Tema 6: Campo y potencial eléctrico.
Ley de Coulomb.Campo eléctrico.Ley de Gauss.Potencial eléctrico.Cálculo del potencial eléctrico.
Objetivos.• Revisar el concepto de carga eléctrica y la ley de Coulomb.• Entender el concepto de campo eléctrico.• Aprender a calcular campos eléctricos de distribuciones discretasy continuas de carga.• Saber cómo se representa gráficamente el campo eléctricomediante líneas de campo.• Conocer la ley de Gauss y cómo aplicarla al cálculo de campos dedistribuciones de carga con cierta simetría.• Conocer el concepto de potencial eléctrico y cómo calcularlo.
Ley de Coulomb.
212
21
r
qqKF K=8.99·109 N·m2/C2
212
21
04
1
r
qqF
0=8.85·10-12 C2/m2·N
permitividad dieléctrica delvacío
Fuerza entre cargas puntuales: Nociones básicas.
• Módulo: Fuerza proporcional a la carga einversamente proporcional al cuadrado de ladistancia.
Considera una carga puntual q1=+5 C situadaen el origen de coordenadas y otra cargapuntual q2=+1 C situada en el punto decoordenadas (3 cm, 4 cm).Calcula el vector fuerza que ejerce la carga 1sobre la 2.
Ejemplo
• Dirección: En la línea que uneambas cargas.
• Sentido: Depende de si lafuerza es atractiva o repulsiva.
Ley de Coulomb.Forma vectorial.
Cargas del mismo signo
121212 r̂FF
Recuerda: Puedes construir un vectormultiplicando su módulo por un vectorunitario que sea paralelos a su dirección.
Considera una carga puntual q1=+5 C situadaen el origen de coordenadas y otra cargapuntual q2=+1 C situada en el punto decoordenadas (3 cm, 4 cm).Calcula el vector fuerza que ejerce la carga 1sobre la 2.
Ejemplo
Ley de Coulomb.Forma vectorial.
Cargas de distinto signo
121212 r̂FF
12212
2112 r̂
r
qqKF
12212
2112 ˆ
)(r
r
qqKF
12212
2112 r̂
r
qqKF
válida para cargas puntualesen ambos casos si las cargas se escriben con signo
12212
2112 r̂
r
qqKF
Para ambos casos
Ley de Coulomb.Validez de la ley de Coulomb.
• Dos objetos cargados dedimensiones finitas puedenconsiderarse puntuales si ladistancia que los separa muygrande en comparación con suspropias dimensiones.
¿Puedes calcular lafuerza entre estas dosvarillas usando la ley deCoulomb? ¿Por qué?
Campo eléctrico.
¿Cómo explicar la existencia de fuerzas adistancia?:- una de las cargas modifica las propiedadesdel espacio que la rodea: crea un campoeléctrico- cuando se introduce una segunda carga enese campo, éste ejerce una fuerza sobre ella.
Campo creado por una carga puntual
0
0
q
FE
(q0 carga de prueba, pequeña)
rr
qK
q
rrKqq
q
FE ˆ
/ˆ2
0
20
0
0
Concepto.
¡Cuidado! Recuerda que esta expresión esválida sólo para una carga puntual.
Campo eléctrico.
0
2010 ...
q
EqEq
0
2010
0
0 ...
q
FF
q
FE
N
ii
i
i rr
qKEE
1221 ˆ...
Campo eléctrico de varias cargas puntuales.
¡Cuidado! Recuerda que estaexpresión es válida sólo paracargas puntuales.
Campo eléctrico.Campo eléctrico de varias cargas puntuales: Ejemplo.
Campo creado por dos cargas puntuales
nCqnCq 12,12 21
jirirr cqqˆ12.0ˆ05.0;ˆ1.0;0
21
2
99
221 13.0
10·1210·9
ic
i
r
qKEE
cos13.0
10·1210·9
2
99
21
xcxc EE
CNiiEE xcc /ˆ4920ˆ2 1
Otra forma: Usando vectores unitarios
ccc
rrr
qKE 12
99
121
11 ˆ
13.0
10·1210·9ˆ
13.0
ˆ12.0ˆ05.0
13.0
10·1210·9
2
99
1
jiE
13.0
ˆ12.0ˆ05.0
13.0
10·1210·9
2
99
2
jiE
13.0
ˆ12.0ˆ05.0
13.0
10·1210·9
2
99 ji
CNii
EEEc /ˆ492013.0
ˆ10.0
13.0
129
221
jirirr cqqˆ12.0ˆ05.0;ˆ1.0;0
21
Campo eléctrico.Campo eléctrico de varias cargas puntuales: Ejemplo.
N
ii
i
iN
ii r
r
qKEE
12
1
ˆ
rr
dqKEdE ˆ
2
Campo eléctrico.
