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UNT Contabilidad y Finanzas
Matemática Básica para ContadoresECUACIONES CUADRÁTICAS
_______________________________
1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON LITERALES
1.1. Se tiene la ecuación02
=++ cbxax
, dondeℜ∈cba ,,
y0≠a
____________________
1.1.1. Resolver para x
1.1.2. Si0>a
entonces ¿la expresión( ) cbxax f x ++= 2
tiene máximo omnimo! ¿Cuánto! "s#o$ar %rá&ca
1.1.'. Si0<a
entonces ¿la expresión( ) cbxax f x ++=
2
tiene máximo omnimo! ¿Cuánto! "s#o$ar %rá&ca
1.1.(. Resuma la condición del discriminante en la solución de laecuación dada para cada uno de los casos anteriores. "s#o$ar%rá&cas e interpretar.
1.2. Se tiene la ecuación
ostér n
r ar ar aaS
min
322222...++++=
, donde
+ℜ∈r S ,
. ____________________
"xpresara
en t)rminos deS
yr
.
1.'. *a ecuación( ) 21 i P S +=
es la +órmula para el valor +uturoS
de una
inversión de un capital de P
unidades monetarias -M capitali$a#le
a una tasa de inter)s anuali en un periodo de dos a/os.
____________________
Resolver parai.
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1.(. *a ecuación
( )i
ik P
n−+−=
112
es la +órmula para el valor actual o
presente P
de un pr)stamo donde se pa%a cuotas constante
mensuales de
2
k unidades monetarias -M a una tasa de inter)s
e+ectiva mensuali en un periodo de
n meses.
____________________
Resolver parak
donde la expresión despeada de#e tener sóloexponente positivo.
1.. *a ecuación
( )
i
i RS
11 2 −+
=
es la +órmula para el valor +uturo
S
de
un pr)stamo donde se pa%a cuotas constante mensuales de R
unidades monetarias -M a una tasa de inter)s e+ectiva mensuali
en un periodo de dos meses. ____________________
"xprese la ecuación cuadrática polinomial parai.
1.3. Se sa#e 4ue
089136 =++
x x
____________________
Resolver para x
.
2. GRÁFICAS
2.1.5ada la expresión cuadrática( ) 83
2 +−= x y
____________________
"s#o$ar la %rá&ca de y
.
2.2.Se sa#e 4ue( ) 74
2 ++= x y
____________________
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"s#o$ar la %rá&ca de y
.
2.'.*a expresión cuadrática y
está representada por( ) 2114 −− x
____________________ "s#o$ar la %rá&ca de
y
.
2.(.5ada la expresión cuadrática( ) 25
2 −−= x y
____________________
"s#o$ar la %rá&ca de y
.
2..Se tiene la expresión cuadrática
( ) 64 2 −−−= x y
____________________
"s#o$ar la %rá&ca de y
.
2.3.5ada la +unción cuadrática( ) 322
2++= x x f x
____________________ 2.3.1. 6ra&4ue la +unción cuadrática dada.
2.3.2. 5etermine el ran%o de dic7a +unción.
3. CANTIDAD EN EQUILIBRIO
Se%8n la in+ormación proporcionada por la empresa 9:; Manu+acturaS.<. el costo &o total es 1 2== -M, el costo varia#le unitario es 2 -M, el
in%reso de operaciones por actividades ordinarias por venderq
unidades
esq100
.
____________________ 5eterminar la cantidad en el nivel de e4uili#rio.
4. INGRESO MÁXIMO
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*a +unción de demanda para el +a#ricante de un producto es
( ) q f p q 2200−==, donde
p
es el precio en unidades monetarias -M
por unidad cuando se demandan
q
unidades. ____________________ "ncuentre el nivel de producción 4ue maximi$a el in%reso total del+a#ricante y determine dic7o in%reso.
5. MARKETING
-na empresa de mar>etin% estima 4uen
meses despu)s de la
introducción del nuevo producto de un cliente,
( )n f
miles de +amilias lo
usarán, donde
( ) ( )nn f n −= 129
10
, donde120 ≤≤ n
.
____________________ "stime el n8mero máximo de +amilias 4ue lo usarán
6. APLICACIONES GEOMÉTRICAS
3.1. Se tiene un rectán%ulo cuyas medidas de sus lados están dadas
por el lar%o como x
y su anc7o como x−11
.
____________________ 3.1.1. "xprese el área de la re%ión rectan%ular como una +unción de
x
.
3.1.2. ¿0ara 4u) valor de x
, el área de dic7a re%ión rectan%ular esmáxima!
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3.2. -n contratista 4uiere cercar un terreno rectan%ular adyacente auna carretera recta, y desea utili$ar la orilla de la carretera como unode los lados del área cercada. Se sa#e 4ue el constructor cuenta con= pies de cerca.
