167, 294 167, 394 167 y 494 167.
a) XI c) LXXIV e) CXV g) CMLXXXVII
b) XXII d) XCIII f) DCXLVI h) MDCCCXCIX
a) 3 729 Truncamiento Redondeo Decenas: 3 720 Decenas: 3 729 2 + 1 = 3 → 3 730 Centenas: 3 700 Centenas: 3 729 7 + 0 = 7 → 3 700
b) 653 497 Truncamiento Redondeo Decenas: 653 490 Decenas: 653 497 9 + 1 = 10 → 653 500 Centenas: 653 400 Centenas: 653 497 4 + 1 = 5 → 653 500
c) 25 465 Truncamiento Redondeo Decenas: 25 460 Decenas: 25 465 6 + 1 = 7 → 25 470 Centenas: 25 400 Centenas: 25 465 4 + 1 = 5 → 25 500
d) 1 324 532 Truncamiento Redondeo Decenas: 1 324 530 Decenas: 1 324 532 3 + 0 = 3 → 1 324 530 Centenas: 1 324 500 Centenas: 1 324 532 5 + 0 = 5 → 1 324 500
9 > 5⎯ →⎯⎯2 < 5⎯ →⎯⎯
7 > 5⎯ →⎯⎯9 > 5⎯ →⎯⎯
5 ≥ 5⎯ →⎯⎯6 > 5⎯ →⎯⎯
2 < 5⎯ →⎯⎯3 < 5⎯ →⎯⎯
6
Números naturales
Números naturales 1
a) 3 256 → 3 200
Es un truncamiento a las centenas; si fuese redondeo, como 5 ³ 5, sería 3 300.
b) 497 → 500 Es un redondeo, que bien puede ser a las decenas, y como 7 > 5, al sumar a 9 + 1, tenemos 10 y se redondearía a 500. O bien es un redondeo a las centenas, y como 9 > 5, sumamos 4 + 1 y obtenemos 500.
c) 18 462 → 18 000 Puede ser truncamiento o redondeo a las unidades de millar, porque en este caso, como 4 < 5, el truncamiento y el redondeo darían el mismo resultado.
d) 986 492 → 986 500 Es un redondeo a las centenas; como 9 > 5, se hace 4 + 1 y se obtiene 986 500.
a) 25 555, 25 556, 25 557, 25 558, 25 559, 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564
b) 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564, 25 565, 25 566, 25 567, 25 568, 25 569
El redondeo es igual o mejor que la aproximación por truncamiento.
a) 14 + 35 = 35 + 14 b) 7 · (4 · 5) = (7 · 4) · 5
Propiedad conmutativa de la suma. Propiedad asociativa de la multiplicación.
Dividendo = Divisor · Cociente + Resto
Dividendo = 14 · 23 + 2 = 322 + 2 = 324
a) 34 = 17 · 2 + 0 → d = 2
b) 89 = 22 · 4 + 1 → d = 4
c) 102 = 20 · 5 + 2 → d = 5
7
1
Números naturales 1
a) Cuatro al cubo = 43 c) Dos a la octava = 28 Base: 4 Exponente: 3 Base: 2 Exponente: 8
b) Tres a la sexta = 36 d) Seis a la quinta = 65 Base: 3 Exponente: 6 Base: 6 Exponente: 5
a) 16 b) 27 c) 625 d) 49 e) 256 f) 1 024
a) 103 = 1 000 b) 65 = 7 776
a) 74 b) 52 · 4 c) 114 d) 5 · 3 · 5 · 3 = (5 · 3)2 = 152 e) 42 f) 92
a) 103 = 1 000 b) 108 = 100 000 000
a) 7 854 = 7 · 1 000 + 8 · 100 + 5 · 10 + 4 = 7 · 103 + 8 · 102 + 5 · 10 + 4
b) 11 111 = 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1 = 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 10 + 1
c) 123 456 = 100 000 + 2 · 10 000 + 3 · 1 000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 = 1 · 105 + 2 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 10 + 6
a) 104 + 7 · 103 - 4 · 102 + 8 · 102 + 2 = 10 000 + 7 000 - 400 + 800 + 2 = 17 402 17 402 = 104 + 7 · 103 + 4 · 102 + 2
La descomposición no es correcta, ya que no pueden aparecer términos negativos ni repetir potencias de 10 del mismo orden.