Distribuciones continuas.
2r
dqKdE
Campo creado por una carga infinitesimal
Ejemplos: Problemas 15 y 16
Campo eléctrico.Representación gráfica del campo: Líneas de campo.
• Las líneas de campoeléctrico nacen en lascargas positivas.
• Observa que laslíneas están másapretadas en la zonadonde el campo esmás intenso (cerca dela carga).
•Las líneas de campo eléctricomueren (o terminan) en lacargas negativas.
Ley de Gauss.
Una pregunta para empezar... En la figura se muestran las líneasde campo correspondientes a doscargas puntuales¿Cuál es el signo de cada una deellas?Si la carga de la izquierda es de +2pC ¿Cuánto vale la carga dederecha?
Ley de Gauss.
Origen del concepto de flujo.
Si el área A1=4A2 ¿cómo es la velocidad del fluido en elpunto 2 respecto al punto 1?
En fluidos incompresibles el producto de la velocidad porla sección del tubo es una cantidad constante llamadacaudal.
James Clerk Maxwellextendió el conceptode flujo alelectromagnetismo.
2211 AvAv
Observa además que el número de líneas de corrienteque atraviesan el área A1 es el mismo que atraviesa elárea A2. Por tanto el caudal está relacionado con elnúmero de líneas de corriente.
Ley de Gauss.
Vector área asociado a una superficie plana.
• El módulo es igual al área dela superficie plana.• Perpendicular a la superficie. 1A
2A
3A
4A
5A
6A
• Si tenemos un poliedro cerrado, losvectores área de las distintas carasmirarán hacia fuera.
Ley de Gauss.
Concepto de flujo.
nº de líneasque cruzan A
AE
AE
EA
nº de líneasque cruzan A
EA
nº de líneasque cruzan A
cosAE
SAdE
AdEd
Recuerda: El flujo a través deuna superficie se relaciona conel número de líneas de campoque la atraviesa.
Ley de Gauss.
El signo del flujo (para superficies cerradas).
• Flujo saliente: positivo • Flujo entrante: negativo
Ley de Gauss.
Flujo de una carga puntual a través de una esfera.
S
AdE
Carga puntual y superficieS esférica (de radio r) queencierra la carga SEdA
22
0
44
1r
r
qEAS
SdAE
Tenemos en cuenta que losvectores campo y área sonparalelos.
Tenemos en cuenta que elmódulo del vector campoeléctrico no cambia en laesfera que he elegido.
0q
Ley de Gauss.
Enunciado de la ley de Gauss.
Este resultado se puede generalizar a:- cualquier tipo de superficie cerrada- cualquier distribución de carga
0S
S
QAdE
QS : carga encerrada por S
RECUERDA: La cargas que están fuera de lasuperficie no contribuyen al flujo neto através de ella, porque sus líneas de campocortan la superficie dos veces, una entrando(flujo positivo) y otra saliendo (flujo negativo).
Ley de Gauss.
Un ejercicio para empezar a practicar...
Ley de Gauss.
Un ejemplo sencillo de aplicación. En la figura se muestran las líneasde campo correspondientes a doscargas puntuales¿Cuál es el signo de cada una deellas?Si la carga de la izquierda es de +2pC ¿Cuánto vale la carga dederecha?
S1 S2
101 Q
nº de líneas que cruzan S1
202 Q nº de líneas que cruzan S2
28
16
20
10
2
1
Q
Q
0S
S
QAdE
0
2·
l
rlE
0
l
dAElateral
rE
02
Ley de Gauss.
Aplicación típica I: Varilla infinita cargada.
0l
AdElateral
Sólo hay flujo a travésde la superficie lateral
0l
dAElateral
Tenemos en cuentaque los vectores campoy área son paralelos.
Tenemos en cuentaque el módulo delvector campo eléctricono cambia en esasuperficie.
0l
AdES
es la densidadlineal de carga(carga por unidad delongitud)
Este resultado se puedeaplicar a una varilla delongitud finita parapuntos cercanos a lazona media de la varilla.
0 S
S
QAdE 0
2·
A
AE
0
A
dAEbases
02
E
Ley de Gauss.
0A
EdAbases
es la densidadsuperficial de carga(carga por unidad desuperficie)
0A
AdEbases
Sólo hay flujo a través
de las bases del cilindro
Tenemos en cuentaque los vectores campoy área son paralelos.
Tenemos en cuentaque el módulo delvector campo eléctricono cambia en esasuperficie.
Aplicación típica II: Plano infinito cargado.
0A
AdES
OBSERVA: El campoeléctrico no depende dela distancia. En lapráctica esto es sólocierto si consideramospuntos muy cercanosal plano y lejos de losbordes.
Potencial eléctrico.
lFWab
·
Ejemplo 1: Carga moviéndose en un campo uniforme.
