SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 1
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
EXAMEN FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Buscar los valores máximos o mínimos de las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)2𝑒−𝑥
Buscamos la primera derivada
𝑓/(𝑥) = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2
Igualamos la derivada a cero
𝑓/(𝑥) = 0
0 = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2
Factorizamos
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − (1 + 𝑥))
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − 1 − 𝑥)
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(1 − 𝑥)
Como el producto es igual a cero, se tiene
0 = (1 + 𝑥) ; 0 = 𝑒−𝑥 ; 0 = (1 − 𝑥)
Pero la función exponencial nunca es igual a cero ; 0 ≠ 𝑒−𝑥
0 = (1 + 𝑥) ; 0 = (1 − 𝑥)
Despejando la x , se tiene
𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1
Evaluamos la función en los puntos críticos
Si x= -1 𝑓(−1) = (1 − 1)2𝑒−(−1) = 0
Obtenemos el puno ( −1 , 0 )
Si x= 1 𝑓(1) = (1 + 1)2𝑒−1 = 4𝑒−1
Obtenemos el puno ( 1 , 𝑒−1 )
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Buscamos la segunda derivada
𝑓//(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2 − 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥
𝑓//(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 4(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2
Evaluamos las segundas derivadas en los puntos encontrados para
x.
𝑆𝑖 𝑥 = −1
𝑓//(−1) = 2𝑒−(−1) − 4(1 − 1)𝑒−(−1) + 𝑒−(−1)(1 − 1)2
𝑓//(−1) = 2𝑒1 = 2𝑒 > 0
Luego en el punto ( −1 , 0 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑆𝑖 𝑥 = 1
𝑓//(1) = 2𝑒−1 − 4(1 + 1)𝑒−1 + 𝑒−1)(1 + 1)2
𝑓//(1) = 2𝑒−1 − 8𝑒−1 + 4𝑒−1 = −2𝑒−1 < 0
Luego en el punto ( 1 , 𝑒−1) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑏)𝑓(𝑥) = 𝑥4
4+
2𝑥3
3−
𝑥2
2− 2𝑥
Buscamos la primera derivada
𝑓/(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Igualamos la derivada a cero
𝑓/(𝑥) = 0
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0 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Factorizamos
0 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Como el producto es igual a cero, se tiene
0 = 𝑥 + 1 ; 0 = 𝑥 − 1 ; 0 = 𝑥 + 2
Despejando la x , se tiene
𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1 ; 𝑥 = −2
Evaluamos la función en los puntos críticos
𝑆𝑖 𝑥 = −1 𝑓(−1) = (−1)4
4+
2(−1)3
3−
(−1)2
2− 2(−1)
𝑓(−1) = 1
4−
2
3−
1
2+ 2 =
13
12
Obtenemos el punto (−1,13
12 )
𝑆𝑖 𝑥 = 1 𝑓(1) = (1)4
4+
2(1)3
3−
(1)2
2− 2(1)
𝑓(1) = 1
4+
2
3−
1
2− 2 =
13
12
Obtenemos el punto (1,−19
12 )
𝑆𝑖 𝑥 = 2 𝑓(−2) = (−2)4
4+
2(2)3
3−
(2)2
2− 2(−2)
𝑓(1) = 4 −16
3− 2 + 4 =
2
3
Obtenemos el punto (−2,2
3 )
Buscamos la segunda derivada
𝑓/(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑓//(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 1
Evaluamos las segundas derivadas en los puntos encontrados para
x.
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𝑆𝑖 𝑥 = −1
𝑓//(−1) = 3(−1)2 + 4(−1) − 1
𝑓//(−1) = 3 − 4 − 1 = −2 < 0
Luego en el punto ( −1 ,13
12 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑆𝑖 𝑥 = 1
𝑓//(1) = 3(1)2 + 4(1) − 1
𝑓//(−1) = 3 + 4 − 1 = 6 > 0
Luego en el punto ( −1 ,−19
12 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑆𝑖 𝑥 = −2
𝑓//(−2) = 3(−2)2 − 4(2) − 1
𝑓//(−2) = 12 − 8 − 1 = 3 < 0
Luego en el punto (−2 ,2
3 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜
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2. Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de
20 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛. La altura del montón es siempre igual al radio de la base.
