Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.
Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
Ejercicio 1.
(1) Calcula la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) ypasa por el punto (−1, 3).
(2) Calcula la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P = (4, 154) y tiene por focos los
puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dibujala.
(3) Calcula la ecuacion de la hiperbola que tiene por vertices los puntos (1, 2) y (1, 6) ypasa por el punto (3, 8).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) Puesto que se trata de una parabola de eje horizontal, su ecuacion tipo es de la forma(y−β)2 = 2p(x−α) donde (α, β) es el vertice de la parabola. Puesto que el foco esta enel eje de simetrıa y = β tiene que ser β = 3 y el vertice de la parabola tiene que serel punto dado, (−1, 3), con lo cual α = −1. Por otra parte, la directriz de la parabolatiene que ser la recta vertical L ≡ x = 0. Por tanto, la parabola esta formada por lospuntos P = (x, y) que verifican que
dist (P, F ) = dist (P, L) ≡q
(x + 2)2 + (y − 3)2 = |x| .
Haciendo operaciones tenemos
(x + 2)2 + (y − 3)2 = x2
⇓4x + 4 + (y − 3)2 = 0
⇓(y − 3)2 = −4 (x + 1) .
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4−4
−2
0
2
4
6
8
10
x
y
4 x+y2−6 y+13 = 0
P = VFEje
O
X
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
R-2 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
(2) La ecuacion-tipo de la elipse es(x − α)2
a2+
(y − β)2
b2= 1 donde (α, β) es el centro de la
elipse. Puesto que el centro de una elipse es el punto medio de los focos tenemos,
(α, β) =�
4 − 2
2,2 + 2
2
�= (1, 2) .
Para que el punto P = (4, 154) este en la elipse de ecuacion
(x − 1)2
a2+
(y − 2)2
b2= 1
tiene que verificarse que9
a2+
4916
b2= 1.
Por otra parte, puesto que el eje focal de la elipse es horizontal, y = 2, siendo c = 3 lasemi-distancia entre los focos, tiene que verificarse que
a2 − b2 = c2 = 9 =⇒ a2 = b2 + 9.
Resolviendo el sistema de ecuaciones
a2 = b2 + 9
9
a2+
9
16 b2= 1
9>>=>>;llegamos a la ecuacion 16b4 − 49b2 − 49 · 9 = 0. Resolviendo esta ecuacion tenemos
b2 =49 ±
√49 · 625
32=
49 ± 7 · 25
32=
49 ± 175
32=⇒ b2 =
49 + 175
32=
224
32= 7.
Por tanto, la elipse tiene por ecuacion
(x − 1)2
16+
(y − 2)2
7= 1 .
Ademas de los focos y el centro ya citados,otros elementos caracterısticos son:
los ejes de simetrıa, x = 1 e y = 2,
los semiejes a = 4 y b =√
7 y
los vertices, (1 ± 4, 2), (1, 2 ±√
7),
(−3, 2), (5, 2), (1, 2−√
7), (1, 2+√
7)).
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
CF1 F2
O
P
X
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) Puesto que los vertices (y los focos) estan en una recta vertical, la ecuacion-tipo sera dela forma
(x − α)2
a2− (y − β)2
b2= −1
donde (α, β) es el centro de la hiperbola, es decir, el punto medio de los vertices (y losfocos)
C = (α, β) =�
1 + 1
2,2 + 6
2
�= (1, 4) .
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-3
Los vertices V2 = (1, 2) y V1 = (1, 6) y el punto dado P = (3, 8) tienen que verificar la
ecuacion de la hiperbola,(x − 1)2
a2− (y − 4)2
b2= −1. Es decir, tiene que verificarse que
0a2 − 4
b2= −1
4a2 − 16
b2= −1
9>=>; .
Resolviendo se obtiene b2 = 4 y a2 = 4/3. Por tanto, la ecuacion de la hiperbola es
(x − 1)2
43
− (y − 4)2
4= −1.
Ademas del centro y los vertices ya citados, los elementos notables de la hiperbola son:
Los ejes de simetrıa: x = 1 (eje focal) e y = 4.
Las asıntotas tienen por ecuacion,
(x − 1)2
a2− (y − 4)2
b2= 0 ⇔ (x − 1)2
43
=(y − 4)2
4⇔ y − 4 = ±
√3 (x − 1)
=⇒(
y =√
3x + 4 −√
3,
y = −√
3x + 4 +√
3.
