8/16/2019 T_1-4_ Principios de Hidraulica - Ecuacion de Bernoulli (1)
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1.4: PRINCIPIOS DE HIDRÁULICA. PRINCIPIODE BERNOULLI.
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PRINCIPIO DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaración del principio de
la conservación de la energía, para el flujo de fluidos.
El Principio de conservación de la energía
(Primera Ley de la Termodinámica) indica
que la energía no se crea ni se destruye;
sólo se transforma de unas formas enotras. En estas transformaciones, la
energía total permanece constante; es
decir, la energía total es la misma antes
y después de cada transformación.
Ejemplo: Cuando la energía eléctrica se
transforma en energía calorífica en un
calefactor.
Sistema mecánico en el cual se conserva la energía, para
choque perfectamente elástico y en ausencia derozamiento.
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La primera ley de la termodinámica establece que el incremento de la energía del
sistema ( ΔE ), es igual a la diferencia de la cantidad suministrada de calor ( Q )menos el trabajo ( W ) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:
∆ =
+ · ʋ + ʋ · + + = En forma diferencial puede enunciarse así:
Donde:
u energía interna específica;
p presión;
ʋ volumen específico;
ec energía cinética específica, ൗ
(c: velocidad del fluido);
e p energía potencial específica, · (z: altura. g: gravedad);dQ calor absorbido (+) o cedido por el fluido (-) por kg;
dW trabajo realizado por el fluido (+) o absorbido (-) por kg.
Todos los términos vienen expresados en =
o en el múltiplo .
PRINCIPIO DE BERNOULLI
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ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO IDEAL
Si aplicamos la ecuación de la conservación de la
energía al análisis de un flujo de un fluido ideal enuna tubería, se tiene las siguientes consideraciones:
dW = 0 (el fluido no realiza ni absorbetrabajo).
d Q = 0 (aislamiento térmico).Según la termodinámica, cuando se trata del caso en el
que no existe rozamiento (fluido ideal) y que se
considere un proceso reversible, se dice que:
+ · ʋ= Pero como se tiene que dQ = 0, se determina que:
+ · ʋ =
+ · ʋ + ʋ · + + =
Se sabe que ʋ = , sustituyendo este término en la ecuación, y teniendo en cuenta la definición de energía
cinética y energía potencial, queda la ecuación de la conservación de la energía:
+
+ · =
ʋ · + + = 0Por tanto la ecuación de la conservación de la energía es:
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Integrando entre dos puntos (secciones) cualesquiera del tubo 1 y 2 tenemos:
+
+
· =
+
+
·
ൗ
Considerando la definición de peso específico: = · la ecuación de conservación de la energía sepuede representar de la siguiente forma:
+
· ρ ·
+ · =
+
· ρ ·
+ ·
ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO IDEAL
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Aplicando la Ley de la conservación de la Masa a la tubería se tiene que el flujo másico que entra
debe ser igual al flujo másico que sale:
ṁ = ṁ = ṁ → · · = · · /
· = · → ⩒ = ⩒= ⩒ /
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Para el caso en que la densidad permanezca constante = , entonces la expresión anteriorse convierte en la ecuación de continuidad para flujo incompresible:
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
Tubería
La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad nos dicen que sireducimos el área transversal de una tubería para que aumente la
velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
Chimenea
Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores
alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y
mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases decombustión se extraen mejor.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
Natación
La aplicación dentro de este deporte se ve reflejada directamente
cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menorpresión y mayor propulsión.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
El Aerógrafo
Las pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Se dispara aire a
gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubo sumergido en un depósito de
pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una zona de baja presión sobre el
tubo de suministro de pintura y, en consecuencia, sube un chorro que se fragmenta enpequeñas gotas en forma de fina niebla.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
Dispositivos de Venturi
En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan
dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.
Carburador de automóvil
En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del
carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolinafluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire (Efecto Venturi).
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EJERCICIO 1 DE BERNOULLI
Una corriente de agua de diámetro d=0,1m fluye
de manera estable por un depósito de diámetroD=1,0 m como se muestra en la figura. Determinar
el caudal o flujo, , necesario en el tubo de entrada
si la profundidad del agua permanece constante,
h=2,0 m.
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EJERCICIO 1 DE BERNOULLI
Una corriente de agua de diámetro d=0,1m fluye de manera estable por un
depósito de diámetro D=1,0 m como se muestra en la figura. Determinar elcaudal o flujo, , necesario en el tubo de entrada si la profundidad del agua
permanece constante, h=2,0 m.
