Nodo: punto del juego donde el jugador ha de
tomar una decisión
Set de información: conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador
Forma extensiva
Soledad Cabrera C
Condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo set de información:
Los conjuntos de información del jugador i contienen sólo nodos de decisión del jugador i
Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador
En cada uno de los nodos del conjunto de información, deben estar disponibles las mismas acciones
Forma extensiva
Soledad Cabrera C
Ejemplo:
Alexandra y Sebastián realizan un juego con las siguientes características: Cada uno de ellos puede elegir entre apostar dinero o pasar en cada jugada. El juego se realiza en forma secuencial, la apuesta inicial es de $200 y el jugador que decide apostar posteriormente debe hacerlo por $200 adicionales a la apuesta anterior. Un jugador que pasa en una determinada jugada no puede volver apostar. Cada jugador cuenta con $600 y debe pagar la última apuesta realizada. Gana $500, el último jugador que apuesta. Si ningún jugador apuesta se llevan $250 cada uno
Forma extensiva
Soledad Cabrera C
Ejemplo:
Los jugadores 1 y 2 depositan de manera simultánea una moneda de $500 sobre una mesa. Si resultan 2 caras o 2 cruces , el jugador 1 recoge las 2 monedas, mientras que si hay un cara y una cruz, el jugador 2 se lleva las dos monedas
Forma extensiva
Soledad Cabrera C
Ejemplo:
En un concurso de televisión dos concursantes han conseguido conjuntamente, en la primera parte del concurso, la cantidad de $5000. En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y el otro mitad, el que ha elegido doble se lleva $10.000, y el otro no se lleva nada. Si los dos eligen mitad se llevan $ 2.000 cada uno (la mitad de lo conseguido en la primera parte menos $1000 que se quedan en la mesa). Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa.
Forma estratégica
Soledad Cabrera C
Una familia está compuesta por el
padre, la madre y la hija. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión. Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: película, programa juvenil, tenis. La utilidad que obtiene cada uno de los miembros de la familia por cada uno de los programas aparece en la siguiente tabla
Representación estratégica juego con 3 jugadores
Soledad Cabrera C
Padre Madre Hija
Película 2 3 2Prog.
Juvenil 1 2 3
Tenis 3 1 1
Representación estratégica de un juego con 3 jugadores
Cada uno de los miembros de la familia vota por uno de los tres programas y deciden ver todos el programa que tenga más votos, decidiendo el voto de la madre en caso de empate.
Soledad Cabrera C
Representación estratégica de un juego con 3 jugadores
P R TP 2,3,2 2,3,2 2,3,2R 2,3,2 1,2,3 3,1,1T 2,3,2 1,2,3 3,1,1
Jugadora 2
Jugador 1
Sea P la estrategia de la jugadora 3
Padre Madre Hija
Película 2 3 2
Prog. Juvenil 1 2 3
Tenis 3 1 1
Jugador 1 = padre
Jugadora 2 = madre
Jugadora 3= hija
S1 = S2 = S3 = {P, R, T}
Soledad Cabrera C
Representación estratégica de un juego con 3 jugadores
P R TP 2,3,2 1,2,3 3,1,1R 1,2,3 1,2,3 1,2,3T 2,3,2 1,2,3 3,1,1
Jugadora 2
Jugador 1
Sea R la estrategia de la jugadora 3
P R TP 2,3,2 1,2,3 3,1,1R 2,3,2 1,2,3 3,1,1T 3,1,1 3,1,1 3,1,1
Jugadora 2
Jugador 1
Sea T la estrategia de la jugadora 3
Soledad Cabrera C
Juegos estáticos v/s Juegos dinámicos
Juegos información completa v/s información incompleta
Teoría de juegos
Soledad Cabrera C
Callar Confesar
Callar 4 4 0 5
Confesar 5 0 1 1Pre
so 1
Preso 2
Juegos estáticos con información completa
Dilema del prisionero
Soledad Cabrera C
Cine Fútbol
Cine 1 2 0 0
Fútbol 0 0 2 1
Juga
dor
1
Jugadora 2
Juegos estáticos con información completa
Batalla de los sexos
Soledad Cabrera C
Tipos de estrategias
Dominadas Estricta Débil
Dominantes
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
Estrategia dominada
En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ y si
´´dos estratégias del jugador i. Decimos que si´ está estrictamente dominada por si
´´ cuando la desigualdad
ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn) < ui(s1, ….,si-1, si´´,si+1, …., sn)
se cumple para toda combinación de estrategias s-i de los otros jugadores
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
C D
A 2 3 3 2
B 3 1 2 0
jugador 2Ju
gado
r 1
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
I CA 2,3 3,2B 3,1 2,1
Jugador 2
Juga
dor
1
Juego estático con información completa
Soledad Cabrera C
Estrategia dominada
En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ y si
´´dos estratégias del jugador i. Decimos que s i´ está débilmente dominada por si
´´ cuando la desigualdad
ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn) ≤ ui(s1, ….,si-1, si´´,si+1, …., sn)
se cumple para toda combinación de estrategias s-i de los otros jugadores y para alguna de esas combinaciones se cumple de modo estricto
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
Estrategia dominante
En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ una estrategia del jugador i. Decimos que si´ es dominante cuando la desigualdad
ui(s1, ….,si-1, si ,si+1, …., sn) ≤ ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn)
se cumple para toda estrategia si de dicho jugador y para toda la combinación de estrategias s-i de los otros jugadores
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
S T U
A 0 3 -1 1 2 7
B 1 4 4 6 3 5
C 2 0 1 -4 2 2
Juga
dor
1
jugador 2
Juegos estáticos con información completa
¿Qué ocurre con este tipo de estrategias cuando existen más de dos estrategias?