Los focos. Si la ecuacion de la hiperbola (con centro (α, β)) es
(x − α)2
a2− (y − β)2
b2= ±1
se verifica que la distancia del centro a cada uno de los focos es c =√
a2 + b2.En nuestro caso tenemos que c =
È43
+ 4 =È
163
= 4√3. Por tanto, los focos son
F1 =�1, 4 + 4√
3
�y F2 =
�1, 4 − 4√
3
�.
Los semiejes son a = 2/√
3 y b = 2.
−6 −4 −2 0 2 4 6 8−4
−2
0
2
4
6
8
10
x
y
3 x2−y2−6 x+8 y−9 = 0
C
P
O
X
Y
V1
V2
F1
F2
Matematicas I. 2010-2011
R-4 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:
(1) La ecuacion y2 − 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a:
X Una parabola cuyo vertice es V = (−4, 2).
Una parabola cuyo eje es la recta de ecuacion y = −4.
Dos rectas que se cortan en un punto.
(2) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:
Una elipse con focos en el eje de abscisas.
X Una elipse con focos en el eje de ordenadas.
Una hiperbola.
(3) La cuadrica x2 − y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:
X Tiene por centro C = (0, 2,−3).
Contiene a la recta x − 1 = y − 2, z = 4.
No tiene centro.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) Puesto que la ecuacion se puede escribir como (y − 2)2 = 6(x + 4).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) Puesto que la ecuacion dada es equivalente a
x2
1/5+
y2
1= 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) Se trata de un Hiperboloide de dos hojas,
x2 − (y − 2)2 + (z + 3)2 + 8 = 0 ⇐⇒ x2
8− (y − 2)2
8+
(z + 3)2
8= −1.
Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de conicaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:
(1) 3x2 + 3y2 + x + 5y + 1 = 0.
(2) 3x2 − 3y2 + x + 5y + 1 = 0.
(3) 3y2 + x + 5y + 1 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-5
(1) Circunferencia de centro C = (−1/6,−5/6) y radio r =È
718
,
3�x +
1
6
�2
+ 3�y +
5
6
�2
− 7
6= 0 ≡
�x +
1
6
�2
+�y +
5
6
�2
=7
18.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) Puesto que la ecuacion dada es equivalente a�x +
1
6
�2
−�y − 5
6
�2
= −1,
se trata de una Hiperbola equilatera. Obtengamos sus elementos notables:
Centro�x = −1
6, y =
5
6
�.
Los ejes de simetrıa son paralelos a los ejes coordenados,
x = −1
6e y =
5
6.
Ademas, el eje en el que estan los focos es el eje vertical x = −1/6.
Los vertices son los puntos de corte de la hiperbola con el eje x = −1/6,
−�y − 5
6
�2= −1 =⇒ y − 5
6= ±1 =⇒ V1 =
�−1
6, 5
6+ 1
�=�−1
6, 11
6
�,
V2 =�−1
6, 5
6− 1
�=�−1
6,−1
6
�.
Siendo c la semi-distancia entre los focos tenemos que
c2 = a2 + b2 = 1 + 1 = 2
y, por tanto los focos son�−1
6, 5
6± 2
�=⇒ F1 =
�−1
6,5
6− 2
�=�−1
6,−7
6
�, F2 =
�−1
6,5
6+ 2
�=�−1
6,17
6
�.
Las asıntotas estan dadas por la ecuacion�x +
1
6
�2
−�y − 5
6
�2
= 0
y, por tanto, son las rectas�x + 1
6
�=�y − 5
6
�≡ x − y + 1 = 0,�
x + 16
�= −
�y − 5
6
�≡ x + y − 2
3= 0.
Matematicas I. 2010-2011
R-6 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
3x2−3y2+x+5y+1=0
C
V1
V2
X
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) Puesto que al completar cuadrados en la ecuacion dada se obtiene�y +
5
6
�2
= −1
3
�x − 13
12
�,
se trata de una parabola con eje horizontal y vertice V = (1312
,−56).
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
x
y
3y2+x+5y+1=0
F
O X
Y
L
Sus elementos notables son:
Eje principal (de simetrıa): y = −5/6.
Eje secundario: x = 13/12.