Cuando el montón tiene 3 metros de radio, conque rapidez está aumentando
la altura
El volumen del montón de arena, es igual al volumen de un cono
𝑉 = 1
3𝜋𝑟2ℎ
Pero como h = r
𝑉 = 1
3𝜋ℎ2ℎ
𝑉 = 1
3𝜋ℎ3
𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝜋ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑑ℎ
𝑑𝑡=
𝑑𝑉𝑑𝑡⁄
𝜋ℎ2
Cuando r = 3 metros
𝑑ℎ
𝑑𝑡=
20 𝑐𝑚3
𝑚𝑖𝑛⁄
𝜋(300𝑐𝑚)2
𝑑ℎ
𝑑𝑡=
20 𝑐𝑚3
𝑚𝑖𝑛⁄
90000𝜋 𝑐𝑚2=
1
4500𝜋
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
r
h
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 20 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛
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3. A) Determinar el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados,
inscrito en la elipse de ecuación 𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1 , y que tenga área máxima.
Graficamos el enunciado del problema
La base del rectángulo es 2x y la altura es 2y
El área del rectángulo es
𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
𝐴 = (2𝑥)(2𝑦) = 4𝑥𝑦
𝐴 = 4𝑥 (𝑏 ∗ √1 −𝑥2
𝑎2)
𝐴 = 4𝑏𝑥 (√1 −𝑥2
𝑎2)
Buscamos la primera derivada
𝐴/ = 4𝑏 (√1 −𝑥2
𝑎2) + 4𝑏𝑥 (
−2𝑥
𝑎2) (1 −
𝑥2
𝑎2)
−1/2
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𝐴/ = 4𝑏 (√1 −𝑥2
𝑎2) +
4𝑏𝑥 (−2𝑥𝑎2 )
(1 −𝑥2
𝑎2)1/2
𝐴/ =4𝑏 (1 −
𝑥2
𝑎2) −8𝑏𝑥2
𝑎2
(1 −𝑥2
𝑎2)1/2
𝐴/ =4𝑏 −
4𝑏𝑥2
𝑎2 −8𝑏𝑥2
𝑎2
(1 −𝑥2
𝑎2)1/2
𝐴/ =4𝑏 −
12𝑏𝑥2
𝑎2
(1 −𝑥2
𝑎2)1/2
Igualando la derivada a cero, se tiene
4𝑏 −12𝑏𝑥2
𝑎2= 0
Despejando x,
4𝑏 =12𝑏𝑥2
𝑎2
4𝑏𝑎2 = 12𝑏𝑥2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4𝑏
𝑎2 = 3𝑥2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 𝑎√3
3
Buscamos el valor de y
𝑦 = 𝑏√1 −𝑥2
𝑎2= 𝑏√1 −
1
3= √
2
3𝑏
Luego
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2√3
3𝑎 , 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2√
2
3𝑏
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B) Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un
semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal
blanco en la parte rectangular y cristal de color en el semicírculo. Sabiendo
que el cristal coloreado deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie)
que el blanco, calcular las dimensiones de la ventana para conseguir la
máxima luminosidad si se ha de mantener un perímetro constante dado.
𝐴 = 𝐴𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋𝑅2
2
𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋 (
𝑥2
)2
2
𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋𝑥2
8
El perímetro es
𝑃 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑅
𝑃 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑥
2
𝑃 = (1 +𝜋
2) 𝑥 + 2𝑦
x
y
R=x/2
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𝑃 − (1 +𝜋
2) 𝑥 = 2𝑦
𝑃
2− (1 +
𝜋
2)
𝑥
2= 𝑦
𝐴 = 𝑥 (𝑃
2− (1 +
𝜋
2)
𝑥
2) +
𝜋𝑥2
8
𝐴 =𝑥𝑃
2− (1 +
𝜋
2)
𝑥2
2+
𝜋𝑥2
8
Derivando
𝐴/ =𝑃
2− (1 +
𝜋
2) 𝑥 +
𝜋𝑥
4
𝐴/ =𝑃
2− (1 +
𝜋
2−
𝜋
4) 𝑥
𝐴/ =𝑃
2− (1 +
𝜋
2) 𝑥
Igualando la derivada a cero
0 =𝑃
2− (1 +
𝜋
2) 𝑥
𝑃
2= (1 +
𝜋
2) 𝑥
Despejando x
𝑥 =𝑃
2 (1 +𝜋2
)=
𝑃
2 + 𝜋
4) A) Determine la derivada implícita de
3𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑒2𝑥𝑦 + 𝐿𝑛(3𝑥 + 2𝑦) = 4
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𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑑𝑓𝑑𝑥𝑑𝑓𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
6𝑥𝑦2 + 𝑒2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑒2𝑥𝑦 +3
