INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-1
NÚMEROS REALES.-
NÚMEROS REALES.- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números
irracionales I.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.- Según la definición anterior podemos establecer la
siguiente clasificación:
N+ (Naturales +) },...4,3,2,1{
Q (Racionales) Z (Enteros) Cero }0{
N- (Naturales -)
R (Reales) },...4,3,2,1{
Fraccionarios
,....3
7,25.0,
2
1
I (Irracionales) ,...,2,3
EJERCICIO: Pág.50 el 1.
RECORDEMOS ALGUNAS COSAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES.-Todo número racional se puede
expresar como un número decimal o como fracción. Recordemos como se pasa de uno a otro:
DIVISIÓN
REGLAS
EJERCICIO: Pág.50 el 2.
NÚMERO
DECIMAL
FRACCIÓN
Decimal exacto.- Se suprime la coma decimal, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.
Decimal periódico puro.- Se suprime la como decimal, se le resta la parte entera y se divide el
resultado por tantos nueves como cifras tiene el período. Decimal periódico mixto.- Se suprime la coma, se le resta la parte entera seguida del anteperiodo, y
se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período, seguidas de tantos ceros como
cifras tiene el anteperiodo.
NÚMEROS COMPLEJOS.-
En los siglos XV y XVI los algebristas buscan la solución de algunas ecuaciones similares a 01x2 . Las soluciones
tienen la forma 1x . Más tarde se empezaron a manejar números de la forma 125 .
Todos estos números no son números reales, por este motivo se vio la necesidad de ampliar dicho conjunto, a los nuevos
números se les llamó números complejos (No se estudian en este curso).
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-2
INTERVALOS EN LA RECTA REAL.- Los números reales se pueden representar en una recta, al hacerlo
aparecen los llamados intervalos:
Intervalo abierto: (a,b) bxa
a b
Intervalo cerrado: [a,b] bxa
a b
[a,b) bxa
Intervalos semiabiertos a b
o semicerrados
(a,b] bxa
a b
EJERCICIOS: Pág. 33 el 1 –algunos- / Pág.50 el 4, 5 y 6 –algunos-.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.- Dado un número real a, se define su “valor absoluto de a”
como:
0asia
0asiaa
EJERCICIOS: Pág. 33 el 2 –algunos- / Pág.50 ejercicio 7 –algunos-.
NÚMEROS IRRACIONALES.- Son números cuya expresión decimal tienen infinitas cifras decimales no
periódicas.
Normalmente raíces como ,....2,2 3 , aunque algunos son números muy conocidos en
matemáticas como ....7182818,2eo....1415926535,3 .
Representación gráfica:
Ej. Representar el número .....4142135623,12 . Nos basamos, en este caso, en un cuadrado de lado 1:
2
Según el Teorema de Pitágoras: 211d222 2d
EJERCICIO: Pág.50 el 3 –algunos-.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-3
RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.- En general, la raíz n-sima de un número real a,
que simbolizamos por n a , es otro número b, que elevado a la potencia n nos da a, esto es:
abbann
El número n es un número natural mayor que 1 y se llama índice de la raíz.
El símbolo es el símbolo de la raíz, se llama radical.
El número a se llama radicando.
RAÍCES CUADRADAS.- Dado un número real positivo a, la ecuación x2=a tiene dos soluciones
ax,ax que se llaman raíces cuadradas de a.
RAÍCES CÚBICAS.- Dado un número real cualquiera a, la ecuación x3=a tiene una solución, que se
simboliza por 3 a y que se llama raíz cúbica de a.
En general:
EJEMPLOS: 33 884
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.-
1) SUMA.- Solo podemos sumar radicales semejantes. Ej: 3433348273
2) PRODUCTO.- Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los dos radicandos.
nnn baba .
3) COCIENTE.- Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos . nn
n
b
a
b
a .
4) POTENCIA.- Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando. n mm
n aa .
5) RADICACIÓN.- Para hallar la raíz de otra raíz se deja el mismo radicando y se multiplican los índices. mnm n aa .
6) Toda potencia de exponente fraccionario es igual a una raíz que tiene por índice el denominador y por exponente el
numerador: 2nconaaam
nn mnm .
Dado un número real a cualquiera y un número natural n, la ecuación xn=a tiene:
Dos soluciones, una positiva n a y otra negativa
n a , si n es par y a positiva.
Una solución n a , si n es impar y a es un número real cualquiera positivo o negativo.
