1
2
P3 2
P2
Ni
P11
Pi
Nj
Introducción
Celosía plana. Isostática (cualquier tipo)o hiperestática. Fuerzas sólo aplicadas en los nudos Pi
Deformaciones en la dirección de las fuerzas i
Fuerzas interiores en las barras Nj
En equilibrio con las exteriores Pi
N N
0
NA
L
L
3
Resumen del comportamiento de la barra articulada
0 0
0
Esfuerzo interior: fuerza axial N
Tensión axial:
Deformación unitaria constante
E
4
Ecuación constitutiva Relación entre la tensión y la deformación unitaria
Material elástico: La tensión depende sólo de la
en ese instante, no de su historia. Proceso de carga y descarga por
la misma línea (curva). Materialsiempre en un punto de la línea.
Material lineal. Ecuación constitutiva es una línea recta.
=E(-
E
0 T
E 0 E T
0 / E5
Material lineal con temperatura
Deformaciones iniciales térmicas
0)
Relación tensión – deformación
unitaria
Deformación unitaria total: suma de deformación unitaria térmica T y la debida a la tensión /E
) d0
U0
U0d
dU 0d
6
Densidad de energía de deformación (I) Se define como:
U0(
Con la condición de que sea función sólo del estado final de deformación unitaria (independiente del camino). Es decir U0()
Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica por unidad de volumen Representa el trabajo (por unidad de volumen) efectuado
por las tensiones (fuerzas interiores) al deformarse el sólido. Trabajo interno unitario
dU0
U0
d Ed0 0
1 E2
2 12
U0 C
D
A B
d E 0)d0 0
1 E2
20E
7
Densidad de energía de deformación (II)
Material lineal, sin temperatura:
U0
Material lineal, con temperatura
U0
ABC OABD
U 0dvv
1 E2
20E Adx
v
L 1 EA
0 2 L22L 0EA L
Ldx
L
L
1 EA2
L2L EA 0 L
1 k2 A
2L E AT L
8
Energía de deformación elástica (I)
Energía total acumulada en el sólido: U
En una barra: Ub
SustituyendoUb
Barra de propiedades uniformes:
Ub
N C
O kA L
D
A B
1 k2
2AL E AT L
L
1 k2
2AL kA L
EAL T L
9
Energía de deformación elástica (II)
Barra de propiedades uniformes:
Ub
L
Ub
ABC OABD
kA
1 E2
20E Adx
v
0 / E 0 N / EA
1L EAL2
2 EAN 2 0
2N C
O kA L
BD
A
Ub
N 22
E A2L
2
1
LEA
Energía de deformación elástica (III)
En función del esfuerzo axial N: Ub
Sustituyendo
Ub
BDC OAB Flexibilidad axial
U0
U0
U0 d d
Ub U0dv ALv
U j Aj j Lj
j1,b
1
Variación de la energía de deformación elástica
Se aplica una variación virtual a los desplazamientos ,manteniendo fijas las fuerzas P (y por lo tanto las N y )
La produce una variación de las deformaciones unitarias
La energía sufre una variación
Para una barra:
La celosía: Válido también en no lineal
P
W
12 Pi i
12 Pi i U
1
Fórmula de Clapeyron
Trabajo efectuado por las fuerzas exteriores en un sistema lineal.
W
Conservación de la energía: Trabajo de las fuerzas = energía elástica acumulada
W
Poco útil. Si conocemos U, podemos hallar una . B. Clapeyron (Lamé, 1852)
i i
Wi Pdi i Pi i
i
3
3
P32P2
P11
1
P
WW W Pi i
i1,n
1
Principio del Trabajo Virtual (1)
Se aplica una variación virtual a las deformaciones Manteniendo las fuerzas ext. P constantes: N y constantes
Trabajo virtual de todas las fuerzas exteriores:
Lj Lj
Wj Ndj Lj N j Lj
Lj
N
W
W L
L
Principio del Trabajo Virtual (2) La produce una variación en el alargamiento de las barras L
Fuerzas exteriores constantes se mantiene constante el axial N
Trabajo Virtual efectuado por el esfuerzo en una barra N:
L N
s
W N N j Ljj1,b
3
3P3
NL
L
1
1 P1
N
W
W L
L
W WN
Principio del Trabajo Virtual (3) Trabajo Virtual de todos los esfuerzos interiores N
Ambos trabajos son iguales (equilibrio):
L
L
W Pi i Nj Lj Ui1,nj1,b
P
W
W
U0
U0
Principio del Trabajo Virtual (y 4)
W Pi i N j Lj Aj j jLji j j
Variación de U
Sustituyendo N A
Condición necesaria. También suficiente
LL
P3 2
P2
P11
2 1
P1
W Pi i Ui1,n
U (i )i1,n
Ui i
Primer Teorema de Castigliano (1)
Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales P. Deformaciones y giros en la dirección de las cargas .
