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Redes Telefnicas Tema 2: Teletrfico. Dimensionado de sistemas
Ramn Agero Calvo
Tema 2 TeletrficoDimensionado de Sistemas
Ramn Agero [email protected]
En la elaboracin de estos apuntes han contribuido:Ramn Agero Calvo, Luis Muoz Gutirrez
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Redes Telefnicas Tema 2: Teletrfico. Dimensionado de sistemas
Ramn Agero Calvo
Contenidos Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson
Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Contenidos Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Por qu se dimensiona? Las operadores buscan ofrecer a sus clientes un servicio adecuado de
manera rentable
No es razonable proporcionar capacidad atendiendo a demandas puntuales
elevadas Por ejemplo: se pretende desplegar una red para unir dos poblaciones con 1000
habitantes cada una
Se usa una nica lnea La solucin es muy rentable para el operador, pero el servicioes inaceptable para los usuarios (gran probabilidad de que la lnea est ocupada)
Se usan 1000 lneas Los usuarios estarn muy satisfechos (servicio siempredisponible), pero la solucin no es rentable para la compaa
Escasez de recursos (por ejemplo en comunicaciones mviles)
Se suelen emplear modelos matemticos para llevar a cabo este diseo
Lneas de salida en una centralita # de canales en un sistema TDM (conmutacin de circuitos)
# de operadores en un sistema de atencin al cliente
Tambin se emplea en otros campos (electrnica)
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Dimensionado de redes de comunicaciones Evolucin de las llamadas entrantes a una centralita durante un da
Uso de la hora cargada para el dimensionado
Uso de recursos en periodos de menor actividad ms econmico
Se incentiva un balanceo de la carga
2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
Llamadasencurso
Hora Cargada
Puede depender de varios
factores Localizacin: zona residencial,
de oficinas, etc...
Situacin temporal: fin desemana, verano, etc...
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Contenidos Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Qu es el trfico? La intensidad de trfico (o simplemente, trfico) se define como el nmero
medio de llamadas en curso en un sistema
Tambin indica el grado de ocupacin de los recursos
Unidades
La ms empleada es el Erlang, que es una cantidad adimensional
En USA se emplea en ocasiones los CCS, definido como cientos de segundos dellamada por hora
El trfico (en Erlangs) de un grupo de circuitos
Depende del tiempo de observacin
Para un nico recurso, A 1
hT
hCA ==
C: nmero de llamadas en T h: duracin media (holding time) T: tiempo de observacin
: Tasa de llegadas
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Tipos de trfico Trfico ofrecido (TO, A, )
Es el volumen de trfico que se le ofrece a un grupo de circuitos
Trfico cursado (TC, AC)
Como es inviable dotar de recursos para todos los potenciales usuarios hay llamadas queno pueden atenderse y se pierden
El trfico cursado viene dado por aquellas peticiones que s pueden atenderse
Tambin se define como el nmero medio de recursos (circuitos) ocupados
Trfico perdido (TP, AL)
Conjunto de llegadas que no pueden atenderse y se pierden
Especialmente relevante en conmutacin de circuitos
TP = TO TC
Trfico en demora/espera (TD, AD)
En ciertos sistemas las llamadas que no pueden atenderse no se pierden, sino que esperan aque haya recursos libres
Se suele emplear en el dimensionado de sistemas de conmutacin de paquetes
En caso de que la capacidad de almacenamiento sea infinita, no se perdera ninguna llamada(sistema de espera pura)
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Trfico: cuantificacinN(t)
Ocupacincircuitos
tiempo
tiempo
1
2
34
5
N(t) se define como el total decircuitos ocupados
Representa el trfico
instantneo Su valor medio representa la
intensidad de trfico
El trfico tambin se puedemedir a partir de la ocupacinindividual de los circuitos
El volumen total es la suma de
los volmenes individuales
==obsTobsobs
TrficoTrfico N(t)dt
T
1
T
VI
En el ejemplo de la figura
A = 2 Erlangs( )=
jjcircuitoTrfico
