PROBLEMAS DE FRACCIONES
1. Se han destinado 2/3 de la superficie de una finca para sembrar cereal. Por un problema en la tierra se ha dejado sin cultivar 1/6 de la superficie que se iba a utilizar. ¿Qué fracción de la finca se ha utilizado para sembrar el cereal? Si se ha dejado sin cultivar 1/6 de 2/3 de la superficie total, es que se han cultivado 5/6
de 2/3 de dicha superficie: 5
6·
2
3=
5
9 de la superficie total
2. Si he leído los 6/7 de las 252 páginas de un libro, y después leo los 2/3 de las páginas que me quedan, ¿cuántas páginas me faltan para acabar el libro?
Si he leído los 6/7 de 252, he dejado sin leer 1/7 de 252: 1
7· 252 = 36
Después leo los 2/3 de 36, dejo sin leer 1/3 de 36: 1
3· 36 = 12, es decir, me faltan 12
páginas para acabar el libro. 3. Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en comprar unos discos, y 1/2 de lo que le
quedaba, en un regalo para su hermana. Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio? Llamo x al dinero que tenía. Utiliza 3/5 para discos, le sobran 2/5 de x. De esos 2/5 que
le quedaban, gasta ½ en un regalo, luego le queda el otro ½: 1
2·
2
5· 𝑥 es lo que le queda
expresado en fracción. Si cuenta ese dinero, son 6€, luego planteo la ecuación: 1
2·
2
5·
𝑥 = 6; Despejo y obtengo x=30€ 4. Una segadora siega los 3/5 de una finca en una jornada, y otra segadora, los 2/7 en el
mismo tiempo. ¿Qué fracción de la finca habrán segado en una jornada si trabajan las dos a la vez?
Solo habrá que sumar ambas fracciones: 3
5+
2
7=
31
35
5. Elvira y José han consumido los 2/3 de una botella de refresco, y después se han bebido 1/6 del total. ¿Qué fracción del total queda en la botella? Primero consumen 2/3 del total y luego 1/6 también del total (ojo, no de lo que quedaba!!)
Luego: 2
3+
1
6=
5
6 es lo que han consumido. Obviamente queda 1/6 de la botella.
6. De una botella de agua de un litro y medio se han gastado 3/4 partes. ¿Cuánta agua queda?
Tenemos 1,5 litros y gastamos ¾ partes, quedará ¼ de 1,5 litros: 1
4· 1,5 =
3
8 partes
7. En una clase, 8/25 del alumnado han obtenido una calificación superior a suficiente, y 1/2 ha obtenido suficiente. ¿Qué fracción del total del alumnado de la clase ha suspendido?
Habrá suspendido todo el alumnado excepto 8/25 y ½ del total: 1 −8
25−
1
2=
9
50 del
total. 8. De una garrafa de agua se han sacado 3/7; y una hora después, la mitad de lo que
quedaba. ¿Qué fracción del total de agua se ha consumido? Se sacan 3/7 del agua, quedan 4/7 del total. Luego se saca ½ de 4/7 del total, luego
quedará ½ de 4/7 del total: 1
2·
4
7=
2
7 del total. Se habrán consumido 5/7 del total.
9. De un trozo de cuerda se han cortado 2/5 del total, y ha quedado un trozo de 21 cm. ¿Cuál era la longitud de la cuerda? Se cortan 2/5 del total, luego quedan 3/5 del total, que son 21 cm. Llamemos x al total.
3
5· 𝑥 = 21
Despejamos x=35 cm 10. Entre Ernesto y su padre están organizando su biblioteca. Ernesto ha colocado 3/10 de
los libros, y su padre, 3/5 del total. Si aún les quedan 64 libros sin colocar, ¿cuántos libros tienen en la biblioteca?
Entre los dos han colocado 3
10+
3
5=
9
10 del total de libros que hay en la biblioteca, que
llamaremos x. Quedan sin colocar 1/10 del total, que contándolos resultan ser 64: 1
10· 𝑥 = 64
Despejando obtenemos x=640 libros. 11. ¿Cuántas botellas de 3/2 de litro se pueden llenar con 72 litros de agua?
Repartamos 72 litros en botellas de 3/2:
72:3
2=
72·2
3= 48 botellas.
