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INSTITUTO TECNOLGICO DE AGUASCALIENTES
SUBDIRECCIN ACADMICA
DIVISIN DE EDUCACIN A DISTANCIA
MATERIA RETICULAR
Clculo Diferencial
INGENIERA INDUSTRIAL
Lectura:
Unidad 5. Aplicaciones de la Derivada
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AGOSTO -
ICI
B
2010
5.1 ta ta g t , ma t s d vas.
Al c c rla p d t d a ! ta y p t" d lla, la r c#
a queda
c mpletamente determ $ nada, se tiene que el pr blema de trazar una recta
tangente a una curva dada, p r un punto de sta, se reduce a encontrar la
pendiente de la recta, recordando a la unidad 4 se tiene.
Consideremos la representacin grfica de una curva con ecuacin ,
donde es una funcin continua. El problema de la derivada se reduce a
encontrar la tangente de una recta en un punto de la curva. De acuerdo a la
definicin del lmite en la unidad 2, se determinaron las siguientes relaciones
matemticas:
La definicin de la derivada se da a partirde sustituir lad%
&
'
(
'
)
0
%
a - porque se entiende como el incremento sumado a para alcanzar , o eldiferencial que igualmente significa la diferencia de con , lassiguientesrelacionesmatemticas nosdan origen a la definicin de la derivada.
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La derivada es un tipo especial de lmite que se define a continuacin.
Definicin de derivada
Sea una funcin real definida en un intervalo . Sea
La derivada de fen el punto , denotada , es el si este
lmite existe.
Note que, la pendiente dela recta tangente a la grfica dela curvacon
ecuacin en el punto , es precisamentela derivada de
evaluada en .
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Si en la definicin de derivada se sustituye por h, donde h= =
entonces cuando y .
Luego , si este lmite existe. La funcin esderivable
en si existe. Si existe para cada en un intervalo , , se
dice que la funcin esderivable en ; se escribe
Ejemplo:
Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuacin
, en el punto . La ecuacin de la recta tangente es:
. Utilizando la derivada de la funcin vamos a averiguar la pendiente
en .
Solucin: utilizando los teoremaspara derivacin de funciones.
As: Derivando ; f(x)=2x- 3, evaluamos la derivada en x=1
F(1)=2(1)-3=2-3=-1
Luego , por lo que . Para averiguarbsustituimos el punto
en como sigue: de donde .
Por tanto, la ecuacin de la recta tangente es .
La representacin grfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:
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Definicin
Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la lnea que
pasa porP y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Adems,
recuerde que dos lneas no verticalesson perpendiculares entre s, si y solo si
suspendientes tienen valoresrecprocos negativos.
Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal,
entonces:
Ejemplo:
Determinar la ecuacin de la recta normal a la curva con ecuacin
, en el punto
Solucin:
Como , averiguamosprimero la pendiente de la recta tangente. As:
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f(x)=-4/x evaluando en x=2; f(2)=-4/4=mt(2)=-1por tanto,
Como , entonces
La ecuacin de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuacin
anterior se obtiene .
Por tanto, la ecuacin de la recta normal es .
La representacin grfica de la curva y la recta normal es la siguiente:
La ecuacin de la recta tangente es
EjercicioDeterminar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la recta normal a
la curva con ecuacin , en el punto
Otros ejemplos
1. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la parbola con ecuacin
, y que esparalela a la recta con ecuacin .
Solucin:
Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces suspendientes son
iguales.
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Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva.
Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuacin ,
entonces .
Calculemos :con la derivada de
y=2x
Como se tiene que y por tanto .
Si entonces . El punto de tangencia es
La ecuacin de la recta tangente es:
Sustituimos y se obtiene que
Entonces la ecuacin de la recta tangente es
La representacin grfica es la siguiente:
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5.2 1 xim2 s y mnim2 s(criterio dela primera derivada).
Criterio de la primera derivada para determinar los mximos y losmnimos
deuna funcin
En el siguiente teorema se establece cmo determinar losvaloresmximos y
losvaloresmnimosde una funcin, al estudiar los intervalos en que crece o
decrece la funcin.
Teorema 1
Sea f una funcin continua en un intervalo cerrado , que es
derivable en todo punto del intervalo abierto .
Sea c en tal que o no existe.
a.
Si espositiva para todo , y negativa para todo , entonces
es un valormximo relativo de .
b.
Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces
es un mnimo relativo de .
c.
Si espositiva para todo y tambin lo espara todo ; o si
es negativa para todo y a su vez para todo , entonces
no es un valormximo relativo ni un valormnimo relativo de .
