Preguntas Propuestas
ANUAL
TRIGONOMETRÍA
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Trigonometría
. . .
2
Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
1. Se coloca un telescopio topográfico sobre un tripode que esta 5 pies por arriba del nivel del suelo, mide una elevación de qº sobre la hori-zontal a lo alto de un árbol que está alejado 12 pies. ¿Cuál es la altura del árbol?
(x+8) pies(x+8) pies
12 pies
x pies
5 pies
θ
A) 57 pies B) 15 pies C) 10 piesD) 13 pies E) 85 pies
2. En el gráfico, si sen senA B= 13
,
calcule cosB · secA+5tanA
3 CA
B
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3
3. En un triángulo ABC recto en B, calcule cot2C – sec2A.
c
ba
AB
C
A) – 1 B) 1 C) 2D) – 2 E) 0
4. En el gráfico, calcule tanq+cot2q+cot(2q+a).
θ
θα
13 10 2
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
5. Un peso de cables atados a ambos extremos
de una viga horizontal, se aprecia en la figura.
Si tanα = 12
y cotb=3, ¿cuál es la longitud a la
que está el peso con respecto a la viga?
90 cm
2 cm
peso
α β
A) 12 cmB) 3 cmC) 11 cmD) 14 cmE) 20 cm
6. Si cosθ =2129
, q es un ángulo agudo.
calcule 292
22
sen ·cotθ θ
+
A) 5 B) 3 29 C) 2D) 7 E) 10
Trigonometría
3
Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
7. En el gráfico se ilustra una grúa con un contra-peso, calcule la distancia entre los puntos A y B.
127°127° 10 u
BA
10 u
A) 20 u
B) 8 5 u
C) 32 u
D) 10 2
E) 6 10 u
8. Del gráfico, calcule cota, siendo ABP un trián-gulo isósceles y P es punto medio de AC.
A
CBα
120ºP
A) 2 3
B) 32
C) 3
3
D) 3 3
E) 3
9. El área de una región triangular ABC, recto en
B es 8 3 2u . Si tanC = 3, calcule la longitud de
la hipotenusa.
A) 16 B) 12 C) 8
D) 10 E) 8 3
10. En el gráfico senC=0,8 y AM=24.
Calcule BM – MC.
B
C
M
A
A) 7 B) 14 C) 12D) 6 E) 21
11. En el gráfico EFGH es un cuadrado, calcule el valor de la expresión
cscx+senx
E H
F G105°
x
A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5D) 5,5 E) 6,5
Trigonometría
. . .
4
12. Si sec ºcsc º
cos4530
= θ y BC=CM,
calcule 2 1+( )tanα.
θ θ αC MA
B
A) 2
B) 3
C) 2 1−
D) 2
E) 1
Razones trigonométricas de un ángulo agudo III
13. Si sen(2xº+12º) · csc52º=1 y
sen(3yº+10º)=cos(2yº+35º)
calcule x – y.
A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14
14. Calcule A y B, a partir de las siguientes igual-
dades
tan(3A – 35º)=cot(90º – B) (I)
2B – A=15º (II)
A) 5º; 10º
B) 1; 8
C) 14; 13
D) 15º; 15º
E) 17º; 16º
15. Se sabe que q y a son complementarios, ade-más se cumple 16senq=seca.
Calcule
15 ·tan cscθ θ+
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
16. Siendo x un ángulo agudo, calcule cos(x – 5º),
si sen º cos ºtan º·tan º
sen35 55
2 40 50+ = x
A) 2
2 B) 1
2 C) cos50º
D) 32
E) cos40º
17. Calcule el valor de la expresión
sen º·sen º·sec ºcos º·cos º·sen º
1 10 8980 60 30
A) 1 B) 3
3 C) 4 3
D) 4 33
E) 4
18. Al multiplicar las 5 razones trigonométricas de un ángulo agudo se obtiene el valor de 3. Calcule la mayor tangente que se puede con-seguir.
A) 2 2
B) 3
C) 13
D) 24
E) 3 2
Trigonometría
5
Resolución de triángulos rectángulos I
19. Calcule CM en función de q, si 4(BC)=5(CD).
A D
C
M
B
9
θ
A) 4sen2q
B) 5sen2q
C) 4sen3q
D) 4cos2q
E) 5 · cos2q
20. Del gráfico, calcule AM en término de q y d.
A) dsen2qB) d · cos2qC) d · senq
d
A C
B
M
θ
θ
D) d · cosqE) d · senq · cosq
21. En el gráfico, calcule QR+PM.
B
M
CPRA
Qa
θ
A) 2asenqB) 2acosqC) a(senq+cosq)D) a(senq+secq)E) a(cosq+cscq)
22. En el gráfico, calcule OMOA
.
A) cos10q
θθθ
θ
1
2
3
10
A
B
C
D
M
O
B) sen10qC) sen5q· cos5qD) cos9qE) sen9q
23. En el gráfico, calcule EHMD
, si AM=a.
D CA
MH
BE
θ
b
A) a bb
− cosθ
B) a ba
senθ −
C) b a
a+ cosθ
D) b a
a− ·cosθ
E) b aa− sencos
θθ
Trigonometría
. . .
