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CAPTULO
TOPOLOGA DE REDES
4.1 INTRODUCCIN
La topologa trata de las propiedades de las redes relacionadas con la geometra del circuito. Esaspropiedades permanecen inalteradas cuando se distorsionan de alguna manera el tamao y forma de la red.Las propiedades geomtricas de una red son independientes de los tipos de componentes que la conformany por ello, en discusiones topolgicas, se acostumbra reemplazar cada rama de una red mediante unsegmento lineal. El diagrama geomtrico resultante, un grafo lineal, consiste de elementos llamadosvrticeso nodosinterconectados por segmentos lineales, denominados bordes o arcos. De esta forma, loselementos de la red (resistores, capacitores, inductores y fuentes independientes) se representan mediantesegmentos lineales denominados bordes. Desde un punto de vista abstracto, cualquier red elctrica deparmetros concentrados puede representarse mediante un grafo donde los bordes denotan lascomponentes elctricas y los pesos de los bordes los constituyentes de los elementos. El grafo essimplemente un modelo de la red fsica. En las aplicaciones, un grafo se representa por un diagramageomtrico, en el cual los nodos se indican mediantepequeos crculos o puntos, y la unin entrecualesquiera de ellos se indica por una curva continua. En la Fig. 4.1 se muestra la correspondencia entreuna red y su grafo lineal.
Comenzaremos nuestro estudio sobre redes concentrndonos primero en los grafos lineales y en aquellaspropiedades que son importantes para nuestro trabajo. Consideraremos rpidamente las definiciones de
muchos trminos sin, quizs, una motivacin adecuada para su introduccin.
AB
C
D
1a 6a
3a 5a
2a
4a
1e
1R
3R 5R
6R
2L
4C
AB
C
D
Figura 4.1
1.2 ALGUNAS DEFINICIONES BSICAS
Antes de comenzar con el anlisis topolgico de las redes elctricas, es necesario presentar algunasdefiniciones bsicas.
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4.2.1 REDES PLANARES
Una red planares aquella que puede recorrerse completamente siguiendo una trayectoria a travs de susramas sin que ninguna de esas ramas pase sobre otra rama de la red, dicho de otra forma, una red es planarsi su diagrama geomtrico puede dibujarse en un plano de modo que dos de sus ramas o bordes no tenganuna interseccin que no sea un nodo.
4.2.2 VRTICES
La unin de dos o ms bordes de un grafo se denomina vrtice; los vrtices son equivalentes a los nodosde la red. La red de la Fig. 4.1 contiene 6 ramas y 4 nodos, y el grafo correspondiente contiene 6 bordes y4 vrtices. Un nodo aisladoes aqul sobre el cual no incide ningn borde. De esta definicin se deduceque un grafo puede contener un nodo en el que no incidan bordes, pero no puede contener un borde sin los
nodos sobre los cuales incide; el concepto de un borde aislado no es viable. Se dice que un grafo esfinitosi el nmero de bordes y vrtices es finito.
4.2.3 SUBGRAFOS
Un grafo formado por un subconjunto de los nodos y bordes de otro grafo es un subgrafo de ese otrografo. Por ejemplo, si se remueve un borde de un grafo se obtiene un subgrafodel referido grafo. Porejemplo, removiendo el borde a4del grafo de la Fig. 4.1, se obtiene un subgrafo formado por los bordesa1, a2, a3, a5 y a6, como se indica en la Fig. 4.2. Se dice que un subgrafo es propio si consiste deestrictamente menos bordes y nodos que el grafo que lo origina. Si un grafo est vaco se denomina elgrafo nulo. El grafo nulo es considerado como un subgrafo de todo grafo y se denota por el smbolo .
Un grafo es tambin su subgrafo.
AB
C
D
1a 6a
3a 5a
2a
Figura 4.2
4.2.4 PASOS O TRAYECTORIAS
Toda secuencia de bordes conectados en sucesin y en la que todos los nodos son distintos forma un pasoo trayectoria. En la Fig. 4.3 se muestran varias trayectorias en el grafo de la Fig. 4.1.
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B
C
D
B
D
CB
D
CC
1a
2a
5
a
3
a
3
a
4
a6a 6a1a
5
a
5
aA AAA
B
Figura 4.3
4.2.5 CIRCUITOS
Si los vrtices terminales de una sucesin de bordes que forman una trayectoria coinciden formando unlazo cerrado, el paso o trayectoria se denomina un paso cerrado o circuitoen el grafo de la red. En la Fig.4.4 se muestran varios circuitos del grafo en la Fig. 4.1.
C
D
C
B
D
C
1a
2a
3
a
4a 6a 1a
5aA AAB
2
a
D
3a5a
6a
6a
B
Figura 4.4
4.2.6 GRAFO CONEXO
Un grafo conexoes aqul en el cual todo par de nodos est conectado por una trayectoria. Esto significaque un grafo es conexo si est en una sola pieza. La Fig. 4.5(a) muestra un grafo conexo y la Fig. 4.5bmuestra uno inconexo. Una componente de un grafo es un subgrafo conexo que contiene el mximonmero de bordes. La Fig. 4.5b es un ejemplo de un grafo inconexo que contiene dos componentes. Unnodo aislado es un componente. Entonces, si un grafo no es conexo, debe contener varios componentes.
Uno o muchos de estos componentes pueden consistir de un nodo aislado. El nmero de componentes sedenotar por c.
Tambin hablaremos de bordes circuitales o no circuitales. Un borde circuitalde un grafo es un bordeque puede hacerse parte de un circuito; de lo contrario es no circuital. Claramente, la eliminacin de unborde circuital de un grafo conexo deja un subgrafo conexo.
4.2.7 GRADO DEL VRTICE
El grado de un vrtice es el nmero de bordes incidentes en ese vrtice. Por ejemplo, el grado de losvrticesA,B, C,Den el grafo de la Fig. 4.1 es 3. Un vrtice aislado es de grado cero. Como cada borde
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incide en dos vrtices, contribuye 2 a la suma de los grados de los vrtices, por lo que la suma de losgrados de los vrtices de un grafo es el doble del nmero de sus bordes.