ó ① ②:
⩒=⩒ → · = · → =
·
ó ① ②:
+
+ · =
+
+ · ; = =
+ · =
+ · → () · =
→ · · =
()
: = · ·
= , Τ
=
= , ; =
= ,
ሶ = · = , /
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EJERCICIO 2 DE BERNOULLI
En la figura, el fluido es agua y se
descarga libremente a la atmósfera.Para un flujo másico de 15 kg/s,
determine la presión en el
manómetro.
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EJERCICIO 2 DE BERNOULLI
En la figura, el fluido es agua y se descarga libremente
a la atmósfera. Para un flujo másico ṁ de 15 kg/s,determine la presión en el manómetro.
. ① ②:ṁ = ṁ = ṁ
ó ① ②:
+
+ · =
+
+ · ;
= = ; é .
=
+ () · · = ,
=
= , ; =
= ,
ṁ = ·⩒= · · → = ṁ ·
= ,
; = ṁ ·
= ,
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EJERCICIO 3 DE BERNOULLI
El tanque de un retrete tiene una sección
rectangular de dimensiones 30cm x 50cm yel nivel del agua está a una altura h = 30 cm
por encima de la válvula de desagüe, la cual
tiene un diámetro d 2 = 6 cm. Si al bajar la
palanca, se abre la válvula:
a) ¿Cuál será la velocidad inicial de desagüe
en función de la altura de agua remanente enel tanque?
b) ¿Cuál es el valor de la velocidad inicial de
desagüe? No desprecie la velocidad en la
superficie del tanque.
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EJERCICIO 3 DE BERNOULLI
El tanque de un retrete tiene una sección rectangular de dimensiones 30cm x
50cm y el nivel del agua está a una altura h = 30 cm por encima de la
válvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d 2 = 6 cm. Si al bajar la palanca,se abre la válvula:
a) ¿Cuál será la velocidad inicial de desagüe en función de la altura de agua
remanente en el tanque?
b) ¿Cuál es el valor de la velocidad inicial de desagüe? No desprecie la
velocidad en la superficie del tanque.
. ① ②:
⩒=⩒ → · = · → =
·
ó ① ②:
+
+ · =
+
+ · ; = =
+ · =
+ · → () · =
→ · · =
()
: = · ·
= , Τ
= , · , = , ; =
= ,
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EJERCICIO 4 DE BERNOULLI
Para vaciar una piscina de
poca profundidad se usauna manguera que mide 25
m de largo y 15 mm de
diámetro interior, como se
muestra en la figura. Si se
ignoran los efectos viscosos,
¿cuál es el caudal másicoque sale de la piscina?
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EJERCICIO 4 DE BERNOULLI
Para vaciar una piscina de
poca profundidad se usauna manguera que mide 25
m de largo y 15 mm de
diámetro interior, como se
muestra en la figura. Si se
ignoran los efectos viscosos,
¿cuál es el caudal másicoque sale de la piscina?
= ·
= ,
ó ① ②: +
+ · =
+
+ · ; = = ; = ;
⩒= · = , · −
. ① ②:⩒=⩒=⩒
= · · ( ) = , /
ṁ = ·⩒= , /
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EJERCICIO 5 DE BERNOULLI
Calcular el caudal que desagua la tubería de la
figura, y las presiones en los puntos 1, 2, 3 y 4. Laspérdidas por fricción son despreciables.
Sugerencias:
• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 5 para calcular c5 (8,404 m/s).
• Tener en cuenta que P0=P5=Patm=0 ya que se trabaja con presiones relativas.
• La velocidad en la superficie libre del depósito es muy pequeña por lo que se desprecia, c0=0.
•
Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 1 y 5 para calcular c1.• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 1 para calcular p1.
• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 1 y 2 para calcular c2.
• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 2 para calcular p2.
• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 2 y 3 para calcular c3.
• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 3 para calcular p3.
• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 3 y 4 para calcular c4.
• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 4 para calcular p4.
Rta:
= 0,0165 m3/s
p1 = 58423,82 Pa
p2 = -436,18 Pa p3 = -15151,18 Pa
p4 = 34879,8 Pa
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EJERCICIO 6 DE BERNOULLI
De la tubería que se muestra en la figura
sale agua sin efectos viscosos.a) Determinar la altura h que va desde
el suelo hasta la parte superior del
chorro de agua.
b) Determine la velocidad y la presión
en la sección 1.
