8/15/2019 Tema 3. Integrales Múltiples
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Universidad de Costa Rica
Escuela de Matematica
Prof. Miguel Walker Urena
Dpto. Matematica Aplicada
MA-1003: Calculo 3
Ciclo 2-2015
Tema 3. Integrales Multiples
[ version 0.1, compilado el 16/10/2015]
Contenidos
1 Integrales Simples 2
1.1 Simples Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Simples Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Integrales Dobles 6
2.1 Integrales Dobles en rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Integrales Dobles en Regiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Aplicaciones de las Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Areas y Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Interpretaciones Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Cambios de variable en Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Coordenadas Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Integrales Triples 28
3.1 Integrales Triples en “cajas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Integrales Triples en Regiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Aplicaciones de las Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Calculo de Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Interpretaciones Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Cambios de variable en Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Coordenadas Cilındricas y Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.2 Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Ejercicios Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Referencias 47
1
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3. Ademas el valor de I existe y es un numero finito, interpretado geometricamente como el area entrela curva generada por f y el eje-x, siendo area negativa para los valores bajo la lınea horizontaly = 0.
4. Si existe F (x) tal que F (x) = f (x) y f (x) continua en [a, b] entonces
I =
ba
f (x) dx =
ba
F (x) dx = F (x)ba
= F (b) − F (a)
5. Si I 1, I 2, . . . I m son intervalos tales que
[a, b] = I 1 ∪ I 2 ∪ . . . I m =mn=1
I n
entonces ba
f (x) dx =
I 1
f (x) dx +
I 2
f (x) dx + · · · +
I m
f (x) dx =mn=1
I n
f (x) dx
donde I n
f (x) dx =
xn+1xn
f (x) dx si I n = [xn, xn+1]
6. La formula anterior se debe usar para calcular I cuando f (x) es continua a trozos en [a, b] de maneratal que tal que f (x) continua dentro de los intervalos I 1, I 2, . . . I m.
Teorema 1.1 (Cambio de Variable). Si g : IR → IR es una aplicaci´ on continua e invertible en el intervalo[a, b] y si f es integrable en el intervalo [g(a), g(b)], entonces f
g(x)
·g(x) integrable en [a, b] y se cumple
ba
f
g(x) · g(x) dx =
g(b)g(a)
f (u) du
Nota 1.3. Con las condiciones del teorema anterior, si x0, x1, x2, . . . , xn es una particion de [a, b] y sidenotamos ui = g(xi), entonces u0, u1, u2, . . . , un es una particion del intervalo [g(a), g(b)].
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Tenemos entonces que g(b)g(a)
f (u) du = limn→+∞
ni=0
f (ui)∆ui
= limn→+∞
n
i=0
f
g(xi)
· ∆g(xi)
= limn→+∞
ni=0
f
g(xi) · ∆g(xi)
∆xi· ∆xi
=
ba
f
g(x) · g(x) dx
Nota 1.4. Tambien se escribe que al hacer x = h(u) =⇒ dx = h(u) du, luego
ba
f (x) dx =
h−1(b)h−1(a)
f
h(u) · h(u) du
1.2 Simples ImpropiasDefinicion 1.2 (Integral Impropia). La integral de una funcion f (x) es llamada Integral Impropia siel intervalo de integracion es infinito o si f (x) tiene asıntotas verticales en el intervalo de integracion o enuno de sus extremos.
Hay dos casos principales
(a) Si f (x) es continua en [a, +∞[→ IR, entonces
I =
+∞a
f (x) dx
es llamada integral impropia de primera especie.
En tal caso
I = limx→+∞
xa
f (u) du
Ademas, si F (x) = f (x)
I = F (x)+∞
a
= F (+∞) − F (a)= lim
x→+∞F (x) − F (a)
(b) Si f (x) es continua en ]a, b ] y
limx→a
f (x) = ∞ ( o sea que x = a es asıntota vertical)
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entonces
I =
ba
f (x) dx
es llamada integral impropia de segunda especie.
En tal caso
I = limx→a+
bx
f (u) du
Ademas, si F (x) = f (x)
I = F (x)ba+
= F (b) − F (a+)
= F (b)
− lim
x→a+
F (x)
Definicion 1.3 (Convergencia). Una integral impropia I es convergente si y solo si I existe y es unnumero finito.
En caso contrario se dice que I es divergente, y como consecuencia f no es integrable.En caso de convergencia, I puede ser interpretado como el area de la region infinita encerrada entre
la grafica de y = f (x) y el eje-x, similar al area en integrales propias.
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Definicion 2.2 (Integral Doble Iterada). La expresion
I =
ba
dc
f (x, y) dydx
es llamada integral iterada de f (x, y) en el rectangulo [a, b] × [c, d] en el orden dydx, y se calculahaciendo
I = ba
dc
f (x, y) dy
dx
=
ba
g(x) dx donde g (x) =
dc
f (x, y) dy
Igualmente la expresion
J =
dc
ba
f (x, y) dxdy
es llamada integral iterada de f (x, y) en el rectangulo [a, b] × [c, d] en el orden dxdy, y se calculahaciendo
I = d
c
b
a
f (x, y) dx dy
=
ba
h(y) dy donde h(y) =
dc
f (x, y) dx
Nota 2.2. En la definicion anterior, no necesariamente I = J .Es posible que I = J cuando f no es integrable en R.
Teorema 2.1 (Fubini). Sea f : IR2 → IR una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d].Entonces existen las integrales
g(x) = d
cf (x, y) dy ∧
b
ag(x) dx
luego se cumple que R
f (x, y) dA =
ba
dc
f (x, y) dydx =
dc
ba
f (x, y) dxdy
Nota 2.3. ba
dc
f (x, y) dydx = dc
ba
f (x, y) dxdy =⇒ f no es integrable en R = [a, b] × [c, d]
Teorema 2.2. Si f : IR2 → IR es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d], entonces f es
integrable en R.Ejercicio 2.1. Calcule
I =
R
x2y +
x
y
dA
cuando R = [−2, 3] × [2, 5]
Resp. / I = 5 ln(5) − 5 ln(2) + 245
2 ≈ 124.79
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Tema 3. Integrales Multiples 9
Ejercicio 2.2. Calcule la integral
I =
R
x3 cos(x2y) dA
cuando R =
0,√ π2
× [0, 1]
Resp. / I = 1
2 − 1
2√ 2 ≈0.14645
Nota 2.4. Considere los rectangulos
R = [a, b] × [c, d] ∧ Q = [α, β ] × [γ, δ ]
(x0, y0) es llamado punto interior de R si y solo si
(x0, y0) ∈ ]a, b[ × ]c, d[ ⇐⇒ a < x0 < b ∧ c < y0 < d
Ademas, se dice que R y Q NO tienen puntos interiores comunes si y y solo si
]a, b[ ∩ ]α, β [= ∅ ∨ ]c, d[ ∩ ]γ, δ [= ∅Teorema 2.3 (Algunas propiedades). Sean f, g : IR2 → IR integrables en R = [a, b] × [c, d], entonces
1. ∀α ∈ IR la funci´ on αf + g es integrable en R y cumple R
αf (x) + g(x)
dA = α
R
f (x) dA +
R
g(x) dA
2. Si f tambien es integrable en Q = [α, β ] × [γ, δ ] y si Q no tiene puntos interiores comunes con R,entonces f integrable en R ∪ Q y cumple
R∪Qf (x) dA =
R
f (x) dA +
Q
f (x) dA
3. Si R = R1 ∪ R2, siendo R1 y R2 rect´ angulos sin puntos interiores comunes entonces f integrable en R1 y en R2 y se cumple
R1∪R2
f (x) dA =
R1
f (x) dA +
R2
f (x) dA
4. Si ∀(x, y) ∈ R, f (x, y) ≤ g(x, y), entonces R
f (x, y) dA ≤
Rg(x, y) dA
5. Si ∀
(x, y)∈
R, f (x, y)≥
0, entonces R
f (x, y) dA ≥ 0
Teorema 2.4 (Separacion de Variables).