(a) b
1a
2a 3a
4a
5a
7a
1a
2a 3a6a 5a
4a
6a
7
a
Figura 4.5
4.2.8 RANGO Y NULIDAD
El rango rde un grafo con v vrtices y ccomponentes se define como el nmero vc. La nulidadde ungrafo con bbordes y ccomponentes se define como el nmero m= bv+ c(= br).
La razn para escoger los trminos rangoy nulidades que, como veremos ms adelante en el captulo,ellos son el rango y nulidad de la matriz de incidencia asociada con el grafo. Para un grafo dado, surango y nulidad son ambos no-negativos. Un grafo es de nulidad 0 si y solamente si no contiene ningncircuito, y es de nulidad 1 si y slo si contiene un solo circuito.
4.2.9 RBOL
Un rbol completo o simplemente rbol de un grafo es un subgrafo conexo de un grafo conexo queconecta todos los vrtices del grafo sin formar ningn circuito. Los bordes que forman el rbol sedenominan ramas. Obviamente, un rbol de un grafo conexo tiene r (= v1) bordes. Los bordes delgrafo que no son parte del rbol se denominan enlaces, cuerdas, uniones o eslabones y forman lo que sellama el corbol. Entonces, un corbol de un grafo conexo contiene m(= bv+ 1) enlaces. Como hayuna trayectoria nica entre dos nodos cualesquiera en un rbol, la adicin de un enlace produce un circuitonico en el grafo resultante. As que cada uno de los enlaces en un corbol define un circuito (con respectoal rbol escogido) en el grafo dirigido en una forma nica. En general, existen varios rboles diferentespara el mismo grafo. En la Fig. 4.6 se muestran varios rboles del grafo de la Fig. 4.2. Al especificar unrbol, es suficiente dar una lista de sus ramas. Observe que un rbol y el corbol correspondiente tienennodos en comn, a saber, todos aquellos del corbol, y que el grafo es la unin de estos dos subgrafos.
Los rboles de un mismo grafo tienen las siguientes propiedades:
a) Todos tienen el mismo nmero de bordesb) Cada rbol contiene todos los vrtices del grafo.c) Todos son conexos.d) Los rboles no contienen circuitos.
Si un grafo no es conexo, el objeto correspondiente a un rbol es un bosque, el cual se define como unaunin de rboles, uno para cada una de las partes separadas del grafo (una partees un subgrafo conexocon la propiedad de que la incorporacin de cualquier otro borde del grafo para crear un nuevo subgrafoproduce un subgrafo inconexo). El complemento del bosque enlaces y nodos asociados se conocecomo el cobosque.
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El concepto de un rbol es extremadamente importante debido a las diferentes propiedades de una redque se pueden relacionar con l, entre ellas, las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff y el nmero deecuaciones de estado.
AB
C
D
14
6
AB
C
D
3
4 6
AB
C
D
2
5
6
AB
C
D
14
5
Figura 4.6
4.2.10 RELACIONES ENTRE BORDES, VRTICES Y RAMAS
Para determinar una propiedad importante de un rbol, construyamos uno de ellos agregando ramassucesivamente. Comenzamos colocando una rama entre dos vrtices (ver la Fig. 4.7). A esta rama se lesiguen agregando otras sin que nunca formen una trayectoria cerrada. Cada vez que se agrega una rama,se agrega un vrtice, de manera que si el nmero de vrticeses v, el nmero de ramas en el rboles v 1,esto es, uno menos que el nmero de vrtices. Si el nmero de bordesen el rbol es b, de los cuales 1v son ramas, entonces el nmero de unioneses b(v1) = bv + 1. En la Fig. 4.7, el grafo tiene 6 bordes(1, 2, 3, 4, 5, 6), 4 vrtices (A, B, C, D), 4 1 = 3 ramas (1, 4, 6) y 6 4 + 1 =3 uniones: 5)3,(2, . En lafigura, las ramas se indican con lneas ms gruesas que las uniones.
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
Figura 4.7
4.2.11
CONJUNTOS CORTADOS
Otro concepto importante en la topologa de redes es el de conjunto cortado. Un conjunto cortadode ungrafo es el mnimo nmero de bordes del grafo que al ser removidos forman exactamente dos nuevossubgrafos conexos pero separados. En otras palabras, la remocin de esos bordes reduce en 1 el rango delgrafo. En la Fig. 4.8 se indican mediante lneas punteadas diferentes conjuntos cortados, los cuales estnidentificados con los siguientes bordes:
K1= 2, 3, 4, 6 K2= 1, 2, 4, 5 K3= 1, 4, 6 K4= 3, 4, 5
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AB
C
D
1
2
3
4
5
6
1K2K
3K
4K
Figura 4.8
El conjunto K1 separa a los subgrafos formados por los bordes 1 y 5 respectivamente. El conjunto K2
separa a los bordes 3 y 6. El conjunto K3separa a los subgrafos formados por los bordes 2, 3, 5 y por elvrticeD, respectivamente. El conjunto K4separa el subgrafo formado por los bordes 1, 2, 6 del subgrafoformado por el vrticeB. Todo esto se muestra en la Fig. 4.9.
El conjunto cortado clasifica los nodos de una componente de un grafo en dos grupos, donde cada grupoest en una de las dos nuevas partes. Cada borde del conjunto cortado tiene uno de sus terminalesincidente en un nodo en un grupo y su otro terminal incidente en un nodo en el otro grupo. Observe queuna componente del grafo puede consistir de un nodo aislado.
