1
Año 2018: Periodo 03
TAREA 1: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta: ________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ NIVELACIÓN DESPEJE DE FORMULAS 3 5
48
r mm
p
8 3 54 (8 )
8
p r mm p
p
3 5 4 (8 )r m m p
3 5 32r m mp
3 5 ( 5 ) 32 ( 5 )r m m mp m
3 0 32 5r mp m
3 32 5r mp m
3 (32 5)r m p
3
(32 5)
rm
p
3
(32 5)
rm
p
VERIFICACIÓN Buscamos la variable m
Asumimos
r=3
p=4
Calculamos “m”
3(3) 9 9
(32(4) 5) 128 5 123m
Sustituimos todos los valores en la original
3 54
8
r mm
p
93(3) 5
91234
8(4) 123
459
36123
8(4) 123
123 459
36123 123
32 123
1152
3612332 123
1
36 36
123 123
Con lo cual se confirma el despeje
TAREA
a)5 2
4r pm
rm
, para m
2
Año 2018: Periodo 03
b)5 2 3
78
p r k
pm
, para p
c)4 3 7
98
r mp r
p
, para m
3
Año 2018: Periodo 03
d)4 3 7
115
r pm rp
pr
, para p
e)9 3 2
97
r k M
Mk
, para m
4
Año 2018: Periodo 03
Factorice por tanteo simple dejando constancia
de los factores de c, y las combinaciones ab
Ejemplo 2 12 864x x
Factorizamos
Elaboramos la tabla de opciones
Por los que nos queda
( 36)( 24)x x
a) 2 10 2000x x
864 2
432 2
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
a b a-b
864 1 863
432 2 430
216 4 212
108 8 100
54 16 38
27 32 -5
9 96 -87
3 288 -285
24 36 -12
5
Año 2018: Periodo 03
b) 2 81 1568x x
c) 2 11 900x x
d) 2 18 1768x x
e) 2 100 2304x x
6
Año 2018: Periodo 03
Determine el resultado del siguiente ejercicio utilizando las reglas de las operaciones combinadas
-1
6 + 6 4 + -6 6 + 3 6 + 7 + 6 3 - 4
3 7 6 7 6 3 6 7
6 + 6 4 + -12 + 3 6 + 6 + 6 -1
7 6 7 7 3 14
6 + 6 39 6 + 6 + -1
14 7 7 7
6 + 702 + 6 + -1
49 7 7
R=
1 -1
5 + 6 7 + -4 8 + 4 6 + 6 + 8 2 - 7
3 6 4 7 2 3 6 6
R=
2 -1
-10 + 1 11 + -5 7 + 5 1 + 6 + 7 3 - 11
3 6 5 7 9 3 6 6
R=
1031 1031/49
49
316/9
-641/63
7
Año 2018: Periodo 03
3 -1
-9 + 6 5 + -6 4 + 6 6 + 6 + 4 5 - 5
3 6 6 7 8 3 6 6
R=
4 -1
1 + 3 5 + -3 3 + 3 3 + 6 + 3 4 - 5
3 6 3 7 7 4 6 6
R=
5 -1
10 + 4 8 + -3 1 + 6 4 + 6 + 1 4 - 8
3 6 3 7 4 3 6 6
R=
1531/168
2074/63
49/3
8
Año 2018: Periodo 03
6 -3 -4 6 23 29 -3 17 29 -4 17 23
17 23 29 17 23 29 23 17 29 29 17 23
verificacion
=
=
ok
1 -7 -2 7 ok
13 23 29
2 6 3 2 ok
13 29 31
3 -3 3 3 ok
17 29 37+ + =
+147
+18241
+ + =-3,330
+8671
+ + =+7357
+11687
+0.3529 -0.1304 -0.1379 +0.0846
+0.0846 +0.0846
-1564
11339 11339 11339
=959
11339
+ + = + +
=4002
+-1479
+
9
Año 2018: Periodo 03
TEORÍA MÉTODOS 2, PARCIAL 1, VERSIÓN 2 FUNCIÓN Explicación General: Si podemos expresar un variable en términos
de uno o más variables diremos que una
variable es función o depende de una o más
variables.
Por ejemplo el costo de un pastel, depende de
los precios y cantidades de harina, huevos,
leche y mantequilla.