6
24. Si AD=MN, calcule cotq · cosq – senq.
D C
A
M
N
B
θ
A) 1/2 B) 1/3 C) 2D) 3 E) 1
Resolución de triángulos rectángulos II
25. Del gráfico, calcule x.
B
F
M
A x Cθ
30°
2
A) 8cotqB) 8cscqC) 4cotqD) 4cscqE) 8senq
26. En el gráfico, calcule CD.
A D
B
1
C
α
α
A) cota
B) csca · cota
C) cosa · cota
D) csca· cota· cosa
E) seca · tana · sena
27. En el triángulo ABC, recto en B, calcule BD.
A D C
B
b
α θ
A) bcosa · cscq
B) bsena · cscq
C) b · sena·senq
D) b · cosa· secq
E) b · sena· senq
28. En el gráfico AC=CD, calcule x.
B
M P
DCA
x
θ
2n
A) ncscq
B) ncotq
C) n
D) ntanq
E) 2n
Trigonometría
7
Claves
01 - C
02 - B
03 - A
04 - C
05 - E
06 - D
07 - B
08 - D
09 - C
10 - B
11 - A
12 - E
13 - B
14 - E
15 - C
16 - D
17 - E
18 - A
19 - B
20 - E
21 - C
22 - A
23 - D
24 - E
25 - B
26 - D
27 - A
28 - C
29 - C
30 - E
29. En el triángulo ABC recto en B, calcule AB.
A P C
B
1
50°
60°
A) csc10º · sec50º
B) csc10º ·zcsc50º
C) csc50º · sen80º
D) sen80º · sec50º
E) sen50º · sen10º
30. En el gráfico, calcule AC en términos de a y q
B
CA
M
2
180° – 2θ
αα
ββ
A) 2cosq · cotaB) 2senq · cotaC) 2csca · tanqD) 2 · tana · cosqE) 2senq · csca
Trigonometría
. . .
8
Resolución de triángulos rectángulos III
1. Calcule el perímetro de la región sombreada.
α6
α
A) 6(seca+1)B) 2(seca+3)C) 3(seca+2)D) 6(tana+1)E) 6(csca+1)
2. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.
3
1θ
A) 3tan2qB) 3sec2qC) 3cotqcscqD) 3cot2qE) 3tanqsecq
3. Si AB=2, calcule MN en términos de q.
M CN
A Bθ
A) 2cot2q B) 2csc2q C) 2tan2qD) 2sec2q E) 2tanq
4. Calcule x en términos de q.
5
2
θ
x
A) 5 – 2cotq B) 5+2tanq C) 5+2cotqD) 5 – 2tanq E) 5 – tan2q
5. De acuerdo al gráfico la luz se proyecta por medio de un espejo a la parte más elevada de un árbol. Calcule la tanq.
A) 7
B) 32
C) 17
θθ 21
0 u
50 u 40 u
D) 23
E) 73
6. En el gráfico. Si AB=AE, calcule tanb en térmi-nos del ángulo q.
D CE
A B
θ β
A) secq+tanq B) secq – tanq C) tanq – secqD) secq –1 E) tanq –1
. . .
Trigonometría
9
Introducción a la geometría analítica I
7. En un triángulo equilátero ABC, halle la suma de las coordenadas de B.
A) 2 3 1−( )B) 3 3 1−( )C) 2 3 1+( )
B
AO– 4 X
Y
D) 3 3 1+( )E) 3 1−
UNMSM 2006 - II
8. En el gráfico, las coordenadas del punto P son 3 3;( ) y las del punto Q son (3; 3). ¿Cuántos
grados mide el ángulo POQ?
Q
P
O X
Y
A) 10º B) 30º C) 22,5ºD) 12º E) 15º
UNMSM 1997
9. Del gráfico, calcule tana+tanb.
B(8; 3)
C(28; – 7)
(4; 0)Aαβ X
Y
A) 718
B) 43
C) 2524
D) 724
E) 916
10. Del gráfico, calcule a+b+c si ABCD es un cua-drado.
B (0; 7)
C (a; b)
A (– 4; 4)
D (c; 0) X
Y
A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 8
11. Encuentre los puntos (x; 5) cuya distancia al punto (– 2; 3) es 20.
A) (– 6; 5), (1; 5)B) (– 6; 5), (2; 5)C) (– 3; 5), (2; 5)D) (– 3; 5), (1; 5)E) (– 2; 5), (4; 5)
12. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.
B(4; – 5)
C
A(– 2; 3)
X
Y
37º
A) 20 uB) 21 uC) 22 uD) 23 uE) 24 u
Trigonometría
. . .
10
Introducción a la geometría analítica II
13. Del gráfico, calcule b – a.
C(4; 6)
B(4; – 4)A(– 4; 2)
P(a; b)
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1
14. Calcule la suma de coordenadas del punto Msi AB=MN.
N(2; – 6)θθ
M
A
B(– 4; 0)X
Y
A) – 2 B) – 3 C) – 5D) – 4 E) – 6
15. Si AM=MC y 2(PM)=BP, calcule el ángulo q.
C(7; 1)A(– 3; – 2)
θ
M
P
B(2; 7)
X
Y
A) 15º B) 30º C) 37ºD) 45º E) 60º
16. Si OM=MB, ON=NC y G(a; b) el baricentro del
triángulo OBC. Calcule ab
.
M(3; 6)
B
O
C
N(4; – 5)
X
Y
A) 17
B) 5 C) 7
D) 6 E) 13
17. Calcule las coordenadas del baricentro del ABC si OC=AO=OB.
B
O
C
A(3; – 6)
X
Y
A) (1; 2) B) (2; 1) C) (6; 5)D) (2; 3) E) (3; 2)
18. El baricentro de un triángulo es el punto (1; 4) y
el punto medio de uno de sus lados es 12
32
; .
Determine las coordenadas del vértice opues-
to a dicho lado.
A) (2; 9) B) (1; 3) C) (2; 8)
D) 32
112
;
E) (–1; – 2)
. . .
Trigonometría
11
Ángulos en posición normal I
19. Del gráfico, calcule tan2q+2.
45ºθ
6
M(4; 0)X
Y
A) 10 B) 12 C) 7D) 9 E) 11
20. Sea q un ángulo en posición estándar, pertene-ciente al tercer cuadrante, cuyo lado final pasa por los puntos A(– 4; x –1) y B(x+1; – 3), calcule el valor de x.
A) – 4B) 0C) – 2D) − 13E) 13
21. Del gráfico, calcule secq.
θ
3
(n; 2)
X
Y
A) − 53
B) − 32
C) − 32
5
D) − 35
5 E) − 2
22. Calcule tana+cotb.
A(– 4; 1)
X
Y
β
α
A) 12
B) 0 C) − 12
D) 154
E) −154
23. Del gráfico, calcule 7tanq si AB = 5 2.
X
B
A45º
37º
Y
θ
A) – 2 B) –1 C) – 3D) – 4 E) –1/2
24. En el gráfico, calcule cosφsenφ si OA=OB.
X
B
A
O30º
Y
φ
A) − 27
B) − 2 27
C) − 27
D) − 2 37
E) − 3 37
Trigonometría
. . .
