GeometrGeometrííaa
TrigonometrTrigonometríía en el planoa en el plano
Prof. Lic. Nicolás Sánchez AcevedoGeometría
ÁÁngulos orientados y sistemas de medicingulos orientados y sistemas de medicióón de n de angulosangulos..
Razones trigonometricas bRazones trigonometricas báásicas y reciprocas en el triangulo sicas y reciprocas en el triangulo
rectrectáángulo.ngulo.
Razones trigonometricas de Razones trigonometricas de áángulos notables.ngulos notables.
La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones
trigonometricas.trigonometricas.
Identidades trigonometricas.Identidades trigonometricas.
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ContenidosContenidos
Geometría
ObjetivosObjetivos
Reconocer Reconocer áángulos positivos y negativos.ngulos positivos y negativos.
Reconocer las razones trigonomReconocer las razones trigonoméétricas y sus reciprocas.tricas y sus reciprocas.
Calcular razones trigonomCalcular razones trigonoméétricas de tricas de áángulos notables.ngulos notables.
Reconocer y demostrar identidades trigonomReconocer y demostrar identidades trigonoméétricas.tricas.
Resolver ecuaciones trigonomResolver ecuaciones trigonoméétricas.tricas.
Geometría 3Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
La palabra trigonometrLa palabra trigonometríía proviene del griego y significa a proviene del griego y significa
etimoletimolóógicamente medida de los trigicamente medida de los triáángulos (ngulos (tritri = tri= triáángulos; ngulos; gonogono
= = áángulo; ngulo; metrmetrííaa = medici= medicióón).n).
Esta tiene por objeto la resoluciEsta tiene por objeto la resolucióón de trin de triáángulos rectilngulos rectilííneos y neos y
esfesfééricos por mricos por méétodos algebraicos, y por consiguiente, con mayor todos algebraicos, y por consiguiente, con mayor
aproximaciaproximacióón que las que ofrecen las construcciones geomn que las que ofrecen las construcciones geoméétricas tricas
o gro grááficas. La dificultad de medir los arcos y ficas. La dificultad de medir los arcos y áángulos y operar con ngulos y operar con
ellos en los cellos en los cáálculos necesarios, se salva utilizando ciertas lculos necesarios, se salva utilizando ciertas
relaciones entre magnitudes rectilrelaciones entre magnitudes rectilííneas, estas relaciones son neas, estas relaciones son
denominadas denominadas razones trigonomrazones trigonoméétricas.tricas.
El desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra eEl desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra en n
la resolucila resolucióón de problemas, tanto prn de problemas, tanto práácticos como tecticos como teóóricos, que ricos, que
involucren triinvolucren triáángulos en la que uno de sus ngulos en la que uno de sus áángulos sea recto (ngulos sea recto (
9090°°). ).
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DEFINICIDEFINICIÓÓN 1N 1::
Equivalencia entre el grado y el radiEquivalencia entre el grado y el radiáánn: es conveniente conocer la : es conveniente conocer la
equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del
áángulo en cuestingulo en cuestióón, para ello partimos del valor de la n, para ello partimos del valor de la
circunferencia expresada en funcicircunferencia expresada en funcióón de ambas unidades.n de ambas unidades.
C = 360C = 360°° 360360°° = 2= 2 radiradiáánn
C = 2C = 2
5
21
360 180radián
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De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de
un radiun radiáán medido en grados:n medido en grados:
6
1801 57,3radián
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Ejemplos:Ejemplos:
Expresa en radian o grados segExpresa en radian o grados segúún corresponda:n corresponda:
7
1) 150
2) 540
3)8
74)
45) 3,6
5) 6,5
rad
rad
rad
rad
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8
360 150
2360 2 150
2 150
360300
3605
6
x
x
x
x
x
EJEMPLO 1 EJEMPLO 3
180
8
1808
180
845
222, 5
22, 5
x
x
x
x
x
x
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DEFINICIDEFINICIÓÓN 2N 2::
Dado un triangulo rectDado un triangulo rectáángulo ABC, con ngulo ABC, con áángulo recto en C, donde ngulo recto en C, donde
y y son los catetos correspondientes yy y son los catetos correspondientes y
es la hipotenusa, dados estos elementos podemos obes la hipotenusa, dados estos elementos podemos obtener tener
las siguientes relaciones entre los lados del trilas siguientes relaciones entre los lados del triáángulo y sus ngulo y sus
áángulos agudos; estas relaciones se denominan ngulos agudos; estas relaciones se denominan razones razones
trigonomtrigonoméétricas.tricas.
9
AC BC
AB
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RAZONES TRIGONOMRAZONES TRIGONOMÉÉTRICAS EN EL TRITRICAS EN EL TRIÁÁNGULO NGULO
RECTANGULORECTANGULO
En cualquier En cualquier ABC rectABC rectáángulo en C, como el de la figura ngulo en C, como el de la figura
tenemos:tenemos:
10
Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas
a
c
b
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11
( )
( )
tan( )
cateto opuesto aSen
hipotenusa c
cateto adyacente bCos
hipotenusa c
cateto opuesto a
cateto adyacente b
( )
( )
( )
cateto adyacente bC tg
cateto opuesto a
hipotenusa cSec
cateto adyacente b
hipotenusa cC Sec
cateto opuesto a
c
a
b
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EjercicioEjercicio::
Determine las razones trigonomDetermine las razones trigonoméétricas para el tricas para el áángulo ngulo ââ
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( )
( )
tan( )
bSen
c
aCos
c
b
a
( )
( )
( )
cCotg
b
cSec
a
aCoSec
b
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Del triDel triáángulo anterior se puede mostrar que ambos ngulo anterior se puede mostrar que ambos áángulos ngulos
son complementarios, ya que trabajamos en un trison complementarios, ya que trabajamos en un triáángulo ngulo
rectrectáángulo.ngulo.
Se tiene que:Se tiene que:
13
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) sec( ) ( ) sec( )
sec( ) ( ) sec( ) ( )
a a aSen Cos Sen Cos
c c c
b b bCos Sen Cos Sen
c c c
a a atg Cotg tg Cotg
b b b
c c cSec Co Sec Co
b b b
c c cCo Sec Co Sec
a a a
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Ejercicio 1Ejercicio 1::
Dado el siguiente triDado el siguiente triáángulo rectngulo rectáángulo en C, demostrar las ngulo en C, demostrar las
igualdades anteriores. igualdades anteriores.
14
A
B
C
6
3
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EJERCICIO 2EJERCICIO 2::
En el siguiente triEn el siguiente triáángulo ABC, rectngulo ABC, rectáángulo en C, ngulo en C,
determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones
es verdaderaes verdadera
15
A
B
C
8
4
3
32sec
33
2
3cos
2
1sin
civ
tgiii
ii
i
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Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son inversas de otras en la relaciinversas de otras en la relacióón del triangulo rectn del triangulo rectáángulo y sus ngulo y sus áángulos agudos, ahora demostraremos y veremos la ngulos agudos, ahora demostraremos y veremos la reciprocidad de las razones trigonomreciprocidad de las razones trigonoméétricas: tricas:
Dado el siguiente triangulo rectDado el siguiente triangulo rectáángulo en C se cumple ngulo en C se cumple
siempre que:siempre que:
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11) ( )
sec( )
12) ( )
ec( )
13) ( )
( )
SenC
CosS
tgC tg
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Por demostrar (1)
1) 1) El seno y la cosecante son funciones recEl seno y la cosecante son funciones recííprocasprocas
( ) ( )BC AB
Sen Co SecAB BC
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