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Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse grficamente
como sigue:
Mximo relativo en
Mnimo relativo en
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En no hay ni mximo ni mnimo relativo.
En lossiguientes ejemplosdeterminaremos losvalores extremosde una funcin
cuya ecuacin se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la funcin,
luego se determinan losvalorescrticoscon y por ltimo se aplica el
teorema anterior.
1.
Note que f est definida para
Como entonces si y solo si , .
Los valores crticos son , y , x=-2. Determinemos ahora cundo
y cundo . Como , se deben resolver
las desigualdades: , . Nos ayudamos con
la tabla siguiente:
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Como para y para entonces
es un valormnimo.
Como para y para entonces es
un valormximo.
La representacin grfica de la funcin es la siguiente:
Note que es un mnimo relativo y que es un
mximo relativo, en el dominio de la funcin.
2. Para la funcin y= 2x+6x, encontrarsu mximo o mnimo relativo.
y=4x+6, susvalorescrticosson 4x+6=0; x=-6/4=-3/2; ahora determinar4x+6-3/2
Comprobacin:x=-2 y x=-1, valores a la derecha y a la izquierda de -3/2
y(-2)=4(-2)+6=-8+6=-2 ; y(-1)=4(-1)+6=-4+6=2
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De acuerdo al inciso bdel teorema tenemos:
Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces
es un mnimo relativo de .
La grfica de la funcin con su valormnimo de -4.5 es la siguiente:
5.3 3 ximos y mnimos (criterio dela segunda derivada.)
Criterio dela segunda derivada para establecerlos valores mximos y
los valores mnimos deuna funcin
Ademsde proporcionar informacin sobre la concavidadde la grfica de una
funcin, la segunda derivada permite establecersi un punto crtico es un valor
mximo o un valormnimo.
El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.
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Teorema
Sea f una funcin con dominio D. Si est definida para
donde y si con entonces:
a.
es un valormximo relativo de f si se cumple que
b. es un valormnimo relativo de f si se cumple que
Ejemplos:
Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores mximos y los
valoresmnimosde lasfuncionescuyas ecuacionesson:
1. ,
Note que la funcin f no est definida en
La derivada de f est dada por ,
Losvalorescrticosde f se obtienen cuando . En este caso, si
y solo si , .
Ahora, la segunda derivada de f es
Vamos a evaluar en y en
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a. ; como entonces es un valormnimo relativo de f.
b.
; como entonces es un valormximo relativo de f.
Grficamente se tiene en el intervalo
2. . Se tiene que
La primera derivada deg estdada por
Como cuando y cuando entonces estos son los valores
crticos de g. La segunda derivada de g es
Evaluando en se tiene que que esmayor que cero,
por lo que es un valormnimo relativo de g.
5
33
( ) ( 9)( 1)
8
g x x x!
2
3( ) ( 6)( 1) g x x xd !
3(6) 35gdd !
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Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador
por lo que para este valor crtico debe utilizarse el criterio de la primera
derivada.
Analizando se obtiene que para y
para por lo que al no existircambio de signo resulta que
no es ni mximo ni mnimo. El grfico de gse muestra a continuacin.
5.4 Funciones crecientes y decrecientes.
Funciones crecientes y decrecientes y surelacinconla derivada
Sea f una funcin continua con ecuacin , definida en un intervalo
.
La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo .
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En la representacin grfica anteriorpuede observarse que la funcinf es:
1. Creciente en los intervalos ,
2. Decreciente en los intervalos ,
Tambin se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es
positiva, la funcin fcrece; y cuando la pendiente dela recta tangentees
negativa, la funcin decrece. Note adems que en los puntos ,
y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente
es cero, esdecir, la primera derivada de la funcin se anula en cada uno de
esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciacionesanteriores.
Teorema 1
Sea funa funcin continua en un intervalo cerrado y derivable en el
intervalo abierto .
1. Si para toda x en , entonces la funcin fescreciente en.
2. Si para toda x en , entonces la funcin fesdecreciente en
.
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Ejemplos:
1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con
ecuacin .
Para ello calculemos la primera derivada de .
Como , o sea si , entoncesf escreciente para .
Como , o sea si , entonces f es decreciente para
.
En la representacin grfica de la funcin puede observarse lo obtenidoanteriormente.
2. Determinar los intervalos en que crece o decrece la funcin f con
ecuacin , con . La derivada de f es .