obs
Trfico VT
1I
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Grado de Servicio El Grado de Servico (Grade of Service, GoS) da idea de la calidad que
perciben los usuarios
Depende fuertemente del tipo de sistema
En sistemas con prdida, se define como la probabilidad de prdida (oprobabilidad de congestin)
Coincide con la probabilidad de que un usuario, al realizar una llamada, se encuentre elsistema sin recursos
En sistemas de demora se suele relacionar con la probabilidad de esperar paradisponer de un recurso
Tambin se puede definir como el tiempo medio de espera antes de obtener un recurso
para cursar la llamada
ofrecidasLlamadas
perdidasLlamadasGoS = TO
TPGoS =
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Contenidos Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Introduccin Habitualmente se utilizan modelos matemticos que caractericen las
llamadas en el sistema
El proceso de Poisson es uno de los ms empleados en el mbito de las
telecomunicaciones
Tambin se usa en otros campos: fenmenos electrn/hueco, ruido de shot
El modelo bsico de trfico que se utilizar viene determinado por lassiguientes tres caractersticas
El nmero de llegadas en un tiempo determinado sigue una distribucin dePoisson
La duracin de las llamadas sigue una funcin densidad de probabilidad (fdp)exponencial negativa
La tasa de llegadas al sistema es constante (proceso estacionario)
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Proceso de Poisson Se define un intervalo de tiempo t, con t 0
La probabilidad de que haya una llamada en t
La probabilidad de no haya una llamada en t
Las llegadas son sin memoria
Una llegada en cualquier intervalo t es independiente de lo que sucediera enintervalos anteriores o futuros
Despreciando los trminos en o(t), la probabilidad de que haya ms deuna llamada en t es 0
{ } ( ) 1ttottenllegada1Pr
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Proceso de Poisson Se considera un intervalo T = m t, las probabilidades de que llegue una
llamada en cada uno de los m intervalos son independientes
El nmero total de llegadas en el intervalo T sigue una distribucin binomial
Teniendo en cuenta que:
Tomando lmites (m )
{ } kmkqpk
mTenllegadaskPr
=
( )
( ) ( )k!
m
k!
1km...1mm
!kmk!
m!
k
m k
+
==
m >> k
{ } ( ) ( )( )
kmkkmk
k
m
T1
k!
Tt1t
k!
mTenllegadaskPr
==
{ } ( )( ) T
k
ek!
TTPTenllegadaskPr k
==
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Proceso de Poisson: media y varianza Valor medio (nmero medio de llamadas en T)
Varianza
Notar que el cociente entre la varianza y la media es la unidad para eltrfico de Poisson
Este parmetro da idea del tipo de trfico: suave, a rfagas o aleatorio
( )[ ] ( )
=
=
====0k
kT
0kkkT TT
k!
ek(T)kPTPEK
( )[ ] ( ) ( ) TT(T)PkKTPE 20k
k22
T2K
2KT
===
=
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Tiempo entre llegadas Se define la variable aleatoria como el tiempo entre llegadas consecutivas
La probabilidad de que sea mayor que t coincide con la probabilidad deque no se produzcan llegadas en t
Luego la funcin de distribucin de la variable aleatoria se puede definircomo...
Y la funcin densidad de probabilidad se obtiene derivando la anterior
Origen de tiemposaleatorio
t Primerallegada
( ) { } te1tPrtF ==
{ } ( ) t0 etPtPr ==>
( ) tedt
(t)dFtf
==
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Tiempo entre llegadas El proceso de Poisson implica que el tiempo entre llegadas consecutivos
sigue una distribucin exponencial negativa
Media y varianza (distribucin exponencial)
( ) ( )
1
dtetdtttfE0
t
0
===
( ) ( )2
0
t
2
0
22 1dte
1-tdttf-t
=
==
te te1
tt
1
Funcin densidad de probabilidad Funcin de distribucin de probabilidad
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Tiempo entre llegadas
La caracterstica ms importante de la distribucin exponencial es que essin memoria
De esta manera, el pasado en la evolucin de la variable no tiene ninguna
influencia en los valores futuros Se considera que se ha producido una llegada en t = 0
En t = t0 se observa que no se ha producido ninguna llegada an
Cul es la probabilidad de que se produzca una llegada a partir de t0 en t?