Ninguna solución real si n es par y a negativo.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-4
RADICALES EQUIVALENTES.- Dos radicales son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.
Ej: 543 243812793
De esta definición se pueden deducir algunas cosas importantes:
Simplificación de radicales.- Para simplificar un radical se dividen el índice y el exponente
del radicando por un divisor común. n mnp mp
aa
Reducción de radicales a común índice.- Para reducir dos o más radicales a común índice se
buscan otros radicales equivalentes a los primeros y que tengan todos ellos el mismo índice.
Ej: 4 53 47,5,3 . Vamos a reducir estos radicales al mismo índice:
Calculamos el m.c.m. de los índices (2,3,4) = 12.
Los radicales equivalentes a los anteriores, pero con el mismo índice, se obtienen:
Colocando como índice común el m.c.m. obtenido.
Y como exponente del radicando, el resultado de dividir ese m.c.m. común, entre cada uno de
los índices iniciales, y el resultado multiplicado por cada uno de los exponentes que tenían
inicialmente.
En este caso se obtienen 12 1512 1612 67,5,3
Extracción de factores de un radical.- Veamos algún ejemplo: 33 3752752
EJERCICIOS: Pág. 34 el 1, 2, 3 y 4 / pág. 35 el 5, 6, 7 y 8 –algunos-.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.-Racionalizar es transformar una fracción con radicales en el
denominador, en otra equivalente cuyo denominador no los contenga.
REGLAS GENERALES:
1) Cuando solo hay un sumando en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz.
NOTA.- Esto si son raíces cuadradas.
2) Cuando hay dos sumandos en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del
denominado.
Ej: Racionalizar 53
6y
3
5
.
EJERCICIOS: Pág. 36 el del 9 y 10 –algunos-.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-5
LOGARITMOS. PROPIEDADES.- Sea 1ay0a , definimos el logaritmo en base a de un número P,
y lo designamos como Ploga , como el número al que hay que elevar la base a para que se obtenga P. Es
decir: pabplogb
a
Ejemplos: 38log2 ya que 328 3
8
1log2 ya que 3
32
2
1
8
1
225log5 ya que 2525 2
25
1log5 ya que 2
25
5
1
25
1
4000.10log10 ya que 410000.10 40001,0log10 ya que 4
10000.10
10001,0
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.-
1. Logaritmo de la base: 1aloga . El logaritmo en base a de a es uno.
2. Logaritmo de la unidad: 01loga . El logaritmo de la unidad es cero.
3. Logaritmo de un producto: BlogAlog)BA(log aaa . El logaritmo de un producto de varios factores es igual
a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores.
4. Logaritmo de un cociente: BlogAlogB
Alog aaa
. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los
logaritmos del numerador y del denominador.
5. Logaritmo de una potencia: AlognAlog an
a . El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
Este caso se puede aplicar también al logaritmo de una raíz, basta con expresar dicha raíz en forma de
potencia. Ejemplo: n
AlogAlog
n
1AlogAlog a
an
1
an
a
6. Cambio de base: Por último vamos a indicar como podemos pasar de un logaritmo en cualquier base otro
en la base decimal: alog
xlogxloga
LOGARITMOS MAS IMPORTANTES: DECIMALES Y NEPERIANOS.-Dentro de los logaritmos que
nos podemos encontrar existen dos que destacan:
1) Los de base 10, denominados logarítmos decimales. Se expresan loglog10
2) Los de base e, llamados logaritmos neperianos. Se expresan lnloge
EJERCICIOS: Pág. 39 el 1 –algunos-, 3, 4 y 5 / pág. 51 el 27, 28, 29, 30, 31 y 32 –algunos-.
Los logaritmos anteriores son los que suelen traer las calculadoras, a partir de ahora
de ahora nos ocuparemos de los decimales que son los más utilizados.
e se llama el número e. Su valor es e=2,718281...
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-6
EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS REALES: APROXIMACIONES.- Los números reales reflejan con
absoluta precisión el resultado de un cálculo teórico, por ejemplo, podemos obtener un números como:
...,13
53,
5
23,625,3 3
Vamos a fijarnos en este último: 13
53 . Si calculamos su valor real sale ...621111091́
13
53
Este valor, en la práctica es poco operativo al tener infinitos decimales, por ello es necesario tomar un valor
aproximado: 6211́ó621́ó61́ etc. Se dice que hemos aproximado, respectivamente, con 2, 3 ó 4
cifras significativas.
