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ESTATICAE.A.P. INGENIERIA CIVIL

EJERCICIO.

Reducir el sistema de fuerzas (Torsor Equivalente) que actúa en el sólido regular que se muestra en la figura, la ecuación del eje central y el paso del torsor.

F1 = 12 N.

F2 = 16 N.

F3 = 8 N.

|⃗BC|=√250

|⃗CE|=√132

|HJ| = (2/3).|GH|

|GK| = (3/5).|EG|

Ing. VALDERRAMA SORIANO, Tarsicio SISTEMA DE CURSORES

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SOLUCIÓN.

1. Calculo de los puntos:

1.1. Calculo del punto “C”:

Hallando la ecuación del plano BCEG:

G⃗C . (G⃗B x ¿⃗)=0

( x−23 , y−19 , z−1 ) .( i→

j→

k→

−8 −8 8−17 0 4 )=0

( x−23 , y−19 , z−1 )(−32 ,−104 ,−136)=0−32 x−104 y−136 z+2848=032 x+104 y+136 z=2848 . . .(1)

Por dato tenemos:

|⃗BC|=√250√(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=√250

(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=250 . . .(2)




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|⃗CE|=√132√(6−x )2+(19− y )2+(5−z)2=√132

(6−x)2+(19− y )2+(5−z)2=132 . ..(3)De (1), (2) y (3) tenemos:

32 x+104 y+136 z=2848 . . .. . . .. . . .(1)(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=250 . . .(2)(6− x)2+(19− y)2+(5−z )2=132 .. .(3)

∴C=(−0.5315,12 .2962,11.6632)

1.2. Calculo del punto “A”:

Hallando la ecuación del Plano ABCD (P1):

C⃗ A . (C⃗B x C⃗D)=0

( x+0.5315 , y−12.2962 , z−11.6632 ) .( i→

j→

k→

15.5315 −1.2962 −2.6632−1.4685 −15.2962 3.3368 )=0

( x−23 , y−19 , z−1 )(−45.0620 ,−47.9146 ,−239.4764)=0

−45.0620 x−47.9146 y−239.4764 z+2186.2798=0

45.0620 x+47.9146 y+239.4764 z=2186.2798 . . .(1)




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Hallando la ecuación del Plano ADIH (P2):

I⃗A . ( I⃗D x I⃗H )=0

( x−13 , y−1 , z−11) .( i→

j→

k→

−15 −4 46 5 −6)=0

( x−23 , y−19 , z−1 )(4 ,−66 ,−51)=0

4 x−66 y−51 z+1213=0

4 x−66 y−51 z=−1213 . .. (2)

Hallando la ecuación del Plano ABGH (P3):

G⃗I . (G⃗H xG⃗B )=0

( x−23 , y−19 , z−1 ) .( i→

j→

k→

−4 −13 4−8 −8 8)=0

( x−23 , y−19 , z−1 )(−72,0 ,−72)=0

−72 x+0 y−72z+1728=0

72 x+0 y+72 z=1728 . ..(3)

De (1), (2) y (3) tenemos:

45.0620 x+47.9146 y+239.4764 z=2186.2798 . . .(1)

4 x−66 y−51 z=−1213 . .. . . .. . . .. . . .. . . ..(2)

72 x+0 y+72 z=1728 . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .(3)

∴ A=(23,19,1)




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2.3. Calculo del punto “J”:

Por dato tenemos:

|⃗HJ|=23|⃗GH|.. . .. . .(1)

Pero:

u⃗HJ=H⃗J

¿⃗HJ∨¿⇒|HJ|= H⃗Ju⃗HJ

¿

u⃗HJ=−u⃗GH

u⃗GH=G⃗H

¿⃗GH∨¿⇒|GH|=G⃗Hu⃗GH

¿

Reemplazando los enunciados anteriores en (1) tenemos:

H⃗Ju⃗HJ

=23G⃗Hu⃗GH

H⃗Ju⃗HJ

=−23

G⃗Hu⃗HJ

H⃗J=−23

G⃗H

( x , y , z )−(19,6,5 )=−23

(−4 ,−13,4 )




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( x , y , z )=( 653 , 443, 73 )

∴ J=( 653 , 443, 73 )

2.4. Calculo del punto “K”:

Por dato tenemos:

|⃗GK|=35|⃗EG|. . . .. . .(1)

