UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEMA: TORSIÓN

DOCENTE: ING. FAUSTO ZURITA

INTEGRANTES:

ANDRADE BRYAN

ARMIJOS ERIKA

CRUZ CYNTHIA

PALACIOS JUAN

RIOFRIO JHON

TRUJILLO MARILY

PARALELO: “A”

FECHA: 08/ 05/ 2013

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TORSIÓN

Introducción e hipótesis fundamentales

Previo a la introducción: Es común que se emplee indistintamente la palabra eje o

árbol como si fuesen sinónimos, pero existe una diferencia entre ambos:

Eje: Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto su única función

es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsión.

Fig. 1: Eje

Árbol: Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecánica mediante su

giro, por lo que está sometido a esfuerzos de flexión y de torsión. Además, a diferencia

de los ejes, el árbol gira simultáneamente con los elementos montados sobre él.

Fig. 2: Árbol.

1. Torsión:

La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la

sección y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje

longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).

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Fig. 1: Torsión de un objeto.

El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no de

distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos:

1. Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un determinado

tipo de carga y las aplicaciones de la ley Hooke, se determinan unas relaciones entre

los esfuerzos en distintos puntos de la sección de manera que sean compatibles con la

deformación y que se denominan ecuaciones de compatibilidad.

2. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se

determinan otras relaciones que se deducen de la consideración del equilibrio entre

fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la sección de

exploración. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de equilibrio.

3. Se debe verificar que la solución de las ecuaciones es satisfactoria a las

condiciones de carga en la superficie del cuerpo.

Para la deducción de fórmulas en el estudio de la torsión, nos basamos en las

siguientes hipótesis:

Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.

Las secciones planas permanecen planas y no se alabean.

El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al

eje.

Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

En árboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en

una sección.

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2. Deducción de fórmulas:

El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones su simbología es J.

Fig. 4: Momentos polares de inercia

Eje macizo: J= π r4

2=π d

4

32

Eje hueco: J=π2

(R4−r 4 )= π32

(D 4−d4 )

Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de

longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo teta, o ángulo de

distorsión (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).

Fig. 2: Cambio de forma en un objeto.

El ángulo de distorsión, depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje

circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección trasversal de

la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante).

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Fig. 3: Deformación de un árbol circular

Consideremos una barra recta, de sección circular, empotrada en un extremo, y que en

el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje

longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformación,

llamada torsión, que se evidencia en el hecho de que una línea cualquiera que siga la

dirección de una generatriz1 de la barra gira un pequeño ángulo con respecto al

extremo empotrado.

El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor.

Tan pronto se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión de uno a

otro extremo aumenta si el momento de torsión aumenta.

Si se considera una fibra a una distancia ρ del eje del árbol, la fibra girará un ángulo θ,

considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce

una deformación tangencial DE.

δs=DE=ρθ

Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsión:

γ= δsL= ρθL

A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:

1 Punto, curva o superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a una curva, una superficie o un cuerpo sólido, respectivamente.

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τ=Gγ=(GθL )ρA esta ecuación se la denomina ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos

expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.

La expresión anterior se suele conocer como la ecuación de compatibilidad, ya que los

esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elásticas.

Un elemento diferencial de área de la sección MN, presenta una fuerza resistente dada

por:

dP=τdA

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, se llega a la siguiente

relación:

T=Tr=∫ ρ dP=∫ ρ(τ dA)

Sustituyendo por su valor en la ecuación de compatibilidad:

T=GθL ∫ ρ2dA

Como el momento de inercia polar es ∫ ρ2dA = J, tenemos que:

T=GθLJ

También se puede escribir esto de forma:= radianesT= N.mL= mJ= m4

G= N/m2

T= ℘2πf

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θ=TLJG

El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando G/ L por su equivalente T/J.τ=TρJ

Al sustituir ρ por el radio del árbol tenemos:

τmáx=TrJ

Estas ecuaciones son válidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:

Eje macizo: τmáx=2T

π r3=16Tπ d3

Eje hueco: τmáx=2TR

π (R4−r4)= 16TD

π (D 4−d 4)

Como la aplicación de los arboles es transmitir potencia está dada por la ecuación:

℘=Tω

Donde ω=2πf es una constante angular.

℘=T 2πf

El momento torsionante transmitido está dado por:

ACOPLAMIENTOS DE BRIDAS

℘= Watts (1W= 1N. m/s)f= rev / sT= N. m

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Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se

representa en la figura, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con

cada árbol, y que se unen entre sí mediante pernos o tornillos. El par torsor se

transmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.

Suponiendo que el esfuerzo se distribuye uniformemente en cada perno viene dada

por la fórmula del esfuerzo cortante simple P = A.τ , es decir, (π.d2/4)τ , y actúa en el

centro del perno, tangente a la circunferencia de radio R donde se situaba estos. El par

torsor que resiste cada perno es PR, y para un numero cualquiera n de pernos, la

capacidad del acoplamiento viene dada por.

