5/9/2018 Tarea 1: Conversión de señales analógicas en digitales. - slidepdf.com
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Misael Hernández; Ricardo AlejosFundamentos de Sistemas de Comunicación
1
TAREA 01
Conversión de señales analógicas en digitales
EJERCICIO 1
Enunciado
1. Calcule cuántos bits se requieren para
representar:
y
niveles de cuantificación.
2. Si la frecuencia de muestreo ,
calcule la tasa de bit () de un sistema con
y otro con niveles de
cuantificación.
3. ¿Qué conviene hacer, en general, cuando
la cantidad de bits que se obtiene con la
fórmula no es un entero?
Solución
Parte 1Para una señal con niveles de cuantificación
en bits se sigue la siguiente regla:
Siendo la función de redondeo
hacia arriba de un número con decimales . Demodo que para los casos expuestos en el
enunciado del ejercicio tendremos:
niveles decuantificación
bits necesarios pararepresentarlos
Parte 2Una frecuencia de muestreo nos indica
cuántas muestras se están tomando por
segundo de la señal en cuestión. Si cada
muestra está codificada con bits, entonces la
taza de bits por segundo a la que debe
transmitirse es . Para los casos
específicos a los que se hace referencia en el
enunciado:
(niveles decuantificación)
(bitsnecesariospararepresentarlos)
(taza deenvío de bitsen )
Parte 3Se tiene que hacer un redondeo hacia arriba
como se indicó en la respuesta de la parte 1.
Esto porque no existen las fracciones de bit.
EJERCICIO 2
Enunciado
Calcule cuántos niveles de cuantificación se
tienen si tenemos , , , o bits para
representar los niveles.
Solución
Si con bits se logran representar
niveles de cuantificación, entonces para cada
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2
uno de los casos mencionados en el enunciado
del ejercicio se necesitan:
bits a nuestradisposición
niveles decuantificaciónrepresentables
EJERCICIO 3
Enunciado
Calcule cuál sería el SNR si en un disco
compacto se utilizaran , , , , , o bits
por muestra.
Solución
El (Signal-Noise Ratio ) es una medida del
ruido en una señal. En el caso del ruido
inducido por conversión de análogo a digital
(donde el intervalo de cuantificación de las
muestras es el mismo para todos los niveles) el
para bits por muestra es:
()
De modo que para cada caso expuesto en el
enunciado del ejercicio:
(bits por muestra) (Relación Señal aRuido en decibeles)
EJERCICIO 4
Enunciado
Calcule la tasa de bit requerida para producir
audio en tiempo real utilizando un discocompacto. Calcule la tasa de bit si se utilizaran
, , bits por muestra.
Solución
La frecuencia típica de muestreo utilizado en un
disco compacto es . Y tal como
hicimos en la parte 2 del ejercicio 1, recordando
que la taza de bits es , la taza de
bits que le corresponde a cada relación de bits
por muestra del enunciado son:
(bits por muestra) (Taza detransmisión en bitspor segundo)
EJERCICIO 5
Enunciado
En un disco compacto se pueden almacenar
minutos de música. Calcule la capacidad del
disco en bits.
Solución
El disco compacto estándar tiene canales de
audio (es estéreo); cada canal está codificado
en a una frecuencia de muestreo es de y puede almacenar hasta minutos
(es decir, ); lo anterior definido por los
estándares mundialmente definidos para los
CD. Por lo tanto, la capacidad total del disco
compacto es:
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3
EJERCICIO 6
Enunciado
Construya una señal analógica sinusoidal de
para después muestrearla, cuantificarla y
medir el error de cuantificación (todo lo anterior
debe mostrarse en gráficas). Cambie el valor
de a , , , , y observe cómo
cambia la resta de las señales PAM con y sincuantificación. Cambie la amplitud de la señal a
, , y observe el efecto sobre la resta de
PAM con y sin cuantificación.
Solución
Para interpretar el caso que corresponde a
cada gráfico considere como el valor de la
amplitud de la señal y como la cantidad de
niveles de cuantificación.
Primero se han colocado todas las gráficas que
corresponden a la amplitud , después
y finalmente . Todas con los
diferentes niveles de cuantificación solicitados
en el enunciado.