8
Números naturales
Números naturales 1
b) 105 + 6 · 103 + 5 · 102 + 9 · 102 + 2 · 105 = 100 000 + 6 000 + 500 + 900 + 200 000 = 307 400 307 400 = 3 · 105 + 7 · 103 + 4 · 102
La descomposición no es correcta, ya que no se pueden repetir potencias de 10 del mismo orden.
a) (2 · 5)4 = 104 = 10 000 b) (2 + 5 + 3)3 = 103 = 1 000
a) 27 · 24 = 27 + 4 = 211 = 2 048 d) 56 : 5 = 56 - 1 = 55 = 3 125
b) 35 : 32 = 35 - 2 = 33 = 27 e) 46 · 44 = 46 + 4 = 410 = 1 048 576
c) 104 · 10 = 104 + 1 = 105 = 100 000 f) 73 : 7 = 73 - 1 = 72 = 49
36 estuches = 62 estuches, y en cada estuche hay 6 bolígrafos. Luego habrá en total 62 · 6 = 63 = 216 bolígrafos.
a) 83 · 84 = 87 b) 86 : 85 = 8
a) c) e)
b) d) f)
(22 )3 = 22·3 = 26 (53 )3 = 53·3 = 59 (92 )4 = 92·4 = 98
(34 )5 = 34⋅5 = 320 (76 )4 = 76·4 = 724 (1010 )5 = 1010·5 = 1050
9
1
Números naturales 1
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
a) b) c)
a) d)
b) e)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
a) c)
b) d)
(8 ⋅5)2 ⋅(8 ⋅5)7 = (8 ⋅5)9 = 409 (9 : 2)6 ⋅(9 : 2)3 = (9 : 2)9 = 92
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟9
(5 ⋅3)8 : (5 ⋅3)4 = (5 ⋅3)4 = 154 (15 : 4)9 : (15 : 4)6 = (15 : 4)3 = 154
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟3
185 : 35 = 65 36 ⋅56 = 156 53 ⋅43 = 203 162 : 42 = 42
24( )3 ⋅ 33( )2 = 22( )6 ⋅36 = 126 34 ⋅94 : 274 = 1 1253 : 253 ⋅53 = 56
85 : 45 = (8 : 4)5 = 25 214 ⋅24 = (21⋅2)4 = 424
74 ⋅73 = 74+3 = 77 183 : 36 = 2 ⋅32( )3 : 36 = 23 ⋅36 : 36 = 23
146 ⋅23 = 26 ⋅76 ⋅23 = 29 ⋅76 = (23 )3 ⋅(72 )3 = (23 ⋅72 )3 = 3923 12311 :1235 = 1236
82 : 22 = (23 )2 : 22 = 26 : 22 = 24 43 ⋅73 = 283
95 : 35 = (32 )5 : 35 = 310 : 35 = 35 122 : 42 = (3 ⋅4)2 : 42 = (32 ⋅42 ) : 42 = 32
74 ⋅54 = 354 156 ⋅26 = (15 ⋅2)6 = 306
108 : 58 = (2 ⋅5)8 : 58 = (28 ⋅58 ) : 58 = 28 57 ⋅77 = (5 ⋅7)7 = 357
(45 ⋅43 ) ⋅(44 ⋅42 ) = 4(5+3)+(4+2) = 414 (78 : 72 ) ⋅(74 : 73 ) = 7(8−2)+(4−3) = 77
(52 ⋅54 ) : (53 ⋅5) = 5(2+4)−(3+1) = 52 (39 : 3) : (35 : 33 ) = 3(9−1)−(5−3) = 36
10
Números naturales
Números naturales 1
a) d)
b) e)
c) f)
a) Base → Exponente → 5
b) Base → 3 Exponente → 13
c) Base → 7 Exponente → 8
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
a) b) c)