P2
Energía elástica en función de las deformaciones U(i)
Principio del Trabajo Virtual:
La variación de U es:
2
W Pi i Ui1,n
Ui i
i1,n
PiU
ii 1, n
kA2L /2 kA L
Primer Teorema de Castigliano (y 2)
Por lo tanto:
La variación de las i es arbitraria:P3 U=kAL/2
2
P2
L
Ub P11
Primer Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de rigidez. Requiere conocer U(i).Relacionar con L
1847-1884
0
*
) d0
U*0
U*0
Densidad de energía de deformación complementaria (I)
Se define como:
U *( Con la condición de que sea función sólo del estado final
de tensiones (independiente del camino). Es decir U0 ()
Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica complementaria por unidad de volumen Representa el trabajo complementario (por unidad de
volumen) efectuado por las deformaciones al tensionarse el sólido.
E2
d d0 0 E 2E
12 U0
U0*
U0*E E 02
d 0 d0 0 E 2E 0
Densidad de energía de deformación complementaria (II)
Material lineal, sin temperaturas:
*0
Material lineal, con temperatura
* 0
U
U
0
dx2EA
N 2TNdx
LL
Energía de deformación complementaria (I)
Energía complementaria total acumulada en el sólido:
U *
En una barra
U *dvv
N A
2 2
U * Adx
N NAdx
b 2E02EA2 0 A
L L
U *b
dx LL
U *b
2 E AN 2 L
T LNN 22 N
1/ L
LEA
T L
Energía de deformación complementaria (II)
Propiedades uniformes:
N
Flexibilidad axial
Alargamiento inicial
U *0 d d
U *b U *dv0 Adxb
LU *
b A L
Variación de la energía de deformación complementaria
Se aplica una variación virtual a las fuerzas P, manteniendo fijos los desplazamientos (y por lo tanto las )
La P produce una variación de los esfuerzos Ny de las tensiones
La energía complementaria sufre una variación:
U0*
En una barra:
N 2jj L
j Tj Lj N j
N 2j j
j1,b 2 Ej Aj j1,b j1,b 2 j Nj
j1,b
j j Tj Lj
Lj
j E Ajj
U * U *j j jjjA Lj1,b j1,b
Para toda la celosía (propiedades uniformes)
Energía complementaria:
U *
Flexibilidad axial Alargamiento inicial
Variación de la energía complementaria:
P
dP0
12 P
PP
W * dP PP
Principio del Trabajo VirtualComplementario (0)
Definición previa: Trabajo complementario de una fuerza: P
W * W*
Trabajo complementario virtual de una fuerza: Se varía la fuerza P Deformación constante W*
P
W*P
3
P3
P3
P2 P2 PW*
PW*
P1
P1
1
W * i Pii1,n
Principio del Trabajo VirtualComplementario (1)
Se aplica una variación virtual de las fuerzas P. Produce N y Manteniendo las deformaciones constantes: constantes
Trabajo virtual complementariode las fuerzas exteriores P:
27
N jNj N jNj
W N *j Lj dNj Lj dN j Lj N j
N
Principio del Trabajo Virtual Complementario (2)
La P produce una variación en el axial de las barras N Se mantienen constante la deformación y el alargamiento L
Trabajo virtual comp. efectuado por el esfuerzo en una barra
Nj N j
N
W*N
W*N
L
2 Teoremas energéticos - Aplicación a celosías
W N *Lj N j
j 1,b
3
P3
P3
L
P1
1P1
W * WN *
Principio del Trabajo Virtual Complementario (3)
Trabajo virtual compl. de todos los esfuerzos interiores N
W*N
W*N
L
Ambos trabajos virtuales son iguales (equilibrio)
29 Teoremas energéticos - Aplicación a celosías
N A
W * i Pi jjjL A j U *i1,n j1,b
U0*
U*0
Principio del Trabajo Virtual Complementario (y 4)
W * P WN *
N L Ai i Lj j j j j j
i j j
Sustituyendo L L Variación de U*
PW*
PW* Condición necesaria.