12. Se tiene un depósito para trigo lleno con 3/8 de su capacidad. Se le añaden 132 kg y se llena hasta 5/6 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
Llamemos x a la capacidad del depósito. 3
8· 𝑥 + 132 =
5
6· 𝑥
Resolvemos con la calculadora: x=288 kg.
Definición de potencia:𝑎𝑏 es el producto de a por sí misma b veces. Se lee “a elevado a b”.
25 es el producto de 2 por sí mismo 5 veces: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
CASOS PARTICULARES:
𝑎1 = 𝑎
𝑎0 = 1
00 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 01 = 0
10 = 1
0𝑎 = 0
¿Qué pasa si la base es negativa?
Miraremos si el exponente es:• PAR:
• IMPAR:
El resultado será POSITIVO
El resultado será NEGATIVO
−2 2 = +4
−2 3 = −8
¡MUCHA ATENCIÓN! ¿Qué diferencia hay?
−3 2
−32
La base es negativa (-3) y el exponente es par, el resultado será positivo
La base es positiva 3 y el exponente nos da igual cómo sea, el – se copia
= 9
= −9
EJEMPLOS:
25 =
(−2)5=
34 =
(−1)6=
(−1)37=
(−3)4=
15 =
(−1)5=
(−2)2=
(−5)0=
32
−32
81
1
−1
81
1
−1
4
1
−24 =
(−1)3=
−34=
(−1)7=
(−1)2=
(−3)3=
10 =
(−1)1=
(−2)3=
(−5)0=
−16
−1
−81
−1
1
−27
1
−1
−8
1
−25
(−2)5
−24
= − 32= −32= −16
−15
(−1)5
04
=− 1= −1= 0
(−2)4
−14
(−1)4
= 16= −1= 1
− −3 =−33 =
− 3 3 =
3−27−27
−3 3 =− −33 =
30 =
−27271
− −30 =− −3 0 =
−33 =
1−1−27
−30 =− 3 0 =−3 0 =
−1−11
− 3 2 =
−3 2 =
− 33 =
−9
9
−27
Potencias con exponente negativo
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛1
𝑎−𝑛= 𝑎+𝑛
−1
272−4 =
1
16
−1−4=−1
(−1)−4=1
−3−1 =−1
3
−3−3 =
−3 −3 =1
−3 3=
=1
−27
1.Expresa estas potencias como potencias de exponente positivo:
3−4 =
108
1210
9−5 =
1
34
1
10−8=
1
12−10=
1
95
2. Halla el valor de las siguientes potencias:
2−4 =
−1
2
−10
=
1
24=
1
16
2
−1
10
= 210 = 1024
3−5 =
−2 −6 =
1
35=
1
243
1
−2
6
=1
−2 6=
1
64
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
𝑎𝑛 · 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE
𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
POTENCIA DE UNA POTENCIA
𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑛·𝑚
PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:
𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = 𝑎 · 𝑏 𝑛
DIVISIÓN DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:
𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = 𝑎: 𝑏 𝑛
3. Reduce a una sola potencia los siguientes productos:
4−2 · 47 · 45 =
2
3
3
·2
3
−4
=
410
2
3
−1
=3
2
5−10 · 57 · 56 =
−3 8 · −3 −10 · −3 6 =
53
−3 4 = 34
4. Reduce a una sola potencia los siguientes cocientes:
127: 125 =
−7 −20: −7 4 =
122
−7 −24
46: 4−9 = 46−(−9) = 415
