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Tema 1:
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Vectores
Defnicin de vector3-dMdulo de unvectorVectores unitariosSuma vectorial
Producto por unescalarProducto escalarBase OrtonormalProducto vectorialDerivadas
Concepto dederivadaTala dederivadasDerivada de unvector
!nte"rales
Concepto deinte"ral!nte"ral defnidaTala de
inte"rales!nte ral de un
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# $a% & a' & a()
B $% & ' &()
Vector e*uipolente:vectores con i"ual direccin
sentido ' mdulo+
Vector lire: Con,unto deinfnitos vectores
e*uipolentes a uno dado+
Vector: Par ordenado #B
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Caractersticas deun Vector:
Direccin: .ectaen la *ue est/inscrito$' paralelas)+Sentido: Cadadirecc+ dos
sentidos+ Punta de0eca+Mdulo:Distancia delvector en lasmismas unidades+
C/lculo del mdulode un Vector:
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-1
%
'
(
2,emplo: Calcula elmdulo del vector v
$-3& 4& -1)
4
74,314)1(2)3( 222 ==++=v
2,emplos 5sicos:C262.!D#D $v)
!7T27S!D#D D2 6#8.#V2D#D $")
-
3
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P.OP!2D#D2S D26M9D6O
2s defnido positivo
0v
4
2scalar con unidadesi"uales a las del
vector
IRv
1
2l vector elementoneutro tiene mdulo
neutro
)0,0,0(0 == vvSi
3
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r
Defnicin: 2s unvector de mdulo 1
tilidad: 2n 5sicase utili(an para
marcar direccionessin a;ectar al
mdulo
%
'
(
C/lculo de unitario:
v
vuv =
v
vu v
1 =vu
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%
'
(
r
v
2,emplo: )
2n primer lu"ar secalcula el mdulo
de v
C/lculo de unitario:
)8.0,0,6.0(5
)4,0,3( =
==
v
vuv
vu
525)4(0)3( 222
==++=v
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2,emplo 5sico:6e' de
8ravitacinniversal
Campo el?ctrico
rg u
r
GMmF
2=
6os vectores en5sica se suelen
e%presar:
xuxx =
%
'
( x
xu
r
2s decir:Sentido
Mdulo ointensidad
Direccin
rur
KQE
2=
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Defnicin: Sean losvectores a$a%& a'&a() ' b$%& '& ()
.e"la delparalelo"ramo
2l vector suma $oresultante)
a+b$a%@%& a'@'&a(@()
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P.OP!2D#D2S D2 6#SM# V2CTO.!#6
Propiedadconmutativa
vwwv +=+1
2l mdulo de la sumano es i"ual a la suma
de los mdulos
vuwu ++
3
2lemento neutro4 vv =+ 0
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2,emplos 5sicos:52.A# .2S6T#7T2
(R)C#MPO
8.#V!T#TO.!O.2S6T#7T2 (g)
2,emplo: Calcula laresultante de los
vectores v $-3& 4&-1) ' w $4& 4& -4)Compruea *ue el
mdulo de la suma esmenor *ue la sumade los mdulos
==
n
i
iFR1
==
n
i iT
gg1
10,526)3(4)1(
46,312)2(22
74,314)1(2)3(
222
222
222
==++=+
==++=
==++=
wv
w
v
)3,4,1(
)21,22,23(
==++=+wv
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v
vk
Defnicin: Sean elvector v$v%& v'&
v() ' el escalar
2l producto de por vv $v%& v'& v() $v%&
v'& v()
%
'
(
Para 1
Para =
2,emplo 5sico:Momento 6ineal
5uer(a$4E le' 7eFton)
amF=
vmp=
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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTO PO. 7
2SC#6#. camia el sentido
0kSi
4
6a direccin del vectorresultante no camia
vkv
1
2l mdulo tami?n semultiplica veces
vkvk =
3
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Defnicin: Con,untode 3 vectores
unitarios i&j&k&orto"onales entre s& a
partir de los cuales&
puede escriirsecual*uier vector como
una cominacinlineal de ellos+
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(
=
=
=
k
j
i
),,(),0,0()0,,0()0,0,(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1(
zyxzyx
zyxkzjyixv
=++=
=++=++=
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Defnicin: Sean losvectores a$a%& a'&a() ' b$%& '& ()
!nterpretacin"eom?trica
Pro'eccin de asore b
cosaa =
Permite calcular lacomponente de un
vector en una
direccin
Vectoresperpendiculares &producto escalar
nulo
2l producto escalar:
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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTO 2SC#6#.