De 225: porque
(23 )4 ⋅25 = 2(3⋅4)+5 = 217 (64 )5 : (610 )0 = (64 )5 : 60 = (64 )5 :1= 620
35 ⋅(32 )4 = 35+(2⋅4) = 313 48 : (43 )2 = 48 : 46 = 48−6 = 42
(74 )2 ⋅(73 )4 = 7(4·2)+(3·4) = 720 (35 )2 : (32 )4 = 310 : 38 = 310−8 = 32
(35 )3 : (63 ⋅62 ) = 315 : (65 ) = 315 : (2 ⋅3)5 = 310
25 = 32
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5
= 92
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟5
92
(35 : 32 ) ⋅34 ⋅(33 )2 = 33 ⋅34 ⋅36 = 313
(74 )3 : (7 ⋅73 ) = 712 : 74 = 712−4 = 78
32 ⋅(18 : 6)4 = 32 ⋅34 = 32+4 = 36 = 729 (83 : 23 ) ⋅(24 ⋅2) : 25 = 43 ⋅25 : 25 = 43 = 64
(14 : 7)4 : (18 : 9)3 = 24 : 23 = 24−3 = 2 (33 ⋅32 ) : (184 : 64 ) = 35 : (18 :6)4 = 35 : 34 = 3
121=11 144 =12 10000 = 100 14400 = 120
a = 52 + 7 = 32 a = 72 + 3 = 52 a = 82 + 5 = 69
225 = 15, 152 = 225.
11
1
Números naturales 1
Mide cm.
No existe ningún cuadrado perfecto que acabe en 2, 3 o 7, porque siempre que se multiplica un número por sí mismo, para saber en qué número acaba solo se tiene que multiplicar la última cifra por sí misma, y no hay ningún número de 1 cifra que al multiplicarlo por sí mismo acabe en 2, 3 o 7.
Como 62 = 36 y 72 = 49, todos los números que estén entre ambos, con el 36 incluido, tendrán por raíz entera el 6. Es decir, lo cumplen 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48.
a) c) e)
b) d) f)
a) c) e)
b) d) f)
a) y resto 8 c) y resto 6 e) y resto 26
b) y resto 9 d) y resto 15
Se ha equivocado, porque lo ha descompuesto como 292 = 162 + 36, pero en realidad se descompone como 292 = 172 + 3, lo que implica que y resto 3.
196 = 14
125 = 112 + 4 243 = 152 +18 160 =122 +16
96 = 92 +15 72 = 82 + 8 355 = 182 + 31
85 = 92 + 4 93 = 92 +12 154 = 122 +10
77 = 82 +13 138 = 112 +17 2347 = 482 + 43
44 ≈ 6 70 ≈ 8 926 ≈ 30
90 ≈ 9 184 ≈13
292 ≈17
12
Números naturales
Números naturales 1
Todas las raíces tienen resto 3, salvo la de 173. Tenemos que 52 = 72 + 3, 124 = 112 + 3, 228 = 152 + 3, 403 = 202 + 3 y 199 = 142 + 3. Y que 173 = 132 + 4.
a) 64 = 82 → 8 monedas en el lado del cuadrado.
b) 121 = 112 → 11 monedas en el lado del cuadrado.
c) 144 = 122 → 12 monedas en el lado del cuadrado.
d) 324 = 182 → 18 monedas en el lado del cuadrado.
