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ESTADISTICA II
UNIDAD I
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Horario Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
9:00-10:00 3C 3C 3C --------------- 3C --------
1.1. Regresión Lineal simple
1.2. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple
1.3. Calidad del ajuste en regresión lineal simple
1.4. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple
1.5. Regresión lineal múltiple
1.6. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple
1.7. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple
1.8. Uso de un software estadístico
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FORMA DE EVALUACION
1.- Conocimiento 35% Examen escrito
2.-Habilidades 35% Investigaciones yexposiciones3.-Emprendedores 20% Tareas trabajos4.-Actitudes 10% Asistencia
puntualidad
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AsistenciaAsistencia..
El Alumno tendrá derecho a faltar en clase el 10% del total de lasclases en el periodo comprendido de agosto diciembre del 2011
Las faltas Justificadas de forma directa son las que por motivo de
visita a empresa sean generadas, están se justificaran a través del
memorandum entregado por el maestro que asistió a la visita.
PuntualidadPuntualidad
No existirá el Retardo Al Alumno se le dará una tolerancia de 10
min. Posteriormente la puerta será cerrada, y con la cual no se lepermitirá la entrada, esto en beneficio de una clase de calidad
para los alumnos El alumno que sea sorprendido saliendo de
clase y no regresar, se le colocará automáticamente una falta de
las faltas permitidas.
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Tr abajosTr abajosLos Trabajos deberán ser entregados el Día y la Hora
determinado por el MaestroNo se recibirán trabajos ni antes ni después de la fechaestipulada
Los Trabajos deberán ser entregados en una carpeta gruesacon clip.
Los Trabajos serán realizados en computadora, y entregadosimpresos.
Exámenes de Regular izaciónExámenes de Regular ización
Tendrá que aprobar el 40 % de las unidades.Exámenes extr aor dinar ios.Exámenes extr aor dinar ios.
Tendrá que aprobar el 60 % de las unidades.
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Estadística II
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Resultados
(X)
Resultados
(Y) X2 Y2 XY
3
6
6
7
79
36
1
5
5
1
Determinar:
X, Y, X2 , Y2, XY
Graficar los resultados obtenidos
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1.1. Regresión Lineal simple
1.2. Prueba de hipótesis en la regresión lineal simple
1.3. Calidad del ajuste en regresión lineal simple
1.4. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal simple
1.5. Regresión lineal múltiple
1.6. Pruebas de hipótesis en regresión lineal múltiple
1.7. Intervalos de confianza y predicción en regresión múltiple
1.8. Uso de un software estadístico
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Esta expresión hace referencia al proceso matemático que sirve
para ajustar una línea recta a través de un conjunto de datos
bivariables asentados en una grafica de dispersión. Dicha línea
se conoce como línea de regresión simple y se escribe como
sigue:
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Regresion lineal.
Implica que µ se relaciona con x mediante la ecuacion de regresionpoblacional.
µ= + x regresion lineal de la muestra
y coeficientes de regresión
y = a +bx
donde a y b representan la interseccióny = pendiente se utiliza para distinguir entre el valor estimado opredicho dado por la línea de regresión lineal
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Donde:
Y = Es un valor predecido de la variable dependiente
B0= Es una constante llamada ordenada.B1= Es una constante llamada pendiente.
X = Es una variable independiente.
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Reducción
de sólidos
Demanda
química de
oxigeno
n x y
1 3 5
2 7 11
3 11 214 15 16
5 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 40
12 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
n
Reducción
de sólidos
Demanda
química de
oxigeno
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 37
22 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 4027 42 44
28 43 37
29 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51
Ejemplo regresión lineal
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Y=a +bx
Variable aleatoria dependiente
Variable aleatoria independiente
=µtodas las medias
caen en una línea recta
Y=a +bx µ= + x
Regresión lineal simple regresión de población
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y=a+bx
y
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Las estimaciones de mínimos cuadrados de la ordenada al origen y
la pendiente del modelo de regresión lineal simple son:
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Método de mínimos cuadrados
Encontramos a y b, las estimaciones de y de modoque la suma de los cuadrados sea mínima .