Soledad Cabrera C
Mediante argumentos de dominación
a) Uso de estrategias dominantesb) Eliminación iterativa estrictac) Eliminación iterativa débil
Mediante argumentos de equilibrio
Equilibrio de Nash
Solución de un juego
Soledad Cabrera C
Pertenecen a la solución del juego todos
aquellos perfiles de estrategias en los cuales cada jugador usa una estrategia dominante
a) Uso de estrategias dominantes
Soledad Cabrera C
Dado un juego finito o infinito
G = {Si, …..,Sn; ui, ….,un},
llamamos Eliminación iterativa estricta, o bien Eliminación iterativa de estratégias estrictamente dominadas,al siguiente proceso de eliminación:
Paso 1 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego inicial G. Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación
b) Eliminación iterativa estricta (EIE)
Soledad Cabrera C
b) Eliminación iterativa estricta (EIE)
Paso 2 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego reducido G1. Se construye el juego reducido G2 que resulta de tal eliminación
Y así sucesivamente……
Se acaba el proceso cuando ya no quedan estrategias que eliminar para ningún jugador
El conjunto de estrategias supervivientes de cada jugador (Sis) se
llaman estrategias iterativamente no dominadasSoledad Cabrera C
Izquierda derechaAlta 4,2 0,1
Media 1,2 2,4baja 3,3 4,2
Jugadora 2
Ju
ga
do
r 1
b) Eliminación iterativa estricta
Ejemplo
I C DA 3,1 4,2 1,2B 2,4 3,5 4,0M 1,0 2,1 0,3Ju
gado
r 1
Jugador 2
Soledad Cabrera C
Dado un juego finito o infinito
G = {Si, …..,Sn; ui, ….,un},
llamamos Eliminación iterativa débil, o bien Eliminación iterativa de Estrategias débilmente dominadas, al siguiente proceso de eliminación:
Paso 1 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego inicial G. Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación
Pasos posteriores igual a EIE.
c) Eliminación iterativa débil (EID)
Soledad Cabrera C
I C DA 3,1 4,2 1,2B 2,4 3,5 4,0M 1,0 2,1 0,3Ju
gado
r 1
Jugador 2
c) Eliminación iterativa débil
Ejemplo
Soledad Cabrera C
Eliminación iterativa Limitaciones
Requiere racionalidad
Requiere “conocimiento común” de racionalidad. Puede ser problemático con muchas interacciones
A menudo conduce a una predicción imprecisa sobre la solución del juego
A veces empíricamente jugadores eligen estrategias dominadas, contradiciendo esta teoría
Soledad Cabrera C
En el juego G = {S1, ….., Sn; u1, …., un}, decimos
que el perfil de estrategias puras
(s1*, s2*, …., si*, ….,sn*)
es un Equilibrio de Nash(EN) si para cada jugador i ui(s*1, ….,s*i-1, si* ,s*i+1, …., s*n) ≥ ui(s*1, ….,s*i-1, si ,s*i+1, …., s*n) para todo si de Si. Es decir, para cada jugador i, si* es una solución del problema max ui(s*1, ….,s*i-1, si ,s*i+1, …., s*n) donde si es la variable de decisión y pertenece a Si
Equilibrio de Nash
Soledad Cabrera C
Callar Confesar
Callar 4 4 0 5
Confesar 5 0 1 1Pre
so 1
Preso 2
Equilibrio de Nash
En un equilibrio de Nash nadie tiene incentivos unilaterales a salirse de ahí
Soledad Cabrera C
A B
C 3,1 1,3
D 0,5 4,2
Jugador 2
Ju
ga
do
r 1
Equilibrio de Nash
Puede no existir un equilibrio de
Nash en estrategias puras.