Si ϕ(x) es integrable en [a, b] y si ψ(x) es integrable en [c, d], entonces la funci´ on f (x, y) = ϕ(x) · ψ(y)es integrable en R = [a, b] × [c, d] y se cumple
Rϕ(x) · ψ(y) dA =
ba
ϕ(x) dx · dc
ψ(y) dy
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Tema 3. Integrales Multiples 10
Ejercicio 2.3. Calcule la integral
I =
R
y sec2(x)tan
y2
dA
cuando R =
0,
π
6 ×
0,
π
3
Resp. / I = ln(2)
2√
3≈ 0.200094
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Tema 3. Integrales Multiples 11
2.2 Integrales Dobles en Regiones Generales
Definicion 2.3 (Integral doble en Regiones Generales).
Sea R ⊆ IR2 una region que se puede aproximar porla union de rectangulos sin puntos internos comunes
Rij ⊆ IR2
, (i, j) ∈ A ⊆ IN2
es decir que
R ≈
(i,j)∈ARij
ademas si A(Rij) es el area de Rij , se cumple que
R = limA(Rij)→0
(i,j)∈A
Rij
En tal caso el area de la region R corresponde a:
A(R) = limA(Rij)→0
(i,j)∈A
A(Rij) ( Ver Aplicacion 2.1 en pag. 16 )
Una funcion f : D ⊆ IR2 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite
I = limA(Rij)→0
(i,j)∈A
f (αi, β j) · A(Rij) , (Integral doble de Riemann)
donde (αi, β j) ∈ Rij .En tal caso se denota
I =
Rf (x, y) dA
donde dA = dxdy es llamada “componente de area”.
Teorema 2.5 (Integracion en regiones simples).
Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊆ IR2.La regi´ on R es llamada regi´ on simple si:
(a) R es una regi´ on de la forma
R = (x, y) ∈ IR2/ a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)
En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo I , y se cumple que
R
f (x, y) dV =
ba
ψ(x)ϕ(x)
f (x, y) dydx
=
ba
ψ(x)ϕ(x)
f (x, y) dy
dx
que es llamada integral iterada en el orden dydx .
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Tema 3. Integrales Multiples 12
(b) R es una regi´ on de la forma
R = (x, y) ∈ IR2/ c ≤ y ≤ d ∧ α(y) ≤ x ≤ β (y)
En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo II , y se cumple que
R
f (x, y) dV =
d
c
β(x)
α(x)f (x, y) dxdy
=
dc
β(x)α(x)
f (x, y) dx
dy
que es llamada integral iterada en el orden dxdy .
Teorema 2.6. Considere una regi´ on R ⊆ IR2 que se puede expresar como uni´ on “casi disjunta” de regiones simples R1, R2, . . . R p del tipo I, es decir
R =
pi=1
Ri , donde ∀i, j ∈ 1, 2, . . . p, Ri ∩ R j es ∅ o es un segmento de curva
Entonces existen regiones Q1, Q2, . . . Qq “casi disjunta” del tipo II tales que
R =
qi=1
Qi
Si f (x, y) es integrable en R, entonces
R f (x, y) dV =
p
i=1
Ri
f (x, y) dA =
q
i=1
Qi
f (x, y) dA
Ejercicio 2.4. [Basado en parcial 2 de Ma1003, II-2008]
Considere la regi´ on R = (x, y) ∈ IR2/1 ≤ x ≤ √ 2 ∧ x2 ≤ y ≤ 4 − x2.
Calcule la integral
I =
R
x
x2 + y dA
en los ´ ordenes dydx y dxdy.
Respuesta:
I = √ 21
1−x
2
x2
yx2 + y
dydx
=
21
√ y1
y
x2 + y dydx +
32
√ 4−y1
y
x2 + y dydx
= 1 − ln(2)
2 ≈ 0.1534
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Tema 3. Integrales Multiples 13
Ejercicio 2.5. [Basado en ejercicio Oficial 8.6 de MA1003]
Eval´ ue la integral doble I =
21
ln(x)0
(x − 1)
1 + e2y dydx.
Respuesta: Notando primero que integrar en el orden dydx es muy difcil evaluar (de hecho imposible),tenemos que cambiar el orden de integracion resultando:
I = ln(2)
0
2
ey(x − 1)
1 + 2e2y dxdy
=
ln(2)0
ey
1 + e2y dy + 1
2 · ln(2)
e2y
1 + e2y dy
= senh−1(2) − senh−1(1)
2 +
√ 5 − √
2
6
= 1
2 · ln
2 +
√ 5
1 +√
2
+
√ 5 − √
2
6
Ejercicio 2.6. [Basado en parcial 2 de MA1003, II-2006]
Sea I =
40
√ 8x−x2x2−4x
f (x, y) dydx.
(a) Dibuje la regi´ on de integraci´ on.
(b) Exprese I seg´ un el orden dxdy.
Respuestas:
(a) (b)
I =
0−4
2+√ y+4
2−√ y+4f (x, y) dxdy
+
40
44−
√ 16−y2
f (x, y) dxdy
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Tema 3. Integrales Multiples 14
Nota 2.5 (Funciones trigonometricas invertibles). Recordemos que
(a) La funcion f (x) = sen(x) es invertible si se define en el intervalo−π
2, π
2
Se denota f −1
(x) = arcsen(x), llamada funci´ on arcoseno.
arcsen : ] − 1, 1[→−π
2, π
2
(b) La funcion y = cos(x) es invertible si se define en el intervalo
]0, π[
Se denota f −1(x) = arccos(x), llamada funci´ on arcocoseno.
arccos : ] − 1, 1[→−π
2, π
2
(c) La funcion y = tan(x) es invertible si se define en el intervalo
−π
2, π
2 Se denota f −1(x) = arctan(x), llamada funci´ on arcotangente .
arctan : ] − ∞, +∞[→−π
2, π
2
Ejercicio 2.7. Cambie el orden de integraci´ on de la integral
I =
π0
sen(x)0
f (x, y) dA
Respuesta:
I =
10
π/2arcsen(y)
f (x, y) dxdy +
10
π−arcsen(y)π/2
f (x, y) dxdy
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Tema 3. Integrales Multiples 15
Ejercicio 2.8. Considere la regi´ on R encerrada entre las curvas
x = 0, x = π, y = cos(2x) − 3, y = x
Plantear la integral
I =
R
f (x, y) dA
en los ´ ordenes dydx y dxdy.Respuesta:
I =
π0
xcos(2x)−3
f (x, y) dydx
=
−2
−4
π/212 arccos(y+3)
f (x, y) dxdy
+ −2
−4 π− 1
2 arccos(y+3)
π/2
f (x, y) dxdy
+
0−2
π0
f (x, y) dxdy +
π0
πy
f (x, y) dxdy
Ejercicio 2.9. [Basado en ejercicio Oficial 8.12 de MA1003]
Sea I =
π0
4+sen(x)
3− 12
π2·(x−π
2 )2
f (x, y) dydx.