AB
C
D
1
5
1K
AB
C
D
3
6
2K
AB
C
D
2
3 5
3K
AB
C
D
1
2
6
4K
Figura 4.9
4.2.12 CIRCUITOS EN EL GRAFO
Ya se dijo que un circuito es una sucesin de bordes que forman una trayectoria cerrada. En el grafo de laFig. 4.10 se ilustran los siguientes circuitos:
C1= 1, 3, 4 C2= 1, 2, 6 C3= 1, 3, 5, 6 C4= 2, 3, 5 C5= 4, 5, 6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
Figura 4.10
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4.2.13 CONJUNTOS CORTADOS FUNDAMENTALES
A pesar de que en un grafo existen muchos conjuntos cortados, slo algunos de ellos son necesarios paradescribir el sistema, es decir, slo algunos de esos conjuntos son independientes. A stos se les llamaconjuntos cortados fundamentales o simplemente conjuntos cortados -f. Un conjunto cortado fundamentales aqul formado por una sola rama del rboly una o ms uniones. En la Fig. 4.11 se muestran variosrboles del mismo grafo con sus respectivos conjuntos cortados fundamentales. En todos los casos, elconjunto cortado fundamental se identifica con el nmero de la rama del rbol involucrada.
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
1f
K
3fK
4fK
5fK
4fK
1fK
4fK
5fK
6fK
a b c
Figura 4.11
De la Fig. 4.11 se observan los siguientes conjuntos cortados-f:
Fig. 4.11(a): Kf1= 1, 2, 3 Kf4= 3, 4, 5 Kf6= 2, 5, 6
Fig. 4.11(b): Kf3= 1, 2, 3 Kf4 = 1, 4, 6 Kf5= 2, 5, 6Fig. 4.11(c): Kf1= 1, 2, 3 Kf4= 2, 3, 4, 6 Kf5=2, 5,6
Observe en todos los casos ilustrados que la remocin de una rama del rbol, la rama 1, por ejemplo, en laFig. 4.11a, lo divide en dos subgrafos consistentes de dos componentes. Si S1y S2denotan los conjuntosde nodos de estos dos componentes, entonces S1y S2son mutuamente excluyentes y en conjunto incluyentodos los nodos del grafo. Por lo tanto, la rama 1 del rbol define una particin de los nodos del grafo enuna forma nica. El conjunto de bordes del grafo que conectan un nodo en S1 con un nodo en S2 esclaramente un conjunto cortado del grafo y forma un conjunto cortado fundamental o conjunto cortado f.Una propiedad importante ya mencionada de un conjunto cortadofes que contiene solamente una rama a saber, la rama del rbol que lo define y algunos enlaces del corbol (con respecto al mismo rbol).
Como puede observarse, por la manera como se forman los conjuntos cortados-f
en un grafo dado, elnmero de ellos es igual al nmero de ramas del rbol creado, ya que cada conjunto cortado fundamentalcontiene una y slo una rama del rbol. Es decir, que el nmero de conjuntos cortados fundamentales esigual al nmero de vrtices menos uno:
1= vKf (4.1)
donde Kfes el nmero de conjuntos cortados fundamentales.
Los conjuntos cortados-fcon respecto a un rbol determinado de un grafo conexo constituyen un grupocompleto de conjuntos cortados independientes. Todos los dems conjuntos cortados del grafo sonnecesariamente dependientes de stos.
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4.2.14 CIRCUITOS FUNDAMENTALES
Igual que para los conjuntos cortados, ahora se definirn los circuitos fundamentales. Un circuitofundamental es aqul formado por una sola unin y una o ms ramas de un rbol. Cada vez que a un rbolse le agrega un enlace, el grafo resultante ya no es un rbol. El enlace y la trayectoria nica en el rbolentre dos puntos extremos del enlace constituyen un circuito. Por lo tanto, cada enlace de un corboldefine un circuito nico en el grafo orientado con respecto al rbol escogido. Tal circuito se denomina uncircuito fundamental o circuito f. En la Fig. 4.12 se muestran varios rboles del mismo grafo con suscircuitos fundamentales.
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
(a) (b) d
3fC 5fC
2fC
1fC6fC
2fC
3fC 6fC
2fC
Figura 4.12
En la Fig. 4.12 se observan los siguientes circuitos fundamentales:
Fig. 4.12(a): .y, 532 fff CCC
Fig. 4.12(b): .y, 621 fff CCC Fig. 4.12(c): .y, 632 fff CCC
Por la forma de construccin de los circuitos fundamentales, est claro que su nmero es igual al nmerode uniones; esto es,
1+= vbCf (4.2)
El conjunto de circuitos fundamentales con respecto a un rbol determinado constituye un conjuntocompleto de circuitos independientes y todos los dems circuitos del grafo son necesariamentedependientes de stos. El nmero m= b c + 1 = b rse conoce como la nulidaddel grafo, donde ces elnmero de componentes del grafo y res su rango(r= v c). El trmino nulidadtambin se conoce por elnombre de rango del circuito. Como se ver en el prximo captulo, el rango y la nulidad representan elnmero de conjuntos cortados y circuitos independientes de un grafo.
4.3 RELACIN ENTRE LOS CIRCUITOS FUNDAMENTALES Y LOS CONJUNTOSCORTADOS FUNDAMENTALES
Los circuitos fundamentales estn relacionados con la ley de los voltajes de mallas de Kircchoff (LVK)y los conjuntos cortados fundamentales lo estn con la ley de las corrientes en los nodos de Kircchoff(LCK). Las ecuaciones para los voltajes de mallas se obtienen seleccionando un rbol del grafo, formandoluego el conjunto de bv+ 1 circuitos fundamentales y escribiendo las ecuaciones de los voltajes de
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mallas para estos circuitos. De la misma forma, las ecuaciones para las corrientes en los nodos se obtienenformando el grupo de 1v conjuntos cortados fundamentales y escribiendo luego las ecuaciones para las
corrientes en los nodos para estos conjuntos fundamentales.
4.4 EL GRAFO ORIENTADO
En muchas aplicaciones, es necesario asociar con cada borde de un grafo una orientacin. Si a la red dela Fig. 4.13a se le asignan sentidos arbitrarios a las corrientes de cada elemento, el grafo correspondienteresultante, conservando el mismo sentido de las corrientes de la red en los bordes del grafo, ser un grafolineal orientado, tal como se ilustra en la Fig. 4.13b.