Por lo cual podemos decir que el costo de un
pastel es función de dichas variables, en
lenguaje matemático lo podemos expresar así:
Costo = f(harina, huevos, leche, mantequilla)
Si usáramos variables más comunes en el
lenguaje matemático tendríamos
Z=f(r, s, l, m)
Si lo expresamos como una fórmula
matemática podríamos tener algo como
f(r, s, l, m)= Z = 7r + 5s + 22l + 50m
Como todas las variables tienen exponente 1,
diremos que esta es una función lineal, de Z
respecto a r, s, l y m.
Las funciones tienen una característica muy
importante, para cada grupo de valores de las
variables independientes (r, s, k, m), solo existe
un resultado posible para la variable
dependiente (Z)
Por ejemplo si r=5 libras de harina, s = 24
huevos. L=2 litro de leche, m=1 libra de
mantequilla diremos:
Z = f(5, 24, 2, 1) = 7(5) + 5(24) + 22(2) + 50(1)
= 35 + 120 + 44 + 50=249 lempiras
En esta clase solo trataremos con funciones de
una variable independiente. Y al resultado de
la función la relacionaremos con la variable
“y” que llamaremos variable dependiente y la
independiente será la “x” y esto lo
expresaremos así:
Y= f(x)
Para el caso tenemos la formula
Y=3X+2
Podremos decir que Y es función de x y la
expresaremos así
F(x)=3x+2
Si x=2
Calculamos f(2)= 3(2)+2 = 6+2=8
Y diremos que y=f(2)=8
Representación gráfica: Una función lineal puede ser representada en
el plano cartesiano como una línea recta, que
cumple con la condición que si trazamos una
línea imaginaria vertical, solo toca un punto.
Conceptos matemáticas relacionados con la función
A. CONJUNTOS
B. PAR ORDENADO
C. PRODUCTO CARTESIANO
D. RELACION
E. FUNCION
10
Año 2018: Periodo 03
Como podemos ver para poder llegar al
concepto de función debemos comprender
varios conceptos previos.
A. CONJUNTO Es el concepto más general. Es una colección
de elementos que se denota por una letra
mayúscula y cuyos elementos se expresan de
dos maneras:
a) Por extensión: describiendo todos los
elementos: { , }A rojo verde
b) Por comprensión: describiendo la
lógica detrás de los elementos
{( , ) , 1}A x y x y x ℝ ℝ Esto se lee:
A es el conjunto de todos los pares de
datos representados por (x, y) que
pertenece al producto todos los pares
ordenados de los reales, y que cumple
la condición que 1y x
B. PARES ORDENADOS Dentro del concepto de conjunto está el de par
ordenado que es un conjunto de dos
elementos en los cuales importa el orden y se
representan por (x, y), de tal maneara que (3,2)
no es lo mismo que (2,3).
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x,
y), de manera que x=4, y y=3.
Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en
la dirección de x, y 3 unidades en la dirección
de y
C. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto
que resulta de combinar dos conjuntos simples
A y B .
{1, 2,3, 4}A
{ , }B a b
El cual se puede graficar así en el plano
cartesiano
En el caso de conjuntos que representan intervalos de números
1,4A x
1,3B y
El producto cartesiano en términos graficos será el siguiente:
D. RELACIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano
Por ejemplo del producto cartesiano
y
(4,3)
x
B=
AxB a b
1 ( 1,a) ( 1,b)
A= 2 ( 2,a) ( 2,b)
3 ( 3,a) ( 3,b)
4 ( 4,a) ( 4,b)
4
3
2
1
1 2 3 4
11
Año 2018: Periodo 03
Graficado asi
Tenemos el subconjunto C que llamaremos
relación C del producto cartesiano AXB
C= relación de AxB = {(1, a), (1, b)} y su grafica
es asi
Dado el producto cartesiano
Tenemos dos ejemplos de relaciones
E. Función: es un subconjunto del producto
cartesiano que cumple la regla, que todo
elemento del dominio solo tiene como pareja
un elemento del rango.
Por ejemplo del producto cartesiano
Tenemos la función D que llamaremos funcion
D del producto cartesiano AXB
D= función de AxB = {(1, a), (2, b)}
Que graficamos así:
Que cumple la regla que un dato del origen “A”
no tiene más de un dato de destino “B”
Del producto cartesiano
La grafica de una función seria la siguiente
4
3
2
1
1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
4
3
2
1
1 2 3 4
12
Año 2018: Periodo 03
Que cumple la regla que si paso una línea
vertical imaginaria solo tocaría un punto.
El circulo abierto indica que ese punto
precisamente no se incluye, y el circulo negro cerrado indica que si se incluye. Otros ejemplos de funciones son las siguientes
Formalmente podemos expresar una función
A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la
regla de la ecuación.