Dibuje la regi´ on de integraci´ on y exprese I seg´ un el orden dxdy.
Respuesta:
I =
30
π2−π
2
3−y3
0f (x, y) dxdy +
30
ππ2+π
2
3−y3
f (x, y) dxdy
+
43
π0
f (x, y) dxdy +
54
π−arcsen(y−4)
arcsen(y−4)f (x, y) dxdy
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Tema 3. Integrales Multiples 16
2.3 Aplicaciones de las Integrales Dobles
2.3.1 Areas y Volumenes
Aplicacion 2.1 (Calculo de area). El ´ area de una regi´ on R ⊆ IR2 corresponde a la integral
A(R) = R
dA ( Ver Definicion 2.3 en p´ ag. 11 )
Ejercicio 2.10. Calcule el ´ area encerrada por la elipse
x2
3 +
y2
16 = 1
Resp. / A = 4 · √ 30
4 1−x2
3
0
dydx = 4√
3 · π ≈ 21.766
Ejercicio 2.11. Calcule el ´ area encerrada entre las curvas
x = 0, x = π, y = cos(2x) − 3, y = x ( Ver Ejercicio 2.8 )
Resp. / A =
π
0
x
cos(2x)−3
dydx = 3π + π2
2 ≈ 14.35958
Aplicacion 2.2 (Calculo de volumen). Si z = f (x, y) ≥ 0 cuando (x, y) ∈ R ⊆ IR2 y si f integrable en R, entonces el volumen bajo la superficie
S : z = f (x, y), (x, y) ∈ R
o volumen encerrado entre el plano z = 0 y la superficie S para (x, y) ∈ IR, corresponde a la integral
V =
R
f (x, y) dA
Ejercicio 2.12. Calcule el volumen del tetraedro cuyos vertices son
A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), C = (0, 2, 0) D = (0, 0, 5)
Respuesta:
V =
20
−x+2
0
10 − 2x − 2y
2 dydx =
22
3 ≈ 7.333
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Tema 3. Integrales Multiples 17
Teorema 2.7. Dadas dos superficies generadas por las ecuaciones z = f (x, y) y z = g(x, y), el volumen entre las superficies cuando (x, y) ∈ R, corresponde a
V =
R
f (x, y) − g(x, y) dA
Ejercicio 2.13. Calcule el volumen de la regi´ on limitada por las superficies
z = x2 + y2 ∧ y = x2 ∧ y = 1 ∧ z = 0
Respuesta: El volumen correspondiente es V =
1−1
1x2
x2 + y2
dydx =
88
105 .
Ejercicio 2.14. Plantear la integral doble que calcula el volumen encerrado entre las superficies engen-dradas por las ecuaciones
z = 36 − x2 − 4y2 ∧ z =
25 − x2 − y2
cuando (x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.22 ]
Respuesta:
V = 4 · 20
√ 4−x20
36 − x2 − 4y2 −
25 − x2 − y2
dydx
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Tema 3. Integrales Multiples 18
2.3.2 Interpretaciones Fısicas
Aplicacion 2.3 (Interpretaciones Fısicas). Si R ⊂ IR2 modela un “cuerpo plano” y si z = f (x, y)corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de ´ area en (x, y) ) entonces se tiene que
1. La masa total de R es igual a
m = R
f (x, y) dA
2. La masa promedio de R es igual a
m = 1
A(R)
R
f (x, y) dA
donde
A(R) =
R
f (x, y) dA = ´ area del cuerpo
3. Los momentos est´ aticos de R son
(a) Respecto al eje-x es igual a
mx =
R
|y| · f (x, y) dA
(b) Respecto al eje-y es igual a
my =
R
|x| · f (x, y) dA
(c) Respecto a una recta cualquiera, es igual a
m =
Rd
(x, y), · f (x, y) dA
donde d
(x, y),
es la distancia de (x, y) a la recta
4. El centro de masa o centro de gravedad de R es
C m = (x, y)
donde
x = 1
m R
x · f (x, y) dA ∧ y = 1
m R
y · f (x, y) dA
siendo m =
R f la masa total.
5. Los momentos de inercia de R son
(a) Respecto al eje-x es igual a
I x =
R
y2 · f (x, y) dA
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Tema 3. Integrales Multiples 19
(b) Respecto al eje-y es igual a
I y =
R
x2 · f (x, y) dA
(c) Respecto a una recta cualquiera, es igual a
I = R
d2(x, y), ·f (x, y) dA
donde d
(x, y),
es la distancia de (x, y) a la recta
(d) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0) es igual a
I o =
R
(x2 + y2) · f (x, y) dA (InerciaPolar)
Ejercicio 2.15. Calcule masa total, masa promedio, momentos est´ aticos, centro de masa y momentos de inercia de R = [0, 1] × [0, 2], cuando la densidad de R es z = xy2.
Respuestas:
masa total = m = 20
10
xy2 dydx = 43
masa promedio = m = m
A =
4/3
2 =
2
3
momentos estaticos mx =
20
10
xy3 dydx = 2 ∧ my =
20
10
x2y2 dydx = 8
9
centro de masa =
2
3, 3
2
momentos de inercia mx =
20
10
xy4 dydx = 2
3 ∧ my =
20
10
x3y2 dydx = 16
5
Ejercicio 2.16. [Basado en [1] Poltronieri] Determine los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados ( I x e I y ) de una l´ amina delgada modelada por la regi´ on:
R :
0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ √ 2x
si la densidad en cada punto es f (x, y) = |x − y|.Respuesta: Los momentos de inercia son
I x = 20
√ 2x0
y2 · |x − y| dydx
=
20
x0
y2 · (x − y) dydx +
20
√ 2xx
y2 · (y − x) dydx = 26
15 − 16
√ 2
21
I y =
20
√ 2x0
x2 · |x − y| dydx
=
20
x0
x2 · (x − y) dydx +
20
√ 2xx
x2 · (y − x) dydx = 42
5 − 32
√ 2
9
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2.4 Cambios de variable en Integrales Dobles
Teorema 2.8. Sea f (x, y) una funci´ on integrable en R ⊆ IR2 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva tal que
g(x, y) =
ϕ(x, y)ψ(x, y)
Se define el Jacobiano de g como el determinante de la matriz jacobiana de g, es decir
J (x, y) = |J g(x, y)| =
ϕx(x, y) ϕy(x, y)ψx(x, y) ψy(x, y)
= ϕx(x, y) · ψy(x, y) − ψx(x, y) · ϕy(x, y)
tambien se escribe
J (x, y) = ∂ (ϕ, ψ)
∂ (x, y)
Si la expresi´ on “ f [g(x, y)] · |J (x, y)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on
R = g−1(R) = (u, v) ∈ IR2 / u = ϕ(x, y) ∧ v = ψ(x, y) para (x, y) ∈ R
es decir, que R es la regi´ on obtenida de R despues de aplicar el cambio de variable u = ϕ(x, y)
v = ψ(x, y)
Luego se cumple la igualdad R
f [g(x, y)] · |J (x, y)| dxdy =
R
f (u, v) dudv
o lo que es lo mismo
R
f [u(x, y), v(x, y)] ·∂ (u, v)
∂ (x, y)
dxdy =
Rf (u, v) dudv
Teorema 2.9. Si f (x, y) integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y si h : R → R es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que
R = h(R) = (u, v) ∈ IR2 / (u, v) = h−1(x, y), para (x, y) ∈ Rentonces la expresi´ on “ f [h(u, v)] · |J (u, v)|” es integrable en R, donde
J (u, v) = ∂ (x, y)
∂ (u, v) =
xu xvyu yv = xu · yv − yu · xv
luego se cumple la igualdad R
f (x, y) dxdy =
R
f [h(u, v)] · |J (u, v)| dudv
En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma x = ϕ(u, v)
y = ψ(u, v)
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Ejercicio 2.17. [Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 3]
Calcule la integral
I =
√ 21
4−x2x2
x
x2 + y dydx ( Ver Ejercicio 2.4 )
usando el cambio de variables
x = √ v − u ∧ y = u + v
Respuesta:
Note que R es la region limitada por las rectas x = 1, y = x2, y = 4 − x2. Al aplicar el cambio devariable, la region R obtenida es limitada por las rectas v = u + 1, u = 0 y v = 2.
