7/24/2019 Trabajo No.1 Mtodos numricos
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METODOS NUMERICOS
TRABAJO COLABORATIVO 1
EULIDES ANTONIO ROJAS LNDARTECODIGO: 91523967
GELVER YESID RIVERA RAMOSCODIGO: 1.04.49.124
!EYDE "INILLA ANTONIOC#DIGO: 1.033.707.371
BYRON ESNEYDER $ANDI%O MORALES
GRU"O: 100401&95
TUTOR
MARTIN GOME' ORTI'
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BASICAS(
TECNOLOGIA E INGENIERIASE"TIEMBRE)14)2015
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INTRODUCCION
El presente documento proyecta la Unidad con 6 ejercicios propuestos, sedesarrollaran los contenidos de:
1. Exactitud,2. Precisin y Redondeo3. Mtodo de !iseccin". Mtodo de la re#la $alsa
Mtodo de %e&ton' Rap(son, Mtodo iterati)o de punto $ijo. El mtodo de !iseccinsuele recomendarse para encontrar un )alor aproximado del cero de una $uncin, ylue#o este )alor se re$ina por medio de mtodos m*s e$icaces
+os mtodos %umricos son tcnicas mediante las cuales es posi!le $ormularpro!lemas y comparten una caracterstica en com-n ue in)aria!lemente se de!ereali/ar un !uen n-mero de tediosos c*lculos aritmticos. Pueden Manejar sistemas deecuaciones #randes, no linealidades o #eomtricas complicadas, comunes en lain#eniera.
+os mtodos numricos re$uer/an la compresin de las matem*ticas, por ue
pro$undi/a en los temas ue de otro modo resultaran o!scuros, esto aumenta lacapacidad de comprensin y entendimiento en la materia.
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EJERCICIOS A DESARROLLAR
1. Desde su campo de formacin plantee y de solucin a dos ejemplos sobre lostipos de errores (error absoluto relati!o error relati!o apro"imado error portruncamiento y por redondeo# teniendo en cuenta la precisin y e"actitud de losmismos.
Error absoluto y Error Relativo
Error Absoluto = Valor Real Valor Aproximado 8846 m 8800 m = 46m Error Absoluto
Error Relativo = Error Absoluto 46 = 0,0052 Valor Real 8846
Redondeo 42.000 EA= 42.!5 42.000
E"emplo# 42.!5m EA= !5m ER = !5$run%amiento 42.!5 =
0,0046 .100=0,46
42.000EA Y ER Igual
Redondeo 500 EA = 4!0 500& = '0mER = 0
490=0,0204 .100=2,04
4!0m
$run%amiento 400 EA= 4!0 400 = !0m
ER =
90
490 0,1836 .100=18,36
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(al%ular el valor absoluto ) relativo de dondep=e y p=2.718 si p es el valor calculado
Error absoluto
Valor real e valor%al%ulado 2.718
Ea=2.718
e =2.718281828
Ea=|e2.718|=2.81828459x 104
Error relativo
Er=2.718281828
e
=0.3678423998Er=|e2.718281828|
e
=1.036x 104
Error por truncamiento y por redondeo
Hallar 5 redondeada a centsimas
5=2,23606 79
2.24cota deerror :0.005
(al%ule f(x )=x36.1x2+3.2x+1.5 en x=4.71
valor x x2 x3
6.1x2 3.2x f=(4.71 )
exacto 4.71 2,211841 104.487111 135.32301 15.072 14.2638993 cifrastruncamiento
4.71 2.21 104 134 15.0 13.5
3 cifrasredondeo
4.71 2.22 104 134 15.1 13.4
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Er=|14.263899+13.514.263899 |=0,05truncamiento
Er=
|14.263899+13.4
14.263899 |=0.06 redondeo
f(x )=x36.1x2+3.2x+1.5
f=(4.71 )=( (4.716.1 ) 4.71+3.2 ) 4.71+1.5
f=(4.71)=14.2truncamiento
f=(4.71 )=14.3redondeo
E"emplo por trun%amiento
Aproximo#
=n=1
1
n2=1+
1
4+
1
9+
1
16+
(al%ulando suma in*inita
s6=
n=1
61
n2=1+
1
4+
1
9+
1
16+
1
25+
1
36=1.491389
Valor exa%to#
=n=1
1
n2=
2
6,
Error absoluto
e6=
2
61.491389=0.153545
Error relativo
r6= e
6
=0.153545
2
6
= 0.0933=9.33 (on errores de redondeo ) trun%amiento in*eriores
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$. Construir un cuadro comparati!o de los m%todos para calcular la ra&' de unaecuacin teniendo en cuenta el n)mero de iteraciones condicionesapro"imaciones (formula# ilustr*ndolo con al menos un ejemplo.