1/ 3 1/ 3y x Y los valores de “x” están
limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3
Se expresa así:
{( , ) , 1 / 3 1/ 3,A x y talque y x
1,4 , 1,3 }x y
Y su grafica es:
APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO Y DE LA FUNCIÓN
José debe tener una decisión en dos etapas:
La primera decisión es si se transporta en auto
o en moto. La segunda decisión es si va al cine
o aun restaurante.
El conjunto de todas las posibilidades resulta
ser un producto cartesiano.
Donde A= conjunto de los medios de
transporte
Donde B = conjunto de los destinos
Una relación C seria C = {(auto, restaurante), (auto, cine)}
Para la decisión de ir en auto existen dos
opciones, restaurante o cine. Por lo que es no
es una decisión única.
Una función “D” seria D= {(moto, restaurante), (auto, cine)}
Como se puede ver la relación produce
decisiones ambiguas, pero la función produce
decisiones exactas:
si se va en moto se va ira al restaurante
si se va en auto se ira al cine
FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano.
REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano
representa una función si se cumple que al
4
3
2
1
1 2 3 4
A X B restaurante cine
moto (moto,restaurante) (moto,cine)
auto (auto,restaurante) (auto,cine)
13
Año 2018: Periodo 03
trazar una línea vertical solo suceden dos
casos. Solo toca un punto, o no toca ningún
punto. Si toca dos puntos en algún momento
entonces no es una función es una relación.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO
1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica
( ) _ _y f x formula de x
4. Evaluación de una función
Si:
( ) 3 2y f x x
(2) 3(2) 2 8f
(3) 3(3) 2 11f
5. Dominio: es el conjunto de todas las
“x”, que forman parte de la gráfica.
6. Rango o Recorrido: es el conjunto de
todas las “y” que forman parte de la
grafica
Línea vertical solo toca un punto: si se traza
una línea vertical en cualquier parte de la
función f(x) solo se tocara un punto. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO
Las funciones pueden ser racionales e
irracionales a las que también se les llama
funciones algebraicas; asimismo, existen las
funciones trascendentes dentro de las
cuales se ubican las funciones
exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas.
14
Año 2018: Periodo 03
EJEMPLOS DE FUNCIONES DE POLINÓMICAS Lineal: ( )f x ax b
Cuadrática:
2( )f x ax bx c
2( )f x a mx b c
Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d
Funciones racionales
( )
ax bf x
x a x b
15
Año 2018: Periodo 03
INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES EN EL CONTEXTO ECONÓMICO:
Sean dos conjuntos de datos relacionados por
pares cartesianos como ser:
Precio =p
Cantidad = q = quantity (cantidad en
inglés)
Si decimos que ambas variables están
relacionados por la ecuación: 7p-14q=7
Matemáticamente podemos despejar para p y
tendremos la ecuación:
7 14 7p q
2 1p q
Donde podemos decir que p es una función
respecto a q expresada como:
( ) 2 1p f q q
Siendo
la variable independiente q
la variable dependiente p
Nota: es importante recordar que en el
contexto real, normalmente la decisión se
toma en el precio, y la cantidad es la
consecuencia del precio, por lo que la función
debería ser cantidad en términos de precio q=
f(p), pero por convención o costumbre en el
contexto económico, se grafica la función
p=f(q)Pero por
:
En el contexto matemático:
El dominio de p=f(q) son los reales
El rango de p=f(q) también son los
reales
Pero en el contexto económico:
El domino de la función: p=f(q) son
todos los números positivos y el cero
El rango de la función: son todos los
números mayores o iguales a y=1
Esto debido a que los precios ni las cantidades
pueden ser negativos
y=precio=lps
4
3
2
1
0
-1
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x=q=quantity=unidades
16
Año 2018: Periodo 03
FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:
f(x) mx b
Características de la ecuación:
El exponente de las variables es 1
La función se acostumbra que “y”
depende de “x”
Características de la grafica:
Intercepto en x: Ix(?, 0)
Intercepto en y: Iy(0, ?)
Pendiente m, si m= positiva es
creciente, si m = negativa es decreciente
Características de la función
Variable dependiente = x
Variable independiente = y
Dominio = reales
Rango = reales
Y su representación grafica es
Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye
2 1
2 1
y yym
x x x
A continuación tipos de pendientes de una función
Nota: una recta vertical no es una pendiente
Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:
1 1( )y y m x x
LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un
valor en x. De manera que los puntos (2,3),
(2,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es
función.