La raíz de 100 es 10 y la de 121 es 11, de modo que:
a) 108 = 102 + 8 b) 110 = 102 + 10 c) 112 = 102 + 12 d) 115 = 102 + 15
En este caso, el mayor resto puede ser 20, en el número 120, porque ya el siguiente es 121 = 112, con resto 0.
Tienen como raíz entera 5 todos los números comprendidos entre 25 y 35, ambos incluidos. Tienen como raíz entera 6 todos los números comprendidos entre 36 y 48, ambos incluidos. Tienen como raíz entera 7 todos los números comprendidos entre 49 y 63, ambos incluidos.
a) 3 + 35 = 38 d) 96 - 50 = 46
b) 7 + 48 - 19 = 55 - 19 = 36 e) 63 + 4 + 2 = 67 + 2 = 69
c) 35 - 8 - 15 = 27 - 15 = 12 f) 26 + 3 - 20 = 29 - 20 = 9
13
1
Números naturales 1
a) 17 + 1 · 3 = 20 e) 28 - 12 + 18 - 2 = 16 + 16 = 32
b) (22 - 15) · 2 = 7 · 2 = 14 f) 4 · 4 + 2 · 10 = 16 + 20 = 36
c) 24 · 5 - 4 = 120 - 4 = 116 g) 3 · 6 : 9 + 2 = 2 + 2 = 4
d) 14 : 7 + 5 = 2 + 5 = 7
a) 3 · 10 + 12 · 7 = 30 + 84 = 114
b) 7 · 13 - 2 · 6 + 4 = 91 - 12 + 4 = 83
c) 66 : 6 + 7 · 3 - 6 = 11 + 21 - 6 = 26
d) 7 · 7 : 7 + 7 · 3 = 49 : 7 + 21 = 7 + 21 = 28
e) 8 · (28 - 2 · 4) : (22 + 25 - 31) = 8 · (28 - 8) : 16 = 8 · 20 : 16 = 160 : 16 = 10
f) [200 - 3 · (3 - 3)] - 6 + 37 - 5 = [200 - 3 · 0] - 6 + 37 - 5 = 200 - 6 + 37 - 5 = 226
3 · 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 = 12 - 2 + 2 - 4 - 8 = 10 + 2 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 8 - 8 = 0
3 · (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 = 3 · 2 + 12 : 2 - 8 = 6 + 6 - 8 = 12 - 8 = 4
No se obtiene el mismo resultado porque cambia el orden de realización de las operaciones al haber paréntesis, influyendo en el resultado final.
14
Números naturales
Números naturales 1
a) 36 - 24 = 12 d) 8 - 4 · 2 = 8 - 8 = 0
b) 5 · 10 - 27 = 50 - 27 = 23 e) 13 + 3 · 9 = 13 + 27 = 40
c) 25 : 25 + 18 = 1 + 18 = 19 f) 25 · 4 = 100
a) 6 · 8 + 3 : 3 = 48 + 1 = 49 c) (64 - 13 ) : 17 = 51 : 17 = 3
b) 2 · 2 + 8 = 4 + 8 = 12 d) 4 + 5 : 5 = 4 + 1 = 5
a) 8 · 12 : 4 - 2 = 24 - 2 = 22
b) 8 · 12 : 2 = 48
c) 8 · 3 - 2 = 22
d) 8 · 1 = 8
Se obtienen resultados distintos porque al añadir o eliminar paréntesis se modifica el orden de las operaciones, y, por tanto, cambia el resultado de la operación, como se ha comprobado al efectuar los cálculos de los distintos apartados.
(5 + 4) · 9 + 3 · 2 = 9 · 9 + 3 · 2 = 81 + 6 = 87
Los errores en el enunciado son que en el paso (5 + 4) · 9 + 3 · 2 se ha efectuado la suma 9 + 3, cuando es prioritaria la multiplicación 3 · 2, y otro error es que se aplica la propiedad distributiva de la suma cuando no hay suma.
15
1
NOTAS
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