!todos para calcular ra"#+,TODO D, -I,CCION/0onsiste en considerar un inter)alo xi, xs en el ue se #arantice ue la $uncin tiene ra/.
El se#mento se !isecta, tomando el punto de !iseccin xr como aproximacin de la ra/
!uscada.
e identi$ica lue#o en cu*l de los dos inter)alos est* la ra/.
El proceso se repite n )eces, (asta ue el punto de !iseccin x rcoincide pr*cticamente con el
)alor exacto de la ra/.
+,TODO N,0TON R23ON
Entre los mtodos de aproximaciones sucesi)as para encontrar al#unas de las races de una
ecuacon al#e!raica o tracendente, el de %e&ton'Rap(son es el ue presenta mejores
caractersticas de e$iciencia, de!ido a ue casi siempre con)er#e a la solucin y lo (ace en un
n-mero reducido de iteracines.
Este mtodo es aplica!le tanto en ecuaciones al#e!raicas como tracendentes y con l es
posi!le o!tener races complejas.
4al )e/, de las $rmulas para locali/ar races, la $rmula de %e&ton'Rap(son sea la m*s
ampliamente utili/ada. i el )alor inicial para la ra/ es xi, entonces se puede tra/ar una
tan#ente desde el punto 5xi,$xi de la cur)a. por lo com-n, el punto donde esta tan#ente cru/a
el eje x representa una aproximacin mejorada de la ra/.
Ejemplo:+olu%in#
f(x )=x+1.2x20.9x3
f' (x )=1+2.4x2.7x2
-tera%in 0#
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x1=x
0
f(x )
f' (x )=1.84
1.84+1.2 (1.84 )20.9 (1.84 )3
1+2.4 (1.84 )2.7 (1.84 )2
x1=1.84 0.2962
3.7251
x1=1.84(0.0795 )=1.84+0.08
x1=1.92
-tera%ion #
x2=x
1
f(x)
f'(x )
x2=1.92
1.92+1.2 ( 1.92 )20.9 ( 1.92 )3
1+2.4 (1.92 )2.7 (1.92 )2
x2=1.92
0.02644.3453
=1.920.0061
x2=1.91
Ep=|xr nxr vxr n |100=|1.911.92
1.91 |100=0.52
-tera%ion 2#
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x3=x
2f(x)
f'(x )
x3=1.911.91+1.2 (1.91 )
2
0.9 (1.91 )3
1+2.4 (1.91 )2.7 (1.91 )2
x3=1.91 0.02
4.27=1.91+0.0047
x3=1.915
Ep=|xr nxr v
xr n |100=|1.9151.91
1.915 |100=0.26
-tera%ion #
x3=x
2f(x)
f'(x )
x4=1,915
1.915+1.2 (1.915 )20.9 ( 1.915 )3
1+2.4 (1.915 )2.7 ( 1.915 )2
x4=1.9150.00484.3055
=1.9150.001
x4=1.914
Ep=|xr nxr vxr n |100=|1.9141.915
1.914 |100=0.05$A%SS&JORDA'
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Es una )ariacin de la eliminacin #aussiana. +a principal di$erencia consiste en ue el mtodo
de 7auss'8ordan cuando se elimina una inc#nita no slo se elimina de las ecuaciones
si#uientes sino de todas las otras ecuaciones. 9e esta $orma, el paso de eliminacin #enera una
matri/ identidad en )e/ de una matri/ trian#ular.
E"emplo#
R1
, R2
, R3[
1 4 75 7 14 4 6]
1
5
4]R25R1
[ 1 4 70 13 34
4 1 6] 1
0
4]R2( 113 ) [ 1 4 7
0 1 34
13
4 1 6] 104 ]
R3+4R
1
[
1 4 7
0 1 34
13
0 15 22
]
1
0
0
]R
3+15R
2
[
1 4 7
0 1 34
13
0 0 22413
]1
0
0
]
R3( 13224 ) [
1 4 7
0 1 34
13
0 0 1] 100]R23413 R3 [1 4 70 1 00 0 1] 100]
!4Y7"=1!4 (0 )7 (0 )=1
se o#tiene:!=1 $Y=0 $ "=0
()ODO DE $A%SS&SEIDEL
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Es similar en proceso al mtodo simple de iteracin de punto $ijo usado en la seccin .1 en la
solucin de races de una ecuacin. Recurdese ue la iteracin de punto $ijo tiene dos
pro!lemas $undamentales: l al#unas )eces no con)er#e.