Ademas J (u, v) = −1√
v − u, entonces:
I =
10
2u+1
1
2v dvdu =
1 − ln(2)
2 ≈ 0.1534
Ejercicio 2.18. [Basado en Ampliacion de MA1003, II-2008]Use el cambio de variable x = 4u + v ∧ y = 2u para calcular
I =
R
x − 2y +
y2
4
dxdy
donde R es el interior del tri´ angulo con vertices (0, 0), (4, 0) y (4, 2).Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R en el plano uv.
Respuesta:
Note que R es la region limitada por las rectas x = 4, y = 0, y = x/2. Al aplicar el cambio de variable,la region R obtenida es limitada por las rectas v = −4u + 4, u = 0 y v = 0.
Ademas J (u, v) =−
2, entonces:
I = 2
10
−4u+4
0
√ v + u2
dvdu =
74
15
Teorema 2.10. Sea R ⊆ IR2 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva.Recordemos que
J g−1 = J −1g =⇒ |J g−1 | =
1
|J g|o sea, que al hacer (u, v) = g(x, y)
xu xvyu yv
=
ux uyvx vy
−1 =⇒ J (u, v) = 1J (x, y)
Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “ f [g−1(u, v)] · |J (u, v)|” es integrable en
R = g(R) = (u, v) ∈ IR2 / (u, v) = g(x, y), para (x, y) ∈ Rluego se cumple la igualdad
Rf (x, y) dxdy =
R
f [g−1(u, v)] · |J (u, v)| dudv
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o lo que es lo mismo
R
f (x, y) dxdy =
R
f (x, y) · 1
|J (x, y)| dudv
En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma
u = ϕ(x, y)
v = ψ(x, y)
Ejercicio 2.19. Sea R la regi´ on del primer cuadrante limitada por las curvas
5y = −x2 + 15, 5y = −x2 + 40, 5x − 3y = 0, 5x − 3y = 15
Use el cambio de variable u = 5x − 3y ∧ v = x2 + 5y
para calcular la integral
R
(6x + 25) x2 + 5y + 1 dA
Respuesta:
I =
150
4015
√ v + 1 dvdu = 410
√ 41 − 640 ≈ 1985.289
Ejercicio 2.20. [Basado en Ampliacion de MA1003, I-2007]
Use el cambio de variable u = x2 − y2, v = 2xy para calcular
I =
R
x4 − y4
dxy
donde R es la regi´ on en el primer cuadrante limitada por las curvas
x2 − y2 = 1 ∧ x2 − y2 = 2 ∧ xy = 1 ∧ xy = 2
Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R en el plano uv.
Respuesta:
Al aplicar el cambio de variable, la region obtenida corresponde al rectangulo R = [1, 2] × [2, 4].Ademas J (x, y) = 4 (x2 + y2), entonces:
I =
21
42
x4 − y4
· 1
4 (x2 + y2) dvdu =
1
4 · 21
42
udvdu = 3
4
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2.5 Coordenadas Polares
Definicion 2.4 (Coordenadas Polares). Las coordenadas polares son un sistema de representacion de
puntos en el plano, que toma como referencia un punto fijo O llamado polo y un rayo fijo −−→OX llamado
eje polar que apunta hacia la derecha de O.
En el plano polar, todo punto P esta asociado a las variables r ≥ 0,θ ∈ [0, 2π[, que indican que P esta ubicado a una distancia de “r”
unidades del polo O y que “midiendo antihorario”, −−→OP forma un
angulo de θ unidades con el eje polar −−→OX .
Es decir,OP = r ∧ m∠X OP = θ
Teorema 2.11 (Polares vs Cartesianas). Si P c= (x, y) es la forma cartesiana del punto P ∈ IR2 y si
P p= (r, θ) es la forma polar del mismo punto P , tomando como polo el punto
O c= (0, 0) y como eje polar
el eje-x positivo entonces
x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ)
tambien se cumple que
r =
x2 + y2 ∧ θ = arccos
x x2 + y2
donde θ ∈ [0, 2π[ ∧ r ∈ [0, +∞[De hecho se cumple el sistema de ecuaciones
sen(θ) =
y x2 + y2
cos(θ) = x x2 + y2
Teorema 2.12 (Integral doble en Polares). Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y sea R la regi´ on obtenida al aplicar el cambio de variables
x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ) , θ ∈ [0, 2π[ , r ∈ [0, +∞[
es decir, que R = (r, θ) ∈ IR2 / x = r cos(θ), y = r sen(θ), (x, y) ∈ R
entonces
J (r, θ) = ∂ (x, y)
∂ (r, θ) = r
luego se cumple que R
f (x, y) dxdy =
R
f
r cos(θ), r sen(θ) · rdrdθ
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Ejercicio 2.21. [Basado en [1] Poltronieri] Use coordenadas polares para calcular
I =
a0
√ a2−x20
ln
1 + x2 + y2
dydx
Respuesta: Usando coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sen(θ), obtenemos
I = π/2
0
a
0ln(1 + r2) · rdrdθ = π
4 ·
(1 + a2) · ln(1 + a2) − a2
Ejercicio 2.22. Use coordenadas polares para calcular el volumen encerrado entre las superficies engen-dradas por las ecuaciones
z = 36 − x2 − 4y2 ∧ z =
25 − x2 − y2
cuando (x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.14 ]
Respuesta:
V = 2π0
20
36 − r2 − 3r2 sen2(θ) −
25 − r2 · r drdθ = 14√ 21 · π + 122π3 ≈ 329.3103
Ejercicio 2.23. Considere el disco R : x2 + y2 ≤ 6y con densidad constante f (x, y) = 1.
(a) Calcule el centro de masa de R.
(b) Calcule los momentos est´ aticos respecto a los ejes coordenados.
(c) Calcule el momento de inercia respecto al polo.
