Curso 2006/2007Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla 1
Tema 6: Campo magnético
Fundamentos Físicos de la IngenieríaPrimer curso de Ingeniería Industrial
Curso 2006/2007 Dpto. Física Aplicada III 2/40Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Tema 6.-Campo magnético
ÍndiceIntroducción
Revisión histórica del electromagnetismoMagnetismo en imanesMagnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargasMovimiento de una carga puntual en un campo magnético
Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espirasLey de Biot-Savart
Fuerza magnética entre dos conductores paralelosLey de Ampère
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IntroducciónEl campo eléctrico es un campo vectorial responsable de la fuerza eléctrica sobre las cargas
Las cargas son fuente del campo eléctrico
Existe otro campo vectorial que puede ejercer fuerzas sobre las cargas: campo magnético
Veremos que las cargas eléctricas en movimiento (corrientes eléctricas) son fuente del campo magnético
Existe una estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo
Ambos fenómenos se unen en la llamada teoría electromagnética o electromagnetismo
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Introducción históricaLas primeras referencias al fenómeno del magnetismo están relacionadas con los imanes:
800 a.C.: los griegos conocían el hecho de que la magnetita (Fe3O4) atrae trozos de hierros. XII: Primeras referencias escritas al uso de imanes en navegación (brújulas) en China
Experiencia de OerstedOersted (1820): una corriente en un alambre puede desviar la aguja de una brújula
Corrientes eléctricas originan campo magnéticoAmpAmpèèrere (1820): describió la fuerza magnética entre corrientes
Corrientes eléctricas sufren los efectos del campo magnéticoAmpère ideó el concepto de “corrientes amperianas” para explicar el magnetismo natural
FaradayFaraday (1831): un campo magnético variable con el tiempo produce un campo eléctricoMaxwellMaxwell (Final S.XIX): un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Dedujo la existencia de ondas electromagnéticas
Las ecuaciones de Maxwell describen la teoría electromagnética clásica
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Magnetismo en imanesSi una barra imantada se deja girar libremente uno de sus extremos se orienta hacia el norte y otro hacia el sur
Se denominan polo norte y polo sur del imánLos polos opuestos de los imanes se atraen, mientras que los polos iguales se repelenUn objeto que contiene hierro es atraído por cualquiera de los polos de un imán
Ejemplo: imanes en las puertas de los frigoríficosNo existen polos magnéticos aisladosPor analogía con interacciones eléctricas afirmamos que un imán genera un campo magnético que emerge en su polo norte y entra por su polo sur
Una aguja imantada (brújula) tiende a alinearse con el campo magnéticoEl sentido del campo magnético lo indica el polo norte de la brújula
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Campo magnético de un imánLíneas de campo magnético dentro y fuera de una barra imanada: carecen de principio y fin son líneas cerradas
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Campo magnético de un imánLíneas de campo magnético exteriores a una barra imanada visualizadas mediante limaduras de hierro
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Magnetismo terrestreLa tierra es un imán con su polo sur próximo al Polo Norte geográficoEl campo magnético dela tierra es similar al deuna barra imantada inclinada unos 11ºrespecto al eje de giroLa magnitud del campo magnético sobre la superficie de la tierra varía en un rango de 0.3 a 0.6 gaussEl campo magnético de la tierra no es constante en dirección
Muestras de rocas de diferentes épocas en un mismo lugar muestran magnetizaciones en direcciones diferentesEl campo magnético ha invertido su sentido 171 veces durante los últimos 71 millones de años
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ÍndiceIntroducción
Revisión histórica del electromagnetismoMagnetismo en imanesMagnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargasMovimiento de una carga puntual en un campo magnético
Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espirasLey de Biot-Savart
Fuerza magnética entre dos conductores paralelosLey de Ampère
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Fuerza del campo magnético sobre cargas
Llamaremos al campo magnéticoCuando una carga q se desplaza con velocidad en el seno de un campo magnético aparece una fuerza sobre ella:
vB
es proporcional a q y v
Si
Sentido de : regla de la mano derecha ó del sacacorchos
sobre carga negativa: sentido opuesto que si fuera positiva
F v B⊥ plano formado por y
F
F
F
0v B F⇒ =
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Regla de la mano derecha:
Unidades del campo magnético: tesla (T)
A veces de usa el gauss (no S.I.):
Fuerza del campo magnético sobre cargas
N N1T=1 =1
Cm/s Am-41G=10 T
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Movimiento de una cargapuntual en un campo magnético
La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula
No realiza trabajoΔEc=0
Caso particular: La fuerza no modifica el módulode la velocidadAceleración normal: an=v2/r
Movimiento circular uniforme:
con uniformev B B⊥
qvB ma= 2mv r=mv
rqB
= Radio de la trayectoria circular
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Movimiento de una cargapuntual en un campo magnético
Periodo del movimiento circular:
¡El T no depende de la velocidad!