Foco (F ) y directriz (L). Para la parabola (y − β)2 = 2p(x − α) se verifica que
dist(V, L) = dist(V, F ) =|p|2
=1
12.
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-7
Por tanto, la directriz y el foco son
L ≡ x =13
12+
1
12=⇒ L ≡ x =
7
6y F =
�13
12− 1
12,−5
6
�=�1,−5
6
�.
Ejercicio 4. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de conica que corresponde acada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.
(2) x2 + αy2 + x + 2y + α − 1 = 0.
(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x − 4y + 2 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.
Para α = 1, 2x2 − 2x − 3 = 0 ≡ x = 1±√
72
(dos rectas paralelas).
Para α = −1, 2x2 − 2x − 2y − 3 = 0 ≡�x − 1
2
�2= y + 7
4(parabola).
Para α 6= ±1, podemos completar el cuadrado en y y se obtiene la euacion
2�x − 1
2
�2
+ (α2 − 1)
�y +
1
2(α + 1)
�2
=15α + 13
4(α + 1).
Siendo −1 < α0 = −1315
< 0 se obtienen los siguientes casos:
α < −1 −1 < α < α0 α = α0 α0 < α < 1 1 < αelipse hiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) x2 + αy2 + x + 2y + α − 1 = 0.
Si α = 0,�x + 1
2
�2= −2
�y − 5
8
�(Parabola).
Para α 6= 0 puede completarse el cuadrado en y y se obtiene�x +
1
2
�2
+ α�y +
1
α
�2
=4 − 4α2 + 5α
4α.
Siendo α1 = 5−√
898
< 0 < α2 = 5+√
898
se obtienen los siguientes casos:
α < α1 α = α1 α1 < α < 0 0 < α < α2 α = α2 α2 < αhiperbola 2 rectas secantes hiperbola elipse 1 punto nada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x − 4y + 2 = 0.
Para α = 0, la ecuacion dada no es una conica sino una recta, −2x− 4y + 2 = 0.
Matematicas I. 2010-2011
R-8 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
Para α = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene una parabola,
(x − 1)2 = 4�y − 1
4
�.
Para α 6= 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda laecuacion
α�x − 1
α
�2
+�α2 − α
� �y − 2
α2 − α
�2
=−2α2 + 3α + 3
α(α − 1).
Dividendo todo por α( 6= 0),�x − 1
α
�2
+ (α − 1)�y − 2
α2 − α
�2
=−2α2 + 3α + 3
α2(α − 1).
Siendo α1 = 3−√
334
< 0 < 1 < α=3+
√33
4, tenemos los siguientes casos:
• Si α > α2, nada (elipse imaginaria), x′2 + (α − 1) y′2 = ρ < 0.
• Si α = α2, se obtiene un punto.
• Si 1 < α < α2, se obtiene una elipse.
• S1 α1 < α < 1, α 6= 0, tenemos una hiperbola,
x′2 + (α − 1) y′2 = ρ 6= 0.
• Para α = α1 se obtienen dos rectas secantes x′2 + (α − 1) y′2 = 0.
• Si α < α1 se obtiene una hiperbola.
Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuacioncorresponde a una circunferencia o a una hiperbola equilatera
2x2 + αy2 − 6x + 3y + α = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• Circunferencia α = 2. • Hiperbola equilatera α = −2.
Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no esta en la recta. Tomandocomo eje Y la recta L y como eje X la recta perpendicular a L que pasa por F , determinala ecuacion del lugar geometrico de los puntos P para los que el cociente entre su distanciaa L y su distancia a F es constante e > 0,
d (P, F )
d (P, L)= e.
Comprueba que:
(a) Si e = 1 dicho lugar geometrico es una parabola.
(b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geometrico es una elipse.
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-9
(c) Si e > 1 dicho lugar geometrico es una hiperbola.
En cualquiera de los casos se trata de una conica y se dice que e es su excentricidad y queL y F son su directriz y foco respectivamente. En el caso de la parabola la directriz y elfoco son unicos y para la elipse y la hiperbola hay dos parejas foco-directriz.Observacion. Notemos que con la definicion anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque
esta pueda obtenerse como un caso lımite. Siendo p = d(F,L) la distancia del foco a la directriz,
tomando q = pe constante, cuando e → 0+ (y p = qe → +∞) las elipses correpondientes tienden a
la circunferencia con centro el foco y radio q.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .En el sistema de ejes considerado tenemos que L ≡ x = 0 y F = (p, 0). Dado un punto
P = (x, y) tenemos
d(P, F ) =È
(x − p)2 + y2, d(P, L) = |x|y por tanto la ecuacion dada es equivalente a (x − p)2 + y2 = e2x2.