Respuestas:
(a) La masa es
m =
R
f (x, y) dxdy =
π0
6sen(θ)0
rdrdθ = 9π
Ademas:
c1 =
R
x f (x, y) dxdy =
π0
6 sen(θ)0
cos(θ) · r2 drdθ = 0
c2 =
R
y f (x, y) dxdy =
π0
6 sen(θ)0
sen(θ) · r2 drdθ = 27π
Luego el centro de masa esC =
1
m · [c1, c2] = [0, 3]
(b) Los momentos estaticos respecto a los ejes x e y son respectivamente:
mx =
R
|y| f (x, y) dxdy =
π0
6 sen(θ)0
sen(θ) · r2 drdθ = 27π
my =
R
|x| f (x, y) dxdy =
π0
6 sen(θ)0
| cos(θ)| · r2 drdθ = 36
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Respuesta:
La integral en coordenadas polares corresponde a:
I = π/6
−π/4
4
2θ · rdrdθ +
π/2
π/6
2csc θ
2θ · r drdθ
= −5π2
48 +
1
2
4θ (− cot θ) + 4 ln(sen θ) − 2θ2
π/2
π/6
= 2 log(2) − 47 π2
144 +
π√ 3
≈ −0.021235
Ejercicio 2.26. Plantee y eval´ ue una integral doble para calcular el volumen de la regi´ on
R :
x2 + y2 + z2 ≤ 9x2 + y2 + z2 ≤ 6z
Respuesta: El volumen es
V =
R
9 − x2 − y2 −
3 −
9 − x2 + y2
dxdy
=
2π0
3√ 32
0
2
9 − r2 − 3
· r drdθ
= 45π
4 ≈ 35.342 917
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2.6 Coordenadas Elıpticas
Nota 2.6 (Coordenadas Elıpticas). Cuando una region en IR2 incluye una elipse
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1
se puede aplicar el cambio de variable
x − x0
a = r cos(θ)
y − y0b
= r sen(θ)⇐⇒
x = x0 + a · r cos(θ)
y = y0 + b · r sen(θ)
En tal caso se cumple
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1 ∧ J (r, θ) =
∂ (x, y)
∂ (r, θ) = ab · r
luego si f : R → IR2 integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior
R
f (x, y) dxdy = ab
R
f
x0 + a · r cos(θ)y0 + b · r sen(θ)
· r drdθ
Ejercicio 2.27. Calcule el ´ area de la elipse
R : (x − 1)2
2 +
y2
9 ≤ 1
Respuesta: Haciendo x = 1 + 2r cos(θ) ∧ y = 3r sen(θ) obtenemos
A = 2π
0 1
06r drdθ = 6π
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3 Integrales Triples
3.1 Integrales Triples en “cajas”
Definicion 3.1 (Integral triple). Un conjunto R ⊆ IR3 es llamado “caja” si tiene la forma
R = [a, b] × [c, d] × [α, β ]
= (x,y ,z) ∈ IR3
/ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ α ≤ z ≤ β
Una aplicacion f : D ⊆ IR3 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite
I = lim∆xi → 0
∆yj →
0
∆zk → 0
n
i=1
m
j=1
p
k=1
f (αi, β j, γ k) ∆xi∆y j∆zk
donde
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b ∆xi = xi − xi−1
c = x0 < y1 < y2 < · · · < ym = d ∆yi = y j − y j−1α = z0 < z1 < z2 < · · · < z p = β ∆zk = xk − xk−1
xi ≤ αi ≤ xi−1 ∧ y j ≤ β j ≤ y j−1 ∧ zk ≤ γ k ≤ zk−1
ademas
∆xi → 0 ⇐⇒ n → +∞∆y j → 0 ⇐⇒ m → +∞∆zk → 0 ⇐⇒ p → +∞
En tal caso se denota
I =
R
f (x,y,z) dV
donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”.
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Tema 3. Integrales Multiples 29
Definicion 3.2 (Integral Triple Iterada). La expresion
I =
ba
dc
βα
f (x,y ,z) dzdydx
es llamada integral iterada de f (x,y ,z) en el rectangulo [a, b] × [c, d] × [α, β ] en el orden dzdydx, yse calcula haciendo
I = ba
dc
βα
f (x,y,z) dzdy
dx = ba
g(x) dx
donde
g(x) =
dc
βα
f (x,y,z) dzdy
=
dc
βα
f (x,y ,z) dz
dy
=
dc
h(y) dy donde h(y) =
βα
f (x,y ,z) dz
De manera analoga se definen las integrales iteradas para los ordenes dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz
y dxdzdy.Por ejemplo, el orden dydxdz βα
ba
dc
f (x,y ,z) dydxdz =
βα
ba
dc
f (x,y ,z) dydx
dz
Teorema 3.1 (Fubini). Sea f (x,y ,z) una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d] × [α, β ].Entonces existen las integrales
g(x) =
dc
βα
f (x,y,z) dzdy ∧ ba
g(x) dx
luego se cumple que
I =
R
f (x,y,z) dV =
ba
dc
βα
f (x,y ,z) dzdydx
=
dc
ba
βα
f (x,y ,z) dzdxdy
...
=
βα
ba
dc
f (x,y ,z) dxdydz
O sea que las integrales iteradas en los ´ ordenes dzdydx, dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdyson todas iguales a I .
Teorema 3.2. Si f (x,y ,z) es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d] × [α, β ], entonces f es integrable en R.
Ejercicio 3.1. Calcule la integral
I =
R
xyz dV
(x2 + y2 + z2 + 6)4
donde R = [1, 5] × [−1, 2] × [0, 4].
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Tema 3. Integrales Multiples 30
Respuesta:
I =
51
2−1
40
xyz
(x2 + y2 + z2 + 6)4 dzdydx
= −1
6 · 51
2−1
xy
(x2 + y2 + 22)4 − xy
(x2 + y2 + 6)4
dydx
= . . .
= 158 383
271435240 ≈ 0.0005835
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3.2 Integrales Triples en Regiones Generales
Definicion 3.3 (Integral triple en Regiones Generales). Sea R ⊆ IR3 una region que se puede aproximarpor la union de “cajas” sin puntos internos comunes
Rijk ⊆ IR3, (i,j,k) ∈ A ⊆ IN3
es decir que
R ≈ (i,j,k)∈A
Rijk
ademas si V (Rijk) es el volumen de Rijk , se cumple que
R = limV (Rijk)→0
(i,j,k)∈A
Rijk
En tal caso el volumen de la region R correponde a:
V (R) = limV (Rijk)→0
(i,j,k)∈A
V (Rijk) ( Ver Aplicacion 3.1 en pag. 33 )
Una funcion f : D ⊆ IR3
→ IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite
I = limV (Rijk)→0
(i,j,k)∈A
f (αi, β j, γ k) · A(Rijk) , (Integral triple de Riemann)
donde (αi, β j, γ k) ∈ Rijk .En tal caso se denota
I =
R
f (x,y,z) dV
donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”.
Teorema 3.3 (Regiones Simples en el Espacio).
Un conjunto R ⊆ IR
3
de la forma R = (x,y ,z) ∈ IR3 / a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x) ∧ ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)
es llamado regi´ on simple.En tal caso, si f (x,y,z) integrable en la regi´ on R entonces
Rf (x,y ,z) dV =
ba
h(x)g(x)
ψ(x,y)ϕ(x,y)
dzdydx
=
ba
h(x)g(x)
ψ(x,y)ϕ(x,y)
dz
dydx
que es llamada integral iterada en el orden dzdydx.De manera an´ aloga se definen regiones simples en el espacio para integrales en los ´ ordenes dzdxdy,dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdy.
