Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de Matematica

Taller 4 (MAT024)

3er Semestre de 2014. Viernes 09 de Enero

Problema 1. Usar coordenadas cilndricas para representarK

(x2 + y2)dV, sabiendo que

1. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 2}2. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3}3. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3, x 0, y 0}

Problema 2. Sea D un solido delimitado por: x2 y2 = 1, x2 y2 = 5,xy = 1, xy = 4, x+y+3z = 2, x+y+3z = a, x > 0, con densidad (x, y, z) = g(x2y2),donde g(u) > 0, u. Ademas, considere un segundo solido E delimitado por:0 z g(x),x y 5x, 1 x 5, cuya densidad en cada punto es inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia al eje z. Determine bajo que condiciones delparametro a, el momento de inercia del solido D es mayor que el momento de inerciadel solido E, donde ambos momentos de inercia son calculados con respecto al eje z.

Problema 3. Usar coordenadas esfericas para representar la integralK

dVx2 + y2 + (z 4)2

sabiendo que

1. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 2}2. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3}

Problema 4. Calcular

T

x2 + y2

x2 + y2 + z2dxdydz donde T es el solido que esta

por debajo de la superficie x2 + y2 = z2, por encima de x2 + y2 = 3z2 y dentro dex2 + y2 + z2 = 4.

Problema 5. Sea S la region por arriba del plano XY y entre las esferas de radiosrespectivamente a y b centradas en el origen (0 < a < b). Calcular

S

z2x2 + y2 + z2

dV

Problema 6. Calcular

Q

xe(x2+y2+z2)2dV donde Q es el solido que esta entre las

esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 en el segundo octante (x 0, y 0, z 0). Problema 7. Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x2 + y2 = 2az,

y la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 (z > 0) si la densidad en cada punto es igual a la suma

de los cuadrados de sus coordenadas. Rpta:a5pi

5

(18

3 976

).

Ejercicios

Taller 4 (Mat024) 1