12
Ángulos en posición normal II
25. Si sen tanα α < 0, determine el signo resultan-te de las expresiones.I. cosa · tanaII. cota – cscaIII. cosa+cota
A) –; –; +B) +; –; –C) +; –; +D) –; +; –E) –; –; –
26. Si q ∈IIIC, además cos .θ = − 13
Calcule 22
tancsc
.θ θ+
A) 133
B) 5 C) 1
D) 134
E) –1
27. Si tan ,2 19
β β= ∈IIIC, calcule 10 sen cot .β β−
A) 1 B) − 13
C) − 14
D) 3 E) – 4
28. De la siguiente igualdad9(senq)2+3(senq) – 2=0, q∈IIC.Calcule cscq.
A) 32
B) 3 C) 52
D) 35
E) 2
29. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.I. Todo ángulo del IC es positivo.II. Si cosb=2/3 → b∈ IC ∨ IVC.III. Si a es negativo → sena es negativo.
A) FFV B) VVV C) FVFD) VVF E) FFF
30. Del gráfico, determine los cuadrantes a los que pertenecen a y b, respectivamente.
X
Y
α
β
A) III, III B) II, IV C) II, IIID) IV, III E) IV, IV
Claves
01 - A
02 - E
03 - C
04 - D
05 - B
06 - B
07 - A
08 - E
09 - C
10 - A
11 - B
12 - E
13 - C
14 - D
15 - D
16 - C
17 - B
18 - A
19 - E
20 - D
21 - D
22 - B
23 - C
24 - D
25 - B
26 - D
27 - B
28 - B
29 - C
30 - A
Trigonometría
. . .
13
Ángulos en posición normal III
1. Determine cuántos ángulos cuadrantales
existen entre – 541º y 181º.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
2. Calcule el valor de la siguiente expresión:
2 1 2 270 180
1 2 22
2
2
2
( sen º sec º)
(cos ) csc sec
− +
+ +
π π π
A) 32
B) 2 C) 1
D) 85
E) 43
3. Si Kn=n,
calcule sen( º ) cos( º )csc( º ) tan( º )
90 9090 90
1 2
3 4
K KK K
−+
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 2
4. Si cos ; º º,34
34
0 901 2x
x
=
< </
calcule sen(2x+10º)+cos(4x+20º)+cot(6x+30º)
A) – 1 B) 0 C) 1
D) 2 E) – 2
5. Si q y α son ángulos cuadrantales positivos
y menores que una vuelta, que cumplen
tanq=senα+1. Calcule q+α.
A) 360º
B) 270º
C) 360º
D) 720º
E) 450º
6. Del gráfico
P(– 2; 3)Y
Xα
β
calcule
cos( ) (sen cos )sen
α β α βα β
− + +−
13 4
A) – 1 B) 0 C) 1D) 2 E) – 2
Identidades trigonométricas fundamentales I
7. Simplifique la siguiente expresión:
11
− ++ −
cos sensec tan
θ θθ θ
A) cscq B) cosq C) secqD) senq E) cos2q
8. De la siguiente identidad,
cot coscsc
sec ,θ θθ
θ++
=1
n
calcule el valor de n.
A) – 1 B) 1 C) – 2D) 2 E) 1/2
9. Si sen2q – 1=2senq,calcule sen2q+csc2q
A) 8 B) 4 C) 2D) 10 E) 6
10. Reduzca la siguiente expresión:
(sen ) (sec )
(cos ) (csc )(cot )
x x
x xx
− −
− −−⋅
⋅
⋅
1 1
1 12
A) tan2x B) cot2x C) 1D) secx · cscx E) cotx
Trigonometría
14
11. Si sec tansec
,θ θ
θ− + =1 n
calcule senq – cosq
A) 1 – n B) n+1 C) n – 1D) n – 2 E) 2 – n
12. Si tan2x+cot2x=2 y x pertenece al segundo
cuadrante, halle el valor de la expresión
tan cot
cot tan cot
81 81
21 7 64x x
x x x
+ ++ +
A) – 4 B) 4 C) 2
D) – 2 E) – 6
UNMSM 2004 - II
Identidades trigonométricas fundamentales II
13. Reduzca la siguiente expresión:
sec coscsc sen
x xx x
−−
3
A) cotx B) tanx C) secxD) cscx E) 1
14. Exprese A = + ⋅+
1 2cos cscsen cos
α αα α
en función de tanα.
A) 1+tan2α
B) 11−
tanα
C) 1 – tan2α
D) (1+tanα)2
E) 112+
tan α
UNMSM 2004 - I
15. Si sectan
,2 2
1θθ−+
= n
Calcule 1
sec tansec
θ θθ
−−
A) n+1 B) – n C) n – 1
D) 2n E) 1 – n
16. Sabiendo que α es un ángulo agudo, el cual
satisface la ecuación cotα +cscα=5, determine
el valor de la expresión 24tanα+26senα.
A) 10 B) 20 C) 15
D) 5/12 E) 5/13
17. Simplifique la expresión
1 2 1 1 1 2+ − − ⋅{ }− − − −(sec (tan ) tan (sec ) ) sen (cos )x x x x x x
A) 2 B) – 1 C) 1
D) – 2 E) 2– 1
UNMSM 2007 - II
18. Si cosq·cotq+2senq=3, entonces el valor de
sen2q+csc2q es
A) 11 B) 8 C) 5
D) 9 E) 7
UNMSM 2008 - II
Identidades trigonométricas fundamentales III
19. Si sec2q+csc2q=4,
calcule sen6q+cos6q
A) 14
B) 12
C) 18
D) 116
E) 74
Trigonometría
. . .