0 0.5 1
-5
0
5
Señal Analógica (A=5,M=2)
tiempo (seg)
x ( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=2)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-2
0
2
Señal Cuantificada (A=5,M=2)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-2
-1
0
1
2
Diferencia xs-x
q(A=5,M=2)
tiempo (seg)
x d
( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=4)
tiempo (seg)
x s
( t )
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4
0 0.5 1
-2
0
2
4
Señal Cuantificada (A=5,M=4)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-1
-0.50
0.5
1
Diferencia xs-x
q(A=5,M=4)
tiempo (seg)
xd (
t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=16)
tiempo (seg)
xs
( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Señal Cuantificada (A=5,M=16)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-0.2
0
0.2
Diferencia xs-x
q(A=5,M=16)
tiempo (seg)
x
d ( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=32)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Señal Cuantificada (A=5,M=32)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-0.1
0
0.1
Diferencia xs-x
q(A=5,M=32)
tiempo (seg)
x d
( t )
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5
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=128)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Señal Cuantificada (A=5,M=128)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Diferencia xs-x
q(A=5,M=128)
tiempo (seg)
xd
( t )
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Muestreo y Retención (A=5,M=256)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-4
-2
0
2
4
Señal Cuantificada (A=5,M=256)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Diferencia xs-x
q(A=5,M=256)
tiempo (seg)
x d (
t )
0 0.5 1
-10
-5
0
5
10
Señal Analógica (A=10,M=2)
tiempo (seg)
x ( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=2)
tiempo (seg)
x s
( t )
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6
0 0.5 1
-4
-20
2
4
6
Señal Cuantificada (A=10,M=2)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-5
0
5
Diferencia xs-x
q(A=10,M=2)
tiempo (seg)
xd (
t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=4)
tiempo (seg)
xs
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
Señal Cuantificada (A=10,M=4)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-2
-1
0
1
2
Diferencia xs-x
q(A=10,M=4)
tiempo (seg)
x
d ( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=16)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Señal Cuantificada (A=10,M=16)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-0.5
0
0.5
Diferencia xs-x
q(A=10,M=16)
tiempo (seg)
x d
( t )
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7
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=32)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-5
0
5
10
Señal Cuantificada (A=10,M=32)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-0.2
0
0.2
Diferencia xs-x
q(A=10,M=32)
tiempo (seg)
xd
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=128)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-5
0
5
10
Señal Cuantificada (A=10,M=128)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-0.05
0
0.05
Diferencia xs-x
q(A=10,M=128)
tiempo (seg)
x d (
t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Muestreo y Retención (A=10,M=256)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Señal Cuantificada (A=10,M=256)
tiempo (seg)
x q
( t )
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8
0 0.5 1-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Diferencia xs-x
q(A=10,M=256)
tiempo (seg)
x
d ( t
)
0 0.5 1
-20
-10
0
10
20
Señal Analógica (A=20,M=2)
tiempo (seg)
x (
t )
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=2)
tiempo (seg)
xs
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
10
Señal Cuantificada (A=20,M=2)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-10
-5
0
5
10
Diferencia xs-x
q(A=20,M=2)
tiempo (seg)
x
d ( t )
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=4)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-10
0
10
Señal Cuantificada (A=20,M=4)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-5
0
5
Diferencia xs-x
q(A=20,M=4)
tiempo (seg)
x d
( t )
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9
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=16)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-10
0
10
20
Señal Cuantificada (A=20,M=16)
tiempo (seg)
xq
( t
)
0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Diferencia xs-x
q(A=20,M=16)
tiempo (seg)
xd
( t )
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=32)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-10
0
10
20
Señal Cuantificada (A=20,M=32)
tiempo (seg)
x q
( t )
0 0.5 1
-0.5
0
0.5
Diferencia xs-x
q(A=20,M=32)
tiempo (seg)
x d (
t )
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=128)
tiempo (seg)
x s
( t )
0 0.5 1
-10
0
10
20
Señal Cuantificada (A=20,M=128)
tiempo (seg)
x q
( t )
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EJERCICIO 7
Enunciado
Calcule ahora el en niveles para , , ,
y bits por muestra, utilizando MatLab.
Compare en una tabla el valor obtenido en
simulación con el valor teórico.
Solución
bits pormuestra
calculado()
medid()
Note que existe una ligera diferencia provocada
por el método utilizado para aproximar la
cantidad de potencia en el código (integración
numérica por trapecios).
0 0.5 1
-0.1
0
0.1
Diferencia xs-x
q(A=20,M=128)
tiempo (seg)
x
d ( t
)
0 0.5 1
-10
0
10
20
Muestreo y Retención (A=20,M=256)
tiempo (seg)
xs
( t
)
0 0.5 1
-10
0
10
20
Señal Cuantificada (A=20,M=256)
tiempo (seg)
xq
( t )
0 0.5 1
-0.05
0
0.05
Diferencia xs-x
q(A=20,M=256)
tiempo (seg)
x
d ( t )
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ANEXOS
Programa utilizado para ejercicios 6 y 7
El siguiente script está escrito en lenguaje MatLab/Octave. Para utilizarlo hay que pegarlo en unarchivo con extensión “.m” y ejecutarlo.
%% Restablecer variables y cerrar gráficos clear all;close all;
%% Inicialización de variables fs=1000; % Frecuencia de muestreo A=[5]; % Amplitudes de la señal M=2.^[4,8,10,12,16]; % Niveles de cuantificación (5) SNR=zeros(length(M),length(A)); % SNR
%% Ciclo de ejecución for j=1:length(A)
for k=1:length(M) t = 0:1/fs:1; x = A(j)*cos(2*pi*t*10); tm = t(1:20:end); % Tiempos de muestreo lento xm = A(j)*cos(2*pi*tm*10); %Muestreo lento % Señal muestreada con Sample&Hold ts = 20; xs = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t)
if(rem(i,ts)==1) tmp=x(i); % Tomar muestra
end xs(i)=tmp; % Tomar valor de la última muestra end % Cuantificación int = (max(xs)-min(xs))/M(k); % Tamaño del paso m = (min(xs)+int/2):int:...
(max(xs)-int/2); % Valores de cuantificación xq = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t)
[tmp n] = min(abs(xs(i)-m)); % Tomar el valor más % cercano a algún valor de cuantificación
xq(i) = m(n); % Asignar dicho valor end % Diferencia xd = xs - xq;
% Gráficas % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % x,[],[],'x(t)',['Señal Analógica (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']); % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xs,[],[],'x_{s}(t)',['Muestreo y Retención (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']);
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% reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xq,[],[],'x_{q}(t)',['Señal Cuantificada (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']); % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xd,[],[],'x_{d}(t)',['Diferencia x_s-x_q (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']);
% Cálculo del SNR Px=trapz(t,x.^2); %Potencia de la señal R=2*max(x); Pq=(R^2)/(12*M(k)^2); %Potencia del ruido de cuantificación SNR(k,j)=10*log10(Px/Pq); % SNR
end end
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