)ˆ)()·(ˆ(0 jyyjEq ba
)(0 ba yyEq
Resultado válido paracualquier trayectoria, perosólo para campo uniforme.
Trabajo realizado por fuerzas electrostáticas.
)( fipeso yymgW
Potencial eléctrico.
Trabajo realizado por fuerzas electrostáticas.
Ejemplo 2: Carga moviéndose en el campo de una carga puntual.
Cab ldFW
(en principio, válido sólo para un camino que coincida con una línea de campo)
b
a
r
rdr
r
qqK
20
b
a
r
r r
drKqq
20
b
a
r
rrKqq
10
baab r
qqK
r
qqKW 00
C
rdF
jihgfedcab rr
Kqqrr
Kqqrr
Kqqrr
KqqW11111111
0000
jihgfedc rrrrrrrrKqq
111111110
ba rrKqq
110
Potencial eléctrico.
Trabajo realizado por fuerzas electrostáticas.
El trabajo no depende de la trayectoria: El campo eléctrico es conservativo.
El trabajo en una trayectoria cerrada es 0
Si el trabajo no depende de la trayectoria, siempre es posible encontrar unafunción U (energía potencial eléctrica) tal que
UUUW baab
Ejemplo 2: Energía potencial asociada al campo creado por una carga puntal.
baab r
qqK
r
qqKW 00
r
qqKU 0
EyqU 0Ejemplo 1: Energía potencial asociada al campo uniforme (en la dirección y sentido del eje –y) )(0 baab yyEqW
Potencial eléctrico.
Energía potencial electrostática.
ba UU
ba UU
Potencial eléctrico.
Energía potencial electrostática.
Cuando se las abandona en una región donde hay uncampo eléctrico las cargas tienden a moverse haciaregiones de energía potencial más baja.
EyqU 0
Potencial eléctrico.
)()( 000 babaab VVqVqVqW
EyqUV 0/
r
qKV
(unidad SI: V=J/C)
0q
UV
Definición de potencial eléctrico.
Ejemplo 1: Energía potencial asociada al campo uniforme (en la dirección y sentido del eje –y)
Ejemplo 2: Energía potencial asociada al campo creado por una carga puntual.
Las cargas positivas (y la corriente eléctrica en general) se mueven hacia regiones de potenciales más bajos.
El potencial es la energíapotencial electrostáticapor unidad de carga
RECUERDA: La diferencia de potencial entredos puntos, a y b, nos da el trabajo porunidad de carga para ir desde a hasta b.
Potencial eléctrico.
Superficies equipotenciales.
OBSERVA: Las superficiesequipotenciales son en todopunto perpendiculares alas líneas de campo.
Potencial eléctrico.
El campo como gradiente del potencial.
z
UF
y
UF
x
UF zyx
,,
z
VqEq
y
VqEq
x
VqEq zyx
)(,
)(,
)( 00
00
00
z
VE
y
VE
x
VE zyx
,,
zyx
,,
VE
Definición de operador nabla (coordenadas cartesianas)
gradiente del potencial
z
V
y
V
x
VEEE zyx ,,),,( V
zyx
,,
ikxFkxU ˆ221
Ejemplo 1 (Tema 2)
?¿5 EyV
Ejemplo 2
a) Aplicando el principio de superposición
a1) Distribución discreta i i
i
r
qKV
a2) Distribución continua r
dqKV
b) Conocido el campo eléctrico
0
0
0 q
ldEq
q
WVV Cab
ba
Cba ldEVV
Cálculo del potencial eléctrico.
Ejemplos: Problemas 17 y 19
Ejemplos: Se verán en el tema siguiente.
¡Cuidado! Observa que en estaexpresión se resta el potencialinicial menos el final. Sinembargo, V=Vb-Va
Cálculo del potencial eléctrico.
NOTACIÓN: Diferencias de potencial.
Opción A (incremento)
Opción B (inicial menos final)
Definición
Función creciente(subida de potencial)
Función decreciente (bajada de potencial)
VVVV abab
positivo
negativo
baab VVV
positivo
negativo
¡Recuerda! Ten claro siestás trabajando con laopción A o B antes deinterpretar o asignarsignos.
• Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, D. H., Freedman, R. A.,‘Física universitaria’ (2 volúmenes), Addison-Wesley-Longman, 2004.• Tipler, P. A., ‘Física para la ciencia y la tecnología’ (2 volúmenes),Reverté, 2004.• Gettys, W. E., Keller, F. J., Skove, M. J., ‘Física para las ciencias eingeniería’, McGraw-Hill, 2005.
Bibliografía especialmente recomendada.
Figuras. Muchas de las figuras utilizadas en esta presentación han sido extraídas de‘Física universitaria’ y ‘Física para la ciencia y la tecnología’.
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