15
20. Calcule el equivalente de la siguiente expresión:
sec csc tansec csc cot
α α αα α α⋅ −⋅ −
+1
A) sec2αB) csc2αC) sen2α+1D) 2E) cos2α+1
21. Si 3+4cotq=5cscq,calcule tanq.
A) 4/3 B) 2 C) 3/4D) 3/8 E) 1/2
22. Reduzca la siguiente expresión:
sen8q – (sen4q – cos4q)(1 – 2sen2qcos2q)
A) sen8qB) – cos8qC) sen4qD) cos8qE) – sen8q
23. Simplifique la siguiente expresión:
sec csc (sec csc )
sec csc
4 4 2 2 2
2 2θ θ θ θ
θ θ− −
+
A) 12
B) sen2q C) 4
D) cos2q E) 2
24. Elimine la variable q en
secq+cscq=a y tanq+cotq=b,
A) (b – 1)2=a2 – 1
B) (b+1)2=a2+1
C) (b+1)2=1 – a2
D) (b2+1)2=a2
E) (b – 1)2=a2+1
Identidades trigonométricas de
ángulos compuestos I
25. Reduzca la siguiente expresión:
sen( ) sen( )cos( ) cos( )
A B A BA B A B+ − −− − +
A) tanA
B) tanB
C) cotB
D) cotA
E) tanA+tanB
26. Simplifique la siguiente expresión:
cos( ) tan cos sencos sen
x y y y xx y
+ +
A) coty
B) – tanx
C) tany
D) cotx
E) – coty
27. Si A+B=30º y A – B=16º,
calcule el valor aproximado de la expresión
sen2Acos2B – sen2Bcos2A
A) 725
B) 750
C) 524
D) 1650
E) 350
28. Si
a b a b
x y
⊗ = + −+ =
( )º
2 160
calcule (cos sen ) (sen cos )x y x y⊗ ⊗ ⊗
A) 0 B) – 1 C) 1D) 3 E) 2
Trigonometría
16
29. Del gráfico, calcule senq.
θ
12
16 5
A) 365
B) 6265
C) 563
D) 6365
E) 760
30. Calcule el valor aproximado de la expresión
sen ºsen º
291
1625
⋅+
A) 2
B) 2 2 C) 2
2
D) 17 250
E) 31 2
2
Claves
01 - C
02 - D
03 - A
04 - B
05 - E
06 - D
07 - B
08 - A
09 - E
10 - C
11 - A
12 - D
13 - B
14 - E
15 - A
16 - B
17 - C
18 - E
19 - A
20 - B
21 - C
22 - D
23 - C
24 - B
25 - D
26 - A
27 - B
28 - E
29 - D
30 - C
Trigonometría
. . .
17
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II
1. Si tan(45º+q), calcule sec2q.
A) 152
B) 43
C) 137
D) 3 E) 139
2. Calcule el valor de la expresión.
34
134
53+
−
−( )tan
tan·tan º
θ
θθ
A) 1/2 B) – 1 C) 2D) 1 E) – 1/2
3. Si tanθ = −+
nn
11
, calcule tan(45º – q).
A) n B) 2n C) 1/nD) 1– 2n E) 1/2n
4. Si cota – cotq=5 y tan tanθ α = 12
,
calcule tan(q – a).
A) 53
B) 14
C) 23
D) 32
E) 52
5. Si tan θ α+( ) = 15
y tan θ α−( ) = 14
,
calcule tan2a.
A) 121
B) 919
C) −121
D) −110
E) −914
6. Del gráfico, calcule el valor de x.
2
37º
5
x
A) 87/14 B) 83/14 C) 87/5D) 83/4 E) 77/14
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III
7. De la siguiente identidadtan tantan tan
sensen
,5 35 3x xx x
AxBx
+−
=( )( )
donde A > B > 0. Calcule A+B.
A) 12 B) 8 C) 9D) 6 E) 10
8. Si sen(A+B)=3cosAcosB,
calcule sec tantan tan
2 21A BA B− −−
.
A) 2 B) 3 C) 1/3D) – 3 E) – 1/3
9. Calcule el valor de la siguiente expresiónsen º
cos ºcos ºsen º
cos ºcos ºtan º
210 8
212 10
12+ −
A) 17
B) 13
C) − 17
D) − 34
E) −13
10. Calcule el equivalente de la siguiente expresiónsen sen sen
senx y x y x
y+( ) −( ) − 2
A) – cosy B) cosy C) – senyD) – coty E) seny
Trigonometría
18
11. Simplifique la siguiente expresión
sen sen sensen cos
2 2 2
2α θ α θ
α θ− + +( )
A) sen(a – q)B) senacosqC) senqcosaD) sen(a+q)E) senasenq
12. Si tan(2q+a)=4, calculetanq+tan(q+a)+4tanqtan(q+a)
A) 5 B) 3 C) 2D) 4 E) 1
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV
13. Calcule el valor de la siguiente expresión3 10 4 10
27cos º sen º
sen º−
A) 5 B) 10 C) – 5D) 1/5 E) –10
14. Calcule el valor de la siguiente expresión(sen20º+cos20º)sec25º
A) 2
2B) 2 C) 2 2
D) 2 E) 12
15. Calcule el máximo valor de la expresión
26
sen cosx x+
+
π
A) 5 B) 7 C) 1D) 2 E) 3
16. En un triángulo ABC, se cumple quetan tan tan
,A B C
6 3 2= =
calcule tan2A.
A) 12 B) 11/9 C) 11D) 11/4 E) 10
17. Reduzca la siguiente expresióncot º cot º cot º
cot º tan º30 37 23
30 53+ +
A) cot13º B) cot21º C) cot33ºD) cot23º E) cot18º
18. Si A+B+C=60º, calculetan tan tan
tan tan3 3 3
3 3A B C
A B+ +
A) – tan3C B) tan23A C) tan3CD) tan3B E) – tan3A
Reducción al primer cuadrante I
19. Calcule el valor de la expresiónsen120º+cos240º+tan150º+sen150º
A) 36
B) 5 36
C) 32
D) 0 E) 1
20. Si x+2y+3z=180º
calcule sen
sentantan
2 3 23
y zx
x yz
+( ) − +( ).