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
(b)
+_1e
1R
A3R
2L
4C
B 5R
C
6R
D
1i
2i
3i
4i
5i
6i
(a)
Figura 4.13
Un circuito est orientado si a ese circuito se le asigna una direccin. Es conveniente asignar laorientacin de un circuito fundamental de manera que su direccin coincida con la de la corriente en launin que lo genera. En la Fig. 4.14 se ilustran varios circuitos fundamentales orientados para diferentesrboles.
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
2fC
3fC 5fC
2fC
4fC 5fC 1fC
2fC
6fC
(c)(b)(a)
Figura 4.14
En igual forma, un conjunto cortado est orientado si se le asigna una orientacin. Para un conjuntocortado fundamental, es conveniente asignarle una orientacin de forma que coincida con la orientacin dela rama que lo genera. La orientacin se indica con una flecha colocada al lado de la lnea punteada queidentifica al conjunto cortado. En la Fig. 4.15 se ilustran varios conjuntos cortados fundamentalesorientados para diferentes rboles.
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AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
6
AB
C
D
1
2
3
4
5
61fK
4fK
6fK
1fK
3fK
6fK3fK
4fK
5fK
(c)(b)(a)
Figura 4.15
4.5
LA MATRIZ DE CIRCUITOS FUNDAMENTALESPara un grafo que contiene bbordes, la matriz de circuitos completa, Bc= [bij], es una matriz con b
columnas y tantas filas como circuitos tenga el grafo. Sus elementos tienen los valores siguientes:
1=ijb si el bordejest en el circuito iy sus orientaciones coinciden;
1=ijb si el bordejest en el circuito iy sus orientaciones no coinciden;
0=ijb si el bordejno est en el circuito i.
El subndice cen Bcindica que se ha considerado el conjunto completo de circuitos. El grafo de la Fig.4.14a tiene tres circuitos fundamentales orientados. Escribiendo las ecuaciones para los voltajes de malla(tomando como referencia positiva la indicada por la orientacin del circuito), se obtiene
0:
0:
0:
6545
4313
6212
=++
=++
=++
vvvC
vvvC
vvvC
f
f
f
(4.3)
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene
0111000001101
100011
654321
6
5
4
3
2
1
5
3
2
=
v
v
v
v
v
v
CC
C
f
f
f (4.4)
o tambin
0=e
vB (4.5)
La matriz Bse denomina la matriz de circuitos fundamentalesy su dimensin es de bvb + )1( . Suselementos se forman de acuerdo a las reglas ya dadas para la matriz de circuitos y se recomienda escribirlas filas de la matriz Ben el orden numrico de los circuitos fundamentales (la razn para esto se ver ms
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adelante). En el caso anterior el orden recomendado es Cf2, Cf3, Cf5. La Ec. (4.5) es la forma matricial de laLVK. ve(t) es el vector de los voltajes en los elementos.
La matriz de circuitos fundamentales del grafo en la Fig. 4.14b es
=
110101
001101
100011
654321
B (4.6)
y la del grafo en la Fig. 4.14c es
=
111000
010110
001101
654321
B (4.7)
Si estas matrices se ordenan de manera tal que se colocan primero las columnas correspondientes a lasuniones y luego las correspondientes a las ramas, manteniendo siempre el orden numrico de ambas, seobtiene para los grafos de las Figs. 1.14a, 1.14b y 1.14c, respectivamente,
=
110100
011010
101001
641532
B (4.8)
=
111100
011010
101001
631542
B (4.9)
=
110100
101010
011001
543621
B (4.10)
De las igualdades (4.8) a (4.10) se observa que si la matriz de circuitos fundamentales se ordena en laforma indicada, la porcin correspondiente a las uniones forma la matriz identidad, por lo que la matriz Bpuede escribirse en la forma
[ ]12 BUB m= (4.11)
donde se ha utilizado la notacin Umpara indicar a la matriz identidad de orden m (mes la nulidad delgrafo).
Al escribir las ecuaciones de Kirchhoff para los voltajes (LVK), suponemos implcitamente que loselementos del vector de los voltajes en los bordes o elementos han sido arreglados en el mismo orden que
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los bordes correspondientes a las columnas de B. Si, por ejemplo, usamos la matriz de circuitosfundamentales de la Ec. (4.10), el vector de voltajes ve(t) debe arreglarse como
[ ]Te
tvtvtvtvtvtvt )()()()()()()( 543621=v
4.6
LA MATRIZ DE CONJUNTOS CORTADOS FUNDAMENTALES
El grafo de la Fig. 4.15a tiene tres conjuntos cortados fundamentales y orientados. Escribiendo lasecuaciones de corriente (LCK) para cada uno de estos conjuntos, considerando positiva a la corriente delborde que tenga la misma orientacin del conjunto cortado y negativa a la corriente del borde orientada ensentido contrario a la del conjunto cortado, se obtiene
::
:
6
4
1
f
f
f
K
K
K
00
0
652
543
321
=+=++
=
iii
iii
iii
(4.12)
Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
=
0
0
0
110010
011100
000111
654321
6
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
i
(4.13)
o tambin
0=eQi (4.14)
La matriz Qse denomina la matriz de conjuntos cortados fundamentalesy su dimensin es bv )1( .Los elementos qijde Qse obtienen de la manera siguiente:
qij= 1 si el bordejpertenece al conjunto cortado iy su orientacin coincide con la del borde.qij= 1 si el bordejpertenece al conjunto cortado iy su orientacin es contraria a la del borde.qij= 0 si el bordejno pertenece al conjunto cortado i.
Al igual que en el caso de la matriz de circuitos fundamentales B, se recomienda escribir las filas de lamatriz Qen el orden numrico de los conjuntos cortados. En el caso anterior en el orden 641 ,, fff KKK .