Por ejemplo βα
b(y)a(y)
d(x,z)c(x,z)
f (x,y,z) dydxdz =
βα
b(y)a(y)
d(x,z)c(x,z)
f (x,y ,z) dy
dxdz
es una integral iterada de f (x,y,z) en el orden dydxdz en la regi´ on simple:
(x,y ,z) ∈ IR3 / α ≤ z ≤ β ∧ a(y) ≤ x ≤ b(y) ∧ c(x, z) ≤ y ≤ d(x, z)
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Tema 3. Integrales Multiples 32
Ejercicio 3.2. Calcule la integral
I =
R
x2y dV
donde R es el tetraedro de vertices
(0, 0, 0) ∧ (2, 0, 0) ∧ (0, 1, 0) ∧ (0, 0, 3)
Respuesta:
I =
20
−x2+1
0
16−3x−6y2
0x2y dzdydx =
11
15 ≈ 0.7333
Ejercicio 3.3. Plantear la integral
I =
R
f (x,y,z) dV
donde R es la regi´ on contenida dentro de la esfera
x2 + y2 + z2 = 16
y arriba del paraboloide 6z = x2 + y2
Plantear ordenes dzdydx y dydxdz.
Respuesta:
I =
2√ 3−2√ 3
√ 12−x2−√ 12−x2
√ 16−x2−y2
(x2+y2)/6f (x,y ,z) dzdydx
=
20
√ 6z−√ 6z
√ 6z−x2−√ 6z−x2
f (x,y ,z) dydxdz +
42
√ 16−z2−√ 16−z2
√ 16−x2−z2−√ 16−x2−z2
f (x,y,z) dydxdz
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Tema 3. Integrales Multiples 33
3.3 Aplicaciones de las Integrales Triples
3.3.1 Calculo de Volumenes
Aplicacion 3.1 (Calculo de Volumen). El volumen de una regi´ on R ⊆ IR3 corresponde a la integral
V (R) = R
dV ( Ver Definicion 3.3 en p´ ag. 31 )
Ejercicio 3.4. [Basado en parcial 2 de MA1003, I-2006]
Calcule el volumen del s´ olido ubicado en el primer octante de IR3, limitado por los tres planos coorde-nados y por los tres planos de ecuaciones cartesianas:
x + y = 2 ∧ x + z = 2 ∧ y + z = 2
Respuesta: El volumen corresponde a
I =
10
2−yy
2−x0
dzdxdy +
10
2−xx
2−y0
dzdydx = 2
3.3.2 Interpretaciones Fısicas
Aplicacion 3.2 (Interpretaciones Fısicas). Si R ⊂ IR3 modela un “cuerpo solido” y si z = f (x,y ,z)corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de volumen en (x,y,z) ) entonces se tiene que
1. La masa total de R es igual a
m =
R
f (x,y,z) dV
2. La masa promedio de R es igual a
m = 1
V (R)
R
f (x,y,z) dV
donde
V (R) =
R
f (x,y ,z) dV = volumen del cuerpo
3. Los momentos est´ aticos de R son
(a) Respecto al plano-xy es igual a
mxy =
R|z| · f (x,y ,z) dV
(b) Respecto al plano-xz es igual a
mxz =
R
|y| · f (x,y,z) dV
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Tema 3. Integrales Multiples 34
(c) Respecto al plano-yz es igual a
myz =
R
|x| · f (x,y,z) dV
(d) Respecto al eje-x es igual a
mx =
R
y2 + z2 · f (x,y ,z) dV
(e) Respecto al eje-y es igual a
my =
R
x2 + z2 · f (x,y ,z) dV
(f) Respecto al eje-z es igual a
mz = R x2 + y2 · f (x,y ,z) dV
(g) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a
mΩ =
R
d
(x,y ,z), Ω · f (x,y ,z) dV
donde d
(x,y ,z), Ω
es la distancia de (x,y ,z) al conjunto Ω.
4. El centro de masa o centro de gravedad de R es
C m = (x,y ,z)
donde
x = 1
m
R
x · f (x,y ,z) dV
y = 1
m
R
y · f (x,y ,z) dV
z = 1
m
R
z · f (x,y ,z) dV
siendo m =
R f la masa total.
5. Los momentos de inercia de R son
(a) Respecto al eje-x es igual a
I x =
R
(y2 + z2) · f (x,y ,z) dV
(b) Respecto al eje-y es igual a
I y =
R
(x2 + z2) · f (x,y ,z) dV
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Tema 3. Integrales Multiples 35
(c) Respecto al eje-z es igual a
I z =
R
(x2 + y2) · f (x,y ,z) dV
(d) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a
I Ω =
R
d2
(x,y,z), Ω · f (x,y ,z) dV
donde d
(x,y ,z), Ω
es la distancia de (x,y ,z) al conjunto Ω.
(e) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0, 0) es igual a
I o =
R
(x2 + y2 + z2) · f (x,y ,z) dV (InerciaPolar)
Ejercicio 3.5. [Basado en ejercicio oficial 9.4 de MA1003]
Calcule la masa del s´ olido T cuya densidad es f (x,y,z) = x2
y2
z2
, si T es limitado por el cilindroparab´ olico de ecuaci´ on x = y2 y los planos de ecuaciones x = z, z = 0 y x = 1.
Respuesta: La masa de T corresponde a
m =
10
√ x−√ x
x0
x2y2z2 dzdydx = 4
135
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Tema 3. Integrales Multiples 36
3.4 Cambios de variable en Integrales Triples
Teorema 3.4. Sea f (x,y ,z) una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva tal que
g(x,y,z) =
ϕ(x,y ,z)ψ(x,y,z)ζ (x,y,z)
Se define el Jacobiano de g como el determinante de la matriz jacobiana de g, es decir
J (x,y ,z) = |J g(x,y ,z)| =
ϕx(x,y ,z) ϕy(x,y ,z) ϕz(x,y ,z)ψx(x,y ,z) ψy(x,y ,z) ψz(x,y ,z)ζ x(x,y,z) ζ y(x,y ,z) ζ z(x,y,z)
tambien se escribe
J (x,y ,z) = ∂ (ϕ,ψ,ζ )
∂ (x,y ,z)
Si la expresi´ on “ f [g(x,y ,z)] · |J (x,y ,z)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on
R = g(R) =u
vw
∈ IR3 u
vw
=
ϕ(x,y ,z)
ψ(x,y,z)ζ (x,y,z)
para (x,y ,z) ∈ R
es decir, que R es la regi´ on obtenida de R despues de aplicar el cambio de variable
u = ϕ(x,y ,z)
v = ψ(x,y,z)
w = ζ (x,y ,z)
Luego se cumple la igualdad
R
f [ g(x,y ,z) ]· |
J (x,y ,z)|
dxdydz = R
f (u,v,w) dudvdw
o lo que es lo mismo
R
f
u(x,y ,z)
v(x,y ,z)w(x,y ,z)
·
∂ (u,v,w)
∂ (x,y,z)
dxdydz =
R
f (u,v,w) dudvdw
Teorema 3.5. Si f (x,y ,z) es una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y si h : R → R es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que
R = h(R) =
(u,v,w)
∈IR2 / (u,v,w) = h−1(x,y ,z), para (x,y ,z)
∈R
entonces la expresi´ on “ f [h(u,v,w)] · |J (u,v,w)|” es integrable en R, donde
J (u,v,w) = ∂ (x,y,z)
∂ (u,v,w) =
xu xv xwyu yv ywzu zv zw
luego se cumple la igualdad
Rf (x,y ,z) dxdydz =
R
f [ h(u,v,w) ] · |J (u,v,w)| dudvdw
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Tema 3. Integrales Multiples 37
En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma
x = ϕ(u,v,w)
y = ψ(u,v,w)
z = ζ (u,v,w)
Ejercicio 3.6. Calcule la integral
I =
10
√ 16−x2√ 1−x2
84
x2 + y2
z dzdydx +
41
√ 16−x20
84
x2 + y2
z dzdydx
usando el cambio de variables
x = v cos(u) ∧ y = v sen(u) ∧ z = 4w
Respuesta:
Note que R es la region limitada por las superficies:
z = 4 ∧ z = 8
x2
+ y2
= 1, y > 0x2 + y2 = 16, y > 0
x = 0 ∧ y = 0
Al aplicar el cambio de variables, obtenemos la nueva region R =
0, π
2
× [1, 4] × [1, 2].