Si e = 1 obtenemos la parabola de ecuacion y2 = 2px − p2 (⇔ y2 = 2p�x − p
2
�).
Si 0 < e 6= 1 obtenemos�1 − e2
� �x − p
1 − e2
�2+ y2 =
p2e2
1 − e2⇐⇒
�x − p
1−e2
�2p2e2
(e2−1)2
+y2
p2e2
1−e2
= 1.
Por tanto,
• Si 0 < e < 1 (1 − e2 > 0) se trata de una elipse con
◦ centro�x = p
1−e2 , y = 0�,
◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,
◦ semiejes a = |p|e(1−e2)
, b = |p|e√1−e2
.
• Si e > 1 (1 − e2 < 0) se trata de una hiperbola con
◦ centro�x = p
1−e2 , y = 0�,
◦ ejes paralelos a los ejes coordenados,
◦ el eje sobre el que estan los focos (y los vertices) es y = 0,
◦ semiejes a = |p|e(e2−1)
, b = |p|e√e2−1
.
Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuacion de la conica que encoordenadas polares (r, θ) viene dada por
r =p
1 + e cos(θ).
Determina el tipo de conica que se obtiene en funcion de e y los elementos notables respec-tivos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matematicas I. 2010-2011
R-10 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.¨x = r cos(θ)y = r sen(θ)
«=⇒ cos(θ) =
x
r=⇒ (sustituyendo en la ecuacion dada)
r =p
1 + exr
⇒ · · · ⇒ r2 = (p − ex)2 ⇒ · · ·
· · · ⇒ (1 − e2)x2 + 2pex + y2 − p2 = 0.
Completa cuadrados en la ecuacion obtenida para determinar el tipo de conica, segun losvalores de e, y sus elementos notables.
Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cuadri-ca que es, sus elementos notables y su representacion grafica:
(1) x2 + 3y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.
(2) 3x2 + y2 − z2 + x + 2y + 2z + 1 = 0.
(3) x2 + y2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.
(4) x2 + y2 + x + 4y − z2 − 1 = 0.
(5) x2 + y2 + x + 4y − 1 = 0.
(6) x2 − y2 + x + 4y − 1 = 0.
(7) x2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.
(8) x2 − y2 + x + 4y + z − 1 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) Elipsoide, (x + 1)2 + 3�y +
5
6
�2
+ (z − 1)2 =37
12.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) Hiperboloide de 2 hojas, −3�x +
1
6
�2
− (y + 1)2 + (z − 1)2 =11
12.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) Paraboloide elıptico,�x +
1
2
�2
+ (y + 2)2 = −3�z − 21
12
�.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4) Hiperboloide de 1 hoja,�x +
1
2
�2
+ (y + 2)2 − z2 =21
4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5) Cilindro elıptico,�x +
1
2
�2
+ (y + 2)2 =21
4.
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(6) Cilindro hiperbolico,�x +
1
2
�2
− (y − 2)2 = −11
4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(7) Cilindro parabolico,�x +
1
2
�2
= −4y − 3z +5
4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(8) Paraboloide hiperbolico, −�x +
1
2
�2
+ (y − 2)2 = z +11
4.
Ejercicio 9. Determinar la ecuacion de las cuadricas siguientes:
(1)y
x
z
(1, 1, 0) (2, 3, 0)
(1, 3, 0)
(1, 3, 2)
(2) y
x
z
(1, 1, 0) (2, 3, 0)
(1, 3, 0)
(1, 3, 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) La cuadrica de la izquierda es un cono con vertice el punto V = (1, 1, 0) y eje paraleloal eje OY . La ecuacion-tipo de este cono sera de la forma
(y − 1)2 =(x − 1)2
a2+
(z − 0)2
b2.
Segun la figura, los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) estan en el cono y, por tanto,tienen que verificar su ecuacion,
A = (2, 3, 0) ∈ Cono ⇐⇒ 4 = 1a2 ⇐⇒ a2 = 1
4
B = (1, 3, 2) ∈ Cono ⇐⇒ 4 = 4b2
⇐⇒ b2 = 1.