E"emplo#/artiendo de x = , ) = 21
[5x+2y=1x4y=0]
+olu%in
ebemos primeramente despe"ar de la e%ua%in la in%3nita %orrespondiente.
x=0.20+0.00x40y
y=0.00+0,25x+0.00y
Apli%amos la primera itera%in partiendo dex
0=1.00y y
0=2.00:
x1=0.20+0.00 (+1.000 )0.40 ( 2.00 )=0.600
y1=0.00+0,25 (0.600 )+0.00 (2.00 )=0.15
Apli%amos la se3unda itera%in partiendo dex
1=0.600y y
0=0.15:
x1=0.20+0.00 (0.600 )0. 40(0.15 )=0.26
y1=0.00+0,25 (0.26 )+0.00 (0.15 )=0.065
+%todo de Iteracin de punto fijoEn este mtodo e necesario reacomodar la ecuacin de modo ue podamos o!tener una
ecuacin de la $orma: x ; #x, ya sea despejando una x de la ecuacin ori#inal o sumando x aam!os lados de la misma. 7r*$icamente podemos usar el mtodo de las dos cur)as
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7ra$icar $x ; x y #ra$icar #x, el punto en donde se corten se proyecta so!re el eje x y se toma
como ra/ aproximada. En este mtodo la con)er#encia se da siempre y cuando #eri$icamos ue tiene una ra/ en 51,2 asi#nando )alores ar!itrarios en la $uncin:
x3+4x210
x f(x)
2 2
1 7
0 10
1 5
2 14
Utili/aremos las si#uientes $ormulas:
xr=xa+x#
2f(xa )f(xr ) Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) |
Iteracin 1
Datos:xa=1 x#=2 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1+2
2=1.5
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1.5
f(xr )=
f(xa )f(xr )=(5 )( 2.375 )=11.8750% xr sustituye A xa
Iteracin 4
Datos:xa=1.25 x#=1.5 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1.25+1.5
2=1.375
Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.375 ) (1.25 )
(1.375 ) |=0.09090
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1.375
f(xr )=
f(xa )f(xr )=(1.7969 )( 0.1621 )=0.29120 % xr sustituye A xa
Iteracin 6
Datos:xa=1.3125 x#=1.375 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1.3125+1.375
2=1.34375
Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.3437)(1.3125 )
(1.34375 ) |=0.023219
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1.3437
f(xr )=
f(xa )f(xr )=(0.84838 )(0.350982 )=0.29776>0 % xr sustituye A xa
Iteracin 7
Datos:xa=1.34375 x#=1.375 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1.34375+1.375
2=1.359375
Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.359375) (1.34375 )
( 1.359375 ) |=0.01149425
1.359375
f(xr)=
f(xa )f(xr )=(0.350982 )(0.0964088 )=0.03383>0% xr sustituye A xa
Iteracin 8
Datos:xa=1.35937 x#=1.375 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1.35937+1.375
2=1.367185
Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.367185) (1.359375 )
(1.367185 ) |=0.0057124
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1.367185
f(xr)=
f(xa )f(xr )=(0.0964088 )(0.032355 )=0.003110 % xrsustituye A xa
Iteracin :
Datos:xa=1.36328 x#=1.367185 f(x )=x
3+4x210
Reempla/amos los datos
xr=1.36328+1.367185
2=1.365233
Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.365233)(1.36328 )
(1.365233 ) |=0.001430525
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1.365233
f(xr)=
f(xa )f(xr )=(0.0321499 )(0.000049318 )=0.000001585
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5. Usando el +%todo de la Re=la >alsa apro"imar la ra&' de ( #? @(4$(#@;6(## en el inter!alo A4 5B con a ? ;;;1
?plicamos la $rmula de la re#la $alsa
xi=f(a )#f(# )af(a )f(#)
Iteracin 1
a= 3
b=4
f(a)=19,0126
f(b)= -114,38018
a!emos ue tiene ra/ poruef(a)*f(b)0
@nter)alo [x1;a] =[3,1425 ; 3]
Reempla/amos
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x 2=(11,5136 )3(19,0126 ) 3 ,1425