Si aplicamos la formula
2 1
2 1
(4) (3) 1
(2) (2) 0
y ym indefinido
x x
17
Año 2018: Periodo 03
EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar
ecuación de la recta
(1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos
X1=1, y1= 2
X2=3, y2=5
Paso 2: aplicamos la fórmula:
2 1
2 1
y yym
x x x
(5) (2) 3
(3) (1) 2m
Paso 3: determinar la ecuación de la recta
aplicando
1 1( )y y m x x
3( (2)) (1)
2y x
3 32
2 2y x
3 32
2 2y x
3 1
2 2y x
Paso 4: verificación X=3
3 1(3) 10 / 2 5
2 2y
Se cumple (3,5)
Paso 5: intercepto en y o sea Iy(0, ¿) Sabemos que x=0
Sustituimos en la ecuación
3 1 1(0)
2 2 2y
Planteamos formalmente
10,
2Ix
Paso 6: Intercepto en x o sea Ix(¿, 0) Sabemos que y= 0
Sustituimos en
3 1
2 2y x
3 10
2 2x
Y despejamos
1 3
2 2x
1 2
2 3x
1
3x
Plateamos formalmente
1,0
3Ix
Paso 6: tabla de valores
Tipo x y (x, y)
Iy 0 3 1 1(0)
2 2 2
(0,1/2)
Ix -1/3 3 1 1( ) 0
2 3 2
(-1/3,0)
Paso 7: graficamos
Paso 8: las características de la función
Dominio (valores de x) = Reales= ,
Rango (valores de y) = Reales= ,
18
Año 2018: Periodo 03
TAREA 2: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ Datos los puntos (1,3) y (7,4)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
19
Año 2018: Periodo 03
2. Dados los puntos (-3,-4) y (-2,5)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
20
Año 2018: Periodo 03
3. Dados los puntos (5,6) y (8,2)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
21
Año 2018: Periodo 03
4. Dados los puntos (3 ,4) y (9 ,2)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
22
Año 2018: Periodo 03
5. Dados los puntos (-3,3) y (3,-3)
1. Determinar la pendiente (m)
2. Determinar le ecuación (Y) y verificar
3. Determinar Intercepto en X
4. Determinar Intercepto en Y
5. Tabla de Valores
6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
7. Dominio y Rango
23
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: 2( ) 2 2 24y f x x x
1. Determine el vértice de la ecuación
( , ) ( , )v vh k x y
Igualamos 2 22 2 24y x x ax bx c
Y determinamos: a=2, b=-2 , c=-24
Calculamos el valor en x del vértice con la formula:
( 2) 2 1
2 2(2) 4 2v
bh x
a
Para calcular el valor en y del vértice calculamos la función
( ) ( )v vf h f x k y
21/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 24y f
2 2 4924
4 2 2
formalmente
( , ) ( , ) (1/ 2,49 / 2)v vh k x y
2. Determinar Intercepto en Y El intercepto en y es Iy(0, ¿) Calculamos
20 2 0 2 0 24 24y f
Formalmente (0, 24)Ix
3. Determinar los intercepto en “x” o sea Ix ( ¿, 0) y verifique
Para encontrar los intercepto en x hacemos y=0
20 2 2 24y x x
Aplicamos la función cuadrática a=2, b=-2 , c=-24
Discriminante: 2 4b ac 2( 2) 4(2)( 24)
4 192 196 Calculamos las raíces
2
1 2
4,
2 2
b b ac bx x
a a
1 2
( 2) 196 2 14,
2(2) 4x x
1 2
2 14 2 144, 3
4 4x x
Si queremos presentar la expresión factorizada aplicamos
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x 22 2 24 2( (4))( ( 3))x x x x 22 2 24 2( 4)( 3)x x x x
Ix(¿,0) cuando (x-4)= 0 o sea cuando x=4
(x+3)=0 o sea cuando x=-3
Formalmente Ix1(4, 0) , Ix2(-3, 0)
4. Tabla de Valores
Tipo x y (x, y)
Ix2 -3 0 (-3, 0)
Iy 0 -24 (0, -24)
(xv, yv) ½ -49/2 (1/2, -49/2)
Ix1 2 0 (2,-20)
Ix1 4 0 (4,0)
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
Dominio = ]-00, +00 [ = Reales
Rango = ]-24.5, +00[ =]-49/2, +00[
24
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
1) 23 6 24y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
25
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
2) 25 30 35y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
26
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
3) 23 17y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
27
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
4) 27 28 21y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
28
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
5) 24 2 16y x x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
29
Año 2018: Periodo 03
TAREA 3: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ CONCEPTO DE DOMINIO Y RANGO EJEMPLO 1: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4} B={a, b} El producto cartesiano AXB es igual a
En este producto cartesiano al conjunto A lo
llamaremos conjunto de origen o dominio.