Propiedad conmutativavwwv =1
Propiedad distriutiva4 uvwvuwv +=+ )(
Propiedad distriutiva
$escalar)
3 wkvwvkwvk == )(
> 02 = vvv
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T2O.2M# D26P.ODCTO 2SC#6#.
zzyyxx wvwvwvwv ++=
D2MOST.#C!97
$lneas maestras)1
0;0
0;0
0;0
===
==
==
==
kkjjii
kiik
jkkj
ijji
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#P6!C#C!97 D26T2O.2M# D26
P.ODCTO 2SC#6#. yyyyxx wvwvwvwv ++=
Calcular el /n"ulo *ue;orman dos vectores
entre s wvwv =cos
2,emplo: Calcula el/n"ulo *ue ;orman los
vectoresv $-3& 4& -1) ' w $4&
4& -4)
( ) ( ) ( ) 0212223 =++=wv
27090
046,374,3
0cos
wv
wv
=
==
=
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2,emplo 5sico:Traa,o
ES UN ESC!R"
rFW =
cosrFW =rF
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Defnicin: Sean losvectores u$u%& u'&u() ' v$v%& v'& v()
2l vectorproductovectorial tiene las
si"uientescaractersticas
Mdulo#senvuvu
=
Direccin#Perpendicular al plano
*ue ;orman u'v
Sentido#Gueda determinado por la
re"la de la manoi(*uierda
vuvu =
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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTOV2CTO.!#6
Propiedadanticonmutativa
vwwv =1
Propiedad distriutiva4 uvwvuwv +=+ )(
Propiedad distriutiva
$escalar)
3 wkvwvkwvk == )(
Vectores paralelos> 00 == vkvvv
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T2O.2M# D26P.ODCTOV2CTO.!#6
D2MOST.#C!97
(lneas maestras)
0
;
;
;
===
==
==
==
kkjjii
jkijik
ijkikj
kijkji
Nece$ita%o$ una regla de
c&lculo"H
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.286# D2 CI6C6OD26P.ODCTOV2CTO.!#6
==
zyx
zyx
www
vvv
kji
wv
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Paso 1: Se duplican lasdos primeras flas
zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
==
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zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
==
kwvjwviwv yxxzzy ++
Paso 4: 6os ;actores deestas dia"onales son
positivos
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zyx
zyx
zyx
vvv
kji
www
vvv
kji
wv
==
kwvjwviwv yxxzzy ++
Paso 4: 6os ;actores deestas dia"onales son
ne"ativos
kwvjwviwv xyzxyz
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==
zyx
zyx
www
vvv
kji
wv
kwvjwviwv yxxzzy ++
kwvjwviwv xyzxyz
Paso 3: Se suman los;actores comunes
No 'ace alta arender lar%ula de %e%oria* $olo
calcular"H
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2J2.C!C!O D2 CI6C6OP.ODCTOV2CTO.!#6
=
=
+=
+=
231
523
23
523
kji
wv
kjiw
kjiv
kji 954 ( ) ( )kji 26)15(
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2,emplos 5sicos:Momento de la
5uer(a $M)Momento an"ular
o cin?tico $!)