T=P .R .n=π .d2

4∗τ .R .n

Cuando un acoplamiento tiene dos series concéntricas de pernos. Llamando P2 yP2, y

la resistencia del acoplamiento es:

4. Torsión en tubos de pared delgada:

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Además de los árboles de transmisión que están sujetos a torsión al transmitir potencia,

existen elementos estructurales frecuentemente sometidos a torsión. La pared puede

ser de espesor uniforme o variable. La distribución de las tensiones de cortadura por

torsión sobre una extensión de pared relativamente reducida, está mucho más próxima

a la uniformidad que lo está en el caso del árbol macizo.

Si el espesor de la pared es pequeño en comparación con las demás dimensiones del

cilindro y no hay esquinas pronunciadas u otros cambios bruscos en su contorno, que

puedan dar lugar a concentración de tensiones, la teoría da unos resultados que

pueden considerarse coincidentes con los obtenidos experimentalmente.

La sección de un cilindro de pared delgada está sometida a un momento de torsión Mt.

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:

F1=q1∗∆ L Y F2=q2∗∆ L

En donde q se suele llamar flujo de cortante.

q1∗∆ L=q2∗∆ L

q1=q2

La igualdad de los valores del flujo cortante en dos lugares arbitrariamente escogidos

prueba que debe ser constate en todo el perímetro del tubo.

La fuerza tangencial q dL que actúa en una longitud dL, contribuye al par resistente con

un momento diferencial r (qdL) con respecto a un determinado centro. El momento

torsionante es independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a

la suma de los momentos diferenciales.

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T=∫rq dL

Donde r dL es el doble del área del triángulo rayado cuya base es dLy cuya altura es el

radio r. Puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el área encerrada

por la línea media de la pared del tubo:

T=2 Aq

Es esfuerzo cortante medio,

en cualquier punto de

espesor t, viene dado por:

τ=qt= T2 At

5. Resortes Helicoidales

En la figura se representa un resorte

helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la

acción de una fuerza axial P. El resorte está formado por un alambre o varilla redonda

de diámetro d enrollada en forma de hélice de radio medio R.

Para determinar los esfuerzos producidos por P se cortar el resorte por una sección de

exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el

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equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la

distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes.

La figura anterior representa el diagrama de cuerpo libre de la porción superior del

resorte.

Para el equilibrio en dirección axial, la fuerza resistente Pr, es igual a P. El equilibrio

horizontal también se cumple ya que ni P ni Pr, tienen componentes en esta dirección.

Para el equilibrio de momentos, como P y Pr, opuestas y paralelas, producen un par

PR, en la sección debe existir otro par resistente PR igual y opuesto al anterior,

originado por un esfuerzo cortante de torsión, distribuido en la sección de corte. Se

representa por T= PR. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los

vectores T1 y T2.

El esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el punto de la sección más próximo al eje

de resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo T1= P/A y el máximo

valor del esfuerzo cortante producido por la torsión T2= Tr/J. es decir:

T=T 1+T 2= 4 Pπ d2

+16 (PR)π d3

Que puede escribirse en la forma:

T=16PRπ d3 (1+ d

4 R )

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En la barra recta de la figura a la

torsión produce la misma

deformación δs en las fibras AB y CD y, por tanto, la distorsión ϒ= δs/L es la misma en

B que en D puesto que los elementos AB Y CD tienen la misma longitud inicial. En

cambio, en la barra curva de la figura b la situación es diferente, ya que aunque las

fibras AB y CD, la distorsión en B es mayor que en D, por lo que el esfuerzo cortante

por torsión en las fibras internas AB es mayor que en las externas CD. La importancia

de este efecto depende de la magnitud de la diferencia de longitud inicial entre AB y

CD. Evidentemente esta diferencia depende del grado de curvatura de alambre o barra,

es decir, de la relación d/R. la siguiente ecuación toma en cuenta este efecto adicional

la cual es utilizada para resortes pesados en los que la curvatura del alambre es

grande y m es más pequeño:

T max=16 PR

π d3 ( 4m−14m−4+ 0,615

m )En donde m=2R/d= D/d es la relación de diámetro medio de las espiras al diámetro del

alambre. Para resortes ligeros, en los que la relación m es muy grande:

T max=16 PR

π d3 (1+ 0,615m )Distención de un resorte: Prácticamente toda la elongación de un resorte según el eje

se debe a la torsión del alambre. En la figura se supone por un momento que todo el

resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girara hacia D un

pequeño ángulo dϴ. Como este ángulo es muy pequeño, el arco AD=AB* dϴ puede

considerarse como una recta perpendicular a AB, de donde, por la semejanza de los

triángulos ADE y BAC se tiene:

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AEAD

=BCAB

O sea dδ

AB∗dθ= RAB

De donde

dδ=R∗dθ

Reemplazando e integrando ϴ

θ=(PR )dLJG

δ= PR2LJG

Sustituyendo L por 2πRn, que es la longitud de n espiras de radio R, y J por πd4/32

resulta:

δ=64 P R3n

Gd4

BIBLIOGRAFÍA:

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Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper

Row.

Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGÍA DE MATERIALES, 1985,

Ed. Reverté.

Biguri Zarraonandia Iñaki, TORSIÓN, disponible en:

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/

Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE

MATERIALES, 2011, disponible en:

http://mecanica-usach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3_arr

eglando.pdf

Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIÓN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora,

disponible en: http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingeniero-

tecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8-Torsion.pdf