Pero:

u⃗GK=G⃗K

¿⃗GK∨¿⇒|GK|= G⃗Ku⃗GK

¿

u⃗GK=−u⃗EG

u⃗EG=E⃗G

¿⃗ EG∨¿⇒|EG|= E⃗Gu⃗EG

¿

Reemplazando los enunciados anteriores en (1) tenemos:

G⃗Ku⃗GK

=35E⃗Gu⃗EG

G⃗Ku⃗GK

=−35

E⃗Gu⃗GK

G⃗K=−35

E⃗G




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( x , y , z )−(23,19,1 )=−35

(17,0 ,−4 )

( x , y , z )=( 645 ,19 , 175 )

∴K=( 645 ,19 , 175 )

2.5. Calculo del punto “L”:

Hallando las ecuaciones vectoriales de las rectas L1, L2:

L1={( 645 ,19 , 175 )+α (−13.3315 ,−6.7038,8 .2632 )}

L2={(6,19,5 )+β (9 ,−8,4 ) }

Sea L ∈ L1 ⋀ L2, Entonces: L ∈ L1 ⋀ L ∈ L1

Si L∈ L1⟹ L( 645 −13.3315α ,19−6.7038α , 175

+8.2632α)Si L∈ L2⟹ L (6+9 β ,19−8β ,5+4 β )

Como L ∈ L1 ⋀ L ∈ L1, tenemos:




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( 645 −13.3315α ,19−6.7038α , 175

+8.2632α )=(6+9β ,19−8 β ,5+4 β )

645

−13.3315α=6+9 β

19−6.7038α=19−8 β; Entonces:α=0.3339 , β=0.2825

175

+8.2632α=5+4 β

∴L=(8.4566,16 .8159,6.0922 )

2. Calculo delas componentes de las fuerzas:

2.1. Fuerza 1 (F1):

Hallando el valor de “|⃗CX|”:

|⃗CX|=12∗cos70 °

|⃗CX|=12∗cos70 °

∴n=4.1042

Hallando el valor del ángulo “|⃗XY|

|⃗XY|=12∗Sen70 °

|⃗CX|=12∗Sen70 °

∴n=11.2763

Hallando el valor de |⃗XY|:




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tan a°=|⃗XY|n

|⃗XY|=5.7676∗tan(61.3722° )

∴|⃗XY|=10.5663

Hallando el valor del ángulo b:

B⃗A . B⃗C=(|⃗BA|) (|⃗BC|)∗cosb

b=cos−1 B⃗A . B⃗C

(⃗|BA|) (⃗|BC|)

b=128.1007 °

Hallando el valor del ángulo b:

a+b+10°=180

a+128.1007°+10 °=180 °

a=41.8993 °

Hallando el valor del punto “Z”:

sina15.8114

= sin 10

|⃗BZ|

|⃗BZ|=15.8114∗sin 10sin 41.8993

|⃗BZ|=4.1113 . . .. .(1)

u⃗BA=B⃗A

|⃗BA|= u⃗BZ

u⃗BA=(0.5774,0.5774 ,−0.5774 ) . . . .(2)

De uno (1), (2) tenemos:




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u⃗BZ=B⃗Z

|⃗BZ|

B⃗Z=|⃗BZ|∗u⃗BA

B⃗Z=4.1113∗(0.5774 ;0.5774 ;−0.5774)

Z=4.1113∗(0.5774 ;0.5774 ;−0.5774 )+ B⃗

∴Z=(17.3737,13.3737,6 .6263) Hallando el valor del punto “X”:

u⃗CZ=C⃗Z

|⃗CZ|=u⃗CX .. . . ..(1)

u⃗CZ=(0.9610,0 .0578 ,−0.2703 ) . . . ..(2)

De (1), (2) tenemos:

u⃗CX=C⃗X

|⃗CX|C⃗X=|⃗CX|∗u⃗CZ

C⃗X=4.1042∗u⃗CZ

X=4.1042∗u⃗CZ+C

X=4.1042∗(0.9610,0.0578 ,−0.2703 )+C

X=(3.4127,12 .5335,10.5537)

Hallando el valor del punto “Y”:

Hallando un vector unitario normal al plano ABCD:

N⃗=C⃗D xC⃗B

N⃗=( i⃗ j⃗ k⃗−1.4685 −15.2962 3.336815.5315 −1.2962 −2.6632)