FrM =
prL =
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2,emplos 5sicos:Momento de la
5uer(a $M)Momento an"ular
o cin?tico $!)
prL =
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Tasa de VariacinMedia $,M)
7os indica camiosde ;unciones
x
xfTM
= )(
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Derivada:7os indica camios
instant/neos de;unciones
!x
x!ff
)(=
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Derivada:7os indica camios
instant/neos de;unciones
!x
x!ff
)(=
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Derivada:7os indica camios
instant/neos de;unciones
!x
x!ff
)(=
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Derivada:7os indica camios
instant/neos de;unciones
!x
x!ff
)(=
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xsen!x
x!e!x!e
x!x
senx!nx
!x
!x
x!x
x!
!x
!k
x
x
nn
==
==
==
cos
cos
1ln0
1
Tala de derivadasnecesaria para 5sica
de 4KBT
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P.OP!2D#D2S D2 6#SD2.!V#D#S
Derivada de la suma
"gfx"xgxf +=+= )()()(1
Derivada del producto de una poruna ;uncin
gkfxgkxf == )()(4
Derivada de la ;uncin producto
"g"gfx"xgxf +== )()()(3
Derivada de la ;uncin cociente
2 )()()(
""g"gf
x"xgxf
==>
.e"la de la cadena
""gfx"gxf == )())(()( L
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6a derivada de un vectores la derivada de unasuma& por lo *ue se
deriva componente acomponente
( )
),,()(
)(
)(
)()()()(
zyxk!#
#!zj
!#
#!yi
!#
#!x
k#zj#yi#x!#
!
!#
#r!
=++
=++=
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2,emplos 5sicos:Velocidadinstant/nea$vdrdt)
#celeracininstant/nea
$advdt)
2
2)()(
)(
!#
#r!
!#
#v!a
!#
#r!v
==
=
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5$%) es unaprimitiva de ;$%) si
se cumple *ue: )(
)(xf
!x
x!F=
n e,emplo:2ncuentra laprimitiva de la
;uncin ;$%)4%-L%4
kxxxFxxxf +== 32235)(52)(
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#l con,unto de todaslas primitivas de una
;uncin ;$%) se lellama inte"ral
indefnida
+= kxF!xxf )()(
Derivacin
!nte"racin
)(xf
)(xf
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kx!xx
ke!xenk
n
x!xx
kx!xxsenk$x!x$
kxsen!xxk!x
xxn
n
+=
+=++
=
+=+=
+==
+
ln1
1;
1
cos
cos0
1
Tala de inte"ralesnecesaria para 5sica
de 4KBT
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P.OP!2D#D2S D2 6#S!7T28.#62S
6a inte"ral de la suma es la suma deinte"rales
4 [ ] +=+ !xxg!xxf!xxgxf )()()()(
6a inte"ral de C veces la ;uncin es C vecesla inte"ral
1 = !xxf$!xxf$ )()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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52/56
T2O.2M# D2 B#..ON =%
aaF%F!xxf )()()(
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n e,emplo:2ncuentra lainte"ral de la
;uncin ;$%)4%-L%4entre los lmites
%3 ' %L
5
3
2)52( !xxx
5
3
32
3
5xx =
= 3232 3
3535
355 ( ) 3,147
3
44236
3
550==
=
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6a inte"ral de un vectores la inte"ral de unasuma& por lo *ue se
inte"ra componente acomponente
( )
=++
=++=
!#k#v!#j#v!#i#v
!#k#vj#vi#v!#v
zyx
zyx
)()()(
)()()(
k#r!#v += )(
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-.b/'01
2,emplo 5sico:Traa,o de una
;uer(a noconstante
= %
ar!FW
ikxF = k!zj!yi!xr! ++=
&k
kx!xkxr!ikxW2
25
2
1)(
5
0
25
0
5
0====
2(N)
3(%)
4
4k
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ttp:iescastelar+,untae%tremadura+netvectores3dvectores3d+tml
www5low67roble$5co%089:;
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