Soledad Cabrera C
A B
C 10, 10 1,2
D 2,2 3,3
Jugador 2
Ju
ga
do
r 1
Equilibrio de Nash
No necesariamente existe un único
equilibrio de Nash
Soledad Cabrera C
A B
C 4,4 0,3
D 5, 0 1,1
Jugador 2
Ju
ga
do
r 1
Equilibrio de Nash
Un equilibrio de Nash no necesariamente
es un óptimo de pareto
Soledad Cabrera C
Un equilibrio de Nash, sobrevive a la
eliminación iterada de estrategias estrictamente dominantes, pero no a la inversa
Si sólo una combinación de estrategias sobrevive a la eliminación iterada, entonces existe un único equilibrio de Nash
Relación entre el equilibrio de Nash y los anteriores conceptos de
solución
Soledad Cabrera C
b) Oligopolio de Bertrand (productos
homogéneos)
0 si pi > pj
qi( pi, pj) q(pi) si pi < pj
q(pi)/2 si pi = pj
C1(q1) = cq1 C2(q2) = cq2
Aplicaciones
Soledad Cabrera C
Recordando y aplicando Nash
Estrategia de razonamiento de Tirole(1990)
pj* > pi* = c πj = 0 , πi = 0
pj* > pi* > c πj = 0 , πi > 0
pj* = pi* > c πj > 0 , πi > 0
pj* = pi* = c πj = 0 , πi = 0
Aplicaciones
Soledad Cabrera C
Oligopolio de Bertrand (Productos diferenciados)
q1(p1,p2) = a – p1 + bp2
q2(p1,p2) = a – p2 + bp1
CostosC1(q1) = cq1
C2(q2) = cq2
Y los parámetros a, b, c cumplen
0 < c < a y 0 < b < 2
Aplicaciones
SEN = p1*=p2*= (a +c)/(2-b)
Soledad Cabrera C
Estrategias mixtas
Sea Si = {si1, si
2, …., sik } el conjunto de
estrategias puras del jugador i. Llamamos estrategia mixta del jugador i a toda lotería σi= (σi
1, σi
2, ….., σik) sobre Si, es decir, a toda distribución de
probabilidad sobre Si, y por lo tanto, a toda k-pla (σi
1, σi2, ….., σi
k) cuyas componentes son no negativas y suman 1. Se interpreta σi como la estrategia consistente en jugar la estrategia pura si
1 con probabilidad σi1, si
2 con probabilidad σi2, ….,y
sik con probabilidad σi
k, donde σij>=0 , para cada
j=1,2, …, k y Σ σij = 1
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
Juegos estáticos con información completa
Ejemplo: Probabilidad de vigilar = q Probabilidad de actuar = p
actúa no actúa
vigila 1 -2 -1 0
no vigila -2 4 0 0Polic
ía
Ladrón
Soledad Cabrera C
C DA 9,9 0,8B 8,0 7,7
Jugador 2
Juga
dor
1Juegos estáticos con
información completa
Cuando existen múltiples equilibrios de Nash ¿Cuál
es el más probable?
Soledad Cabrera C
Refinamientos del equilibrio de Nash
Criterio de Pareto dominancia(A,C) es Pareto dominante
Dominancia de riesgo: Se elige la estrategia que le reporta un mayor beneficio (s1, s2) asumiendo que el otro jugador randomiza en (0.5;0.5) entre sus estrategias
π1(A) = 0.5*9 + 0.5* 0 = 4.5 π1(B) = 0.5*8 + 0.5* 7 = 7.5
Juegos estáticos con información completa
Soledad Cabrera C
Congregado E., Golpe A., Leal M “Microeconomía
Cuestiones y problemas resueltos” Ed.Prentice Hall
Gibbons Robert “Un primer curso de teoría de juegos” Editor Antoni Bosch, cap 1
Nicholson W, “Teoría microeconómica: principios básicos y ampliaciones”,Ed. Thomson, 8°Edición, Cap 10
Pérez J, Jimeno J., Cerdá E., “Teoría de juegos” Prentice Hall
Bibliografía
Soledad Cabrera C