1
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
UD 6. ÁLGEBRA
TEORÍA
• Cuando las letras expresan números, las trataremos como tales en cuanto a las
operaciones y sus propiedades.
• La parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de las
expresiones con letras y números se denomina álgebra.
Letras en vez de números. ¿Para qué sirve el álgebra?
Para expresar propiedades aritméticas
Ejemplos:
• El orden de los sumandos no altera la suma (propiedad
conmutativa)
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
• Multiplicar un número por una suma equivale a multiplicar por cada sumando y
sumar los productos parciales (propiedad distributiva)
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
Para expresar relaciones entre magnitudes. Fórmulas
Ejemplos:
• El área de un triángulo, A, se calcula conociendo las longitudes de su base, b, y
de su altura, a.
• La distancia, d, recorrida por un móvil a velocidad constante, v, en un cierto
tiempo, t, es:
2
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Para expresar y operar números desconocidos
Empleando una letra, podemos representar un número cuyo valor aún no conocemos,
operar con él y relacionarlo con otros números.
Ejemplo:
Para codificar matemáticamente un problema y facilitar su resolución
Para generalizar relaciones numéricas
3
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas surgen al traducir a lenguaje matemático
situaciones en las que aparecen datos desconocidos o indeterminados que
se representan por letras.
Son expresiones algebraicas:
3𝑥 − 5 𝑥2 + 1 (𝑎+1)∙𝑏
5
(𝑡+1)2
3
𝑎+𝑏
𝑎
Las operaciones, al incluir valores que no se conocen, quedan
necesariamente indicadas.
• El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma cuando las
letras se transforman en números conocidos.
Por ejemplo, el valor numérico de (𝑎+1)∙𝑏
5 para a=9 y b=3 es
(9+1)∙3
5= 6
Monomio
Las expresiones algebraicas más simples, formadas por
productos de letras y números, se llaman monomios.
Un monomio consiste en el producto de un número conocido
(coeficiente) por una o varias letras (parte literal).
Ejemplo:
4
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Polinonomios
Un polinomio es la suma (o resta) indicada de varios monomios.
El grado de un polinomio es el del sumando de mayor grado.
Ejemplo:
Suma y resta de monomios y polinonomios
Los monomios solo se pueden sumar (o restar) cuando son semejantes. Cuando no son
semejantes, la operación se deja indicada.
Multiplicación de monomios
El producto de dos monomios es siempre otro monomio.
5
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Como el polinomio es una suma, aplicamos la propiedad distributiva; es decir,
multiplicamos por cada sumando.
División de monomios
Para dividir dos monomios, seguiremos aplicando lo que sabemos sobre operaciones
con números, sin necesidad de aprender procedimientos nuevos.
Como comprobarás en los siguientes ejemplos, se pueden obtener diferentes tipos de
resultados.
Al dividir dos monomios, se puede obtener:
• Un número
• Otro monomio
• Una fracción algebraica
6
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones
Igualdades algebraicas: ecuaciones e identidades
Observa la diferencia entre las igualdades siguientes:
3𝑥 − 4 = 8 6𝑥 − 4𝑥 = 2𝑥
La igualdad se cumple La igualdad se cumple
solamente para 𝑥 = 4 cualquier valor de x
(Es una ecuación) (Es una identidad)
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente
para ciertos valores de las letras.
Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple siempre, independientemente
de los valores que tomen las letras.
Elementos de una ecuación:
Para poder manejar las ecuaciones, es necesario nombrar sus elementos:
IMPORTANTE
7
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando sus soluciones coinciden
Qué es resolver una ecuación:
Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Es decir, averiguar los valores que
deben tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad.
Veamos como resolver algunas ecuaciones sencillas:
8
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones
Resolución de la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃
Para resolver la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, restamos 𝒂 en ambos miembros.
𝒙 + 𝒂 = 𝒃 → 𝒙 + 𝒂 − 𝒂 = 𝒃 − 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 − 𝒂
Resolución de la ecuación 𝒙 − 𝒂 = 𝒃
Para resolver la ecuación 𝒙 − 𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, sumamos 𝒂 en ambos miembros.
𝒙 − 𝒂 = 𝒃 → 𝒙 − 𝒂 + 𝒂 = 𝒃 + 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 + 𝒂
9
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Resolución de la ecuación 𝒙 ∙ 𝒂 = 𝒃
Para resolver la ecuación 𝒂𝒙 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, dividimos entre 𝒂 en ambos
miembros.
𝒂𝒙 = 𝒃 →𝒂𝒙
𝒂=
𝒃
𝒂 → 𝒙 =
𝒃
𝒂
Resolución de la ecuación 𝒙/𝒂 = 𝒃
Para resolver la ecuación 𝒙/𝒂 = 𝒃 con 𝒂 y 𝒃 números, multiplicamos por 𝒂 en ambos
miembros. 𝒙
𝒂= 𝒃 →
𝒙
𝒂∙ 𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒂 → 𝒙 = 𝒃 ∙ 𝒂
10
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Resolución de ecuaciones de primer grado con una
incógnita
Para resolver una ecuación, la iremos transformando mediante sucesivos pasos, en otras
equivalentes cada vez más sencillas, hasta despejar la incógnita. Es decir, hasta que
quede sola en un miembro y en el otro un número conocido.
Para transformar una ecuación en otra equivalente utilizaremos dos recursos:
• Reducir sus miembros
• Transponer sus términos, de un miembro a otro
OJO
11
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Ejercicios para practicar
12
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
13
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
14
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Resolución de problemas mediante ecuaciones de
primer grado con una incógnita
Las ecuaciones son una potente herramienta para resolver problemas. Observa los
siguientes problemas resueltos para aprender el proceso que hay que seguir para
conseguir encontrar la solución.
PROBLEMAS RESUELTOS:
15
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
16
http://www.edu.xunta.es/centros/iessansimon
MATEMÁTICAS. 1º ESO
UD .6 ÁLGEBRA
TEORÍA
IES Illa de San Simón
Departamento de Matemáticas
Top Related