La matriz Qdel grafo de la Fig. 4.15b es
=
110010
011100
011011
654321
Q (4.15)
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y la del grafo de la Fig. 4.15c es
=
110010
101001
000111654321
Q (4.16)
Una forma de visualizar con rapidez si una corriente tiene o no la misma orientacin que el conjuntocortado, es imaginar al conjunto cortado como un supernodo.
Si la matriz de conjuntos cortados fundamentales Q se ordena de manera que se colocan primero lascolumnas correspondientes a las uniones y luego las correspondientes a las ramas, se obtiene para losgrafos de las Figs. 1.15a, 1.15b y 1.15c, respectivamente,
=
100101
010110
001011641532
Q (4.17)
=
100101
010110
001111
631542
Q (4.18)
=
100110
010101
001011543621
Q (4.19)
Igual que en el caso de la matriz de los conjuntos cortados, el vector ie(t) debe ordenarse en el mismoorden que la matriz Qcorrespondiente; por ejemplo, para la matriz Qde la Ec. (4.19), el vector ie(t) es
[ ]Te
titititititit )()()()()()()( 543621=i
De las relaciones (4.17) a (4.19), se observa que la porcin de las matrices correspondiente a las ramas
forma la matriz identidad, por lo que la matriz Qpuede expresarse en la forma[ ]rUQQ 11= (4.20)
donde Ures la matriz identidad de orden r.
4.7 LA MATRIZ DE INCIDENCIA
Ahora se proceder a escribir las ecuaciones para las corrientes en los cuatro vrtices del grafo de la Fig.4.13, tomando como positiva la corriente que sale del vrtice y como negativa la corriente que entra:
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0:DVrtice
0:CVrtice0:BVrtice
0:AVrtice
641
652
543
321
=
=+=++
=++
iii
iiiiii
iii
(4.21)
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene
:DVrtice
:CVrtice
:BVrtice
:AVrtice
=
0
0
0
0
101001
110010
011100
000111
654321
6
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
i
(4.22)
o en forma ms compacta,
0=ea iA (4.23)
La matriz Aase denomina la matriz de incidencia aumentada ocompleta. Observe que cada columna deAacontiene exactamente un +1 y un 1 yque la suma de los elementos de las columnas de la matriz deincidencia aumentada es siempre igual a cero; ello se debe a que un borde cualquiera siempre une a dosnodos: si la corriente est entrando a uno de los nodos, es obvio que est saliendo del otro. Observetambin que el orden de la matriz de incidencia aumentada es de v b. Puesto que cada columna contiene
exactamente un +1 y un 1, cualquier fila de la matriz de incidencia aumentada es la suma negativa de lasotras. Por lo tanto, el rango de Aaes v1 como mximo. Es fcil demostrar que v1 es el rango de Aa.Para un grafo de vnodos y ccomponentes, el rango de la matriz de incidencia Aaes igual a cvr = .Como un resultado de esta propiedad, no hay necesidad de considerar todas las filas de Aa; son suficientesr filas linealmente independientes. Una submatriz de Aa, denotada por A, se denomina una matriz deincidencia baseo simplemente una matriz de incidenciasi Aes de orden br y de rango r. Si el grafo esconexo, se puede obtener una matriz de incidencia base Aa partir de la matriz de incidencia completa Aamediante la eliminacin de una de sus filas. La fila eliminada de Aacorresponde al punto de referenciapara los potenciales en una red elctrica.
Si tomamos el vrticeDcomo referencia, la matriz de incidencia correspondiente al grafo de la Fig. 4.13es
C
B
A
=
110010
011100
000111
654321
A (4.24)
Al igual que la matriz By la matriz Q, la matriz de incidencia puede formarse directamente a partir delgrafo colocando 1 en la posicin del borde si ese borde est unido al vrtice y un 0 si no lo est. Entoncessi A= [aij], tenemos que
aij= 1 si el bordejincide en el vrtice iy su orientacin se aleja de i.
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aij= 1 si el bordejincide en el vrtice iy su orientacin se acerca a i.aij= 0 si el bordejno incide en el vrtice i.
El orden en que se escriban las filas de la matriz Ano tiene mucha importancia.
La matriz de incidencia para el grafo de la Fig. 4.13, tomando el vrticeBcomo referencia es
=
101001
110010
000111
654321
A
D
C
A (4.25)
y tomando el vrtice Ccomo referencia,
=
101001
111100
000111654321
A
D
B
A (4.26)
La matriz de incidencia A, al igual que la matriz de circuitos fundamentales By la matriz de conjuntoscortados Q, puede reordenarse de manera tal que las columnas correspondientes a las uniones se escribanprimero y luego se escriban las columnas correspondientes a las ramas, en el mismo orden que se tompara ByQ. El resultado se denota entonces como
[ ]1211 AAA= (4.27)
Dado un grafo, es relativamente sencillo escribir una matriz de incidencia. Con frecuencia, el problemapodra ser el inverso: Dada la matriz de incidencia, dibujar el grafo. En un sentido abstracto, la matriz deincidencia aumentada define al grafo. Es una representacin del grafo, mientras que el dibujo es otrarepresentacin. Sin embargo, la matriz de incidencia, a diferencia de la matriz de incidencia completa, pors sola no define al grafo; debe ser aumentada por alguna condicin, como, por ejemplo, el grafo esconexo. sta es la condicin ms probable, as que siempre se supondr al menos que se especifique otracondicin.
El procedimiento es directo. Dada A, coloque en un plano un nodo adicional al nmero de filas de Ayenumrelos de acuerdo con las filas. Luego considere las columnas, una a la vez. En cada columna haycuando ms dos elementos diferentes de cero. Coloque un borde entre los dos nodos correspondientes a lasdos filas que contienen elementos diferentes de cero en esa columna. Si existe slo un elemento diferente
de cero, el borde est entre el nodo correspondiente a esta fila y el nodo adicional. Las direccionesquedarn determinadas por los signos de los elementos diferentes de cero.