Como esmayor que cero para x en , , y adems
entonces para todo x en , por lo que la funcin fes
decreciente para x en . La siguiente, es la representacin grfica
de dicha funcin:
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5.5 Concavidades y puntos deinflexin.
Concavidad y puntos deinflexin
La segunda derivada de una funcin tambin proporciona informacin sobre el
comportamiento de sta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definicin deconcavidad
Se dice que la grfica de una funcin f es cncava hacia arriba en un
intervalo A, , si escreciente sobre A. Si esdecreciente sobre
A entoncesse dice que la grfica de f escncava hacia abajo.
Note que es la funcin derivada la que debe ser creciente o
decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representacin grfica, una funcin fescncava hacia arriba en
el intervalo y cncava hacia abajo en el intervalo .
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Teorema 5
Si fes una funcin tal que cuando , entonces la grfica de f
escncava hacia arriba sobre .
Demostracin:
Si y como , entonces se tiene que es creciente
sobre por lo que de acuerdo con la definicin de concavidad de una
funcin, se obtiene que f escncava hacia arriba sobre .
Teorema 6
Si fes una funcin tal que cuando , entonces la grfica de f
escncava hacia abajo sobre .
Demostracin:
De la hiptesis: , y como , se obtiene que es
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decreciente sobre por lo que segn la definicin dada sobre concavidad, la
grfica de la funcin f escncava hacia abajo sobre .
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la funcin f con
ecuacin
Si entonces , y,
Luego, si y, si .
Como , entonces escreciente en los intervalos ,
pues en ellos es positiva. Adems es decreciente en el intervalo
pues en el es negativa. Luego, fes cncava hacia arriba en el intervalo
y cncava hacia abajo en el intervalo . La representacin
grfica de la funcin es la siguiente:
Representacin grfica de la funcin
Observe que es creciente en y y decreciente en .
Representacin grfica de la funcin f:
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Note que fescncava hacia arriba en los intervalos y cncava
hacia abajo en el intervalo .
Damos ahora la definicin de punto de inflexin
Definicin
Se dice que es un punto de inflexin de la grfica de una funcin f,
si existe un intervalo tal que , y la grfica de fes cncava hacia
arriba sobre , y cncava hacia abajo sobre , o viceversa.
Podemosrepresentar lo anterior en forma grfica como sigue:
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4 jemplos:
1.
El punto es un punto de inflexin de la curva con ecuacin
, pues espositiva si , y negativa si , de
donde fescncava hacia arriba para , y cncava hacia abajo para
.
Grficamente se tiene:
5.6 4 studio general decurvas.
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Especificaremos ahora lospasos a seguirpara hacer el anlisis y la grfica de
una funcin f cuya ecuacin se da.
1. Calcular el dominio de f.
2.Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados.
Si es la ecuacin de la curva, lospuntosde interseccin con el
eje x se determinan resolviendo la ecuacin , los puntos de
interseccin con el eje yse calculan dndole a x el valorcero.
3. Sentido de variacin.
Se hace el estudio de la primera derivada.
a. Se calcula
b. Para determinar losvalorescrticosse resuelve
c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se
resuelven lasdesigualdades , y,
4. Estudio de la segunda derivada de f.
a. Se calcula
b. Se determinan lospuntosde inflexin resolviendo
c. Para determinar los intervalos en que fescncava hacia arriba y en
los que escncava hacia abajo, se resuelven lasdesigualdades
y .Lospuntosmximos y lospuntosmnimosse pueden establecer yasea
utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.
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5. Estudio de los lmites.
Se calculan los siguientes lmites: ,
y donde
6. Estudio de las asntotas: Se determina si la curva posee asntotas
verticales, horizontales u oblicuas.
7. Se hace el cuadro de variacin. Este es un cuadro en el que se resume
todo el anlisis anterior.
8. Grfica de la funcin. Con losdatossealados en el cuadro de variacin
se dibuja la grfica de .
Ejemplo
1. Dominio:
2. Interseccin con los ejes
a.
eje Y: no hay interseccin, puesx debe tomar el valor de cero, pero
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b.
eje X: , pero , por lo que
no hay interseccin con este eje.
3. Sentido de variacin: Estudio de la primera derivada
a.
b. , estosson losvalorescrticosde
f.
c.Como:
Se tiene que si , y, si
Entoncesf escreciente si y f esdecreciente si
Luego, , es un valormximo y es un valormnimo.
4. Estudio de la segunda derivada:
a.
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b.
c. , entoncesf escncava hacia arriba si
d. ; luego, f escncava hacia abajo si
5. Estudio de los lmites:
a.
b.
c.
d.