Al pasar del valor exacto al aproximado se producirá un error que será mayor o menor dependiendo de la
aproximación que se ha tomado.
Existen dos tipos de errores:
aproximadoValor)exacto(realValorabsolutoError realValor
absolutoErrorrelativoError
Para que las cantidades aproximadas sean fiables, el error que se comete debe estar controlado, es decir,
debe ser menor que cierta cantidad llamada cota de error. Por ejemplo, si la aproximación ha sido 1´6,
como la segunda cifra es la décima, tomamos 0´1:2 = 0´05.
RESUMEN.- Tomando las aproximaciones anteriores, sus correspondientes errores y cotas serán:
Valor real ó exacto ...621111091́13
53
Valores aproximados 1´6 1´62 1´621
Errores absolutos 0´02 0´001 0´0001
Cotas de error absoluto 0´1:2 = 0´05 0´01:2 = 0´005 0´001:2 = 0´0005
Como vemos los errores absolutos son menores que la cota de error.
EJERCICIO: Pág. 40 el 1® / pág. 41 el 1®.
NOTACIÓN CIENTÍFICA. SU USO EN LA CALCULADORA.- En determinadas áreas de la ciencia (Física,
Química, Biología, …) aparecen números reales que o bien son muy grandes (Ej: distancia entre dos estrellas) o bien muy pequeños (Ej: masa de un electrón), estas características los hacen bastante incómodos a la hora
de expresarlos, es por ello por lo que se recurre a la llamada notación científica.
Ejemplos: Volumen de la Tierra = 1.080.000.000.000.000.000 m3 = 1´08 x 1018 m3
Diámetro de un virus = 0´000000003 m = 3´0 x 10-9 m
NOTA.- El número decimal que va delante solo puede tener una cifra en la parte entera.
Cada alumno debe saber manejar su propia calculadora.
EJERCICIOS: Pág. 42 el 4.
EJERCICIOS: Pág. 52 el 36.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-7
FACTORIALES Y NÚMEROS COMBINATORIOS.-
FÓRMULA DEL BINOMIO DE NEWTON.-
Triángulo de Tartaglia.- Debe su nombre al apodo de su descubridor, Niccolò Fontana, que debido al
golpe que sufrió quedó tartamudo (Tartaglia). Formó el siguiente triángulo:
Binomio de Newton.- Los numeritos que aparecen en el triángulo de Tartaglia, son los coeficientes de los
desarrollos de los sucesivos potencias de binomios:
NOTA.- Si el binomio lleva el signo menos, los sumandos del desarrollo van alternando + - + - + -
EJERCICIOS: Pág. 45 el 1 y 2.
FACTORIAL DE UN NÚMERO.- Si n es un número natural, n>2, se llama factorial de n, y se escribe !n , al
producto de n factores decrecientes a partir de n:
123.....)2n()1n(n!n
(“n factorial”)
Propiedades importantes: 1) 1!1 2) 1!0
NÚMEROS COMBINATORIOS.- En general, si m y n son números naturales,
2nm definimos:
)!nm(!n
!m
n
m
(“m sobre n”) .
Propiedades importantes: 1) m1
m
2) 10
m
3) 11
1
4) 10
1
5)
10
0
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-8
SUCESIONES.-
Definición de sucesión.- Llamamos sucesión a un conjunto infinito de números dados ordenadamente, de
modo que se pueden numerar: primero, segundo, tercero,…
Términos de la sucesión.- Son cada uno de los elementos que forman la sucesión. Se suelen designar
mediante letras con subíndices que indican el lugar que ocupan: a1, a2, a3, a4, a5,…
Termino general de una sucesión.- Es el término que representa a cualquiera de los términos de dicha
sucesión. Se simboliza por an.
¿Cómo se determina una sucesión?.- No en todas las sucesiones se puede obtener un término general.
Nosotros en este curso manejaremos habitualmente sucesiones determinadas mediante una de las dos formas
siguientes:
1) Dando la expresión del término general. Esto se hace dando una “fórmula”.
Ejemplo: an=n2+2, con este término general, la sucesión sería: 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51,…
2) Dando una ley de recurrencia. Esto consiste en dar el valor de los primeros términos y un
criterio para obtener cada término a partir de los anteriores.