Y al conjunto B lo llamaremos conjunto de
destino, o de Rango o de las imágenes.
En el ejemplo anterior: El dominio de AXB = {a, b}, que en este caso
resulta ser A= {a, b}
El rango de AXB = {1,2,3,4}, que en este caso
resulta ser B = {1,2,3,4}
EJEMPLO 2: De la siguiente relación
Determinamos que El dominio seria {1,4}
Y el rango seria {a,b}
Nota: Esta relación no es una función porque el
dato del origen “1” tiene dos contrapartes en
el conjunto del destino o sea “a” y “b”.
EJEMPLO 3:
Dada la siguiente función
Observamos que es una función continua:
En este caso el Dominio que son los valores
validos de x, van desde 1 hasta 8, sin tomar en
cuenta el 1 y si tomando encuentra el 8 y lo
representamos como un intervalo:
Dominio de f(x) = ]1, 8]
Para el rango es un poco más complicado
Porque tenemos tres grupos de rango
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
F(x)
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
F(x)
30
Año 2018: Periodo 03
Primera parte = ]1, 8[
Segunda parte = [2.5, 8]
Tercera parte = [2.5, 6]
Esto se puede expresar como la unión de
todos los intervalos
Rango de f(x) = ]1, 8[ U [2.5, 8] U [2.5,
6]
Si ponemos las tres gráficos al mismo tiempo
Y trazamos líneas verticales imaginarias nos
daremos cuenta que al fusionarlos nos queda
este intervalo:
Este análisis lo podemos hacer directamente
en la gráfica así
O sea que nos quedaría si:
EJEMPLO 4:
Si identificamos los grupos de dominio y rango
tendríamos los siguientes:
Podemos ver que el dominio y el rango es la
unión de dos partes:
Dominio de F(x) = ]1, 3 ] U [4, 6[
En el caso del rango podemos ver que hay dos
grupos un grupo es [9, 10]
El otro es la unión de ]1, 8] U [2.5, 8] U [2.5, 6],
si observamos podemos resumirlo a uno solo
]1, 8] que contiene a los tres, por tanto:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7 8
Dominio = ]1, 8]
Ran
go =
] 1
, 8 ] F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
31
Año 2018: Periodo 03
Rango = ] 1, 8 ] U [9, 10]
Y nos queda así:
EJEMPLO DE DOMINIO Y RANGO DE UNA
RELACIÓN QUE NO ES FUNCIÓN:
Esta relación no es una función porque una
línea vertical toca dos puntos.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
Dominio = ]1, 3 ] U [4, 6[
F(x)
Ran
go =
] 1
, 8 ]
U [
9, 1
0]
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
Dominio =[1, 6[
Ran
go =
] 1
, 8 ]
U [
9, 1
0]
32
Año 2018: Periodo 03
Identifique el dominio y el rango de las
siguientes gráficas, mediante rectas
numéricas e intervalos:
1)
2)
3)
4)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
33
Año 2018: Periodo 03
5)
6)
7)
8)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5 6 7
F(x)
34
Año 2018: Periodo 03
Conteste las siguientes preguntas:
1) Que es un producto cartesiano?
2) Que es una relación?
3) Que es una función?
4) Que es un par ordenado?
5) Una función puede ser a la vez un a
relación?
6) Cuál es el dominio de una función?
7) Cuál es el rango de una función?
8) En una gráfica continua, si trazamos
una recta vertical imaginaria y se tocan
dos puntos de la gráfica, como
clasificáramos esta grafica
a. Como solo función
b. Como función y relación
c. Como solo relación
9) En la función y = x+3. Quien es la
variable independiente, y quien la
variable dependiente?
35
Año 2018: Periodo 03
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definimos valor absoluto como
, 0
, 0
x xx
x x
Y también como 2
x x
Ejemplos
Ecuación
y a mx b c
Si ( )g x mx b
También Tenemos la forma
( )y a g x c
Forma de la grafica
SI a es positivo
Si a es negativo
Característica de la grafica Vértice (xv, yv)
Xv: es igual a x si ( ) 0g x
bXv
m
Yv:
Xv= f(h)= ( )a m h b c
Yv= f(h)= c
Intercepto en y = Iy =(0, ?)