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]000
0
0000
tPr
tPrttPr
tPr
tttPrt|ttPr
>
++
[ ]
( )( ) ( )( )
( ) tt
tt
t
ttt
00 e1e
e1e
e11
e1e1
t|ttPr 0
0
0
00
+
=
=
=>+
[ ] [ ]tPrt|ttPr 00 =>+
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Tiempo entre llegadas
Notar que: [ ] ( ) ( )tot...2!
tt11e1t|ttPr
2
t +=
+==>+
Proceso llegadasPoisson
Tasa de llegadasconstante
Tiempo entre llegadasexponencial
Se demuestra que lacorrespondencia
Proceso llegadas Poisson
Tiempo entre llegadasexponencial
es cierta en ambos sentidos
te
t
( )0t-te
Propiedad sin memoria de la distribucin exponencial
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Suma de dos procesos de Poisson
Otra importante caracterstica del proceso de Poisson es que la suma deprocesos independientes dan como resultado otro proceso de Poisson
Analicemos la probabilidad de que el tiempo entre dos llamadasconsecutivas de cualquier proceso sea mayor de t
Proceso
Poisson A
ProcesoPoisson B
Proceso Z
A
B
El tiempo entre llamadas de los
procesos A y B siguen distribucionesexponenciales
[ ]
[ ] t
t
B
A
e1tPr)B(
e1tPr(A)
=
=
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )ttt
BABAZ
BABA eee
tPrtPrtt,PrtPr
+ ==
=>>=>>=>
independencia Tiempo entre llegadas
exponencial, con tasa A+B
Proceso ZPoisson con tasaZ = A+B
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Tiempo de servicio exponencial
Se ha asumido que el tiempo de servicio (ts) o duracin de las llamadas enel sistema sigue una distribucin exponencial, con media 1/
Se supone un sistema donde siempre hay llamadas para ser servidas
esperando
La variable aleatoria r (ts) se modela con una distribucin exponencial
Teniendo en cuenta la correspondencia anterior, la variable aleatoriaNmero de llamadas completadas en un tiempo t seguir una distribucinde Poisson
( ) rR erf =
Cola(llamadas siempre
esperando)
Salida
tiempo
ts r
Proceso dePoisson
Salidas del
sistema
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Tiempo de servicio exponencial
Un resultado interesante es la distribucin de la variable aleatoria definidacomo la mnima de variables aleatorias exponenciales (independientesentre s)
Se define la va Z como:
Entonces, su funcin de distribucin ser
Z tambin est distribuida exponencialmente, con media (x
+y
)-1
{ }YX,minZ =
{ } [ ] [ ]{ } { } { } [ ] [ ]{ }
{ } { } { } { } ( ) ( )( )( ) ( )zzz
zz
Z
YxYX
Yx
e1e1e1
e1e1zYPrzXPrzYPrzXPr
zYzXPrzYPrzXPrzYzXPrzZPr(z)F
+
=
+=+=
=+===
independencia
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Contenidos
Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Planteamiento
Se considera un sistema como sigue:
Y se definen las siguientes variables
A(t): nmero de llegadas acumuladas al sistema en t
D(t): nmero de salidas acumuladas al sistema en t
L(t) = A(t) D(t), nmero de elementos en el sistema en tiempo t
N() es el nmero total de llegadas en un intervalo cualquiera
Se asumir una estrategia FIFO, aunque el resultado es el mismo si se
usan otras disciplinas
Se asume que todas las llamadas sern eventualmente atendidas
Cola ServicioA(t) D(t)
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Demostracin
Se definen los tiempos deespera de cada llamada enla cola como wi
Es fcil ver que
Adems, el valor medio de Len el intervalo es
Y el tiempo medio deespera
tiempo
tiempo
tiempo
tiempo
Llegadas
Salidas
A(t)D(t)
L(t)
1
2
3
4
6
5
1
2
w2
w3
w6
w5
w4
w1=0
( )
=
= N
1jj
0
wL(t)dt
( ) =
0
L(t)dt1
L
( )( )
( )
=
=
N
1jjw
N
1W
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Demostracin
Por tanto, se puede escribir que
Definiendo la tasa de entrada al sistema promedio como
se llega al siguiente resultado
Si se toman lmites y se supone que todas las variables tienden a un valorconstante, se llega a la relacin de Little: L = W
La relacin de Little se puede extender para incluir al elemento que cursalos servicios (siempre que no haya prdida de llamadas)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
NWLNWL ==
( )( )
N=
( ) ( ) ( ) WL =
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Contenidos
Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson
Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Introduccin
Proceso estocstico: conjunto de variables aleatorias que dependen deltiempo X(t)
Una cadena de Markov es un proceso estocstico discreto
El sistema puede encontrarse en un conjunto de estados
El estado, en un instante tn, slo depende del estado inmediatamente anterior yno de cmo se llegara a l
La evolucin futura del sistema slo depende del estado actual
Se suelen representar y analizar a travs de las matrices de transicin(probabilidades de pasar de un estado a otro)
Los procesos de nacimiento y muerte son cadenas de Markov en las queslo es posible pasar de un estado al posterior (nacimiento) o al anterior(muerte)
En los problemas de dimensionado se utilizan procesos de nacimiento ymuerte, en los que cada estado representa, por ejemplo, el nmero declientes en el sistema
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Procesos de nacimiento y muerte
Analicemos las posibles transiciones en un intervalo t del estado delsistema
(2) En t estaba en el estado N+1
Ha habido una muerte y no se ha producido ningn nacimiento en t
(3) En t estaba en el estado N-1
Se ha producido un nacimiento y no ha habido ninguna muerte en t
tiempot + tt
N N
N+1
N-1
Muerte (2)
Nacimiento (3)
Sin cambio (1)
Calculemos la probabilidad de queen t+t el sistema est en el estado
N (o que haya N usuarios en elmismo)
(1) En t estaba en el estado N
(a) No ha habido ningn nacimiento,
ni ninguna muerte en t (b) Se ha producido un nacimiento,
pero tambin una muerte en t
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Procesos de nacimiento y muerte
La tasas de nacimiento y muerte en el estado j sern, respectivamente, j yj
Luego la probabilidad del estado N en t+ t, PN(t+ t), vendr dada por:
Despreciando trminos en o(t)
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]tot1ttP
tot1ttP
totttPtot1t1tPttP
1N1N1N
1N1N1N
NNNNNNN
++
+++
++++=+
+++
(1)
(2)
(3)
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]ttPttPt1tPttP 1-N1N1N1NNNNN ++ +++=+
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1-N1N1N1NNNN
NN
1-N1N1N1NNNNNN
tPtPtPt
tPttP
ttPtPtPtPttP
++
++
+++=+
+++=+
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Procesos de nacimiento y muerte
Recordemos la definicin de derivada
Si asumimos que estamos en el rgimen estacionario, PN(t) es constante(PN), por lo que la derivada, PN(t), es cero
Se tiene finalmente que
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPtPt
tPttPtP 1N1N1N1NNNNN
NNN ++ +++=
+=
( ) 1N1N1N1NNNN PPP ++ +=+ Ecuacin de Equilibrio
(flujo de salida = flujo de entrada)
0 1 N-2
N-1
N N+1
21 N-1 N N+1 N+2
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Proceso de nacimiento y muerte
Se pueden utilizar otras ecuaciones de balance
Sucesivamente podramos llegar a
Adems se requiere que la suma de todas las probabilidades sea 1
0 1 N-2
N-1
N N+1
21 N-1 N N+1 N+2
1-N
N
1-NN1-N1-NNN PPPP
==
= +
=1N
0i 1i
i0N PP
=
= +
=
= +
= +
==+=
1k
1k
0i 1i
i
01k
1k
0i 1i
i00
0kk
1
1P1PP1P
R d T l f i T 2 T l t fi Di i d d i t
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Aplicacin al dimensionado de sistemas
A partir de las probabilidades de estar en cada estado se derivan losparmetros necesarios para caracterizar el sistema
Cada sistema en particular viene definido por las tasas de nacimiento y
muerte de cada estado y por otros parmetros adicionales
Se emplea la notacin de Kendall (A/B/C/D/E/F)
A: Distribucin de llegadas al sistema
Cuando se trata de un proceso de Poisson, se utiliza la letra M (memoryless)
B: Distribucin de los servicios Si es una variable aleatoria exponencial, tambin se emplea la letra M (memoryless)
C: Nmero de servidores (recursos) disponibles
D: Nmero de estados en el sistema (si no se indica se asume que es )
La diferencia entre D y C suele asociarse con las posiciones en el subsistema deespera del sistema
Cuando es , se trata de un sistema de espera pura (no hay prdida)
E: Nmero de fuentes (si no se indica se asume que es )
F: Disciplina de la cola (si no se indica se asume FIFO)
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Cola M/M/1
Se trata de un sistema en el que...