Ejemplo: a1=1, a2=3, an=an-1+2an-2. La sucesión sería: 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85,…
Sucesiones con definiciones curiosas.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-9
EJERCICIOS: Pág. 57 el 1-a-b-f y 2 (lo hacen ellos y lo entragan como un trabajo).
ALGUNAS SUCESIONES ESPECIALMENTE INTERESANTES.- Dentro de las sucesiones a dos casos
especialmente interesantes:
PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
DEFINICIÓN
Una progresión aritmética es una sucesión
en la que se pasa de cada término al
siguiente sumando un número, d, al que se
llama diferencia de la progresión.
Una progresión geométrica es una sucesión en la
que se pasa de cada término al siguiente
multiplicando por un número, r, al que se llama
razón de la progresión.
TÉRM
INO
GENERAL
El término general viene dado por:
d)1n(aa 1n
El término general viene dado por:
1n
1n raa
SUM
A D
E L
OS
“n”
PRIM
EROS
TÉRM
INOS La suma de los n primeros términos de
una progresión aritmética es:
2
n)aa(a...aaS n1
n21n
La suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética es:
)1rsi(1r
araa...aaS 1n
n21n
SUM
A D
E L
OS
INFINITOS
TERM
INOS
La suma de los infinitos términos de una
progresión geométrica en la que 1r ,se
obtiene así:
r1
aS 1
NOTA.- La expresión “suma de los infinitos términos” no es muy correcta ya que una suma debe tener un número finito de sumandos. Sin embargo se usa, queriendo decir que
mientras más sumandos pongamos, más se parece el resultado a la expresión indicada.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-10
EJEMPLOS:
EJERCICIOS: Pág. 59 el 1, 2, 3, 4, 5, 6 –algunos-
NOTA.- No veremos los límites de sucesiones
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-11
ÁLGEBRA.-
LAS IGUALDADES EN ÁLGEBRA.- En álgebra existen dos tipos de igualdades:
Identidades.- Dos expresiones algebraicas se dice que son identidad, cuando operando en una de
ellas se llega a la otra. Ej: x1025x)5x(22 (al desarrollar el binomio llegamos al 2º miembro)
Ecuaciones.- Dos expresiones algebraicas se dice que son ecuación, cuando operando en una de
ellas no se llega a la otra. Ej: x12xx23 (ahora no se puede operar para llegar el 2º miembro)
REPASO DE POLINOMIOS.- Recordar de forma muy breve los siguientes conceptos:
Recordar: (Muy brevemente)
DIVISIÓN DE POLINOMIOS.-
Dados dos polinomios D(x) y d(x), se pueden encontrar mediante división entera de polinomios otros dos
polinomios c(x) (cociente) y r(x) (resto) que verifiquen estas dos relaciones:
D(x) = d(x)·c(x) + r(x)
Grado r(x)<grado d(x)
EJERCICIO: Recordar la división con este ejemplo: )2x(:)1x3x8x(24
REGLA DE RUFFINI.- La división de polinomios, en las cuales el divisor es de la forma (x-a), siendo a un número real, se pueden hacer de la forma habitual, pero es más sencilla y rápida de usar la regla de
Ruffini.
Veamos un ejemplo (el mismo de antes): )2x(:)1x3x8x(24
Aplico Ruffini 1 0 -8 3 -1
2 2 4 -8 -10 Cociente: 5x4x2x23
1 2 -4 -5 -11 Resto: 11
TEOREMA DEL RESTO.- El resto de la división de un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor numérico
del polinomio P(x) para x=a. Es decir r(x)=P(a).
EJERCICIO: Aplica el teorema del resto en la división del ejemplo anterior.
Polinomios
Suma de polinomios
Diferencia de polinomios
Producto de polinomios
Valor numérico de un polinomio.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-12
RAICES DE UN POLINOMIO.- Se dice que un número a es una raíz (o cero) del polinomio P(x), si el
valor numérico de P(x) para x=a es cero, es decir P(a)=0.
Un polinomio tiene tantas raíces como indica su grado.
Los polinomios con coeficientes enteros pueden tener raíces enteras, aunque a veces pueden ser
fracciones, números irracionales e incluso números complejos (no son números reales). En el primer
caso, las raíces enteras coinciden con divisores del término independiente.
EJERCICIO: Calcula las raíces del siguiente polinomio: 2xx2x23
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO.- Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de
factores de la forma ...)cx()bx()ax(k , donde a, b, c,... son las raíces del polinomio y k
es el coeficiente de la x de mayor grado.