Intercepto en x = Ix =( ?,0)
Dominio = ℝ =Reales
Rango
SI a es positivo [ , [k
Si a es negativo
] , ]k
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x
Paso 1: determinar vértice
(xv, yv)
( ) 0g x
3x-6=0
X=6/3=2
3(2) 6 3y
6 6 3y
0 3y
3y
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)
X=0
3(0) 6 3y
6 3y
(6) 3y
3y
Iy(0,-3)
Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)
Y=0
0 3 6 3x
3 3 6x
33 6
1x
3 3 6x
36
Año 2018: Periodo 03
+ -
3 3 6x
3 3 6x
3 6 3x
9
3x
3x
3 3 6x
3 3 6x
3 3 6x
3 3x
3
3x
1x
Ix(3, 0)
Ix(1, 0)
Paso 4: elaborar grafica
Paso 5: determinar dominio y rango
Dominio
= ℝ =Reales
Rango:
Como “a” es negativo
] ,3]
37
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 3 2 8 5y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
38
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
2) 2 6 3 4y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
39
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
3) 3 3 12 7y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
40
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
4) 5 2 5 3y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
41
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
5) 6 3 4 2y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
42
Año 2018: Periodo 03
TAREA 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ FUNCIÓN RADICAL Ecuación
y a mx b c
Si ( )g x mx b
Forma de la grafica
SI a es positivo y
m positivo
Si a es negativo y
m positivo
SI a es positivo y
m negativa
Si a es negativo y
m negativo
Vértice (h, k)
h: es igual a x si ( ) 0g x
k:
k= f(h)= ( )a m h b c
k= f(h)= c
Intercepto en y = Iy =(0, ?)
Intercepto en x = Ix =( ?,0) Dominio
SI m es positivo [h, [
Si m es negativo
] , ]h
Rango
SI a es positivo [ , [k
Si a es negativo
] , ]k
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x
Paso 1: determinar vértice
(h, k)
( ) 0g x
3x-6=0
X=6/3=2
X=2
3(2) 6 3y
6 6 3y
0 3y
3y (h,k)=(2,3)
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)
X=0
3(0) 6 3y
6 3y
En este caso no hay intercepto en y
43
Año 2018: Periodo 03
Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)
Y=0
0 3 6 3x
3 3 6x
223 3 6x
9 3 6x
9 6 3x
(9 6)
3x
5x
Ix = (5,0)
Paso 4: agregar otros puntos para tener 3 puntos graficables Para no tener que probar puntos a ambos
lados podemos calcular el dominio
cuando
( ) 0g x 0mx b
3 6 0x
3 6x
6
3x
2x Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores
x y
-1 No Definido
0 No definido
1 No Definido
2 3
5 0
6 (Nota: este punto
fue elegido a
voluntad)
3(6) 6 3y
12 3y
2 3 3 0.46y
Paso 5: determinar dominio y rango
Dominio
Por simple inspección a la gráfica o sino
observando que m es positivo
Rango:
Por simple inspección a la gráfica o sino
observando que a es positivo
] ,3]
44
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
1) 6 2 10 5y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
45
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
2) 2 9 3 1y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
46
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
3) 5 3 2 7y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
47
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
4) 4 2 7 3y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
48
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:
5) 5 8 3 2y x
1. Determine el vértice de la ecuación
(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y
2. Determinar Intercepto en Y
3. Determinar los intercepto en “x” y verifique
4. Tabla de Valores
5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
6. Dominio y Rango
49
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 1): ( )
( ) , ( ) 0( )
p xy f x q x
q x
Asíntotas: son líneas verticales, horizontales o
inclinadas imaginarias a las cuales la gráfica se
acerca sin tocar nunca en:
Menos Infinito
Mas infinito
Por la izquierda a un punto prohibido
Por la derecha a un punto prohibido
Punto faltante: son factores que están en el
polinomio de arriba y el polinomio de abajo y
se pueden cancelar.