Para ilustrar el procedimiento, sea
=
11100000
00111000
00001110
10000011
A
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la matriz de incidencia dada. En la Fig. 4.16 se han dibujado, a partir de esta matriz, dos grafos conexosaparentemente diferentes. Las diferencias visuales provienen del hecho que inicialmente los nodos fueroncolocados en el plano en patrones diferentes. Sin embargo, ambos grafos tienen la misma matriz deincidencia.
1
2
3
4
5
6
2 341
(a)
8
7
4
32
1
7
6
5
3
4
8
12
(b)
Fig. 4.16 Grafos isomorfos.
A pesar de las diferencias visuales, el hecho significativo es que hay una correspondencia uno-a-unoentre los vrtices y los bordes que preserva las relaciones de incidencia. Observe que al dibujar estacorrespondencia no se considera la orientacin de los bordes. Los grafos para cuales se puede estableceresta correspondencia se denominan isomorfos o topolgicamente equivalentes. Se deduce que, si dos
grafos tienen la misma matriz de incidencia aumentada o la misma matriz de incidencia si el grafo esconexo entonces los grafos son isomorfos.
4.8 RELACIONES ENTRE LAS MATRICES DE LAS REDES
Existen varias relaciones entre las matrices de los grafos de redes que permiten determinar una o variasde las matrices previo conocimiento de una o varias de las otras, o que tambin permiten construir el grafoa partir del conocimiento de una de esas matrices.
Considere el grafo de la Fig. 4.17. En el grafo se indica el rbol seleccionado.
Las matrices de circuitos fundamentales, de conjuntos cortados fundamentales y de incidencia, tomando
el vrticeEcomo referencia, son:
=
1110000
0011110
0101001
7654321
B (4.28)
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A
B
CD
1
2 3
4 5
64fK
6fK
5fK
(b)(a)
7
E
1fC
3fC
7fC
A
B
CD
1
2 3
4 5
6 7
E
2fK
Figura 4.17
=
1100001
1010100
0001101
0000110
Q (4.29)
=
1010100
0111000
0000110
0001011
A (4.30)
Multiplicando ahora la matriz de incidencia Apor la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales B,se obtiene
=
=
000
000
000
000
100
101
110
011
010
010
001
1010100
0111000
0000110
0001011
TAB (4.31)
Si las matrices A, By Qse ordenan por sus uniones y sus ramas, se obtiene
[ ]1211
0100110
1110000
0001010
0011001
6542731
AAA =
= (4.32)
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[ ]1211001000111010
1010001
BUB u=
= (4.33)
[ ]1211
1000101
0100110
0010011
0001010
QQQ =
= (4.34)
Multiplicando ahora la matriz de incidencia ordenada A [Ec.(4.32)] por la traspuesta de la matriz decircuitos fundamentales ordenada B[Ec. (4.33)], se obtiene
=
=
000
000
000
000
101
110
011
010
100
010001
0100110
1110000
0001010
0011001
TAB (4.35)
De las Ecs. (4.31) y (4.35) se observa que el producto matricial ABT, para el ejemplo ilustrado, es igual acero. Este resultado es general y puede obtenerse de la siguiente manera: para cualquier grupo de unionesincidentes en un vrtice iy cualquier grupo de uniones contenidas en un circuito j, el nmero de unionescomunes a los dos grupos es cero o dos. Si las columnas de Ay Bestn arregladas con el mismo orden deuniones, el producto de la i-sima fila de A por la j-sima columna de B da bien sea la suma de dosproductos diferentes de cero si hay dos uniones comunes, o un cero si no hay uniones comunes. Pero lasuma de dos productos diferentes de cero es siempre igual a cero debido a la convencin de signosutilizada para definir los elementos aijde Ay bijde B. Queda as establecido el resultado
0=TAB (4.36)
y tambin que
0=TBA (4.37)
Este ltimo resultado se obtiene simplemente tomando la transpuesta de la Ec. (4.36). Estas relaciones seconocen como las relaciones de ortogonalidad.
De nuevo se debe recalcar que las Ecs. (4.36) y (4.37) son vlidas si las matrices estn ordenadas en lamisma forma. Las ecuaciones no se cumplen para ordenamientos arbitrarios.
Considrese ahora el producto de la matriz de conjuntos cortados fundamentales de la Ec. (4.29) y latraspuesta de la matriz de circuitos fundamentales de la Ec. (4.29):
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=
=
000
000
000
000
000
101
110
011
010010
001
1100001
1010100
0001101
0000110
TQB (4.37)
y multiplicando la matriz de conjuntos cortados fundamentales ordenada (4.34) por la traspuesta de lamatriz de circuitos fundamentales ordenada (4.33), se obtiene
=
=
000
000
000
000
101
110
911
910
100
010001
1000101
0100110
0010011
0001010
6542731
TQB (4.38)
De las Ecs. (4.37) y (4.38) se observa que el producto de cualquier matriz de conjuntos cortadosfundamentales Qpor la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales Bes igual a cero. Igual que en
el caso anterior, este resultado es general y la demostracin se deja para el lector. Se tiene entonces que
0
0
=
=
T
T
BQ
QB (4.39)
De nuevo debemos sealar que los resultados dados por la Ec. (4.39) son vlidos si las matrices By Qestn ordenadas en la misma forma. Estas dos ltimas son relaciones de ortogonalidad adicionales. Lasrelaciones de ortogonalidad dadas conforman uno de los teoremas fundamentales de la teora de grafos.
Combinando las Ecs. (4.32), (4.33) y (4.34), se obtiene
[ ][ ] [ ] 0121112111211
=+=
== T
T
u
r
T
ur
BQB
UUQBUUQQBT
de donde
T1211 BQ = (4.40)
Como ejemplo, de las Ecs. (4.33) y (4.34) se tiene que
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=
=
101
110011
010
1100
0111
1010
1112 QB
y se observa que
=
101
110
011
010
12TB
y as queda comprobada la Ec. (4.40).Combinando las Ecs. (4.39) y (4.40), se obtiene
[ ][ ] [ ] 0 12121112
1211121211 =+=
== T
T
uT
uT BAA
B
UAABUAAAB
de donde
111
1212 AAB = T (4.41)
Combinando adems las Ecs. (4.40) y (4.41), se obtiene
111
121211 AABQ ==T (4.42)
De las Ecs. (4.32) y (4.33), se obtiene
=
=
=
1100
0111
1010
0100
1110
0001
0011
110
000
010
001
121211 BAA
por lo que
=
=
101
110
011
010
1111
1000
0011
0010
121
12TBA
y
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=
=
101
110011
010
110
000010
001
1111
10000011
0010
111
12AA
quedando as comprobada la Ec. (1.41).