Las llamadas siguen un proceso de Poisson de intensidad
La distribucin del tiempo de servicio es exponencial, con media 1/
Slo hay un nico servidor para atender las peticiones La cola de espera es infinita, as que no hay prdida
Para plantear el diagrama de estados
La tasa de nacimiento no depende del estado actual (Proceso de Poisson)
Como slo hay un nico servidor, la tasa de muerte ser la misma para todos losestados ()
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Cola M/M/1
Planteando la ecuacin de equilibrio y asumiendo que el trfico es =/
Adems la suma de las probabilidades de estar en cada estado tiene queser la unidad
Con lo que finalmente se obtiene la probabilidad de cada uno de los estadosque forman parte de la cola
0N
2-N2
1-N1-NN1-NN P...PPPPPP
======
====
=
=
=
11
P1P1P
0k
k
0
0k
k0
0k
k
< 1
( ) -1P NN =
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Cola M/M/1
A partir de dicho resultado se puede caracterizar el sistema
Nmero medio de clientes en el sistema
Nmero medio de clientes en la cola
Tiempo medio en el sistema y en la cola, aplicando la relacin de Little
( ) ( ) ( )
( )
=
=
=
====
=
=
=
=
11
1
d
d1
d
d1k11kkPN
0k
k
0k
1-k
0k
k
0k
k
( ) ( ) ( ) ( )
====
=
+
=
= 11t11-kP1-kN
2
0t
1t
1k
k
1kkw
=
==11
1
NWS
=
==
1
1
NW
2W
W
11WW WS =
=
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Contenidos
Introduccin
Trfico
Modelo matemtico: proceso de Poisson
Relacin de Little
Procesos de nacimiento y muerte: teora de colas
Dimensionado de sistemas
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Sistema con prdidas: M/M/S/S
Se dispone de una poblacin infinita que genera llamadas
Tasa de llamadas constante () Proceso de Poisson
Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos
No hay sistema de espera
Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados se pierde
Se supone que la duracin de cada llamada sigue una distribucinexponencial negativa, con media 1/
Poblacin
1
2
S
TO TC
TP
1
2
S
1/
1/
1/
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40Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
En este caso el nmero de estados en el sistema es finito (S)
La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y poblacin infinita)
La tasa de muerte de cada estado es k (ya que en cada estado puede finalizar
cualquiera de las k llamadas en curso)
(i-1) i (i+1) (i+2) S
( )
( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i
0
i
2-i
2
1-i1-ii1-ii
P1-i
AP
1-iPPP1i
Pi!
AP
1ii
AP
i
AP
iPPPi
===
==
=====
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41Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
Luego la probabilidad de estar en cada estado ser
La probabilidad de bloqueo es la probabilidad de que una llamada entrantese encuentre el sistema ocupado (PS)
Nmero medio unidades en el sistema (coincide con el trfico cursado)
=
==
===S
0k
k0
S
0k
k
0
S
0k
k
k!
A
1P1
k!
AP1P
=
=S
0k
k
i
i
k!A
i!
A
P
=
==S
0k
k
S
S
k!
AS!A
PPBFrmula Erlang-B
EB(S,A)
( )( )PB1A
S!
A
t!
A
j!A
A
t!
A
j!A
1
!1-k
A
j!A
1
j!A
k!A
kkPNS
0t
St
S
0j
j
1-S
0t
1t
S
0j
j
S
1k
k
S
0j
j
S
0kS
0j
j
kS
0k
k =
=====
=
=
=
+
=
=
=
=
=
=
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42Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
Como es un sistema con prdidas, la relacin de Little no se puede aplicardirectamente
Uso de la tasa de llegadas cursada
La frmula de Erlang-B se emplea a travs de grficas y tablas, aunque sepuede resolver recursivamente
( )
=
=
==S
0k
k
SS
0k
k
S
k!
A
A
S!
A)EB(S,
1
k!A
S!
A
AS,EB( )
=
=1-S
0k
k
1-S
k!
A
A
!1-S
A)1,-EB(S
1
( )( )
1A1,SEB
1
A
S1
k!
A
A
!1S
A
S
S!
A
k!
A
A
S!
k!
A
A
S!