Las estimaciones por mínimos cuadrados a y b delos coeficientes de regresión y se calculan dela siguiente manera.
b= n XiYi ± (xi)(yi)
n Xi - (Xi)2 2
a=yi - b xi
n
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x y xy x
3 5 15 9
7 11 77 49
11 21 231 121
15 16 240 225
18 16 288 324
27 28
29 27
30 25
30 35
31 30
31 40
32 32
33 34
33 32
34 34
36 37
36 3836 34
37 36
38 38
39 37
2
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xi=1104
yi=1124
xiyi=41,355xi =41,0862
b=(33)(41,335) ² (1104)(1124) = 0.903643
(33)(41,086) - (1104)2
a=1124 - (0-903643)(1104) =3.8296
33
Y=3.8296 + 0.903643x
y=3.8296 + 0.903643(30)
y=6.5404
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Ejercicio
Un comerciante al menudeo lleva a acabo un estudio para
determinar la relación entre los gastos semanales de publicidad
y las ventas. Se registran los siguientes datos.Costos depublicidad
($)
Ventas ($)
40 385
20 40025 395
20 365
30 475
50 440
40 49020 420
50 560
40 525
25 480
50 510
a).-Grafique un diagrama de dispersión.
b).-Encuentre la ecuación de la línea deregresión para predecir las ventas
semanales a partir de los gastos de
publicidad.
c).-Estime las ventas semanales cuandolos costos de publicidad son $35
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Partición de variabilidad total
Para ser capaces de extraer inferencias sobre y es necesario
llegar a una estimación del parámetro que aparece en las dosformulas anteriores de la varianza para A y B. El parámetro ,varianza del error del modelo, refleja la variación aleatoria o la variacióndel error experimental alrededor de la línea de regresión lineal.
Por lo que es importante tomar la siguiente notación.
2
2
Sxx = (xi-x), Syy = (yi-y), Sxy= (xi-x)(yi-y)2 2
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A hora podemos describir a la suma de estimadores
de error mínimos cuadrados de la siguiente manera:
Un estimador insesgado de s 2
S = SSE = (yi-y) = Syy ± bSxy
n-2n-2 n-2
22
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Inferencias acerca de los coeficientes de
regresión
Intervalo de confianza para
Un intervalo de confianza de (1-)100% para el
parámetro en la línea de regresión
µy x = + es
b ² t /2 S < < b + t /2 S
Sxx Sxx
Donde t /2 es un valor de la
distribución t con n-2 grados de
libertad.
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Encuentre un intervalo de confianza de 95% para en la línea de
regresión µy x = + , con base en los datos de contaminación delproblema anterior.
Sxx = (xi-x), Sxy= (xi-x)(yi-
y)
Syy = (yi-y)
b=0.9036
2
2
S = SSE = (yi-y) = Syy ± bSxy
n-2 n-2 n-2
22
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Reducción
de sólidos
Demanda
química de
oxigeno
n x y
1 3 5
2 7 11
3 11 21
4 15 165 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 4012 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
n
Reducción
de sólidos
Demanda
química de
oxigeno
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 3722 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 40
27 42 44
28 43 3729 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51
Ejemplo regresión lineal
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S = 3713.88 -(0.903643)(3752.09) = 10.4299
31
2
S = 3.2295
Con la tabla A.4. encontramos que t .025 §2.045 para 31 gradosde libertad
0.903643 ² (2.045)(3.2295) < < 0.90363 + (2.045)(3.2295)
4152.18 4152.18
0.8011< < 1.0061
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Prueba de hipótesis sobre la pendiente
Para probar la hipótesis nula Ho de que = o contra una
alternativa apropiada
t = b ± os / Sxx
Con el uso del valor estimado b=0.9036 pruebe la hipótesis de que =0contra la alternativa de que < 1.0
Ho: = 1.0Ho: < 1.0
t = 0.9036 -1-0
3.2295 / 4152.18
t=-1.92por lo que se puede concluir que la Ho: < 1.0 es correcta
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Ejemplo:
Se realiza un experimento para calibrar un instrumento electrónico que
mide la cantidad de humedad de un producto alimenticio. Los investigadores toman
lecturas del instrumento para valores seleccionados de humedad. Analice los datos y
determine lo siguiente:a.-Grafica de dispersión de los datos.