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En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto dl
fluido con el contorno (tubería, canal etc.) como las partículas
entre sí. En la ecuación de la energía, además de las tres
clase de energía aparece la energía de fricción. La fricción
provoca una variación del estado térmico del fluido, por
tanto:
+
+ · → =
+
+ · ൗ
ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO REAL
≠
Se pretende trabajar con fluidos que se comportan como
incompresibles, por lo que:
· ʋ = ≠
La fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovechable, es por eso que se la considera como
energía perdida y r. La ecuación de Bernoulli quedaría:
O bien expresada en alturas equivalentes (dividiendo entre la gravedad):
·
+
· + → =
·
+
· + ()
Siendo: H r1 2 la altura perdida entre el punto 1 y punto 2. y r1 2 la energía perdida entre las secciones 1 y 2.
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Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le
suministran energía (bombas) experimenta un incremento de
energía que, expresada en forma de altura, la llamaremos -
∑ H b. Asimismo si la corriente atraviesa una o varias máquinasa las que cede energía (turbinas) experimentan un decremento
de energía, que, expresada en forma de altura, la
llamaremos ∑ H t.
ECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA
·
+
· + ∑→ =
·
+
· + ∑ + ∑ ()
Siendo: p1/ ρg , p2/ ρg alturas de presiónz1, z2 alturas geodésicas
/ ,
/ alturas de velocidad∑ H r1 2 suma de todas las pérdidas hidráulicas entre 1 y 2.
∑ H b suma de los incrementos de altura proporcionados por las bombas
instaladas entre 1 y 2.
∑ H t suma de los incrementos de altura proporcionados por las turbinasinstaladas entre 1 y 2.
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La ecuación de bernoulli puede representarse de la siguiente forma:
ECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA
+
+ · → =
+
+ · + (/)
= · ∑ ; = · ∑ ; (/)
Donde: w b
trabajo específico suministrado al sistema, bombas hidráulicas.
w t trabajo específico suministrado por el sistema, turbinas hidráulicas.
Ẇ = ṁ · ; Ẇ = ṁ · ()
La potencia mecánica de la bomba, Ẇ b y de la turbina, Ẇ t se determina por:
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EJERCICIO 7 DE BERNOULLI
De un gran depósito es
necesario mover agua haciaotro depósito a mayor
elevación, como se indica en la
figura. El caudal que se
bombea es de 0,08 m³/s poruna tubería que tiene un
diámetro interior de 20 cm.Determinar la potencia
necesaria en el eje de la
bomba hidráulica. Las pérdidas
por fricción son despreciables.
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EJERCICIO 7 DE BERNOULLI
De un gran depósito es necesario mover agua hacia otro
depósito a mayor elevación, como se indica en la figura. El
caudal que se bombea es de 0,08 m³/s por una tubería quetiene un diámetro interior de 20 cm. Determinar la potencia
necesaria en el eje de la bomba hidráulica. Las pérdidas por
fricción son despreciables.
=
= ,
ó ① ②:
+
+ · → =
+
+ · + ;
= = ; = = ; → = ; =
= · = , /
Ẇ = · ṁ = · ·⩒ = , ·
·,
=
. ① ②:
⩒=⩒=⩒ = , ൗ
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EJERCICIO 8 DE BERNOULLI
Calcular, despreciando las
pérdidas, la potencia quedesarrolla la turbina
hidráulica TH de la presa
que se muestra en la figura.
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EJERCICIO 9 DE BERNOULLI
El camión de bomberos de la figura
debe impulsar 0,05 m³ /s de aguahasta una altura de 30 metros por
encima del hidrante. La presión del
agua a la salida del hidrante es de
P1=150 kPa y el diámetro de salida
es de d=15 cm. Si las pérdidas por
fricción son despreciables,determine la potencia que la
bomba hidráulica del camión debe
suministrar al agua.
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EJERCICIO 10 DE BERNOULLI
A una turbina hidráulica se suministra 5,2 m3/s
de agua a 430 KPa a través de un tubo deentrada de 100 cm de diámetro interior como se
ilustra en la figura. El tubo de descarga de la
turbina mide 130 cm de diámetro interior. La
presión estática en la sección (2) es de -3,7 MPa.Si la turbina genera 1,95 MW , determinar la
razón de pérdida en energía disponible entre lassecciones (1) y (2).
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EJERCICIO 11 DE BERNOULLI
Se bombea agua desde un tanque con la ayuda de una bomba hidráulica como se muestra en la
figura. Las pérdidas del circuito se representan mediante la ecuación = ·
/(·) dondec está en m/s y H r está en metros; la altura manométrica de la bomba es = ·⩒,
donde ⩒ está en m³ /s, y H B está en metros . Determine el valor del caudal, ⩒.
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