•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta
Universidad Simón Bolívar, Sede Litoral
Tema 3
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
O
III
III IV
x
y
P(x, y)
abscisa
ordenada
-y
-x
X
Y
FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
X
Y
𝑷𝒎(𝑿 ,𝒀 )
Ejemplos:
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13 u.d
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -1
2 2Pm =
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y2
2 2Pm = ,
d=√169
𝑃𝑚=(3 ,32)
A
B
Veamos la distancia directamente en el plano:
4
8
2 24 8 16 64
80¿𝟒 √𝟓
Ejercicios:
B(6,-1)y A(-2,3)
B(1,2)y A(-3,6)
B(2,0)y A(-2,3)
B(1,5)y ,3)2
1A(-
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule las distancias y puntos medios de:
,0)2B(2y )7,-2A(
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 + x2 y1 + y2
2 2Pm = ,
Significado de la recta:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme cantidad
de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a
una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costos-
ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la
valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.
20 40 60 80
P. E.
¿Qué significan estas señales de tránsito?
Pendiente de una recta l
L1
L2
0 x
y • ¿Cuál de las rectas está más inclinada?
• ¿Cómo medimos esa inclinación?
La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:
Cálculo de la pendiente de una rectaSea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
X
Y
Ejemplo:
1. Hallar la pendiente entre los puntos:
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
7 – (-2)
1 – (-4)m =
9 5
m =
2. Calcular la pendiente entre los puntos:
(8, 5) y (8, 10) es:x1 y1 x2 y2
Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
10 – 5
8 – 8m =
5 0
m =
Ejemplos
Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos
a)A(-6,1) y B(1,2)
b)C(-1,4) y D(3,1)
c) E(3,2) y F(8,2)
d)G(2,1) y H(2,-3)
mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?
Conclusiones
1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.
x
y
x
y
x
y
x
y
Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7
La recta
Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)
La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y
Ecuación general o implícita de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0
Obs. m= b= ab c
b
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuación explicita de la recta
Es de la forma:
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,b).
y = mx + b
m : pendiente
b : punto de corte con el eje y
1) y= 2x -3 m=2 b=-3
Ejemplo:
2) y= 3x – 4 2
y=3 x – 2 2
m= 32 b=2
Ecuación explicita de la recta
Ejemplos:1. Hallar la ecuación de la recta de pendiente m =
-6, que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3)
5 – 2
y + 3 = (x – 2) 9
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
x1 y1 x2 y2
y – y1 = (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
6x + y – 16 = 0
3x – y – 9 = 0
Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación
x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
y - y1 = m(x - x1) y = mx + b
recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
1. En las siguientes ecuaciones identificar m y b:
b) y = 4x
c) 6x – y+ 13
= 8
m = -6/-1 = 6
b = -5/-1 = 5
6x – y + 5=0
Luego, m = 6 y b = 5.
2. ¿Cuál será la pendiente y el punto de corte en el eje y en
ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?
a) y = x – 8
Para determinar m y b, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las
fórmulas dadas para m y b:
m = 4 y b = 0
m = 1 y b = -8
Ejemplos:
Obs. m= b= ab c
b
Ejemplos:
3. Dada la gráfica de la recta,
encontrar su ecuación principal.
b = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 – 3 1– 0
m = 2
1m = = 2
-1-2
-2
-1
En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen
• Forma general ax + by + c = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
m1 = m2
Rectas paralelas
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son
paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma
pendiente o si ambas son verticales .
Es decir:
Rectas paralelasSe dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición o puntos de corte con y.
Ejemplo: Determine si L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x – 10 son paralelas
(m = 5) (m = 5)
Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.
m1 . m2 = -1
Rectas perpendicularesSe dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: Compruebe que L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x – 10
Son perpendiculares
2 5
(m = -5 )2
(m = 2 )5
Ejercicios:
Determine la ecuación de la recta que satisfaga:
1. Pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.
2. Pasa por (3; -4) y es perpendicular a y = 3 + 2x
Sea la ecuación de una recta y un punto que NO pertenece a ella, entonces:
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Note la perpendicularidad de la recta que representa la distancia
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=
0𝑑=
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦 0+𝑐|√𝑎2+𝑏2
EJERCICIOS:
08-3y-4x :Ry A(1,2)
1--2xy :Ry A(-1,2)
03-4y3x :Ry A(0,-2)
12y-3x :Ry ,3)2
1A(-
1.
2.
3.
4.
Calcule las distancias desde el punto A hasta la recta R:
𝑑=|𝑎𝑥0+𝑏𝑦 0+𝑐|
√𝑎2+𝑏2
Sea la ecuación de una recta y otra recta paralela ya que sus pendientes son iguales
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
0byax:R 1 c
0byax:S 2 c
BA
MM SR
22
12Cd
BA
C
0
ByAx
:S
2
C
0
ByAx
:R
1
C
EJERCICIOS:
04y -3x : S
032y-6x :R
1.
2.
3.
Calcule las distancias entre las siguientes rectas si son paralelas:
016y -4x : S
013y-2x :R
08y 3x : S
2-3xy :R
22
12Cd
BA
C
•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta
Universidad Simón Bolívar, Sede Litoral
Elaborado por:Dorenis Mota ([email protected])Ricardo Valles ([email protected])
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