22
mvr qB
Tv v
ππ
= =
Periodo de ciclotrón
2m
TqB
= π
frecuencia de ciclotrón
2
T
πω =
qB
m=
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Movimiento de una cargapuntual en un campo magnético
Caso más general: carga -q cuya velocidad forma un ángulo arbitrario con el campo magnético uniforme
La componente de paralela a permanece constanteLa componente de perpendicular a se trata como en el caso anterior: movimiento circular uniforme
Trayectoria helicoidal
( )F qv B q v v B⊥= − × = − + × qv B⊥= − ×
BF qv B⊥= − × v
v
v⊥
q−
BB
vv
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Movimiento de una cargapuntual en un campo magnético
Para campos magnéticos no uniformes la situación es mucho más complicadaPara confinar haces densos de partículas cargadas (plasma) se utilizan botellas magnéticas
Aplicación en investigación de fusión nuclear
Las partículas oscilan entre P1 y P2
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ÍndiceIntroducción
Revisión histórica del electromagnetismoMagnetismo en imanesMagnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargasMovimiento de una carga puntual en un campo magnético
Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espirasLey de Biot-Savart
Fuerza magnética entre dos conductores paralelosLey de Ampère
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Fuerza sobre corrientesEn un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador
Fuerza sobre un portador:Número de portadores en el segmento:Fuerza sobre el segmento:
A
L
Advdv
dv Densidad numérica: nCarga de cada partícula libre: qVelocidad de deriva: vd
Corriente eléctrica: I=nqvd A
i dF qv B= ×
diF qv B= ×∑ ( )dqv B nAL= ×
N nAL=
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Ecuación de la fuerzasobre hilos rectos de corriente
En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador
Fuerza sobre el segmento:
:vector cuyo módulo es la longitud del hilo, con dirección paralela al hilo y sentido el de la corriente
A
L
Advdv
dv Densidad numérica: nCarga de cada partícula libre: qVelocidad de deriva: vd
Corriente eléctrica: I=nqvd A
F IL B= ×
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN HILO RECTO DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
L
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Fuerza sobre hilos de corriente de forma arbitraria
Generalización:Cable de forma arbitrariaCampo magnético no uniforme
La fórmula anterior es válida para un segmento infinitesimal del hilo
La fuerza total se obtienepor integración:
B
dl
dF Idl B= ×
b
aF I dl B= ×∫
a
b
dF Idl B= ×
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Fuerza sobre espirasEjemplo: Fuerza neta sobre una espira cerrada de corriente en un campo magnético uniforme
0=
0B B=
0
es uniforme
La fuerza que un campo magnético uniforme ejerce sobre una espira cerrada de corriente es nula
0B
Iγ
F I dl Bγ
= ×∫
0F I dl Bγ
⎡ ⎤= ×⎢ ⎥⎣ ⎦∫
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Par sobre espirasSuponemos una espira plana cuadrada en un campo uniformeLa orientación de una espira plana se especifica con un vector unitario:
Módulo: la unidadDirección: perpendicularal plano de la espiraSentido: depende delsentido de circulaciónde la corriente y vienedado por la regla dela mano derecha
n̂
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Par sobre espiras:espira plana cuadrada
Sobre cada lado recto:y no producen ningún par por estar sobre la
misma línea de acción
3F
4F
3 4 0F F+ =
F IL B= ×
1F IaBk= −
2F IaBk=
Constituyen un par de fuerzas que tienden a provocar un giro de la
espira
z
x
y
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Par sobre espiras: cálculo del momento
Cálculo del momento del par de fuerzas (O en el centro de la espira):
01 1 02 2r F r Fτ = × + ×
1 2sen sen2 2
b b
F j F jτ = θ + θ
z
x
2( ) sen2
b
IaB jτ = θ
sen IabB jτ = θ
IA Bτ = × ˆA abn=con:
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Par sobre espiras: momento dipolar magnético
Momento dipolar magnético de una espira plana:
Unidades: Am2
Para una espira de N vueltas:Momento del par sobre una espira plana:
Es válida para espiras planas, aunque no sean cuadradasSe cumple para cualquier orientación del campoSupone que el campo magnético es uniforme
El momento dipolar de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo existente
IAμ =
Bτ = μ×
NIAμ =
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Par sobre espiras Aplicación: motor eléctrico
Conversión de energía eléctrica en energía mecánicaHay diversos tipos (DC, síncronos, asíncronos…) Se encuentran en electrodomésticos como ventiladores, lavadoras, frigoríficos…
El estator genera un campo magnético giratorioLas espiras del rotor “persiguen” al campo magnético
Rotor: corriente continua
Estator: corriente alterna trifásica
Esquema de un motor síncrono.
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ÍndiceIntroducción
Revisión histórica del electromagnetismoMagnetismo en imanesMagnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargasMovimiento de una carga puntual en un campo magnético
Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espirasLey de Biot-Savart
Fuerza magnética entre dos conductores paralelosLey de Ampère
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Fuentes del campo magnéticoHasta ahora hemos estudiado el efecto del campo magnético sobre cargas y corrientesPero ¿Cuál es la fuente del campo magnético?Lo que sabemos:
Imanes: primeras observaciones sobre el fenómeno del magnetismoOersted (1820) comprobó que una corriente eléctrica es capaz de desviar la aguja de una brújula cercana
Lo que vamos a ver:La corriente eléctrica actúa como fuente del campo magnético
El magnetismo de los imanes puede explicarse en base a un modelo de corrientes microscópicas moleculares en el material (corrientes amperianas)
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Ley de Biot-SavartEs una Ley experimental deducida por AmpèreProporciona el campo magnético creado por un hilo de corrienteCampo debido a una I que pasa a través de un :
02
ˆ
4
Idl rdB
r
μ ×=
π
70 4 10
TmA
−μ = π×
Permeabilidad del vacío
Propiedades:
dB dl
21/ , ,sen
y dB dl dB r
dB r I
⎧ ⊥ ⊥⎪⎨
∝ θ⎪⎩
Elemento de corriente
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Campo debido a un hilo finitoHay que integral a lo largo de la longitud del hilo
En general se trata de un cálculo complicado
Puede aplicarse el principio de superposiciónEl campo magnético creado por varias distribuciones de corriente es la suma vectorial de los campos creados por cada distribución aisladamente
02
ˆ
4
Idl rB
rγ
μ ×=
π∫
1I
2I1B2B
1 2B B B= +
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Campo de una espira circularEjemplo: B en el centro de una espira circular
02
ˆ
4
Idl rdB
r
μ ×=
π
02
sen
4
IdldB
R
μ θ=
π1=
02
24
IR
R
μ= π
π
0
2
IB
R
μ=
024
IB dl
R
μ=
π ∫
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Campo debido a una corriente en un hilo recto
02
ˆ
4
Idl rdB
r
μ ×=
π0
2sen
4
Idxk
r
μ= φ
π0
2cos
4
Idxk
r
μ= θ
π
tanx R= θ2
2/ cosr
dx Rd dR
= θ θ = θcos /R rθ =
0 cos4
IdB d
R
μ= θ θ
πDonde todo es constante salvo θ
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Campo debido a una corriente en un hilo recto
2
1
0 cos4
IB d
R
θ
θ
μ= θ θ
π ∫ 02 1(sen sen )
4
I
R
μ= θ − θ
π
Para un hilo muy largo:
1 90ºθ → −2 90ºθ →
1sen 1θ → −2sen 1θ →
0
2
IB
R
μ=
πCampo magnético a una distancia Rde un conductor recto muy largo
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Campo de un hilo rectomuy largo
Las líneas de campo soncircunferencias centradas en el hiloEl sentido del campo se determinasiguiendo la regla de la mano derecha tal como se indica en la figura
Líneas de campo de un conductor recto y muy largo visualizadas mediante limaduras de hierro