Combinando las Ecs. (4.34), (4.40), (4.41) y (4.42), se tiene que
[ ]
[ ] AAAAA
AAAAUAAUBUQQ1
1212111
12
121
12111
12111
121211
==
==== rrT
r (4.43)
Usando los valores de la matriz en la Ec. (4.32), se obtiene
=
=
1000101
0100110
0010011
0001010
0100110
1110000
0001010
0011001
1111
1000
0011
0010
112 AA
y as queda comprobada la Ec. (4.43).
En resumen, las relaciones entre matrices son:
[ ]1211 AAA= (4.32) [ ] (4.33)12BUB u= [ ] (4.34)11 rUQQ=
(4.36)0== TT BAAB 0== TT BQQB (4.39) T1211 BQ = (4.40)
111
1211 AAQ = (4.42) 11
11212 AAB
= (4.41) AAQ 112= (4.43)
Conociendo entonces una matriz, la de incidencia por ejemplo, por intermedio de la Ec. (4.41) se
determina T12B , con lo que se puede obtener la matriz de circuitos fundamentales usando la Ec. (4.33).
Tambin se podra determinar la matriz de conjuntos cortados fundamentales por intermedio de la Ec.(4.43) o de las Ecs. (4.41) y (4.34), En esta forma se construye el grafo orientado especificando su rbol,ramas y uniones. Tambin son posibles otras combinaciones, como por ejemplo, la matriz de incidenciaslo se puede determinar a partir del grafo. En resumen, el significado de los resultados es que una vezdada A, las matrices B y Q pueden calcularse directamente a partir de A sin la necesidad de formarprimero los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales una ayuda verdadera en elanlisis asistido por computadora.
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Ejemplo 1
Un grafo tiene la siguiente matriz fundamental:
=
1111000
0101110
0010011
7654321
B
a) Determine la matriz de conjuntos cortados fundamentales.
b) Dibuje el grafo orientado y determine los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales.
c) Determine la matriz de incidencia.
a) Ordenando la matriz dada en la forma [ ]12BUB u=
, se obtiene
=
1110100
1011010
0101001
6542731
B
de donde
==
=
110
101
110
011
1110
1011
0101
121112TBQB
y
=
1000110
0100101
0010110
0001011
6542731
Q
b) Con la informacin proporcionada por las matrices By Q, se tiene que los circuitos fundamentales son
76,5,4,64,3,2,52,,1 731 === fff CCC
y los conjuntos cortados fundamentales son
7,6,376,3,74,3,32,1, 8542 ==== ffff KKKK
Con esta ltima informacin se puede obtener el grafo orientado como se indica en la Fig. 4.18.
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A B C
7
1
63
25
4
D
E
2fK 4fK
5fK
6fK
1fC
3fC7fC
Figura 4.18
c) Del grafo orientado se construye la matriz de incidencia. Esta matriz, tomando el vrticeBcomo referencia, es
=
0110101
1000000
0111000
0001011
6542731
A
Ejemplo 2
Encontrar la matriz de incidencia aumentada ordenada numricamente por las uniones a partir de la siguiente matrizde conjuntos cortados fundamentales.
=
0010100001
0111000001
0010000011
1110010100
0100001100
10987654321
Q
Se observa que los conjuntos cortados son Kf2, Kf4, Kf6, Kf7y Kf10. Ahora se ordena la matriz de manera que las ramas
2, 4, 6, 7 y 10 queden como las ltimas columnas. Si se desea que las ramas queden ordenadas numricamente, parapoder obtener la matriz Ures necesario reordenar primero algunas filas. Con lo cual se obtiene
=
1110010100
0111000001
0010100001
0100001100
0010000011
10987654321
Q
y reordenando las columnas
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=
1000011110
0100011001
0010001001
00010100100000101001
10764298531
Q
por lo que la matriz de circuitos fundamentales es
=
1101010000
1110101000
1000000100
1001000010
0110100001
10764298531
B
Los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales son entonces
10,9,7,410,8,7,6,210,510,4,37,6,2,1
9,8,7,110,9,8,5,38,6,19,4,38,2,1
98531
710642
=====
=====
fffff
fffff
CCCCC
KKKKK
Con esta informacin se construye el grafo orientado de la Fig. 4.19.
AB
C
F
7
1
10 8
63
92
5
4
D E
Figura 4.19
Y, finalmente, la matriz de incidencia aumentada y ordenada es
=
0100110000
0010100000
0001010010
0010001001
1001001100
1100000111
F
E
D
C
B
A
10987654321
A
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Ejemplo 3
Hacer las conexiones de la fuente de voltaje, la lmpara y los ocho interruptores indicados en la Fig. 4.20, de maneraque se cumplan las siguientes condiciones:
a) Con los interruptores 1, 3, 5 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.
b) Con los interruptores 1, 6, 8 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.
c) Con los interruptores 2, 4, 6 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.
d) Con los interruptores 3, 4, 7 abiertos, la lmpara encender si y slo si los dems interruptores estn cerrados.
1 8765432+
_V L
Figura 4.20
Se toma la fuente en serie con la lmpara como un solo borde y cada interruptor como un borde. Se coloca un 1 siel interruptor est cerrado y un 0 si est abierto. Los nmeros de los bordes del 1 al 8 corresponden a los
interruptores y el 9 corresponde a la fuente lmpara. De esta manera, la matriz de circuitos fundamentales sinorientacin es
=
110110011
111010101
101011110
111101010
987654321
B
A partir de esta matriz se obtiene el grafo mostrado en la Fig. 4.21.