6.Asntotas
De a. y b. del punto anteriorse concluye que la recta con ecuacin
es una asntota vertical.
De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asntota
horizontal.
Asntota oblicua
i.
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de donde
ii.
de donde
Luego, la recta con ecuacin es una asntota oblicua.
7. Cuadro de variacin
8. Grfica
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5.7Derivada comorazn decambio y aplicaciones.
Al dar la definicin de la derivada de una funcin como el ,
se utiliz para sealar un nmero distinto de cero tal que pertenece al
dominio de .
Grficamente se tiene la representacin de y la recta tangente:
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Puede decirse que es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la
grfica de . Esta diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota
por .
Para una funcin dada al sustituir por en la expresin se
obtiene de donde .
Si entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento de
, que se denota por , estdado por .
As , es el cambio en "y" debido al cambio en .
La razn recibe el nombre de razn promedio de
cambiode o de "y", respecto a , para el intervalo .
La derivada: recibe el nombre de razn
instantnea de cambio o simplemente razn de cambio de "y" o de
respecto a .
Ejemplos:
1. Si hallar en trminosde y
i.
Determinar para:s
a.
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b.
Solucin:s por tanto
=
a.
Para se tiene que:
Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadasdebido
a un incremento de en las abscisas.
b.
Para se tiene que:
ii.
Hallar la razn promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo
y para el intervalo
Solucin:
La razn promedio de cambio de "y" respecto a "x" estdada por:
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de donde
En el intervalo se tiene y el intervalo se
obtiene
iii.
Hallar la razn de cambio de "y" respecto a "x".
Determinar el valorde esta razn en 2 y en 4.
Solucin:
La razn de cambio de "y" respecto a "x" estdada por:
En esta razn instantnea es y en toma el valorde 16.
2. Demostrar que la razn de cambio del volumen de una esfera con
respecto a su radio, es igual al rea de la superficie de la esfera.
Solucin:
El volumen de una esfera de radio es
La razn de cambio del volumen con respecto al radio estdado por:
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expresin que corresponde precisamente al rea de la
superficie de la esfera.
5.8 Problemas de aplicacin(optimizacin y cinemtica).
5 esoluci
n
de
pro
ble
mas de
mxi
mo
s y mni
mo
s:
En la resolucin de problemas en que se debe determinar el mximo o el
mnimo de una cierta expresin, deben seguirse lossiguientespasos:
y Determinar la magnitud que debe hacerse mxima o mnima, y asignarle
una letra.
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y Hacer un dibujo cuando sea necesario.
y Asignar una letra a lascantidadesmencionadas en el problema y escribir
una ecuacin en la que se establezca lo que se debe hacermximo o
mnimo.
y Establecer lascondiciones auxiliaresdel problema y formar una ecuacin
(ecuacin auxiliar)
y Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en trminos
de una sola variable utilizando para ello la ecuacin auxiliar. Determinar
el dominio de esta funcin.
y Obtener la primera derivada de esta funcin para determinar losvalores
crticos.
yComprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de lasegunda derivada, si losvalorescrticosson mximos o mnimos.
y Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el
problema
y Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
y En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geomtricas
junto con lasrespectivasfrmulassobre reas y volmenes:
Ejemplos:
1. Determinardos nmeros no negativoscuya suma sea 10 y cuyo
producto tenga el mayorvalorposible.
Solucin:
Se debe de maximizar el producto P de dos nmerospositivos.
Sean estos nmeros:x e yLuego .
Como la suma de esos nmeros es10, entonces es la ecuacin
auxiliar, de donde .
Entonces: .
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Se debe de determinar el valor de x que hace mxima la funcin
Derivando: . Valores crticos:
En se tiene un valorcrtico, y se debe estudiarsi es un valormnimo o un
valormximo.
Como entonces por lo que en se tiene un valor
mximo. Si entonces . Luego, los nmeros positivos cuyo
producto esmximo y cuya suma es10son ambos iguales a 5.
2. Un rectngulo tiene 120m. de permetro. Culesson lasmedidasde
los ladosdel rectngulo que dan el rea mxima?Solucin:
Se debe maximizar el rea A de un rectngulo:
Designemoscon "x", "y" las longitudesde los ladosdel rectngulo.
Luego .
Como el permetro del rectngulo es 120 m. entonces la ecuacin auxiliar
es: de donde .
Luego . Como y
entonces es un valorcrtico.