¡IMPORTANTE!. Algunas veces no es fácil encontrar las raíces del polinomio por no ser estas enteras (son números complejos), en este caso el polinomio
se expresa sin factorizar.
EJERCICIOS: Pág. 75 el 1, 2 y 3.
FRACCIONES ALGEBRAICAS.- Llamamos fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios, es
decir )x(Q
)x(P.
Como ocurre con cualquier fracción, la algebraica tiene las siguientes características:
A veces se puede simplificar.- Para ello debemos factorizar numerador y denominador, y
esperar a que uno o más factores se puedan simplificar. Ej.:
3x
5x2x3
)3x(x
)5x2x3(x
x3x
x5x2x322
2
23
.
Fracción algebraica irreducible.- Es aquella fracción que no se puede reducir, para ello el
numerador y el denominador no pueden tener raíces comunes. Ej.: En el ejemplo anterior hemos
llegado, después de simplificar, a una fracción irreducible.
Fracciones algebraicas equivalentes.- Son aquellas en las que una se obtiene de la otra
simplificando (ver ejemplo anterior). Dicho de otra forma, son equivalentes cuando al simplificar
las dos, se obtiene la misma fracción. Las fracciones equivalentes se caracterizan porque sus
productos cruzados coinciden, es decir:
)x(M)x(Q)x(N)x(P)x(N
)x(M
)x(Q
)x(P
Reducción a común denominador.- Al igual que en las fracciones numéricas, las algebraicas se
pueden reducir a común denominador. El proceso es el mismo:
Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
Vamos pasando de las fracciones iniciales a otras equivalentes que llevan por denominador el m.c.m. calculado antes, y
por numerador el resultado de dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicado por el numerador.
Ej.: )2x(xadoresmindeno.m.c.m)2x(x
)1x(xy
)2x(x
2x
2x
1xy
x
1
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-13
Operaciones.- Veamos los ejemplos:
SUMA y RESTA
)1x(xadoresmindenolosde.m.c.m
xx
5x9xx2......
)1x(x
)1x(xx2
)1x(x
2x
)1x(x
)1x()7x(x2
xx
2x
x
7x2
23
2
PRODUCTO 1x
xx3
)1x()1x(
x)1x3(
1x
x
1x
1x32
2
COCIENTE 1x
x2
)1x()1x(
xx2
x
1x:
1x
x22
32
2
EJERCICIOS: Pág.77 el 1, 2, 3, 4 y 5.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-14
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.-
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.- Vamos a recordarlas con algún ejemplo:
2x72x2x9x2x32x66
x2
6
x3)1x3(2
6
x2
2
x
3
1x3
7
2x
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-
Definición.- Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación en la que el exponente
máximo de la incógnita es dos.
Forma.- Toda ecuación de segundo grado se puede escribir siempre de la forma 0cbxax2
donde 0a . Los números a, b y c se denominan coeficientes de la ecuación, mientras que x es la
incógnita.
Al resolver nuestra ecuación podemos encontrarnos los siguientes casos:
ECUACIÓN COMPLETA
0cy,b,aSiendo
0cbxax2
Soluciones:
a2
ac4bbx
2
ECUACIONES INCOMPLETAS
0cya;0b
0cax2
Despejamos x:
24x;42
8x;8x2;08x2
222
0bya;0c
0bxax2
Resolvemos: .0)27x3(x;0x27x32
Dos casos:
93
27x;027x3ó0x
Soluciones de la ecuación.- Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución
dentro del conjunto de los números reales. Para saber cuantas soluciones tiene la ecuación basta con
saber el signo del DISCRIMINANTE, que es lo que va dentro de la raíz de la solución general, es
decir:
ac4banteminDiscri2 .
Así:
DISCRIMINANTE SOLUCIONES EJEMPLO
0ac4b2 Dos soluciones reales 014x5x
2
0ac4b2 Una solución real doble 09x12x4
2
0ac4b2 No tiene soluciones reales 03x2x
2
EJERCICIOS: Resolver las ecuaciones de la tabla anterior.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-15
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-
Ecuaciones
bicuadradas
Llamamos ecuaciones bicuadradas a las
ecuaciones de la forma 0cbxax24 .
Por su forma, muy parecida a la ecuación de
segundo grado, se resuelve de una forma
similar.
Dada la 036x13x24 .