El jacobiano J (u,v,w) = 4v, entonces
I =
π/20
41
21
2 v2√ w
dwdvdu = 210√
2 − 210 π ≈ 273.270959
Teorema 3.6. Sea R⊆
IR3 y sea g : R→
R una funci´ on vectorial biyectiva.
Recordemos que
J g−1 = J −1g =⇒ |J g−1 | =
1
|J g|o sea, que al hacer (u,v,w) = g(x,y,z)
xu xv xwyu yv ywzu zv zw
=
ux uy uz
vx vy vzwx wy wz
−1
=⇒ J (u,v,w) = 1
J (x,y ,z)
Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “ f [g−1(u,v,w)] · |J (u,v,w)|” es integrable en
R = g(R) = (u,v,w) ∈ IR3
/ (u,v,w) = g(x,y ,z), para (x,y ,z) ∈ Rluego se cumple la igualdad
Rf (x,y,z) dxdydz =
R
f [g−1(u,v,w)] · |J (u,v,w)| dudvdw
o lo que es lo mismo R
f (x,y ,z) dxdydz =
R
f (x,y ,z) · 1
|J (x,y ,z)| dudvdw
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En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma
u = ϕ(x,y ,z)
v = ψ(x,y ,z)
v = ζ (x,y,z)
Ejercicio 3.7. Calcule el volumen del paralelepıpedo:
R :
0 ≤ x − y ≤ 218 ≤ 7x + 5y − 3z ≤ 36
6 ≤ x − y + 3z ≤ 20
Respuesta: Haciendo el cambio de variable
u = x − y ∧ v = 7x + 5y − 3z ∧ w = x − y + 3z
Obtenemos la nueva region R = [0, 2] × [18, 36] × [6, 20] con jacobiano J (x,y ,z) = 36, entonces:
V = 20
3618
206
1
36 dwdvdu = 14
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3.5 Coordenadas Cilındricas y Esfericas
3.5.1 Coordenadas Cilındricas
Definicion 3.4 (Coordenadas Cilındricas). Las Coordenadas Cilındricas son un sistema de repre-sentacion de puntos P sobre el espacio cartesiano IR3 que en su forma basica toma como referencia lascoordenadas polares sobre plano-xy y no varıa el papel de z .
En coordenadas cilındricas, todo punto P esta aso-ciado a las variables θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR,que indican que P esta ubicado a una distancia de“r” unidades del eje-z y que “midiendo antihorario”sobre un plano horizontal a partir del eje-x+, formaun angulo de θ unidades, mientras que P esta |z|unidades hacia arriba del plano-xy si z ≥ 0, o haciaabajo si z < 0.
En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR, tenemos las relaciones
x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ) ∧ z = z
Ademas se cumple que
x2 + y2 = r2 y tambien J (r,θ,z) = ∂ (x,y ,z)
∂ (r,θ,z)
= r
Teorema 3.7 (Integral triple en Cilındricas).
Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
z = z
y si R se obtiene de R despues del cambio anterior, entonces
R f (x,y ,z) dxdydz =
R f [r cos(θ), r sen(θ), z] · r drdθdz
siempre que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR.
Nota 3.1. Se recomienda el uso de las coordenadas cilındricas, para regiones en las que cilindros,paraboloides, conos o hiperboloides circulares cumplen papeles importantes.
Ejercicio 3.8 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 5).
Use coordenadas cilındricas para calcular el volumen del s´ olido R limitado por las superficies
2z = x2 + y2 , x2 + y2 − z2 = 1 , z = 0
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En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π
2, π
2
y r ∈ [0, +∞[, tenemos las relaciones
x = r cos(θ) cos(ϕ) ∧ y = r sen(θ)cos(ϕ) ∧ z = r sen(ϕ)
Ademas se cumple que
x2 + y2 + z2 = r2 y tambien J (r,θ,ϕ) = ∂ (x,y ,z)∂ (r,θ,ϕ)
= r2 cos(ϕ)
Teorema 3.8 (Integral triple en Esfericas version 1).
Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable
x = r cos(θ) sen(ϕ)
y = r sen(θ)sen(ϕ)
z = r cos(ϕ)
y si R se obtiene de R despues del cambio anterior, entonces
R
f (x,y ,z) dxdydz =
R
f
r cos(θ) sen(ϕ)
r sen(θ)sen(ϕ)r cos(ϕ)
· r2 sen(ϕ) drdθdϕ
siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ .
Teorema 3.9 (Integral triple en Esfericas version 2).
Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable
x = r cos(θ)cos(ϕ)
y = r sen(θ) cos(ϕ)
z = r sen(ϕ)
y si R se obtiene de R despues del cambio anterior, entonces
R
f (x,y,z) dxdydz =
R
f
r cos(θ)cos(ϕ)
r sen(θ) cos(ϕ)r sen(ϕ)
· r2 cos(ϕ) drdθdϕ
siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π
2, π
2
y r ∈ [0, +∞[ .
Ejercicio 3.10. Use coordenadas esfericas para calcular el volumen de la esfera
R : x2 + y2 + z2 ≤ 9
Respuesta: Haciendo
x = r cos(θ)sen(ϕ) ∧ y = r sen(θ) sen(ϕ) ∧ z = r cos(ϕ)
Obtenemos que el volumen de la esfera es
V =
2π0
π0
30
r2 sen(ϕ) drdϕdθ = 36π
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Ejercicio 3.11 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 4).
Usar coordenadas esfericas para calcular la integral
I =
R
z2 dV
donde
R :
x2
+ y2
+ z2
≤ 1x2 + y2 + z2 ≤ 2z
Respuesta: Haciendo
x = r cos(θ)sen(ϕ) ∧ y = r sen(θ) sen(ϕ) ∧ z = r cos(ϕ)
Obtenemos que el volumen de la esfera es
V =
2π0
π/30
10
r4 sen(ϕ)cos2(ϕ) drdϕdθ
+ 2π0
π/2π/3
2cos(ϕ)1 r
4
sen(ϕ)cos
2
(ϕ) drdϕdθ
= 17π
160 ≈ 0.333 794
Nota 3.3 (Coordenadas Esfericas Generalizadas version 1).