b.-Determine la ecuación de la regresión para mínimos cuadrados y realice las
operaciones correspondientes para obtener la Y de ajuste de cada uno de los
puntos.
c.-Vuelva a graficar y elabore la línea de regresión ajustada.
d.- Determine el estimador insesgado S y S²
e.- coeficiente de regresión para a un 80%f.- calcule la hipótesis de que =0 contra la Alternativa de que = de 0 Niveles de
humedad (x)
lectura del
instrumento (y)
1 4.25
1 4.31
1 4.33
2 4.61
2 4.583 4.86
3 4.97
4 5.19
4 5.21
5 5.59
5 5.49
5 5.52
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X Y
77 82
50 66
71 78
72 3481 47
94 85
96 99
99 99
67 68
2.- Las calificaciones de un grupo de nueve estudiantes en un reporte del examen
parcial de mitad del trimestre (x) y el examen final (y) son las siguientes adeterminar:
a.-Grafica para la dispersión de los datos.b.-Determine la ecuación de la regresión para mí nimos cuadrados y realice las
operaciones correspondientes para obtenerla y la de ajuste con un valor de 90
c.-Vuelva a graficar y elabore la lí nea de regresión ajustada.
d.-Determine la varianza y la desviación estándar
e.-Determine el coeficiente de determinación para a un 90%
f.- calcule la hipótesis de que =0 contra la Alternativa de que = de 0
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Inferencia Estadística de la intersección
Los intervalos de confianza y la prueba de hipótesis sobre el
coeficiente se pueden establecer a partir del hecho de que A
se distribuye normalmente.
T = A -
S xi /nSxx
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Coeficiente de regresión para
Un intervalo de confianza de (1-)100% para el parámetro en la línea de
regresión µy x = + x es
a- t/2 S xi < < a + t/2 S xi
nSxx nSxx
Donde t /2 es un valor de la distribución t con n-2 grados de
libertad
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Encuéntrese un intervalo de confianza de 95% para en la línea de
regresión µy x = + x
Sxx=4152.18
S=3.2295
xi² =41.086
a=3.8296
Con el uso de la tabla A.4 encontramos t=.,475 § ,256 para 31 grados de
libertad
3.8296 ² (,256 )(3.2295) 41.086 < < 3.8296 + (,256)(3.2295) 41.086
(33)(4152.18) (33)(4152.18)
0.2131 < < 7.4461
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Para probar la Ho de que =o contra una alternativa adecuada podemos
utilizar la distribución t con n-2 grados de libertad.
t= a - o
S X /nSxx
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Con el uso del valor estimado a = 3.8296 pruebe la hipótesis de que =0
contra la alternativa = 0
Ho = 0
H1 = 0
t= 3.8296 - 0 = 68.48
3.2295 41.086 /(33)(4152.18)
Por lo tanto concluimos que = 0
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TEMPERATURA (X)
AZUCAR
TRANSFORMADA (Y)
1 8.1
1.1 7
1.2 8.5
1.3 9.8
1.4 9.5
1.5 8.9
1.6 8.6
1.7 10.2
1.8 9.3
1.9 9.2
2 10.5
3.- Se realiza un estudio sobre la cantidad de azúcar transformada en cierto
proceso a varias temperaturas. Los datos se registran como sigue y determine:
a.-Grafica de dispersión de los datos.
b.-Determine la ecuación de la regresión para mínimos cuadrados y realice las operaciones
correspondientes para obtener la Y de ajuste de cada uno de los puntos.c.-Vuelva a graficar y elabore la línea de regresión ajustada con x igual a 1.75
d.- Determine el estimador insesgado S y S²
e.- coeficiente de regresión para a un 80%f.- calcule la hipótesis de que =0 contra la Alternativa de que = de 0g.- determine el coeficiente de regresión para = 90%h.- calcule la hipótesis de >0 contra la alternativa de que < 0