5−8: 5−10 = 5−8−(−10) = 52
5. Reduce a una sola potencia las siguientes expresiones:
4−3 −2 −5 = 4−30 =1
430
32 −1 −4 = 38
10−4 −3 2 = 1024
REDUCE A UNA ÚNICA POTENCIA:63 · 6 · 65 =−7 9: −7 5 =
−2 4 3 =
−2 9: −2 4 · −2 2 =
69
−7 4 =
−2 12 =
74
212
−2 9: −2 5 2 = −2 9: −2 10 =
−2 −1 = −1
2
205: −4 5 =
129: −3 9 · −4 9 =
20: −4 5 =
−5 5 = −55 = −3125
129: 129 =
120 = 1
−5 9 · 208: −4 8 =
63 2 · −7 5 · −7 =
57 4 · 54 3 =
−5 9 · −5 8 = −5 17
66 · −7 6 = −42 6 =426
528+12 = 540
−5 8: −5 4 · −5 =
85 4: −2 12 · −4 12 =
𝑎5 3: 𝑎7 2 =
−5 4 · −5 =
−5 5 =
820: 812 = 88
𝑎15: 𝑎14 =𝑎1 = 𝑎
−55=−3125
25 · 8 · 27 · 16 =
32 3 · 27 · 94 =
25 · 23 · 27 · 24 =
219
36 · 33 · 32 4 =
36 · 33 · 38 = 317
315: 813 =
𝑚3 · 𝑚 2: 𝑚2 4 =
−10 20: −2 9 · 59 2 =
315: 34 3 =315: 312 =33 = 27
𝑚4 2:𝑚8 =𝑚8:𝑚8 = 𝑚0 = 1
1020: −10 9 2 =1020: −10 18 =
1020: 1018 = 102 =100
−3 5 · −2 5 3 · 64 2 =
𝑎3 · 𝑎4 2: 𝑎15: 𝑎13 2 =
65 3 · 68 = 615 · 68 = 623
𝑎7 2: 𝑎2 2 = 𝑎14: 𝑎4 = 𝑎10
MATEMÁTICAS 2º ESO
:
1. −(−3) =
2. −33 =
3. −(3)3 =
4. (−3)3 =
5. −(−33) =
6. 30 =
7. −30 =
8. −(3)0 =
9. (−3)0 =
10. −(−30) =
11. −(−3)0 =
12. −33 =
13. −(3)3 =
14. (−3)3 =
15. −(33) =
16. −3−1 =
17. −3−3 =
18. −(3)−3 =
19. (−3)−3 =
20. −(−3−3) =
21. 3−1 =
22. −3−1 =
23. −(3)−1 =
24. (−3)−1 =
25. −(−3−1) =
26. −(−3)−1 =
27. −3−3 =
28. −(3)−3 =
29. (−3)−3 =
30. −(−3−3) =
MATEMÁTICAS 2º ESO
:
1. −(−3) =
2. −33 =
3. −(3)3 =
4. (−3)3 =
5. −(−33) =
6. 30 =
7. −30 =
8. −(3)0 =
9. (−3)0 =
10. −(−30) =
11. −(−3)0 =
12. −33 =
13. −(3)3 =
14. (−3)3 =
15. −(33) =
16. −3−1 =
17. −3−3 =
18. −(3)−3 =
19. (−3)−3 =
20. −(−3−3) =
21. 3−1 =
22. −3−1 =
23. −(3)−1 =
24. (−3)−1 =
25. −(−3−1) =
26. −(−3)−1 =
27. −3−3 =
28. −(3)−3 =
29. (−3)−3 =
30. −(−3−3) =
MENSAJE SECRETO Tienes que descifrar el mensaje secreto. Para eso, realiza estas operaciones. Cada resultado corresponde a una letra o a un número que aparece en la tabla del código secreto. El número de la operación te indica el sitio de la letra en el mensaje.
1) 32
35−5·64
23
−8=
2) 163
4 + (−64)1
3 =
3) (125
8)−1
3=
4) (𝑎+𝑏)0
9−1=
5) 1252
3 − (−8)2
3 =
6) 93
2 + 4−3
2 −217
8=
7) 82
3 − 80 + 8 · 2−2 =
8) 𝑎
𝑢· (
𝑎−2·𝑢0
𝑎·𝑢−6)
1
3=
9) [4 · (−8)−1
3 + (−32)2
5] · 2 =
10)
[(3
5)2]3
·(3
5)0
(9
25)3 =
11) 𝑎−5·(𝑏·𝑢)−4·𝑎3
𝑎−2·(𝑏4)−1·𝑢−5=
12)
(−1
4)−1
·(−1
4)2
(−1
4)2 =
13) −(−
1
2)2:(−
1
2)−3
(−1
2)1·(−
1
2)3:(−
1
2)−1 =
14) 81
−12+729
−23
9−2+81−32
=
15) 21−2·(4·21)3·44
(4−1)−7=
16) 3 · (1
9)
3
2− (
1
4)−2
+143
9=
Coloca aquí tu mensaje:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
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