Resolviendo como una de 2º grado:
4x
9x
2
2
. Por tanto la x será:
2xy2x
3xy3x
43
21
.
EJERCICIO: Pág. 80 el 2.
Resolución de
sistemas de
ecuaciones no
lineales
Son sistemas que al resolverlos nos conducen a
una ecuación de segundo grado. ;01yy2;y2y1;y2
y
y1
:Sustituyo.y1xy2
y
x
1yx
22
2x,2/1x;1y,2/1y
Ecuaciones
racionales
Son ecuaciones en las que aparecen las
incógnitas en los denominadores.
Siempre hay que comprobar las posibles
soluciones ya que pueden anular el
denominador, en este caso no son solución.
;012x19x5
;x12x6xx12x6
;)2x(x
)2x(x6
)2x(x
x)1x()2x(6
;62x
1x
x
6
2
22
5/4xy3x
→ Valen las dos ya que ninguna anula el
denominador.
EJERCICIO: Pág. 80 el 3.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-16
Ecuaciones
irracionales
con
radicales
Son ecuaciones en las que aparecen las
incógnitas dentro de uno o más radicales.
Siempre hay que comprobar las posibles
soluciones ya que pueden dar lugar a raíces con
el radicando negativo, en este caso no son
solución.
11x;11x
:cuadradoAl;11x
22
0x
→ La solución es válida al sustituir se cumple
la ecuación inicial.
EJERCICIO: Pág. 80 el 4.
ECUACIONES EXPONENCIALES.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente.
Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:
a) 27
13
2x1 . En este caso expresamos los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma
base, para después identificar los exponentes.
3x133
13
27
13
23
3
x1x122
. Resuelvo y sale 2xy2x
b) 156x5x2
. Intentamos lo mismo de antes, expresamos los dos miembros de la ecuación como
potencias de la misma base, para después identificar los exponentes.
06x5x5515206x5x6x5x
22
. Resuelvo y sale 3xy2x
c) 332x . Ahora no hay forma de expresar el segundo miembro como potencias de dos, por lo que
nos vemos obligados a tomar logaritmos en ambos miembros:
33log2logx33log2logx . Despejando
2log
33logx
d) 12221xx . En ese caso, al tener dos sumandos, no se puede hacer como antes, en este caso
intentamos “deshacer” las exponenciales para después plantear un cambio de variable.
122221222xx1xx . Hacemos el cambio de variable: x
2t .
De esta forma la ecuación queda: 4t3
12t12t312t2t .
Deshacemos el cambio de variable: x2x2224 2x
EJERCICIOS: Pág. 80 el 5 y 6-a-b.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-17
ECUACIONES LOGARÍTMICAS.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión
afectada por un logaritmo.
Siempre hay que comprobar las posibles soluciones ya que pueden dar logaritmos de números negativos, que
no existen, en este caso no son solución.
Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:
a) 350logxlog . La cuestión está en conseguir tanto en el primer como en el segundo miembro
de la ecuación un solo logaritmo, para ello se van aplicando las propiedades de los logaritmos:
50
1000x1000x501000log)x50(log350logxlog 20x (Si vale)
b) 32log)3x(log5 22 . En este caso:
5552
5222 2)3x(32)3x(32log)3x(log32log)3x(log5
32x23x 1x (Si vale, al sustituir da positivo)
c) )x310(logxlog2 . Ahora:
10x3xx310x)x310(logxlog)x310(logxlog2222 5xy2x .
(La solución es x=2 , la x=-5 no vale)
EJERCICIOS: Pág.80 el 6-c-d.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-18
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Es aquel sistema formado por un conjunto de varias
ecuaciones lineales (las incógnitas solo pueden llevar como exponente el 1) con varias incógnitas. La forma de
nombrar un sistema consiste en expresar su número de ecuaciones seguido de su número de incógnitas, así
tenemos sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, etc. NOTA.- Nosotros
estudiáremos fundamentalmente los primeros.
Solución de un sistema es el conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones del sistema.
Sistemas equivalentes. Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones. Para obtener
sistemas equivalentes se pueden aplicar cualquiera de las siguientes transformaciones:
Métodos de resolución. Nos vamos a ocupar de cuatro: Sustitución, Igualación, Reducción y Gráfico
(no lo veremos).
Tipos de sistemas lineales:
Ej.
5yx
8yx
Ej.
0yx
2yx Ej.