Dada la grafica (3 3)
( ) 1(3 9)
xy f x
x
Fusionamos en una sola fracción (3 3) (3 9)
( )(3 9) (3 9)
x xy f x
x x
(3 3 3 9)( )
(3 9)
x xy f x
x
(6 6)( )
(3 9)
xy f x
x
Debemos lograr esta grafica
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Los factores de arriba solo pueden ser
intercepto en x, o puntos faltantes,
Los factores de abajo solo pueden ser
valores prohibidos, o puntos faltantes
Los puntos faltantes ocurren cuando el
mismo factor está arriba y abajo
En este caso vemos que solo hay un factor
arriba (6x-9) que sería el intercepto en x
En este caso vemos que solo hay un factor
abajo (3x-9) y no esta repetido por lo tanto
seria el que define el valor prohibido y la
asíntota vertical
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (6x-6) X=1 Intercepto en x
Abajo (3x-9) X=3 Asíntota vertical
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
Vemos que el polinomio (3x-9) no puede ser
igual a cero porque se produciría un error
matemático.
Por lo cual el valor prohibido de x ocurre
cuando:
3x-9=0
Despejando nos queda X=9/3=3
Formalmente Asíntota Vertical (AV): x=3
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
(6 6)0
(3 9)
x
x
Nos queda 0(3 9) (6 6)x x
0 (6 6)x
Despejando nos queda x=6/6=1
Formalmente Intercepto en x = Ix (1, 0)
50
Año 2018: Periodo 03
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos (6(0) 6) 6 2
( ) 0.67(3(0) 9) 9 6
y f x
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, 2/3)
5) Asíntota Horizontal La asíntota horizontal es una línea horizontal
imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el
infinito, puede o no cruzarla la gráfica.
Para determinarla se divide el termino
principal del polinomio de arriba entre el
termino principal del polinomio de abajo
6: 2
3
xAH y
x
Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2
(6 6)2
(3 9)
xy
x
Y despejamos 2(3 9) (6 6)x x
6 18 6 6x x 18 6 es falso
Por tanto no cruza la horizontal 6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 (6( 100) 6)1.96
(3( 100) 9)
(-100, 1.96)
Iy 0 (6(0) 6) 2
(3(0) 9) 3
(0,0.67)
Ix 1 (6(1) 6) 00
(3(1) 9) 6
(1,0)
AV-∆
3-0.01
(6(2.99) 6)398
(3(2.99) 9)
(2.99, -398)
AV 3 (6(3) 6) 12
(3(3) 9) 0
No definido
No Definido
AV+∆
3+0.01
(6(3.01) 6)402
(3(3.01) 9)
(3.01, 402)
+00 +100 (6(100) 6)2.04
(3(100) 9)
(100, 2.04)
7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas
AV: X=3
AH: y=2
Segundo ubicamos las tendencias e
interceptos
51
Año 2018: Periodo 03
Tercero unimos por el camino mas corto
Y finalmente tenemos la grafica
8) Determinamos el dominio
El dominio lo podemos definir como todos los
números reales menos los valores prohibidos,
el valor prohibido en este caso es la asíntota
vertical.
Dominio = 3ℝ
O Dominio = , 3
9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los
reales menos la asíntota horizontal, a menos
que la función cruce la asíntota horizontal.
AH: y=2
Rango = 2ℝ
Rango = , 2
Rango = , 2 2,
52
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
1) 5 2
14 3
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
53
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
2) 3 4
22 5
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
54
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
3) 2 4
35 3
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
55
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:
4) 3 7
46 6
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
56
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL:
5) (3 )
56 4
xy
x
1. Fusione en una fracción
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
57
Año 2018: Periodo 03
TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 2):
( )( ) , ( ) 0
( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica
2
2
( 5 6)( )
( 3 10)
x xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 3)( 2)
( )( 5)( 2)
x xy f x
x x
Como vemos existe un facto repetido que es (x+2) por lo cual lo podemos cancelar
( 3)( )
( 5)
xy f x
x
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x
(x+2) X=-2 Punto faltante
Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical
(x+2) X=-2 Punto faltante
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser
igual a cero porque se produciría un error
matemático.
Por lo cual el valor prohibido de x ocurre
cuando:
x-5=0
Despejando nos queda X=5
Formalmente
Asíntota Vertical (AV): x=5
En el caso del punto faltante también tenemos
un punto prohibido en el factor (x+2)
Que nos dice que x=-2 no se puede evaluar.
Sin embargo si factorizamos esa limitación es
removible y se le llama punto faltante.