A)EB(S,
1 1-S
0k
k
1S
1-S
0k
Sk
S
S
0k
k
S+
=+
=
+== =
==
( )( )
( )( )A1,SAEBS
A1,SAEBA)EB(S,
A1,SAEB
A1,SAEBS
A)EB(S,
1
+
=
+=
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43Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
-3
10-2
10-1
100
Trfico ofrecido (Erlangs)
Probabilidad
bloqueo
S = 1
S = 25
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44Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
El GoS se asocia a la probabilidad de prdida (PB)
Para la misma ocupacin de circuitos, la probabilidad de encontrar todosocupados es menor a medida que crece el nmero de circuitos
Para una GoS constante, la eficiencia por circuito crece con el TO
Es mejor concentrar el trfico en un solo grupo, que dividirlo en varios
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Trfico ofrecido (Erlangs)
Trfi
co
cursado
porcirc
uito
0 2 4 6 8 10 12 14 161
4
7
1013
1619222528
Trfico ofrecido (Erlangs)
Se
rvidoresnecesario
s
PB 0.002
PB 0.2
PB 0.02PB 0.002
PB 0.2
PB 0.02
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45Ramn Agero Calvo
Sistema con prdidas: M/M/S/S
Deterioro del GoS frente a % de sobrecarga
Se puede ver que afecta en mayor medida a los grupos de circuitos grandes
Se especifican dos criterios de diseo: uno para carga normal y otro para cierto
nivel de sobrecarga
0% 5% 10% 15% 20% 25%0
0.005
0.01
0.015
0.02
Porcentaje de sobrecarga
Probabilidad
de
blo
queo
S=100
S=25
S=50
S=5
S=10
S=15
S=20
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46Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
Se dispone de una poblacin infinita que genera llamadas
Tasa de llamadas constante () Proceso de Poisson
Las llamadas son cursadas por un grupo de S circuitos
Se asume que hay sistema de espera (con longitud infinita)
Cuando una llamada entrante encuentra todos los circuitos ocupados esperahasta que quede alguno libre
Se supone que la duracin de cada llamada sigue una distribucin
exponencial negativa, con media 1/
Poblacin
1
2
S
TO TC=TOCola
1
2
S
1/
1/
1/
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47Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
En este caso el nmero de estados en el sistema es infinito
La tasa de nacimiento es constante (proceso de Poisson y poblacin infinita)
La tasa de muerte de cada estado es k hasta el estado S, ya que puede finalizarcualquiera de las k llamadas en curso
A partir del estado S, la tasa de muerte es S, ya que slo hay S llamadas encurso (el resto estn esperando)
Para i S (no se est en el subsistema de espera)
i SSS
SS(S-1)
( )
( )( ) 2-i2-i1-i2-i1-i
0
i
2-i
2
1-i1-ii1-ii
P1-i
AP
1-iPPP1i
Pi!
AP
1ii
AP
i
AP
iPPPi
===
==
=====
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48Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
Para i > S (subsistema de espera)
Como S+j = i
Luego
2j-S2j-S1j-S2j-S1j-S
Sj
j
2j-S2
2
1j-S1j-SjS1j-SjS
PSAP
SPPPS
PS
AP
S
AP
S
AP
SPPPS
+++++
++++++
===
=======
0Si
i
0
S
Si
Si
0
S
SSSi
Si
i PSS!AP
S!A
SAP
S!APP
SAP
==
===
>
=
SiP
S
1
S!
A
SiPi!
A
P
0Si
i
0
i
i
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49Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1
Tenemos finalmente que
SA1
SA
S!
A
S
A
S!
A
S!
A
S
A
S
1
S!
A
SA1
SA
S!
A
k!
A
1P1
S
1
S!
AP
k!
AP1P
S
0t
1tS
1Sk
SSk
1SkSk
k
S
0k
Sk0
1SkSk
k
0
S
0k
k
00k
k
=
=
=
+
==+=
=
+
+=
+=
=
+=
=
=
A < S
>
+
+
=
=
=
Si
AS
A
S!
A
k!
A
1
S
1
S!
A
Si
AS
A
S!
A
k!
A
1
i!
A
P
S
0k
SkSi
i
S
0k
Sk
i
i
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51Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
La frmula de Erlang-C se puede relacionar con la de Erlang-B
Para evitar tener que realizar factoriales, se puede resolver la de Erlang-B demanera recursiva y utilizar esta relacin para resolver la frmula de Erlang-Ccomputacionalmente
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )AS,EB1AS
A)SEB(S,
AS,AEBAS
AS,SEB
AAS
AS,EB
1
S
AAS
S!A
k!
A
S
AS
A
S!
A
k!
AAS
S
S!