También suficiente
i
P
P3 2
P2
P11
2 1
P1
Segundo Teorema de Castigliano (1) Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales P.
Deformaciones y giros en la dirección de las cargas .P2
Energía elástica complementaria en función de las fuerzasU *(P
) Principio del Trabajo Virtual Compl.: W
*
* U
*i i
i 1,n
*
La variación de U* es: U Pi
i 1,n Pi
W *i Pi
i1,n
U *Pi Pi
i1,n
U *i P
i 1, ni
P3
2P2
T
P11
U*=N2/2+NN 2 /2 N
Segundo Teorema de Castigliano (2)
Por lo tanto:
La variación de las Pi es arbitraria, luego
*b
Teorema de Crotti (1888) - Engesser (1889) Fundamento de: método de flexibilidad y cálculo de i
Requiere conocer U(Pi) Relacionar Nj con Pi
U
U *
Ui P
i 1, ni
U=N2/2
P32
P2
P11
N 2 /2
Segundo Teorema de Castigliano (Por fin)
Si no hay temperaturas U
Ub
Segundo Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de flexibilidad. Permite el cálculo de i
Requiere conocer U(Pi) Relacionar Nj con Pi
t
A
NNj
j
2º Teorema de Engesser (I) Celosía elástica. Se aplica variación de las cargas:
Fuerzas exteriores P: todas constantes Esfuerzos axiales N: todos constantes salvo una de las
barras (j) Esfuerzo Nj. Se aplica variación Nj
Dos fuerzas iguales y de sentido contrario. Cumple el equilibrio (!)
Deformación: en la dirección del esfuerzo A, perpendicular al esfuerzo t.
Nj
Nj
t
A
NjNj
W * ( N )j A ( N )j A 0
W * 0 U *
U * U *N
N j 0j
2º Teorema de Engesser (II) Trabajo virtual complementario. Sólo debido a la A
P. T. V. complementario:
Nj
Nj
Si somos capaces de expresar U* en función de la Nj (fácil)
U *N j
0 Nj
U *M 0 U *
Q 0Q
2º Teorema de Engesser (III) La Nj es cualquiera:
Segundo Teorema de F. Engesser Muy útil para establecer condiciones de compatibilidad
de deformaciones
Generalización: Válido con cualquier esfuerzo interior (Flector, Cortante)
Mt Q
1848-1931
M
UN 0 N j
j
Teorema de Ménabréa
Si no hay temperaturas:
Enunciado en 1858 para celosías hiperestáticas por L. F. Ménabréa
1809-1896
21 P A
AA 21 P
BBB PA
BA
BA PB
AB
21 P B
BB 21 P
AAA PB
AB
PA A
PB
B
Teorema del trabajo recíproco (Betty – Rayleigh)
Sistema A + Sistema B W A,B
Sistema B + Sistema A
Trabajos iguales:
W B,A
PA
Sistema A A
BSistema B B
B
BA
AB
1
1
BA
AB 1
Teorema de la deformación recíproca (Maxwell - 1864)
Sistemas A y B con fuerzas unidad
Sistema A A
BSistema B
A B
B1 A
U
U
U
U
N
M
Q
M
*
L
dx2EA
N 2T Ndxm
L
N 22 N
L
dx2EI
M 2T Mdxg
L
TS TI
h
L
dx2GA 'Q2
M 2T
L2GJ
dx
Expresiones de la energía elástica complementaria
Axial N: *
Flector M: * Tg
Q
Cortante Q: *
Torsor MT: T
U *b