N⃗= (45.0670,47 .9146,239.4764 )

Entonces:




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u⃗N=N⃗

|⃗N|

u⃗N=(0.1814,0 .1979,0 .9643)

Luego:

u⃗XY=X⃗Y

|⃗XY|= u⃗N

X⃗Y=|⃗XY|∗u⃗N

Y=|⃗XY|∗u⃗N+X

Y=11.2763∗(0.1814,0 .1979,0.9643)+X

∴Y=(5.5482,14 .7087,21 .4274)

Hallando el valor de la fuerza 1 ( F1):

F⃗1=Y⃗C

F⃗1=C−Y

F⃗1=(−0.5315,12.2962,11.6632)−(5.5482,14 .7087,21 .4274)

∴⃗F1=(−5.9897 ,−2.4125,−9.7642)

2.2. Fuerza 2 (F2):




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F⃗2=u⃗N∗|F⃗2|. .. . . .. . . .(1)

Hallando u⃗N:

u⃗N=L⃗B x L⃗G

¿ L⃗B x L⃗G∨¿¿

u⃗N=(23.2648,75.6096,98 .8744)

248.3452

∴⃗ uN=(0.1837,0.5971,0 .7808)

Reemplazando en (1):

F⃗2=(−0.1837 ,−0.5971 ,−0.7808)∗16

∴⃗F2=(2.9396,9 .5537,12.4934)




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2.3. Fuerza 3 (F3):

Por dato tenemos:

Como u⃗F3=u⃗AJ , se tiene:

u⃗ AJ=A⃗J

¿⃗AJ∨¿=(−1.3333 ,−4.3333,1.3333)

¿(−1.3333 ,−4.3333,1 .3333)∨¿=(−0.2821,−0.9169,0 .2821)¿¿

u⃗F3=u⃗AJ=F⃗3

¿⃗F3∨¿=⇒ F⃗3=|F3|∗uAJ ¿

F⃗3=8∗(−0.2821,−0.9169,0 .2821)∴ F⃗3=(−2.2571 ,−7.3356,2.2571)

3. Hallando el vector resultante:

R⃗=F⃗1+ F⃗2+ F⃗3




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∴ R⃗=(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)

4. Hallando el momento de las fuerzas respecto al origen:

MOR⃗=O⃗C x F⃗1+O⃗L x F⃗2+O⃗A x F⃗3

MOR⃗=( i⃗ j⃗ k⃗

−0.5315 12.2962 11.6632−5.9897 −2.4125 −9.7642)+( i⃗ j⃗ k⃗

8.4566 16.8159 6. 09222.9396 9.5537 12.4934)+( i⃗ j⃗ k⃗

23 19 1−2.2571 −7.3356 2.2571)

MOR⃗= (−91.9251 ,−75.0487,74 .9328 )+(151.8847 ,−87.7431,31 .3598,31.3598 )+(50.2205 ,−54.1704 ,−125.8339)

∴MOR⃗=(110.1801 ,−216.9622,−19.5413)

5. Hallando el momento mínimo (M’):

M '=MO

R⃗ . R⃗¿ R⃗∨¿¿

M '=(110.1801 ,−216.9622 ,−19.5413 ) .(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)

¿(−5.3072,−0.1944,4 .9863)∨¿¿

∴M '=−87.8562

6. Calculo del eje central Q⃗:

Q⃗=R⃗ x MO

R⃗

¿ R⃗∨¿2¿

Q⃗=(−5.3072,−0.1944,4 .9863)x (110.1801 ,−216.9622 ,−19.5413 )

¿ (−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)∨¿2¿

∴Q⃗=(20.4577,8 .3984,22.1017)

7. Ecuación del Eje Central:

L :P=Q⃗+φ∗R⃗




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∴L :P=(20.4577,8.3984,22 .1017)+φ(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)

8. Paso del Torsor:

Pasodel Torsor= M '¿ R⃗∨¿¿

Pasodel Torsor= −87.8562¿(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)∨¿¿

∴Pasodel Torsor=−12.0630

9. INTEGRANTES:

BRINGAS RUMAY, Ronal Israel BUSTAMANTE RUITON, Edward BUSTAMANTE VASQUEZ, Yuri Alexander CASTOPE GONZALES, Lodar DILAS GONZALES, Jhony Alex