A) 2 B) 0 C) – 2D) –1 E) 1
21. Simplifique la siguiente expresiónsen sen
tanπ π
π+( ) −( )
−( )x x
x2
A) – sen2xB) senxcosxC) – cos2xD) – senxcosxE) senx
22. Reduzca la siguiente expresióncos20º+cos40º+cos60º+...+cos140º+cos160º
+cos180º
A) 2 B) –1 C) 0D) 1 E) 1/2
Trigonometría
. . .
19
23. Se cumple que a+b=300º, el valor de
sen sen sen ºsen2 2 12014
α β α β− + −( ) − es
A) 14
B) 12
C) −14
D) −12
E) 0
24. Del gráfico, calcule tanq.
37º
θ
X
Y
A) −34
B) 43
C) − 43
D) −23
E) 34
Reducción al primer cuadrante II
25. Simplifique la expresióncos º csc º
sen º tan º180 270
150 225−( ) +( )θ θ
A) 12
B) 32
C) 3
D) 2 E) 1
26. Si cos50º=n, calculecos º
sec ºcsc º130
310 220
A) – n3 B) n– 3 C) n3
D) – n– 3 E) n–1
27. Si tan ºcsc ºcos º
90240210
+( ) =θ ,
calcule tanq.
A) 34
B) −12
C) −43
D) 43
E) −34
28. Calcule el equivalente de la siguiente expresión
cot cot
tan tan
2 3232
π α π α
π α π α
+( ) −
+( ) −
A) – tan2a B) cota C) tanaD) cot3a E) – cota
29. Si a+q=90º, calcule sen(2a+q)csc(2q+a)cotq.
A) 1/2 B) –1/2 C) 1D) 2 E) –1
30. Si
cos
cot,
32
2
π θ
π θ
−
+
= n
calcule sen2q.
A) 1– n2
B) n2
C) n2 –1D) 2 – n2
E) – n2
Claves
01 - E
02 - D
03 - C
04 - A
05 - C
06 - A
07 - E
08 - B
09 - C
10 - C
11 - D
12 - D
13 - A
14 - B
15 - B
16 - C
17 - D
18 - C
19 - A
20 - A
21 - D
22 - B
23 - C
24 - D
25 - D
26 - C
27 - E
28 - B
29 - C
30 - A
Trigonometría
. . .
20
Reducción al primer cuadrante III
1. Simplifique la siguiente expresión
sen( º ) sen( º )
sen
720 1802
+ − +θ θθ
A) 2cscq B) 2senq C) 2secqD) 2cosq E) 2sec2q
2. Reduzca la siguiente expresión
sen( )sensen5 3
6π θ π θ
π θ+ −( )
+( )
A) – cosq B) cosq C) – senqD) – tanq E) senq
3. Calcule el valor de la expresión
tan cot293
313
π π
+
A) − 33
B) 23
3 C) 2 3
D) 43
3 E) − 23
3
4. Calcule el valor de la siguiente expresióncos ºsec º
tan º4080780
37− −( )
A) −12
B) 2 C) 1
D) - 2 E) 12
5. Si 3sen(3600º+q) – sen(360º – q)=1,
calcule cos 152π θ+
A) −14
B) 12
C) −12
D) 14
E) 1
6. Si 2a+4q=p, calcule
sen sen coscos
θ α α θ α θθ
−( ) + −( ) + − −( )2 3
A) – 1 B) 1/2 C) 1D) – 2 E) 0
Identidades trigonométricas del ángulo doble I
7. Reduzcasensec
coscsc
cossec
sencsc
xx
xx
xx
xx
+
−
A) sen4x
B) 12
4sen x
C) cos2x
D) 12
2sen x
E) 12
4cos x
8. El valor de x al simplificar la expresión
x = +−
−+
11
1 21 2
2tantan
sensen
αα
αα
A) 1+senaB) 1 – sen2aC) 1D) – 1E) sen2a
UNMSM 2004 - I
9. Del gráfico, calcule ABBD
en términos de q.
θ
D1
θA
B
A) cotq B) tanq C) cotq·cosqD) tanq·senq E) 2tanq
Trigonometría
21
10. Si sencosθ α=
2,
calcule cos
sen
cos
sen
2 2 12 2θα
αθ
+ +
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
11. Determine el equivalente de la expresión
tan cos cot cosθ θ θ θ2
12
1⋅ +( ) + ⋅ −( )
A) 2cosq
B) 22
senq
C) 2senq
D) 22
cosq
E) 22
tanq
12. Si cos4a+2sen2a=0 y cos2a≠0, calcule cos2a.
A) 34
B) 112
C) 13
D) 29
E) 18
UNMSM 2011 - I
Identidades trigonométricas del ángulo doble II
13. Si sec
cot tan
2 tan3
x
x x
BxB−
=( )
,
calcule B.
A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 4
14. Si tan a b+( ) = 2 y tan2b=1,
calcule tan(2a).
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
15. Si tan2q-8tanq+1=0,
calcule csc2q
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
16. Si tanθ = −2 1,
calcule sen costan cot4 42 2θ θθ θ( ) + ( )
A) 0 B) - 1 C) 1D) – 2 E) 2
17. Si tantan
21 2
xx
− = , x ∈ 04;π .
calcule x
A) ≠4rad B)
≠8rad C)
≠3rad
D) ≠6rad E)
≠12
rad
18. Determine el equivalente de la expresión
2
1 10
2
1 20
2
1 402 2 2−
−
−
tan º tan º tan º
A) tan280ºB) cot280ºC) cot240ºD) tan220ºE) tan240º
Identidades trigonométricas del ángulo doble III
19. Reduzca la expresióncotx – tanx – 2tan2x– 4tan4x
A) 8cot4xB) 8tan4xC) 4tan8xD) 8cot8x E) 4cot8x
Trigonometría
. . .