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Fuerza entre doscorrientes paralelas
Suponemos dos hilos largos paralelos que transportan corrientes I1 e I2 y están separados una distancia R
0 11 2
IB
R
μ=
π2 2 1dF Idl B= ×
0 12 2 2 2
IdF I dl
R
μ=
π
2 0 2 1
2 2
dF I I
dl R
μ=
π
con:
Fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados una
distancia R
Fuerza atractiva
Para corrientes antiparalelas la fuerza es repulsiva
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Definición del amperioEl amperio (A) es la unidad de corriente eléctrica en el sistema internacional de unidades (S.I.)El amperio es una unidad fundamental del S.I.El amperio se define de forma operacional:
Esta definición hace que:
El amperio es la corriente que si se mantiene entre dos conductores rectos y paralelos de longitud infinita y sección transversal despreciable
situados en el vacío con una separación de un metro produce entre estos conductores una fuerza de 2x10-7 N por metro
70 4 10
TmA
−μ = π×
2 0 2 1
2 2
dF I I
dl R
μ=
π701 1
2 102 1
−μ= = ×
πA A Nm m
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ÍndiceIntroducción
Revisión histórica del electromagnetismoMagnetismo en imanesMagnetismo terrestre
Fuerza del campo magnético sobre cargasMovimiento de una carga puntual en un campo magnético
Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espirasLey de Biot-Savart
Fuerza magnética entre dos conductores paralelosLey de Ampère
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Para distribuciones de carga muy simétricas puede calcularse el campo eléctrico mediante la Ley de GaussLa Ley de Ampère facilita el cálculo del campo magnético de distribuciones de corriente con alta simetríaEnunciado de la Ley de Ampere:
Se cumple siempre para cualquier curva en situación de corriente estacionaria
Ley de Ampère
La circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es
igual a μ0 por la corriente total que atraviesa una superficie que se apoya
en la curva C
0 CCB dl I⋅ = μ∫
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Corriente estacionariaLa situación de corriente estacionaria exige que los parámetros físicos del problema no varíen con el tiempo. Esto significa que:
La intensidad ha de ser constante (corriente continua)En caso contrario se llama corriente variable
La carga almacenada en los distintos puntos del conductor también ha de ser constante. Es decir, no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor.
Ejemplo: paralelismo con corriente de un fluidoCorriente de un río: flujo estacionarioLlenado de un depósito de agua: proceso no estacionario, aunque la corriente sea constante
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Ley de Ampère:campo de un hilo infinito
Curva C: circunferencia centrada en el hilo Sentido integración: regla de la mano derechaEl campo es tangente al diferencial de longitud y de módulo constante en toda la trayectoria
0 CCB dl I⋅ = μ∫
I
2c
B dl B R= = π∫C CB dl Bdl⋅ =∫ ∫
constanteBB dl
0I= μ
0
2
IB
R
μ=
πQue coincide con lo que se obtiene mediante Ley de Biot-Savart (integración)
R
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ResumenEl campo magnético ejerce una fuerza sobre cargas en movimiento
Una carga puntual en un campo magnético uniforme describe una trayectoria helicoidalUn campo magnético uniforme ejerce una fuerza neta nula sobre una espira cerrada de corrienteEl momento dipolar magnético de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo
La fuente del campo magnético son las cargas en movimiento (corrientes)
El magnetismo de los imanes puede explicarse con un modelo de corrientes amperianas moleculares
La Ley de Biot-Savart nos proporciona una ecuación integral para calcular el campo magnético debido a un hilo de corrienteLa Ley de Ampère permite calcular el campo magnético para distribuciones de corriente con alta simetría
Esta ley se cumple para corrientes estacionarias