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Analicemossi este valor esmximo o mnimo utilizando el criterio de la
segunda derivada. Como y , entonces
es un valor mximo. Si entonces por lo que un
cuadrado de lado 30 es el rectngulo de mayorrea y permetro 120m.
3. Una recta variable que pasa por el punto corta al eje X en
y al eje Y en . Hallar el rea del tringulo de superficie
mnima, suponiendo A y Bpositivos.
Solucin:
Se debe minimizar el rea T de un tringulo.
Grficamente se tiene:
El tringulo esrectngulo y su rea estdada por .
La recta pasa por lospuntos , y , por lo que la pendiente
estdada como sigue:
i.
Tomando y :
ii.
Tomando y :
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Luego: es la ecuacin auxiliar, de donde (*)
Entonces
, . Como entonces
.
Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si losvalorescrticosson mximos o mnimos:
Del cuadro anterior, como Tdecrece para y crece para
entonces en se tiene un valormnimo.
Si entonces (al sustituir en (*)).
Luego el rea del tringulo es .
Adems, la ecuacin de la recta es
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5.9 6 egla de 7 `Hpital.
Introduccin
La regla de L'Hopital es un mtodo que se le atribuye al matemtico francs
Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribi el primer libro de
clculo conteniendo su mtodo, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.
Este mtodo nos permite calcular ciertos lmites que con los procedimientos
estudiados anteriormente no era posible resolver. As, al evaluar lmitesde la
forma en algunoscasosse poda aplicar el teorema para el lmite de un
cociente:
siempre que
An cuando y , a veces es posible determinar
. Por ejemplo el que esde la forma puede escribirse
como
Sin embargo, existen lmites como en los que tanto el numerador
como el denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no
hemosdado ningn procedimiento que permita determinarsu valor.
El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento
adecuado para la evaluacin de tal tipo de lmites.
Teorema: 8 egla de 9 'Hpital
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Sean funciones que satisfacen lascondicionesdel teorema de Cauchy en
cierto intervalo y tales que .
Entonces, si existe , tambin existir y adems
Tambin, si entonces
Ejemplos:
Calculemos el utilizando el teorema anterior.
Observe que , por lo que se tiene la forma
Luego:
Nota: Si y las derivadas satisfacen las
condiciones que se especificaron para las funciones y , segn la hiptesis
de el teorema de la Regla de L'Hpital, entoncespuede aplicarse de nuevo la
Regla de L'Hpital, obtenindose que:
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Puede operarse assucesivamente siempre que se presente la forma .
Ejemplos:
Calculemos los lmitessiguientes:
1.
Note que ; se presenta la forma y puede
aplicarse el teorema.
Luego:
, aquse presenta de nuevo la forma por lo
que esposible aplicar otra vez el teorema.
Entonces:
2. forma:
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forma:
3. forma:
Ejercicio para el estudiante:
Calcule los lmites siguientes utilizando la Regla de L'Hpital.
Antesde aplicarla asegrese de tener la forma indeterminada .
1.
2.
3.
4.
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Teorema
Sean funcionesderivables, (y por tanto continuas), en un intervalo
, donde es una constante positiva. Sea .
Si y si entonces
Adems, si entonces
Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hpital a lmites en que se
presenta la forma , cuando la variable independiente tiende hacia .
Tambin puede aplicarse cuando al tender a menos infinito se tiene que
.
Ejemplos:
Calculemos lossiguientes lmites utilizando el teorema anterior.
1.
Cuando se tiene que por lo que .
Se presenta la forma y podemos aplicar el teorema anterior.
Luego:
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forma
2. forma
3. forma
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Aplicacin dela @ egla de A 'Hpital a otras formas indeterminadas
La Regla de L'Hpital tambin se aplica en los casos en que un cociente
presenta algunasde lasformassiguientes:
Daremos a continuacin, sin demostracin, los teoremas que permiten evaluar
tal tipo de lmites.
Teorema
Sean funcionescontinuas y derivablespara todos losvalores en un
intervalo abierto , excepto cuando .
Si para se tiene que:
i
ii
iii
iv existe el
entonces tambin existe y adems
Ejemplo:
Calcular
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Observe que:
a.
b.
Luego, se presenta la forma por lo que puede aplicarse el teorema anterior
como sigue:
(Recuerde que) )
forma
Teorema
Sean funciones derivables para toda , donde es una
constante positiva.
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Adems, para se cumple que s:
i
(o )
ii
(o )
iii
Entonces el tambin existe y
El teorema tambin esvlido cuando se sustituye
Adems, si entonces
Ejemplos:
Calcular los lmitessiguientes:
1. forma: pues cuando
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