4y2x2
2yx
EJERCICIOS: Resolver los tres sistemas puestos como ejemplos, cada uno por un método.
Multilicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero.
Despejar una incógnita de una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un
número cualquiera.
SISTEMAS
DE
ECUACIONES
COMPATIBLES Tienen solución
INCOMPATIBLES No tienen solución
DETERMINADO Una solución
INDETERMINADO Infinitas soluciones
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-19
MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- El método de Gauss consiste en
ir transformando el sistema en otros equivalentes, hasta escalonarlo (en realidad es una generalización del método de reducción). Como sabemos se pueden dar tres casos:
Sistemas compatibles determinados (SCD): Veamos cómo se hacen estas transformaciones entre filas,
con los siguientes ejemplos:
81z13y10
6zy
21z4y3x
81z13y10
30z5y5
21z4y3x
30z5y5
81z13y10
21z4y3x
12z3yx2
18zyx3
21z4y3x
)3()2()1(
21z3
6zy
21z4y3x
)4(
De la tercera ecuación 73
21z
.
Sustituyo en la segunda 176y67y .
Por último sustituyo estos dos valores en la primera 428321x21283x .
Solución 7z,1y,4x
8zy4x6
2yx2
3x3
8zy4x6
2yx2
23y10x23
8zy4x6
26y13x26
23y10x23
8zy4x6
6z4y3x2
1z3y2x5
)3()2()1(
De la primera ecuación 13
3x .
Sustituyo en la segunda 0y022y2y2 .
Por último sustituyo estos dos valores en la tercera 268z8z06 .
Solución 2z,0y,1x
Sistemas compatibles indeterminados (SCI): Se da cuando al aplicar el método de Gauss llegamos a una
ecuación del tipo 0x+0y+0z=0. Esto quiere decir que esta ecuación se suprime, por lo que quedan menos
ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones.
Sistemas incompatibles (SI): Se da cuando al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo
0x+0y+0z=K, siendo K≠0, el sistema no tiene solución.
EJERCICIOS: Pág. 84 el 3-b / pág. 85 el 5-a y 6-b.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO LINEALES.- En este caso la clasificación, según el número
de soluciones que hemos visto anteriormente, ya no es válida. Además en estos casos, casi siempre, el
método más apropiado es el de sustitución. Veamos ejemplos.
EJERCICIOS: Pág.81 1-a®-b® / pág. 82 el 2, 3 y 4.
1) Dejo igual la 1ª ecuación, la 2ª es la 1ª por -3 más la 2ª y la 3ª es la 1º por -2 más la 3ª.
2) Cambio entre si la 2º y 3º ecuación.
3) Simplifico la 2ª ecuación entre 5.
4) Dejo igual la 1ª y 2ª ecuaciones, la 3ª es la 2ª por -10 más la 3ª.
1) Dejo igual la 3ª ecuación, la 2ª es la 3ª por 4 más la 2ª y la 1ª es la 3º por 3 más la 1ª.
2) Simplifico la 2ªecuación entre 13.
3) Dejo la 2ª y 3ª igual y la 1ª la cambio por la 2ª multiplicada por -10 más la 1ª.
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS –I (1º Bachillerato) HOJA-20
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES (con ejemplos).-
INECUACIONES.-
Inecuación.- Es una desigualdad en las que aparecen números y letras, llamadas incógnitas.
Operaciones con inecuaciones.- Al operar con una inecuación hay que tener en cuenta lo siguiente:
1) Una inecuación no varía cuando en los dos miembros se suma o resta un mismo número. La
inecuación tampoco varía si se multiplican los dos miembros por un número positivo.
2) Una inecuación cambia de sentido cuando los dos miembros se multiplican ó dividen por un
número negativo (en el caso de dividir, debe ser un número distinto de cero).
Ejemplo: ;4x2;15x2;51x2
Divido entre -2 : ;2
4x
luego 2x
Pueden darse distintas posibilidades:
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.-
EJERCICIOS: Pág.86 el 1.
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.-
EJERCICIOS: Pág.86 el 2.
INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA.-
EJERCICIOS: Pág.87 el 1® y 3®.
INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-
EJERCICIOS: Pág.88 el 1 y 2.
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-
EJERCICIOS: Pág.89 el 3-c-f.
NOTA.- Los alumnos deben hacer mas ejercicios y comprobar las soluciones en los correspondientes solucionarios.
Top Related