22
20. Calcule el valor aproximado de la expresión
cot º tan º cos sen2 2 2 24 48 8
−( ) −
π π
A) 70 B) 140 C) 70 2D) 140 2 E) 28 2
21. Si cos sen
cos sen
4 4
6 6 2x x
x x
++
= ,
calcule cos4x
A) 1 B) 2 C) – 2D) 0 E) – 1
22. Reduzca la expresión
23 6
6
23 6
csc tan
cot
cot cotx x
x
x x
−
+
−
tanx6
A) 2 B) 1 C) 0
D) 23
cscx
E) 23
cotx
23. Si la igualdad es una identidad
6 2 48
10 6 1216
+ + + = ( ) +
( ) + ( ) + ( )
cos cossen
sen cos cos
x xBx
Cx Bx Cx
A
D A D ...
calcule B+D – A – C, B > C > 0.
A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2
24. Si se sabe que aa
+ ≥1 2 , a > 0,
determine el mínimo valor que toma 4csc(2x)+3, 0º< x < 90º
A) 1B) 4C) 5D) 6E) 7
TrigonomeTría
01 - A
02 - C
03 - E
04 - E
05 - D
06 - A
07 - B
08 - C
09 - A
10 - E
11 - C
12 - A
13 - B
14 - E
15 - D
16 - C
17 - B
18 - A
19 - D
20 - B
21 - E
22 - C
23 - C
24 - E
Trigonometría
. . .
23
Identidades trigonométricas del ángulo triple
1. Simplifique la siguiente expresión
sen sen
cos
3 3
2θ θ
θ+
A) 3senq B) 3tanq C) 3cscqD) 3cotq E) 3sen2q
2. Reduzca la expresióncos cos
sen
3 3
3θ θ
θ−
A) 3tanq B) – 3cosq C) 3senqD) – tan2q E) – 3cotq
3. De la siguiente identidad1+4cos32q – 3cos2q=AcosN(Mq),calcule A+N+M.
A) 6 B) 5 C) 8D) 4 E) 7
4. Calcule el equivalente de la siguiente expresión
cos sen
cos costan
2 2
323 3
4 2 3 2
θ θθ θ
θ−−
+
A) 2tan2q B) sec2q C) 2csc2qD) csc2q E) 0
5. Determine el valor que asume q, para que se cumpla la igualdad
32
32 1
80 90
−
+
= ∈
sen sen
csc; º; º
θ θ
θθ
A) 10º B) 20º C) 8º
D) 532º E)
372º
6. Si sen10º+cos20º=4a,calcule sen310º+cos320º.
A) 2a B) 3a C) 4aD) 5a E) 6a
Transformaciones trigonométricas I
7. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
sen sencos
sen sencos
5 32
72 3
θ θθ
θ θθ
+ + +
A) 2sen4q B) 2cos2q C) 2sen2qD) 2cos3q E) 2senq
8. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
sen sencos cos
tan
tan tan
2 22 2
1
x yx y
y
x y y
++
−
+ +( )
A) tany B) – tanx C) – tanyD) tanx E) 0
9. Calcule el valor de la siguiente expresión.
sen º sen º cos º48 12 36
3
−( )
A) 1/2 B) 1 C) 1/3D) 1/4 E) 2
10. De la siguiente identidad
sen sencos
sen ,cos5 3
1 2θ θ θ
θθ
+( )+
= ( )M
calcule el valor de M.
A) 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5
11. Calcule el valor de la expresión
1 2 2020 40+
⋅cos º
cos º cos º
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
12. Simplifique la expresión
cos cos
cos cos sen sen
y y x
x y x y
+ −( )⋅ + ⋅
212
22
A) cosx B) 1 C) cos(y – x)D) 2 E) – cosx
UNMSM 2007 - II
. . .
Trigonometría
24
Transformaciones trigonométricas II
13. Calcule el valor de la expresión2sen70ºsen10º+2cos240º
A) 2 B) – 3/2 C) – 2D) 3/2 E) 1/2
14. De la siguiente igualdad2sen3qsenq+2cos22q=McosN(q)calcule M+N.
A) 3 B) 2 C) 5D) 4 E) 6
15. Calcule cotx+tanx, sitanx=sen10º · cos20º+sen5º · cos5º
A) 52
B) 103
C) 2
D) 174
E) 25
16. Calcule el valor de la siguiente expresión.3 20 10
40sen º sen º
cos º+
A) 32
B) 12
C) 2
2
D) 2 E) 1
17. Simplifique la expresióncos cos cos cos
sen7 2 6 3
4x x x x
x⋅ − ⋅
A) senx B) – sen2x C) – senxD) cos2x E) – cosx
18. Elimine la variable angular x de las siguientes condiciones
2sen2xsenx+cos3x=n (I)
cos cossen32 2x
xx−
m= (II)
A) m2+n2=1 B) n2 – m2=1 C) n+m=1
D) n · m=1 E) n2=m2
Circunferencia trigonométrica I
19. Del gráfico, calcule x1 · y1.
X
Y
C.T.
12
336
–x1;
; y1P
Q
A) − 12
B) − 13
C) − 14
D) − 15
E) − 18
20. Calcule la longitud del segmento PO.
A) 3 1−
X
Y
C.T
π6
5
O
PB) 6 28+
C) 6 22−
D) 14
E) 2 3−
21. Calcule la abscisa de P.
A) − −( )6 24
X
Y
C.T
P
15º15ºB) − 3
2
C) − 12
D) 3 14−
E) –1
Trigonometría
. . .
25
22. Calcule el área de la región triangular ABC.
A) 3 14+
u
2
X
Y
C.TC
B
A
π3
– 2
B) 3 24+
u
2
C) 3 32
u2
D) 3 34
u2
E) 2 3 u2
23. Si CM=3(AM), calcule la ordenada de R.
A) − 12
X
Y
C.T
C
R
AM
B) − 32
C) − 22
D) − 53
E) − 14
24. Determine todos los arcos dirigidos que puede asumir q.
X
Y
C.T
θ
20º20º
A) π918 10 0k k+( ) ∈ +; Z
B) π92 1 0k k+( ) ∈ +; Z
C) π92 10 0k k+( ) ∈ +; Z
D) π918 10 0k k−( ) ∈ +; Z
E) 29
9 15 0π
k k+( ) ∈ +; Z
Claves
01 - A
02 - E
03 - E
04 - B
05 - A
06 - B
07 - A
08 - D
09 - D
10 - D
11 - D
12 - D
13 - D
14 - D
15 - D
16 - E
17 - C
18 - A
19 - C
20 - E
21 - C
22 - D
23 - B
24 - A
Trigonometría
. . .