A
AS,EC
S
S
0k
kSS
0k
k
S
=
+=
=
+
=
+
=
+
=
==
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52Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
-3
10-2
10-1
100
Trfico ofrecido (Erlangs)
Probabil
idad
espera
S = 1
S = 25
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53Ramn Agero Calvo
Sistema de espera pura: M/M/S
En un sistema de espera pura, la calidad de servicio viene dada por laprobabilidad de esperar o por el tiempo de espera
Aplicando la relacin de Little se puede obtener el tiempo medio de espera
en la cola
Tambin se podra emplear la probabilidad de que el tiempo de estancia enla cola de espera fuera mayor de un cierto lmite
( ) ( )( )AS
1AS,EC
1
AS
AAS,EC
NW WW
=
==
{ } ( ) ( )AS,ECeRetardoPr AS =>
Pr{Retardo > | Retardo > 0} Pr{Retardo > 0}
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54Ramn Agero Calvo
Sistemas con desbordamiento
El modelo que se plantea es unapoblacin infinita, ofreciendo untrfico de Poisson a un grupo decircuitos de primera eleccin
El trfico perdido (desbordado) poreste primer grupo de circuitos, seofrece a un segundo grupo decircuitos
El trfico desbordado NO es unproceso de Poisson
Las llamadas no son aleatoriascompletamente
Cuando una llamada encuentra elprimer grupo completo, es ms
probable que la siguiente llamadatambin lo haga
Se trata de un proceso de PoissonINTERRUMPIDO
Poblacin
1
2
N
TO1 TC1
TO2 = TP1
1
2
M
TC2
tiempoProcesos Poisson
Proceso Poisson Interrumpido
Congestin en
primer grupo
Congestin en
primer grupo
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55Ramn Agero Calvo
Sistemas con desbordamiento
Uso en el diseo de redes decomunicacin
Los enlaces directos entre nodos(centrales) slo se establecen
cuando el trfico es elevado Rentabilidad
Los enlaces directos se diseanpara que tengan una eficienciaelevada
Supone una prdida alta
Se utilizan caminos alternativos (atravs de centrales tandem) parael trfico desbordado
Si el trfico entre dos nodos esbajo no se justifica el uso de unenlace directo
El trfico de desbordamiento no esestrictamente de Poisson
Para facilitar el diseo de la red seasume que s lo es
Hay mtodos ms exactos,basados en obtener un trfico dePoisson equivalente (p.ej. Rapp)
Ruta directa(Elevado uso)
Ruta alternativa(Desbordamiento)
Redes Telefnicas Tema 2: Teletrfico. Dimensionado de sistemas
Si d b d i
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56Ramn Agero Calvo
Sistemas con desbordamiento
Se tiene la red de la figura, y sumatriz de trfico correspondiente
1 2
3
T
1
2
3
1 2 3
-
-
-
T12 T13
- -
- T32Matrizde
trfico
(ERLAN
GS)
1.Se dimensiona el enlace L12 a partir de T12- Nmero de circuitos necesarios para llegar a unaPB (o eficiencia) objetivo
- Se calcula el trfico desbordado por este grupo de
circuitos
2.Se calcula el trfico total ofrecido al enlace L1T,como suma del desbordado por L12 y T13
- Se utiliza para calcular el nmero de circuitosnecesarios en L1T (PB objetivo)
- Se calcula el trfico cursado por este grupo decircuitos
3.Se dimensiona el enlace L3T a partir de T32- Se calcula el trfico cursado por L3T
4.Se calcula el trfico ofrecido a LT2
como sumadel ofrecido de 1 a 2 (T12), desbordado por L12 ycursado por L1T y el ofrecido de 3 a 2 (T32) ycursado por LT3
- Se usa este trfico para dimensionar LT2
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Si t d b d i t
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57Ramn Agero Calvo
Sistemas con desbordamiento
1 2
3
T
L12 TO12=T12PBDirecta N12 PB12=EB(N12,TO12)
L1T TO1T=T13+T12PB12PBFinal N1T PB1T=EB(N1T,TO1T)
L3T TO3T=T32PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)
LT2TOT2=T12PB12(1-PB1T) +
+T32(1-PB3T)PBFinal NT2 PBT2=EB(NT2,TOT2)
EnlacePB
ObjetivoTO total
# circuitos(Tablas)
PB Final
1
2
3
1 2 3
-
-
-
T12 T13
- -
- T32Matrizdetrfico
(ERLANGS)
LT3 PBFinal N3T PB3T=EB(N3T,TO3T)TOT3=T13 (1-PB1T)
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