(11,5136)19,0126= 3,36128
Iteracin 4
a= 3
b=x2=3,36128
f(a)=19,0126
f(b)= -6,03547
f (a)*f(b)0
@nter)alo[x3 ; a] =[3,27422 ; 3]
Reempla/amos
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19/27
x 4=(1,91417 ) 3(19,0126 )3 , 27422
(1,91417 )19,0126= 3,30491
Iteracin 6
a= 3
b=x4=3,30491
f (a)=19,0126
f (b)= -0,73424
f (a)*f(b)0
@nter)alo[x5 ; a] =[3,29357 ; 3]
Reempla/amos
x 6=(0,26344 ) 3(19,0126 )3,29357
( 0,26344 )19,0126= 3,29769
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Iteracin 8
a= 3
b=x6=3,29769
f(a)=19,0126
f(b)= -0,09642
f (a)*f(b)
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Iteracin 1
0on el )alor inicial dado se reempla/a en la ecuacin,
Iteracin $
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Iteracin 4
Iteracin 5
Respuesta
+ue#o de reali/ar las " iteraciones o!teni como resultado
+a ra/ es
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7. Usar el m%todo iterati!o de punto fijo para apro"imar la ra&' de
f(x )=x2
4xex
, comen&adocon x0=0,con5iteraciones .
+olu%in#
x24xex=0
x2ex=4x
x=x2
ex
4
g(x)=x
2ex
4
g (x )=1
4( 2xex )x 0=0
x1=g(x0 )=
e0
4
=1
4
=0.25x1=0.25
0.252e0.25
x2=g (x1)=
x2=0.179075195
0.1790751952e0.179075195
x3=g (x2 )=
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x3=
0.0320679250,836043034
=0.200993776
x3=0.200993776
0.2009937762e0.200993776
x4=g (x3 )=
x4=
0.0403984980,8179175224
=0.194379756
x4
=0.194379756
0.1943797562e0.194379756
x5=g (x4)=
x5=0.0377834890,823345174
4=0.196390421
x5=0.196390421
0.1963904212
e0.196390421
x6=g (x5 )=
x6=
0.0385691970,8216913664
=0.195780542
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x6=0.195780541
Aproxima%in a la ra Valor aproximado
0
'0.25
'0.!05!5 !.67
'0.200!!6 0.!7
'0.!4!56 80.87
'!6!042 .027
'0.!580542 6.27
Valores aproximados
1|0.179075195+0.250.179075195 |=0.39606 39.6
2|0.200993776+0.1790751950.200993776 |=0.10905110.9
3|0.194379756+0.2009937760.194379756 |=0.808706 80.87
4|0.196390421+0.1943797560.190390421 |=0.01023 1.02
5|0.195780542+0.1963904210.195780542 |=0.1672216.72
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CONCUIEN,
El curso de Mtodos %umricos es la !ase $undamental para uien uiera ue
necesite (erramientas para resol)er operaciones, las cuales se conocen uepueden ser complicadas pero no uiere decir ue sean imposi!les de solucionar,y es a( donde se aplican los mtodos %umricos, y $acilitan el tra!ajo de cierta
manera.
+a aplicacin de los mtodos %umricos son muy )ariadas y necesarias,
especialmente para las in#enieras por lo tanto se puede concluir ue esinteresante su estudio y su manejo, el (ec(o de ue se tomen tan en cuenta loserrores, no nos acerca a la per$eccin pero al menos nos da una idea y de talmanera tomar decisiones in$ormadas y por lo tanto mejorarlas.
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?l reali/ar estos ejercicios se pone en pr*ctica los temas tratados re$erentes a
error a!soluto, error relati)o y los di$erentes mtodos iterati)os ue permiten la!-sueda de races, en este caso mtodo de !iseccin, %e&ton A Rap(son,
mtodo de la re#la $alsa entre otros
Bemos a$ian/ado nuestros conocimientos a la (ora de aplicar conceptos como
errores relati)os, a!solutos, y di$erentes mtodos para su resolucin.
RECERE%0@? D@D+@7R?C@0?
Duc(eli 0(*)e/, 0. 2F13. Mdulo de Mtodos %umricos. Uni)ersidad %acional?!ierta y a 9istancia, U%?9 A 0olom!ia. Pasto.
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