26
Circunferencia trigonométrica II
1. Determine el área de la región sombreada en función de q.
θ
X
Y
C.T.
A) 1
2+ senθ
B) senθ −1
2
C) − +1( )senθ
2
D) senθ + 2
2
E) 1
2− senθ
2. Determine el área de la región sombreada.
θ
Y
X
C.T.
A) senθ4
B) −senθ2
C) −senθ4
D) senθ2
E) 1
2+ senθ
3. En la circunferencia trigonométrica, calcule la ordenada del punto A.
θ
Y
XA
A) senθ2
B) − senθ2
C) – senq
D) senq
E) −senθ3
4. De la circunferencia trigonométrica, calcule la abscisa de P.
θ
Y
X
P
A) senq cosqB) cosqC) senqD) – cosqE) – senq
. . .
Trigonometría
27
5. Del gráfico, determine el valor de x en térmi-nos de b y q.
θY
X
x
b
C.T.
A) – cosq B) senθ + b
b C)
senθ − bb
D) cosθ
b E)
senθb
6. Determine qué proposiciones son correctasI. sen20º > sen170º II. sen(– 40º) > sen(– 20º)III. sen250º=sen290º
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III
Circunferencia trigonométrica III
7. Calcule el área de la región sombreada.
Y
X
C.T.
θ
A) 22
sencosθ θ−1( )
B) 22
cossenθ θ−1( )
C) 22
sencosθ θ+1( )
D) 22
cossenθ θ+1( )
E) cos senθ θ−
2
8. De la circunferencia trigonométrica, calculetanb+cotb.
θ
β
Y
X
A) − 12
senq – 2cscq
B) 12
senq+2cscq
C) tanq+cotq
D) − 12
cosq – 2secq
E) 12
cosq+2secq
9. Calcule la longitud del segmento PQ.
Y
X
C.T.
QP
θ
A) 21cossen
θθ−
B) 21cossen
θθ+
C) −−2
1cossen
θθ
D) −+2
1cossen
θθ
E) – cosq
Trigonometría
. . .
28
10. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.
Y
X
C.T.
θ
A) senqcosq B) cos2q C) −tanθ2
D) sen2q E) – senqcosq
11. Si OM = 32
, calcule el área de la región som-
breada.
θ
Y
XMO
C.T.
A) 3 2
4+( )sen cosθ θ
B) 3 2
4+( )cos senθ θ
C) 2 3
4+( )sen cosθ θ
D) 2 3
4+( )cos senθ θ
E) 1 3
4+( )cos senθ θ
12. Del gráfico, calcule senq+cosq.
θ Y
X
x2+y2=1
1 – x2
y=
A) 13
B) 35
C) 15
D) 23
E) 12
Circunferencia trigonométrica IV
13. Si n = −senθ 113
, determine el número de valo-
res enteros que toma n.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
14. Determine la variación de la expresiónsen2q – 2senq, q ∈IIC
A) ⟨– 1; 1⟩ B) 012; C) − 1
212;
D) ⟨0; 1⟩ E) ⟨– 1; 0⟩
k 315. Si senθ = +5
y q ∈[37º; 143º],
calcule la suma del máximo y mínimo valor que asume k.
A) 3 B) 2 C) 1D) – 1 E) – 2
16. Si θπ π∈
8
38
; ; calcule la variación de 2sen2q
A) 0 2; B) 1 2; C) 1 2;
D) 1 2; E) 1 2;
. . .
Trigonometría
29
17. Si θπ π∈6
56
; , calcule, la variación de la expre-
sión csc3q+1.
A) ⟨1; 8⟩ B) ⟨1; 9⟩ C) [2; 9⟩D) ⟨2; 8⟩ E) ⟨3; 7⟩
18. Calcule el máximo valor de 4sena – 3senq+2, si a y q son independientes entre sí.
A) 4 B) 9 C) 6D) 7 E) 3
Circunferencia trigonométrica V
19. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión3+8cos2q?
A) 5 B) 4 C) 6D) 7 E) 9
20. Determine la variación de la expresióncos2q+2cosq
A) [– 1; 3] B) [0; 2] C) [– 1; 2]D) [1; 5] E) [0; 4]
21. De la siguiente igualdad2cosq=4n – 3, q ∈ ⟨– 10º; 190º⟩.Calcule la variación de n
A) 14
34;
B) 121;
C) 14
54;
D) 34
54;
E) 141;
22. Si q ∈ IVC, calcule la variación de la expresión
coscos
θθ++12
A) 3252;
B) 1223;
C) 012;
D) 012;
E) 1223;
23. Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la expresión
cos , ;2
254
32
θ θ π π+ 1 ∈
A) 52
B) 32
C) 34
D) 2 E) 0
24. Determine la variación de la expresión
24
2 02
cos , ;θ π θ π+
+ ∈
A) [– 1; 0]B) [0; 3]
C) − + 2 2 2;D) [1; 3]E) [– 1; 1]
Claves
01 - E
02 - C
03 - A
04 - E
05 - C
06 - E
07 - B
08 - E
09 - D
10 - E
11 - B
12 - C
13 - A
14 - E
15 - B
16 - D
17 - C
18 - B
19 - E
20 - A
21 - C
22 - B
23 - B
24 - D
Trigonometría
. . .