Por tanto la ecuacion pedida es (y − 1)2 = 4(x − 1)2 + z2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) La cuadrica de la derecha es un paraboloide elıptico con vertice V = (1, 1, 0) y ejeparalelo al eje OY . La ecuacion-tipo de este paraboloide elıptico sera de la forma
y − 1 =(x − 1)2
α2+
(z − 0)2
β2.
Matematicas I. 2010-2011
R-12 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
Imponiendo que los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) verifiquen la ecuacion anteriorse obtienen α2 = 1
2, β2 = 2. La ecuacion pedida es
y − 1 = 2(x − 1)2 +z2
2.
Ejercicio 10. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.
(2) x2 + αy2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.
(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x + 4y − 1 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) Para α = ±1, paraboloide elıptico,
2�x +
1
2
�2
+ (z − 1)2 = −5�y − 1
10
�.
Para α2 6= 1, podemos completar los tres cuadrados y se obtiene la ecuacion
2�x +
1
2
�2
+ (α2 − 1)
�y +
5
2(α2 − 1)
�2
+ (z − 1)2 =23 + 2α2
4(α2 − 1).
Por tanto,
• Si α2 > 1(α > 1 o α < −1), tenemos un elipsoide.
• Si α2 < 1(−1 < α < 1), tenemos un hiperboloide de dos hojas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) x2 + αy2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.
Si α = 0, tenemos un cilindro parabolico,�x +
1
2
�2
= −2y + z − 3
4.
Si α 6= 0, completando cuadrados tenemos�x +
1
2
�2
+ α�y +
1
α
�2
= (1 − α)
�z +
4 − 3α
4α(1 − α)
�.
• Si α > 0(α 6= 1), tenemos un paraboloide elıptico.
• Si α < 0, tenemos un paraboloide hiperbolico (silla de montar).
• Para α = 1 tenemos una recta,
¨x = −1/2y = −1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-13
(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x + 4y − 1 = 0.
Para α = 0 la ecuacion dada no es una cuadrica sino un plano, x + 4y − 1 = 0.
Para α = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene un paraboloide elıptico,
(x +1
2)2 + z2 = −4
�y − 5
16
�.
Para α 6= 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda laecuacion
α�x +
1
2α
�2
+�α2 − α
� �y +
2
α2 − α
�2
+ α3z2 =4α2 − 3α + 15
4α(α − 1).
Diviendo todo por α,�x +
1
2α
�2
+ (α − 1)�y +
2
α2 − α
�2
+ α2z2 =4α2 − 3α + 15
4α2(α − 1).
Puesto que 4α2 − 3α + 15 > 0, ∀α ∈ R (compruebalo), tenemos los siguientescasos:
• Si α > 1, tenemos un elipsoide x′2 + (α − 1) y′2 + α2z′2 = ρ > 0.
• Si α < 1(α 6= 0), tenemos un hiperboloide de dos hojas,
x′2 + (α − 1) y′2 + α2z′2 = ρ < 0.
Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4 en el plano OXY . Determinalas ecuaciones de la parabola del plano OXZ que tiene como vertice el punto (0, 0, 8) y pasapor los vertices del semieje mayor de la elipse dada.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los vertices del eje mayor de la elipse dada son (x = ±2, y = 0, z = 0). En el plano OXZla parabola citada tiene como ecuaion-tipo x2 = 2p(z − 8).
Imponiendo que pase por los puntos
(x = ±2, z = 0)
del plano OXZ se obtiene p = −1/4 y portanto la ecuacion de la parabola pedidaes x2 = −1
2(z − 8) en el plano OXZ. Sus
ecuaciones en R3 son
C ≡¨
z = 8 − 2x2,y = 0.
x2+4y2= 4
V
8
Matematicas I. 2010-2011
R-14 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
Ejercicio 12. (EC) Esboza y parametriza la curva determinada por la interseccion de lassiguientes superficies :
(1) El plano y − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y2 = 1.
(2) El hemisferio esferico x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, con el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1.
(3) El cono x2 + y2 = z2 con el plano 3z = y + 4.
