ContenidoSucesiones Geometricas
Objetivos
Sucesiones Geometricas
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
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Objetivos
Tabla de Contenido
Objetivos
1 Sucesiones GeometricasDefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geometricas
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Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
definicion de sucesion o progresion geometrica
sumas parciales de sucesiones geometricas
series geometricas
ejercicios y aplicaciones
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Objetivos
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Discutiremos:
definicion de sucesion o progresion geometrica
sumas parciales de sucesiones geometricas
series geometricas
ejercicios y aplicaciones
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Objetivos
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Discutiremos:
definicion de sucesion o progresion geometrica
sumas parciales de sucesiones geometricas
series geometricas
ejercicios y aplicaciones
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Objetivos
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Discutiremos:
definicion de sucesion o progresion geometrica
sumas parciales de sucesiones geometricas
series geometricas
ejercicios y aplicaciones
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sucesiones Geometricas
Sucesion Geometricas:
Definicion: Una sucesion o progresion geometrica es unasucesion de la forma
a1, a1r, a1r2, a1r
3, a1r4, ..., r 6= 0
El numero a1 es el primer termino y r es la razon comun orazon constante de la sucesion. El n-esimo terminoesta dado por
an = a1rn−1
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sucesiones Geometricas
Sucesion Geometricas:
Definicion: Una sucesion o progresion geometrica es unasucesion de la forma
a1, a1r, a1r2, a1r
3, a1r4, ..., r 6= 0
El numero a1 es el primer termino y r es la razon comun orazon constante de la sucesion. El n-esimo terminoesta dado por
an = a1rn−1
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Sucesiones Geometricas
Ejemplos:
1 Si a1 = 3 y 2 = 2, entonces se tiene la sucesion aritmetica
3, 3× 2, 3× 4, 3× 8, ..., o bien,3, 6, 12, 24, ...
La razon entre cualquiera dos terminos de esta sucesion esr = 2. El n-esimo termino es an = 3× 2n−1.
2 Considere la sucesion geometrica
8, 4, 2 , 1 , 12 ,14 ,....
En este caso la razon comun es r = 12 . El n-esimo termino
es an = 8× (12)n−1.
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Sucesiones Geometricas
Ejercicios:
1 Determine el decimo termino de la progresion geometrica4,8,16,... .
2 En una progresion geometrica a6 = 1458 y r = 3.Determine a1 y a4.
3 ¿Que termino de la sucesion geometrica 2, 6, 18, ... es118098?
4 El tercer termino de una sucesion geometrica es 10 y elsexto es 80. Determine su razon comun.
5 En una progresion geometrica a1, a2, a3, ..., an, ... se tiene:
a1 + a2 + a3 = 7a4 + a5 + a6 = 56
Determine a1 + a4 .
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciale de Sucesiones Geometricas
Si queremos sumar los primeros n terminos de una sucesiongeometrica escribimos la suma Sn y despues multiplicamos porla razon comun.
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ... + a1rn−2 + a1r
n−1.
rSn = a1r + a1r2 + a1r
3 + a1r4 + ... + a1r
n−1 + a1rn.
Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn.Sn − rSn = a1 − a1r
n
Sn(1− r) = a1(1− rn)Por lo tanto
Sn = a1(1−rn)1−r , siempre que r 6= 1
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciale de Sucesiones Geometricas
Si queremos sumar los primeros n terminos de una sucesiongeometrica escribimos la suma Sn y despues multiplicamos porla razon comun.
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ... + a1rn−2 + a1r
n−1.
rSn = a1r + a1r2 + a1r
3 + a1r4 + ... + a1r
n−1 + a1rn.
Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn.Sn − rSn = a1 − a1r
n
Sn(1− r) = a1(1− rn)Por lo tanto
Sn = a1(1−rn)1−r , siempre que r 6= 1
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciale de Sucesiones Geometricas
Si queremos sumar los primeros n terminos de una sucesiongeometrica escribimos la suma Sn y despues multiplicamos porla razon comun.
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ... + a1rn−2 + a1r
n−1.
rSn = a1r + a1r2 + a1r
3 + a1r4 + ... + a1r
n−1 + a1rn.
Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn.Sn − rSn = a1 − a1r
n
Sn(1− r) = a1(1− rn)
Por lo tanto
Sn = a1(1−rn)1−r , siempre que r 6= 1
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciale de Sucesiones Geometricas
Si queremos sumar los primeros n terminos de una sucesiongeometrica escribimos la suma Sn y despues multiplicamos porla razon comun.
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ... + a1rn−2 + a1r
n−1.
rSn = a1r + a1r2 + a1r
3 + a1r4 + ... + a1r
n−1 + a1rn.
Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn.Sn − rSn = a1 − a1r
n
Sn(1− r) = a1(1− rn)Por lo tanto
Sn = a1(1−rn)1−r , siempre que r 6= 1
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciales de Sucesiones Geometricas
Sumas Parciales de una Sucesion Geometrica (r 6= 1):
En el caso de la sucesion geometrica an = a1rn−1 esta dada por:
Sn = a1(1−rn)1−r , r 6= 1
Notas:
1 La formula anterior tambien se puede expresar de la forma
Sn = a1(rn−1)r−1
2 Si r = 1, entonces Sn = na1.
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciales de Sucesiones Geometricas
Sumas Parciales de una Sucesion Geometrica (r 6= 1):
En el caso de la sucesion geometrica an = a1rn−1 esta dada por:
Sn = a1(1−rn)1−r , r 6= 1
Notas:
1 La formula anterior tambien se puede expresar de la forma
Sn = a1(rn−1)r−1
2 Si r = 1, entonces Sn = na1.
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sumas Parciales de Sucesiones Geometricas
Sumas Parciales de una Sucesion Geometrica (r 6= 1):
En el caso de la sucesion geometrica an = a1rn−1 esta dada por:
Sn = a1(1−rn)1−r , r 6= 1
Notas:
1 La formula anterior tambien se puede expresar de la forma
Sn = a1(rn−1)r−1
2 Si r = 1, entonces Sn = na1.
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Sucesiones Geometricas
Ejercicios Sumas Parciales:
1 Calcule la suma de los seis primeros terminos de unaprogresion geometrica en la que a1 = 4 y r = 3.
2 Calcule la suma∑10
i=0 3(12)k.
3 Se hace un deposito de $50 el primer dıa de cada mes enuna cuenta de ahorros que paga 6 % de interes compuestomensualmente. ¿Cual es el monto al termino de 2 anos?(Nota: Este tipo de plan de ahorros se denominaanualidad creciente.)
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Series Geometricas
Definicion: La suma de los terminos de una sucesiongeometrica infinita se denomina serie geometrica infinita o,simplemente, serie geometrica.
Nota: La formula para la n− esima suma parcial, Sn de unasucesion geometrica finita, dependiento del valor de r, se puedegeneralizar para obtener una formula para la suma S de unaserie geometrica infinita. Especıficamente, si la razon comun rtiene la propiedad |r| < 1 se puede demostrar que rn tiende acero si n aumenta sin lımite. Como consecuencia,
a1(1−rn1−r ) −→ a1(
1−01−r ), si n−→ +∞
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Series Geometricas
Suma de una Serie Geometrica infinita:
Si |r| < 1, la serie geometrica infinita
a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ...
tiene por suma
S =∑∞
i=0 a1ri = a1
1−r
Nota: Si |r| ≥ 1, la serie no tiene suma.
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DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas
Series Geometricas
Ejercicios: Determine cada suma:
1∑∞
n=0 4(0.6)n−1
2 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...
3 1− 12 + 1
4 −18 + . . .
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