30
Ecuaciones trigonométricas I
1. Calcule la menor solución positiva de la ecuación
sen7x+sen5x=cosx
A) p/36
B) p/2
C) p/18
D) p/6
E) p/12
2. Resuelva la ecuación
2cos2x+cos2x=0, x ∈⟨0; p⟩
A) π π3 2;{ } B) π π
656
;{ } C) π π3
23
;{ }D) π π
6 2;{ } E) π π
623
;{ }3. Calcule el número de soluciones de la ecuación
3sen2x+2senx – 1=0, x ∈⟨0; 2p⟩
A) 2 B) 1 C) 4
D) 5 E) 3
4. Calcule la menor solución positiva de la ecuación
sen3x+cos3x=1
A) p/6
B) p/8
C) p/12
D) p/3
E) p/18
5. Calcule el número de soluciones de la ecuación
( 2senx – 1)(9cos2x – 1)=0, x ∈⟨0; 2p⟩
A) 5 B) 3 C) 4
D) 2 E) 6
6. Calcule la suma de las soluciones de la ecuación
tan2x cosx=senx, x ∈⟨0; 2p]
π C) 3pA) 4p B) 72
π E) 2pD) 52
Ecuaciones trigonométricas II
7. Calcule la suma de las soluciones de la ecuación
(senx – cosx)2=1, x ∈⟨– 2p; 0⟩.
πA) – 2p B) – 4p C) − 32
πD) – 3p E) − 52
8. Calcule el número de soluciones de la ecuación
sen3x=– 1, x ∈ 0196
;π
.
A) 2 B) 5 C) 4
D) 3 E) 1
9. Calcule la solución general de la ecuación
sen6x+sen4x+4cosx=0, n ∈Z
A) 2 12
n+( ){ }π
B) nπ4{ }
C) 2 14
n+( ){ }πD) nπ
2{ }E) 4 1
2n+( ){ }π
. . .
Trigonometría
31
10. Resuelva la ecuación
sen2x – 2cosx=0, x ∈⟨0; 4p⟩
A) π π π π2
32
2; ;;{ }B) π π π π
2 432
74
; ; ;{ }C) π π π π
232
52
72
; ; ;{ }D) π π π π
234
52
74
; ; ;{ }E) π π π π
43
54
52
; ; ;{ }11. Calcule el número de soluciones de la ecuación
cos2x+cos2x=12
, x ∈ 134
254
π π;
A) 6 B) 2 C) 5
D) 3 E) 4
12. Calcule la solución general de la ecuación
sen sen2 232 2
0x x
−
=
A) 4 14
n+( ){ }π
B) nπ2{ }
C) 2 12
n+( ){ }πD) nπ{ }
E) nπ4{ }
Resolución de triángulos oblicuángulos I
13. Si 5sena=3senq, calcule x
x
5
θ
α
A) 3
B) 1/2
C) 1/3
D) 2
E) 10
14. Del gráfico, calcule el valor de x
x
32º
25
16º
A) 24 B) 20 C) 48
D) 28 E) 36
15. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti-
vamente, se cumple que senAsenBsenC=1/4.
Calcule abc
R3, donde R es el circunradio del
triángulo ABC.
A) 1
B) 4
C) 2
D) 1/2
E) 1/4
Trigonometría
. . .
32
16. Del gráfico, calcule el valor de x en términos
de q
x30º
3
42
θ
A) 47cscθ
B) 47senθ
C) 37cscθ
D) 37senθ
E) 74cscθ
17. Si AB=2(BC), calcule sensen
θ −( )xx
.
B
A C
θ – x x
θθ
A) 1/2 B) 1 C) 1/4
D) 4 E) 2
18. Según el gráfico, calcule sen
senθ
θ α+( )2.
α
2
3
α
θ
A) 1/2 B) 3/2 C) 3
D) 2/3 E) 1/3
Resolución de triángulos oblicuángulos II
19. Si senθ = 18
, calcule el valor de x.
3
90º+θ
2
x
A) 5/2 B) 1/2 C) 2
D) 2/5 E) 4
20. Del gráfico, calcule x+y
2
3
8
xy
60º
A) 14 B) 18 C) 15
D) 12 E) 10
21. En un triángulo ABC de lados a, b y c respecti-
vamente, se cumple que
(a+b)2 – c2=3ab.
calcule mC.
A) 30º
B) 120º
C) 60º
D) 150º
E) 15º
. . .
Trigonometría
33
22. Calcule el perímetro de la región sombreada
60º
1
x x2
A) 7 B) 10 C) 6
D) 13 E) 3
23. Si cosθ =57
, calcule el valor de n.
n+1
n – 1n
θ
A) 2 B) 5 C) 3
D) 6 E) 4
24. Calcule el área del triángulo ABC.
B
CA
52
6
A) 392
B) 394
C) 382
D) 384
E) 414
Miscelánea de problemas
25. De la figura, calcule tanq, siendo G baricentro
del triángulo ABC.
30º
G
θ
B
CA
A) 35
B) 12
C) 2
D) 3 E) 4
26. Reduzca la siguiente expresión
cos cos cos sen4 2 2 21θ θ θ θ− + +( ) , q ∈ III C
A) senq B) – cosq C) – senq
D) cosq E) – cscq
27. Si tanθ = 34
, calcule n.
2
3
θ
n
A) 133
B) 72
C) 132
D) 73
E) 112
Trigonometría
. . .
34
28. Simplifique la expresión
sen(x+30º) – cosx – cos(120º – x)
A) – 2 B) – 1 C) 1
D) 2 E) 0
29. Simplifique la siguiente expresión.
sen º sen ºcos º cos º40 20
1 40 20+
+ +
A) cot20º B) tan10º C) tan20º
D) cot10º E) tan40º
30. Del gráfico mostrado, halle cotx+ 3 en térmi-
nos de m y n.
m n
xx+30º
A) 2mn
B) mn
C) 2nm
D) nm
E) mn2
Claves
01 - A
02 - C
03 - E
04 - A
05 - E
06 - C
07 - D
08 - C
09 - A
10 - C
11 - C
12 - B
13 - A
14 - C
15 - C
16 - A
17 - E
18 - B
19 - C
20 - A
21 - C
22 - E
23 - D
24 - B
25 - A
26 - C
27 - C
28 - E
29 - C
30 - C