Cuando una region en IR3 incluye un elipsoide de la forma
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 +
(z − z0)2
c2 = 1
se puede aplicar el cambio de variable
x − x0
a = r cos(θ)sen(ϕ)
y − y0b
= r sen(θ) sen(ϕ)
z − z0c
= r cos(ϕ)
⇐⇒
x = x0 + a · r cos(θ) sen(ϕ)
y = y0 + b · r sen(θ) sen(ϕ)
z = z0 + c · r cos(ϕ)
En tal caso se cumple
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 +
(z − z0)2
c2 = r2 ∧ J (r,θ,ϕ) =
∂ (x,y,z)
∂ (r,θ,ϕ) = −abc · r2 sen(ϕ)
luego si f : R → IR3 integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior
R
f (x,y ,z) dxdydz = abc
R
f
x0 + a · r cos(θ)sen(ϕ)
y0 + b · r sen(θ)sen(ϕ)z0 + c · r cos(ϕ)
· r2 sen(ϕ) drdθdϕ
siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ .
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Nota 3.4 (Coordenadas Esfericas Generalizadas version 2).
Cuando una region en IR3 incluye un elipsoide de la forma
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 +
(z − z0)2
c2 = 1
se puede aplicar el cambio de variable
x − x0
a = r cos(θ)cos(ϕ)
y − y0b
= r sen(θ)cos(ϕ)
z − z0c
= r sen(ϕ)
⇐⇒
x = x0 + a · r cos(θ) cos(ϕ)
y = y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ)
z = z0 + c · r sen(ϕ)
En tal caso se cumple
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 +
(z − z0)2
c2 = r2 ∧ J (r,θ,ϕ) =
∂ (x,y ,z)
∂ (r,θ,ϕ) = abc · r2 cos(ϕ)
luego si f : R → IR3
integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior
R
f (x,y ,z) dxdydz = abc
R
f
x0 + a · r cos(θ)cos(ϕ)
y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ)z0 + c · r sen(ϕ)
· r2 cos(ϕ) drdθdϕ
siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π
2, π
2
y r ∈ [0, +∞[ .
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3.6 Ejercicios Adicionales
Ejercicio 3.12. Considere la regi´ on regi´ on
R :
x2 + y2 + z2 ≤ 9
x2 + y2 + z2 ≤ 6z
y sea I =
Rf (x,y ,z) dxdydz.
(a) Plantear la integral triple I en coordenadas cartesianas en los ´ ordenes dzdydx, dydzdx y dxdydz.
(b) Plantear la integral I en coordenadas cilındricas en los ´ ordenes dzdρdθ y dρdzdθ.
(c) Plantear la integral I en coordenadas esfericas en los ´ ordenes dρdϕdθ y dϕdρdθ.
Respuestas:
(a) En el orden dzdydx:
I = 3√ 32− 3
√ 3
2
−
274
−x2
−
274 −x2
√ 9
−x2
−y2
3−√
9−x2−y2f (x,y ,z) dzdydx
En el orden dydzdx:
I =
3√ 32
− 3√ 3
2
3/23−√ 9−x2
√ 6z−z2−x2−√ 6z−z2−x2
f (x,y ,z) dydzdx
+
3√ 32
− 3√ 3
2
√ 9−x23/2
√ 9−x2−z2−√ 9−x2−z2
f (x,y ,z) dydzdx
En el orden dxdydz:
I =
3/20
3+√ 9−z23−√ 9−z2
√ 6z−z2−y2
−√
6z−z2−y2f (x,y,z) dxdydz
+
33/2
√ 9−z2−√ 9−z2
√ 9−y2−z2
−√
9−y2−z2f (x,y,z) dxdydz
(b) En coordenadas cilındricas en el orden dzdρdθ:
I = 2π
0 3√ 3
2
0 √
9−ρ2
3
−
√ 9
−ρ2
f
ρ cos(θ)ρ sen(θ)
z
· ρ dzdρdθ
En coordenadas cil ındricas en el orden dρdzdθ:
I =
2π0
3/20
√ 6z−z20
f
ρ cos(θ)
ρ sen(θ)z
· ρ dρdzdθ
+
2π0
33/2
√ 9−z20
f
ρ cos(θ)
ρ sen(θ)z
· ρ dρdzdθ
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(c) En coordenadas esfericas en el orden dρdϕdθ:
I =
2π0
π/30
30
f
ρ cos(θ) sen(ϕ)
ρ sen(θ) sen(ϕ)ρ cos(ϕ)
· ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ
+ 2π0
π/2π/3
6 cos(ϕ)0
f ρ cos(θ) sen(ϕ)ρ sen(θ) sen(ϕ)
ρ cos(ϕ) ·
ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ
En coordenadas esfericas en el orden dϕdρdθ:
I =
2π0
30
π/30
f
ρ cos(θ)sen(ϕ)
ρ sen(θ) sen(ϕ)ρ cos(ϕ)
· ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ
+
2π0
30
arccos( ρ6)
π/3f
ρ cos(θ)sen(ϕ)
ρ sen(θ) sen(ϕ)ρ cos(ϕ)
· ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ
Ejercicio 3.13. [Basado en Ejercicio Oficial 9.17 de MA1003]
Considere la integral I =
T
x2 + y2 + z2
dxdydz, donde T es la regi´ on determinada por las
condiciones 1 ≤ z ≤ 2 ∧ x2 + y2 + z2 ≤ 4
(a) Calcule I usando coordenadas cilındricas.
(b) Calcule I usando coordenadas esfericas.
Respuesta:
(a) En coordenadas cilındricas:
I =
2π0
√ 30
√ 4−ρ2
1
ρ2 + z2
· ρ dzdρdθ = 49π
10
(b) En coordenadas esfericas:
I =
2π0
π/30
2sec(ϕ)
ρ2 · ρ2 sen(ϕ) dρdϕdθ = 49π
10
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Referencias
[1] Poltronieri J., C´ alculo Integral: Integraci´ on m´ ultiple , Serie Cabecar, 2003
[2] Acuna O., Poltronieri J., Ejercicios de C´ alculo III , Serie Cabecar, 2008
[3] Piskunov N., C´ alculo Diferencial e Integral. Tomo II , Editorial Mir, Moscu, URSS, 1977
[4] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de An´ alisis Matem´ atico, Editorial Mir, Moscu, URSS, 1973
[5] Edwards C. H., Advances Calculus of Several Variables , Academic Press Inc., New York, USA 1973
[6] Apostol, T., Calculus , Vol. I y II. Editorial Reverte, Espana, 1980
[7] Lipschuttz M. Teorıa y Problemas de Geometrıa Diferencial , Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1971
[8] Widder D., Advanced Calculus , Dover Publications, Inc., New York, USA, 1989
[9] Larson R., Hostetler, C´ alculo y Geometrıa Analıtica , Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989
[10] Pastor J., Santalo L. y Balanzat M., Geometrıa Analıtica , Editorial Kapeluz, Buenos Aires Argentina,
1959
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