(4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y2 y z = 5 − 3x2 − 3y2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
Para parametrizar la curva de corte del planoy − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y2 = 1 bastacon parametrizar la circunferencia x2 + y2 = 1y obtener la coordenada z correspondiente dela ecuacion del plano.8><>: x = cos(θ)
y = sen(θ)z = y + 2 = 2 + sen(θ)
9>=>; 0 ≤ θ ≤ 2π.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2) La proyeccion de la curva interseccion, del hemisferio esferico x2 +y2 +z2 = 4, z ≥ 0 conel cilindro x2+(y−1)2 = 1, sobre el plano OXY es la circunferencia x2+(y−1)2 = 1 dedicho plano. Parametrizando esta circunferencia y obteniendo el correspondiente valorde z de la ecuacion de la esfera tenemos una parametrizacion de la curva interseccion8><>: x = cos(θ)
y − 1 = sen(θ)z = +
√4 − x2 − y2
9>=>; ≡
8><>: x = cos(θ)y = 1 + sen(θ)
z = +È
2 − 2 sen(θ)
9>=>; , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas. R-15
El trozo de hemisferio delimitado por el cilin-dro puede parametrizarse mediante8>><>>: x = r cos(θ)
y − 1 = r sen(θ)z = +
√4 − x2 − y2
=È
3 − r2 − 2r sen(θ)
9>>=>>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
«.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3) Para determinar la curva de corte del cono x2 + y2 = z2 con el plano 3z = y + 4vamos a obtener la ecuacion de su proyeccion sobre el plano OXY . Es decir, de las dosecuaciones en (x, y, z) vamos a obtener una ecuacion en (x, y).
x2 + y2 = z2
y = 3z − 4
«⇒ x2 + y2 =
�y+43
�2 ⇒· · · ⇒ x2
2+
(y− 1
2)2
9/4= 1.
Es decir, en el plano OXY tenemos una elipse que sabemos parametrizar y bastaobtener la coordenada z correspondiente (de la ecuacion del plano o de la del cono, esmas comodo utilizar la del plano),8>>>><>>>>: x =
√2 cos(θ)
y = 12
+ 32sen(θ)
z = y+43
= 12(3 + sen(θ))
9>>>>=>>>>; 0 ≤ θ ≤ 2π.
Eje OX
Eje OY
Eje OZ
z2 = x2+ y2
y+4 = 3z
C
El recinto encerrado por la elipse
x2
2+
(y − 12)2
9/4= 1
puede describirse como el formado por todaslas elipses de la forma
x2
2+
(y − 12)2
9/4= r2, con 0 ≤ r ≤ 1.
(Los trozos de) las superficies S1 ≡ z2 = x2 + y2 y S2 ≡ y + 4 = 3z pueden
Matematicas I. 2010-2011
R-16 Tema 1 (Resultados).- Conicas y Cuadricas.
parametrizarse de la siguiente forma,
S1 ≡
8><>: x =√
2r cos(θ)y = 1
2+ 3
2r sen(θ)
z = +√
x2 + y2 = · · ·
9>=>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
«,
S2 ≡
8><>: x =√
2r cos(θ)y = 1
2+ 3
2r sen(θ)
z = 13(y + 4) = · · ·
9>=>; ¨0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
«.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4) Obtenemos los puntos comunes a los paraboloides z = 2x2 + 2y2 y z = 5 − 3x2 − 3y2,
z = 2x2 + 2y2 = 5 − 3x2 − 3y2 ⇒¨
x2 + y2 = 1,z = 2.
Es decir, la curva de corte es una circunferencia de radio 1.
C
S1ºz = 2x2+2y2
S2ºz =5- 3x2-3y2
D
Eje OX
Eje OY
Eje OZParametrizando la circunferencia tenemos
C ≡
8><>: x = cos(θ)y = sen(θ)z = 2
9>=>; 0 ≤ θ ≤ 2π.
Puesto que el recinto encerrado por la circun-ferencia x2 + y2 = 1 puedo describirse co-mo el formado por todas las circunferenciasx2 + y2 = r2 con 0 ≤ r ≤ 1, las superficiesS1 y S2 pueden paramatrizarse de la siguienteforma,
S1 ≡
8>><>>: x = r cos(θ)y = r sen(θ)z = 2x2 + 2y2
= 2r2
9>>=>>;¨ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
«,
S2 ≡
8>><>>: x = r cos(θ)y = r sen(θ)z = 5 − 3x2 − 3y2
= 5 − 3r2
9>>=>>; ¨0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
«.
Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica
Top Related