Y la conexin final de interruptores y lmpara ser como se muestra en la Fig. 4.22.
1.9 TEOREMA DE TELLEGEN
Las leyes de voltaje y de corriente de Kirchhoff son restricciones algebraicas que surgen de lainterconexin de los elementos de una red y son independientes de las caractersticas de los elementos.Como una consecuencia, ahora se demostrar que ellas implican la conservacin de la energa. En otraspalabras, la conservacin de la energa no tiene que ser un postulado adicional de la teora de redes.
Ya se demostr que una red cumple la LCK y la LVK si y slo si se satisfacen las ecuaciones 0iQ =)(t
y 0vB =)(t . Las soluciones ms generales de i(t) y v(t) que satisfacen estas ecuaciones pueden escribirseexplcitamente como
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1
2
3
4
5
6
7
9
8
Figura 4.21
+_V
L
7
6
1
2 8 5
4
3
Figura 4.22
)()( ttm
TiBi = (4.44)
)()( ttc
TvQv = (4.45)
donde im(t) es un m-vector arbitrario y )(tcv es un r-vector arbitrario. Recuerde que v, b, c, my rdenotan
respectivamente el nmero de nodos, el nmero de bordes, el nmero de componentes y la nulidad y rangodel grafo orientado asociado con la red. Para verificar esto calculamos
00iiQBQi === )()()( tttmm
T
00vvQBvBQBv ==== )()()()()( ttttcc
TTc
T
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169
ya que 0QB =T . Como un resultado inmediato tenemos que
00iviQBviv =====
)()()()()()()(1
ttttttitvm
Tcm
TTc
Tb
k
kk (4.46)
demostrando que la suma de las potencias instantneas suministradas a todos los elementos, cuyos voltajesy corrientes son respectivamente vk(t) e ik(t), es igual a cero. Si se integra la Ec. (4.46) entre dos lmites t0y tcualesquiera, se obtiene la energa almacenada total en la red desde t0hasta tcomo
constante)()()(1
0
===
b
k
t
t
kkdivtw (4.47)
Expresado en una forma diferente, la Ec. (4.47) muestra que la conservacin de la energa es unaconsecuencia directa de las dos leyes de Kirchhoff y no se necesita aadir el postulado de que la energatotal es conservativa en la teora de redes.
Puesto que las leyes de Kirchhoff son independientes de las caractersticas de los elementos que forman
la red, se puede obtener un resultado an ms general. Considere otra red N que tiene el mismo grafo
orientado. Denote por )( ti y )( tv los vectores de corrientes y voltajes en los elementos de N . Entonces
tenemos que )()( tt miBi = y )()( tt cTvQv = , donde )( tmi y )( tcv son un m-vector y un r-vector
arbitrarios, respectivamente. Ahora se puede calcular
0)()()()()()( === ttttttm
Tcm
TTc
T i0viBQviv (4.48)
0)()()()()()( === ttttttm
Tcm
TTc
T i0viBAviv (4.49)
Tomando las transpuestas de estas ecuaciones y observando que la transpuesta de un escalar es l mismo,se obtienen diferentes formas de la Ec. (4.48):
0)()()()()()()()( ==== tttttttt TTTT viviiviv (4.50)
La Ec. (4.50) se conoce como el teorema de Tellegen. La entidad )()( ttT iv no tiene significado fsico
como la suma de potencias instantneas porque v(t) e )( ti pertenecen a dos redes diferentes. Se tiene querecalcar que el teorema de Tellegen es vlido bajo la suposicin de que las dos redes diferentes bajoconsideracin tienen la misma topologa a saber, el mismo grafo orientado asociado. El teorema esvlido si las redes son lineales o no y variables o no en el tiempo.
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PROBLEMAS
1. Obtenga el grafo de las redes en la figura e indique los bordes, vrtices y todos los circuitos yconjuntos cortados.
+_1e
1R 3R
6R
2L
4L 5C
+_
1R 6R
2L
5C
4e4R
3L
1i
2. Seleccione tres rboles de cada uno de los grafos del problema 1 e indique los circuitos fundamentalesy los conjuntos cortados fundamentales para cada uno de ellos.
3. En la red de la figura, seleccione un rbol y escriba las matrices de incidencia, de conjuntos cortadosfundamentales y de circuitos fundamentales.
+_1e 4L +_
1L
2R
3C5R
5e
1I
2I
3I
4I
5I
4. Repita el problema anterior seleccionando otro rbol.
5. Ordene las matrices de los problemas 3 y 4 por sus uniones y ramas y en ambos casos compruebe lasrelaciones (4.32), (4.36), (4.39), (4.40), (4.41), (4.42) y (4.43).
6. Encuentre el grafo orientado a partir de la siguiente matriz de incidencia.
=
110000
011100
001010000111
654321
A
7. Consiga una matriz de conjuntos cortados fundamentales y de circuitos fundamentales del grafo con lamatriz de incidencia del problema 6.
8. Un grafo tiene la siguiente matriz de circuitos fundamentales:
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=
100110100
111000110
001001010001100001
987654321
B
a) Determine la matriz de conjuntos cortados fundamentales.b) Construya el grafo.c) Indique los conjuntos cortados fundamentales y los circuitos fundamentales.d) Determine la matriz de incidencia.
9. Encuentre la matriz de circuitos fundamentales y la matriz de incidencia a partir de la siguiente matriz
de conjuntos cortados fundamentales.
=
00100010
10100101
11110000
10001001
87654321
Q
10.Sean B y Q las matrices de circuitos fundamentales y de conjuntos cortados fundamentales de ungrafo orientado. Se puede demostrar que el nmero de rboles en un grafo viene dado por la frmula
Nmero de rboles = TT QQBB detdet =
Use esta frmula para determinar el nmero de rboles en el grafo de la figura.
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