3𝑥 + 2𝑦
6𝑥2𝑦 + 4𝑥2 +2
3𝑥 + 2𝑦
B) Determine 𝑑𝑓
𝑑𝑡 si
𝑓(𝑥) = 𝑇𝑎𝑛−1(2𝑥) + 𝐶𝑜𝑠ℎ(3𝑥) + 𝑥3 ; 𝑥(𝑡) = 𝐿𝑛(𝑒4𝑡2)
Reescribimos la función x(t)
𝑥(𝑡) = 𝐿𝑛(𝑒4𝑡2) = 4𝑡2𝐿𝑛𝑒 = 4𝑡2
𝑑𝑓
𝑑𝑥=
2
1 + (2𝑥)2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2
𝑑𝑓
𝑑𝑥=
2
1 + 4𝑥2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 8𝑡
Como la regla de la cadena es
𝑑𝑓
𝑑𝑡=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑓
𝑑𝑡= (
2
1 + 4𝑥2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2) 8𝑡
𝑑𝑓
𝑑𝑡= (
2
1 + 4(4𝑡2)2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3(4𝑡2) + 3(4𝑡2)2) 8𝑡
𝑑𝑓
𝑑𝑡= (
2
1 + 64𝑡4+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(12𝑡2) + 48𝑡4) 8𝑡
𝑑𝑓
𝑑𝑡=
16𝑡
1 + 64𝑡4+ 24𝑡𝑆𝑒𝑛ℎ(12𝑡2) + 384𝑡5
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5) A) Encuentre la derivada de las siguientes funciones
𝐴1) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑒𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒𝐿𝑛(𝐶𝑜𝑠3𝑥) + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥
Reescribimos la función aplicando las propiedades de los
logaritmos
𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑒𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒𝐿𝑛(𝐶𝑜𝑠3𝑥) + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶𝑜𝑠3𝑥 + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥
𝑓/(𝑥) = 3𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑆𝑒𝑐2𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥 + 2𝑇𝑎𝑛𝑥𝑇𝑎𝑛2𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥
𝐴2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛√
(2𝑥 + 3)3
(3𝑥 − 2)5
Reescribimos la función aplicando las propiedades de los
logaritmos
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛√
(2𝑥 + 3)3
(3𝑥 − 2)5
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛 (
(2𝑥 + 3)3/2
(3𝑥 − 2)5/2)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛(2𝑥 + 3)3/2 − 𝐿𝑛(3𝑥 − 2)5/2
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+
3
2𝐿𝑛(2𝑥 + 3) −
5
2𝐿𝑛(3𝑥 − 2)
Derivando
𝑓/(𝑥) =(1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥) − (𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛𝑥)
(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)2+
2
3∗
2
2𝑥 + 3−
5
3∗
3
3𝑥 − 2
𝑓/(𝑥) =(1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥) − (𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛𝑥)
(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)2+
4
6𝑥 + 9−
15
9𝑥 − 6
B) encuentre el valor de los siguientes límites
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𝐵1) lim𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥2
4𝑥3 + 5
Verificamos si está en la forma indeterminada
lim𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥2
4𝑥3 + 5=
3∞ + 2∞
4∞ + 5
Aplicando la regla de L´hopital
lim𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥2
4𝑥3 + 5= lim
𝑥→∞
12𝑥3 + 4𝑥
12𝑥2
lim𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥2
4𝑥3 + 5= lim
𝑥→∞
36𝑥2 + 4
24𝑥
lim𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥2
4𝑥3 + 5= lim
𝑥→∞
72𝑥
24= ∞
𝐵2) lim𝑥→2
𝑥3 − 8
√𝑥 − √2
Verificamos si está en la forma indeterminada
lim𝑥→2
𝑥3 − 8
√𝑥 − √2=
23 − 8
√2 − √2=
8 − 8
0=
0
0
Aplicando la regla de L´hopital
lim𝑥→2
𝑥3 − 8
√𝑥 − √2= lim
𝑥→2
3𝑥2
1
√𝑥
= lim𝑥→2
3𝑥2√𝑥 = 3 ∗ 22 ∗ √2
lim𝑥→2
𝑥3 − 8
√𝑥 − √2= 12√2
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