Tema 1.
Repaso de Teoría de Circuitos
Joaquín Vaquero López
Joaquín Vaquero López 1Electrónica, 2007
1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito
1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff
1.3) Principio de Superposición
1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton
1.5) Divisores de voltaje y corriente
1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga
1.7) Método gráfico de resolución de circuitos
1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja
Electrónica, 2007
Repaso de Teoría de Circuitos: índice
Joaquín Vaquero López 2
Conceptos preliminares
CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puedecircular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.
Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.Señales de entrada, salida y función de transferencia.
Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.
VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P
Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:
Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros concentrados.
Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.
Pasivos: R,L,C.
Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.
ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO
Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.
Electrónica, 2007 Joaquín Vaquero López 3
Electrónica, 2007
Característica I-V de un elemento de un circuito:
Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje através de sus terminales.
Recta de carga:
Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dichodispositivo en el circuito en que se halla.
Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 4
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 5
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Recta de carga
Característica I-V de entrada de un transistor
Punto de operación Q
IBQ
VBEQ
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 6
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Joaquín Vaquero López 7
Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltaje-corriente en cualquier red, lineal o no:
1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.
2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuitoes igual a cero.
Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.
Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dosnudos
Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.
Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cadaelemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NOhay una única forma de resolverlo.
Electrónica, 2007
Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff
Joaquín Vaquero López 8
21 ·· ibiav
Electrónica, 2007
ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:
ó
con a, b, c, d constantes.
En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral)
la característica v-i es de la forma:
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del
circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las
respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.
Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se
apliquen en la misma localización.
dtibdt
diav 2
1
21 ·· vdvci
Principio de superposición
Joaquín Vaquero López 9
Electrónica, 2007
Equivalente de Thévenin:
Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por unasola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina“Equivalente de Thévenin” del circuito original.
Vth representa todas las fuentes.
Rth representa todas las resistencias.
Equivalente de Norton:
Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistenciaequivalente está conectada en paralelo.
Teoremas de reducción de circuitos
Joaquín Vaquero López 10
Divisor de tensión:
Las impedancias son atravesadas por la misma corriente
Divisor de corriente:
Las impedancias está sometidas a la misma tensión
21
22
21
11
222111
21
21
·;
·
·;·
RR
VRV
RR
VRV
RIVRIVRR
VII
ii
i
21
12
21
21
2
1121
212211
·;
·
;··
RR
IRI
RR
IRI
R
RIIIII
IIIRIRI
ii
ii
i
R1
R2
Vi
V1
V2
R1 R2Vi I1 I2
Electrónica, 2007
Divisores de tensión y corriente
Joaquín Vaquero López 11
Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuacióndiferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjuntocualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elementoalmacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta
natural del sistema.
Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del
sistema forzada por una excitación exterior.
Ejemplo 1: Circuito RC
VinR
Ci
Electrónica, 2007
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
0)(1
)0()(·0
t
C dttiC
utiR
Homogénea:
Completa:
Joaquín Vaquero López 12
fRC ·21
;
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución homogénea:
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Constante de tiempo:
;0)(1
)0()(·0
t
C dttiC
utiR
teKti ·)(
R
VitvVu inC
00 )0(0)(;)0(
RC
t
eR
Vti
·)( 0
000 ·)( VeVVtu RC
t
C
0)0( VuC
t
CC dttiC
utu0
)(1
)0()(RC
t
C eVtu
·)( 0
%95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 13
)(·)0()0()( tfefftft
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
)0()·()(
0
0 C
t
RC
t
inC ueVVtu
inRC
t
inC VeVVtu
)·()( 0
t
CC dttiC
utu0
)(1
)0()(
teKti ·)(
R
VViVtvVu in
ininC0
0 )0(;)(;)0(
RC
t
in eR
VVti
·)( 0
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 14
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones senoidales:
1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.
4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales.
5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener.
6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema.
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 15
iinI ,
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
(Ec.trascendentes mediante métodos
numéricos, vectorialmente
ó mediante complejos)
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
)·cos()( iin tIti
2;0
tt
)·cos()( vinin tVtv siendo
)·cos()sin(1
)0()cos(· viniinCiin tVtIC
utIR
)·cos()sin(1
)0()cos(· viniinCiin VIC
uIR
)·sin()cos(1
)0()sin(· viniinCiin VIC
uIR
comodidad porpara izandoparticular 0)0( Cu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 16
C
Iin
inIR
inV
i
v
2
2
22
)(·
C
IIRV in
inin
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución vectorialmente (trigonometría).
Módulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
RCarctgvi
1;
2
2
)(
1
CR
VI in
in
)cos(
)(
1)(
2
2
vin t
CR
Vti
)(1
)(
1)(
2
2
vin
C tsenC
CR
Vtu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 17
tjj
in
tj
iniin eeIeItIti ii
ReRe)·cos()()(
j
t
tj
e
)cos( t
)( tsen
tjj
in
tjj
in
tjj
in eeVeeIjC
eeIR Vii
·
11·
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución mediante complejos
Euler:
Solución tipo:
Solución para régimen senoidal permanente
)()cos(
)()cos(
tsenjte
tsenjte
tj
tj
tj
tj
etsen
et
Im)(
Re)cos(
)2
(
2
2
·
)(
1;·
1
V
iVij
inj
in
jinj
in e
CR
VeIe
CjR
VeI
)
2(
2
2
·Re
)(
1Re
Vi
jinj
in e
CR
VeI
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 18
tjj
in
tjj
in eeItieeVtu iV ·)(;·)(
Electrónica, 2007
Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:
Resistencia Bobina Condensador
)()( tiRtu
tjj
in
tjj
in eeIReeV iV ··
in
in
I
VR
2 iV
Corriente y la tensión en fase
dt
diLtu )(
tjj
in
tjj
in eeILjeeV iV ··
2··
iV j
in
j
in eILeV
inin ILV
LjZL
La corriente retrasa 90º a la tensión
iV 2 Vi
dt
duCti )(
tjj
in
tjij
in eeVCjeeI V ··
2··
Vi j
in
j
in eVCeI
inin VCI
CjZC
1
La corriente adelanta 90º a la tensión
2 Vi
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 19
RCjV
VjH
RCj
V
CjR
VCj
Vin
outin
in
out
1
1)(
11
·1
Vin
R
Cj
1Vout
tj
ininin eVtVtv Re)·cos()( Siendo
Electrónica, 2007
)·cos()(1
Re)(·Re2
tRC
VejHeVV injtj
inout
Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
2)(1
1)(
RCV
VjH
in
out
)()0()( RCarctgarctg
V
VjH
in
out
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 20
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia. Representación gráfica.
Módulo Fase o argumento
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 21
Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución a la completa.
La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos.
La homogénea es la respuesta transitoria:
Solución tipo
La solución completa resulta
Con la condición inicial
RC
t
inC eKt
RC
Vtu
·)·cos()(1
)(2
Electrónica, 2007
t
C eKtu ·)(
0)0( VuC
RC
t
C eKtu
·)(
)·cos()(1 2
0 RC
VVK in
RC
t
ininC e
RC
VVt
RC
Vtu
·)·cos(
)(1)·cos(
)(1)(
20
2
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 22
RC
t
inRC
t
ininout et
RC
Ve
RC
Vt
RC
VV )·cos()cos(·
)(1)··cos(
)(1)·cos(
)(1 222
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 23
VinR
L
Electrónica, 2007
Solución a la homogénea (transitorio):
Ejemplo 2: Circuito RL
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en la resistencia:
Constante de tiempo:
dt
diLtiRtvin )(·)(
0)(· dt
diLtiR
Homogénea:
Completa:
teKti ·)(
RIutvIi Lin ·)0(;0)(;)0( 00 tL
R
eIti·
0·)(
tL
R
L eRIdt
diLtu
·
0 ··)(
fR
L·2
1;
%95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 24
dt
diLtiRtvin )(·)(
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales y finales:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
Tensión en la bobina:
tL
R
ininL eIRVtu·
)··()(
dt
diLtuL )(
R
ViVtvIi in
inin )(;)(;)0( 0
)(·)0()0()( tfefftft
R
Ve
R
VIti in
tL
R
in
·
0 ·)(
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 25
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
dt
diLtiRtvin )(·)(
)·cos()( iin tIti
2;0
tt
)·cos()( vinin tVtv siendo
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin tVtILtIR
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin VILIR
)·sin()cos(·)sin(· viniiniin VILIR iinI ,
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 26
LIin
i
Vin
RI in
v
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Resolución vectorialmente.
Módulo:
Argumento:
Solución:
R
Larctgvi
;
2222 ·)(·inin
ILIRVin 22 )( LR
VI in
in
)cos()(
)(22
vin t
LR
Vti )(
)()(
22
v
inL tsenL
LR
Vtu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
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Vin
R
VoutLj
Electrónica, 2007
)(·
1
)2
·cos(
1
Re)(·Re22
2
tsen
L
R
Vt
L
R
VejHeVV inin
jtj
inout
Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
LjR
Lj
V
VjH
LjR
VLjV
in
outinout
)(
·
2
1
1)(
L
RV
VjH
in
out
2)()(
R
Larctgarctg
V
VjH
in
out
R
LarctgeVtVtv tj
ininin
ySiendo Re)·cos()(
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 28
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L. F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 29
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