Podemos calcular el valor de y sustituyendo en
( 2 3) 1( )
( 2 5) 7y f x
Por tanto el punto faltante es (-2, - 1/7)
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 3)0
( 5)
x
x
Nos queda 0( 5) ( 3)x x
0 ( 3)x
Despejando nos queda x=-3
Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos ((0) 3) 3 3
(0) 0.60((0) 5) 5 5
y f
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -3/5)
5) Asíntota Horizontal 2
2: 1
xAH y
x
Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2
( 3)1
( 5)
xy
x
Y despejamos 1( 3) ( 5)x x
3 5x x
58
Año 2018: Periodo 03
3 5 es falso Por tanto no cruza la horizontal
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 (( 100) 3)1.96
(( 100) 5)
(-100, 0.92)
Ix -3 (( 3) 3) 00
(( 3) 5) 8
(1,0)
Iy 0 ((0) 3) 30.60
((0) 5) 5
(0,-0.60)
AV-∆
5-0.01
((4.99) 3)799
((4.99) 5)
(4.99, -799)
AV 5 ((5) 3) 8
((5) 5) 0
No Def.
AV+∆
5+ 0.01
((5.01) 3)801
((5.01) 5)
(5.01, 801)
+00 +100 ((100) 3)1.08
((100) 5)
(100, 1.08)
7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1
Segundo ubicamos las tendencias, intercepto
y punto faltante.
Tercero unimos por el camino más corto
Y finalmente tenemos la grafica
8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los
números reales menos los valores prohibidos,
el valor prohibido en este caso es la asíntota
vertical.
Dominio = 2,5 ℝ
O Dominio = , 2,5
Dominio = , 2 2,5 5,
9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los
reales menos la asíntota horizontal, a menos
que la función cruce la asíntota horizontal.
Rango = 1/ 7,1 ℝ
Rango = , 1/ 7,1
59
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
1) 2
2
( 2)( 5 6)
( 2 8)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
60
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
2) 2
2
( 7)( 9 14)
( 4 21)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
61
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
3) 2
2
( 7 18)
( 11 18)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
62
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
2
( 16 55)
( 8 33)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
63
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
5) 2
2
( 19 84)
( 10 24)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
64
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): ( )
( ) , ( ) 0( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota horizontal Y=0 Dada la grafica
2
( 4)( )
( 56)
xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 4)
( )( 8)( 7)
xy f x
x x
Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es 2, y no hay factores repetidos para puntos faltantes
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x
Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical
(x+7) X=-7 Asíntota vertical
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
En este casos los valores prohibidos son -7 y 8,
y constituyen las asíntotas verticales cuando
x-8=0
x+7=0
Despejando nos queda X=8
X=-7
Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8
Asíntota Vertical (AV): x= -7
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Nos queda 0( 8)( 7) ( 4)x x x
0 ( 4)x
Despejando nos queda x=-4
Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que
ocurre cuando x=0 Sustituimos
((0) 4) 4 4 1( )
((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) 56 14y f x
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -1/14)
5) Asíntota Horizontal Calculamos
2
1:
xAH y
x x
Nota: como no nos queda una constante
debemos evaluar que ocurre en – infinito y +
infinito
Usamos -1000 y nos queda 1/(-1000)=10.001
Usamos +1000 y nos queda 1/(+1000)=+0.001
Lo cual nos dice que tiene a la recta horizontal
y=0
REGLA GENERAL: cuando el grado del
polinomio del numerador sea menor que el del
denominador la asíntota horizontal siempre
será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Y despejamos ( 8)( 7)0 ( 4)x x x
0 ( 4)x
X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4
65
Año 2018: Periodo 03
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 ( 100 4)
( 100 8)( 100 7)
= -0.010
(-100, -0.010)
AV-∆ -7 -0.01
-20.053 (-7.01, -20.053)
AV -7 No definido No Definido
AV+∆ -7+ 0.01
19.947 (-6.99, 19.947)
Ix -4 0 (-4,0)
Iy 0 =-1/14= -0.071 (0, -0.071)
AV-∆ 8-0.01 -79.987 (7.99, -79.987)
AV 8 No definido No Definido
AV+∆ 8+ 0.01
80.013 (8.01, 80.013)
+00 +100 +0.011 (100, 0.011)
7) Elaboramos la grafica
Primero ubicamos las asíntotas
AV: X=-8, x=7 AH: y=0
Segundo ubicamos las tendencias, interceptoS
Tercero unimos por el camino más corto
Cuarto unimos y logramos la grafica
8) Dominio
Dominio = 8,7 ℝ
9) Rango
Rango = 0ℝ
66
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
1) 2
( 3)
( 2 35)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
67
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
2) 2
( 7)( 2)
( 2 8)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
68
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
3) 2
( 3)
( 3 10)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
69
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
(2)
( 8 20)y
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
70
Año 2018: Periodo 03
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
5) 2
( 1)
( 3 15)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
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