____________________ "ncuentre las dimensiones del área máxima 4ue se puede delimitar.
. UTILIDAD?.1. *a utilidad diaria proveniente de la venta de ár#oles en el
departamento de ardinera de una tienda está dada por
( ) 144182
++−= x x P x
, donde x
es el n8mero de ár#oles vendidos. ____________________ 5etermine el nivel crtico de la +unción utilidad y %ra&4ue la misma.
?.2. *a empresa <@5"RSA@ S.<. +a#rica un producto para el cual elcosto varia#le por unidad es 3 -M y el costo &o de = === -M. Cadaunidad tiene un precio de venta de 1= -M más 6D.
_____________________ 5etermine el n8mero de artculos 4ue de#en venderse para o#teneruna utilidad de 3= === -M.
?.'. S0ARECR<FE S.R.*. produce ropa deportiva para dama y planeavender su nueva lnea de pantalones a las tiendas minoristas. "lcosto para ellos será de '' -M por pantalón. 0ara mayor comodidaddel minorista, S0ARECR<FE S.R.*. colocará una eti4ueta con el precioen cada par de pantalones.
____________________
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¿Gu) cantidad de#e ser impresa en las eti4uetas de modo 4ue elminorista pueda reducir este precio en un 2=H durante una venta ya8n o#tener una %anancia de 1H so#re el costo!
!. PLAN DE INCENTI"OS*a empresa M0ARE<5AR< 5" M<G-@<R<S 5"* @ARE" S.<. tiene unplan de incentivos para sus a%entes de ventas. *a comisión por cadamá4uina vendida es de (= -M". *a comisión de cada má4uina vendidase incrementa en =.=( -M" por cada má4uina 4ue se venda en excesode 3== unidades. 0or eemplo, la comisión so#re cada una de 3=2má4uinas vendidas será de (=.= -M".
____________________ ¿Cuántas má4uinas de#e vender un a%ente para o#tener in%resos por '=== -M"!
#. ESTACIONAMIENTO
"l estacionamiento de ER-I**A M<** mide 12= pies de lar%o por = piesde anc7o. 5e#ido a un incremento en las personas 4ue concurren adic7o centro comercial se decidió duplicar el área del lote aumentando+ranas de i%ual anc7ura en un extremo y en uno de los lados.
____________________ "ncuentre el anc7o de cada +rana.
1$. CERCA DE SEGURIDAD
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0or ra$ones de se%uridad, la empresa 6<**"E"R<S 5"* @ARE" S.<.cercará un área de 11 2== pies cuadrados en la parte posterior de suplanta, lu%ar por donde in%resan y salen los camiones con materia primay productos terminados respectivamente. -n lado estará delimitado porel edi&cio y los otros lados por la #arda. Se van a utili$ar '== pies decerca.
____________________ ¿Cuáles serán las dimensiones del área rectan%ular de la cerca!
11. IN"ERSIÓN
Se invirtió un total de 1= === -M en acciones de dos empresas,C"M"@EAS 5"* @ARE" S.<.<. y E"*"FA@J< 5"* S-R S.<.<. <l &nal delprimer a/o la empresa de cemento y de tele+ona tuvieron rendimiento
de%6
y
%543
, respectivamente, so#re las inversiones ori%inales.
____________________ ¿Cuál +ue la cantidad ori%inal asi%nada a cada empresa, si la utilidadtotal +ue de .? -M!
12. REDENCIÓN DE BONO
"l conseo de administración de la empresa estadounidense M<D"@CAR0AR<EA@ acuerda redimir al%unos sus #onos en dos a/os. 0araentonces re4uerirán 1K1=2 == -M". Supon%a 4ue en la actualidad lacompa/a reserva 1K=== === -M".
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____________________ ¿< 4u) tasa de inter)s compuesto anual, capitali$ado anualmente, de#einvertirse este dinero a &n de 4ue su valor +uturo sea su&ciente pararedimir los #onos!
13. PROGRAMA DE EXPANSIÓN
"n dos a/os, una compa/a iniciará un pro%rama de expansión. Ladecidido invertir 'K=== === -M" a7ora colocándolo a pla$o &o en elBanco del @orte, de modo 4ue en dos a/os el valor total de la inversión
sea de 'K2( === -M", la cantidad re4uerida para expansión.
____________________ ¿Cuál es la tasa de inter)s anual, compuesta anualmente 4ue lacompa/a de#e reci#ir para alcan$ar su o#etivo!
14. ALQUILER DE DEPARTAMENTO
ER-I**A LA-S" "..R.*. es una empresa de #ienes races, la misma 4uees propietaria del conunto de departamentos I<R5@"S 5" 0<R*<@",4ue comprende N3 departamentos. Si el al4uiler es de = -M"mensuales, todos los departamentos se ocupan. Sin em#ar%o, por cada2 -M" mensuales de aumento en el al4uiler, se tendrá tresdepartamentos desocupados sin posi#ilidad de 4ue se al4uilen. *aempresa inmo#iliaria 4uiere reci#ir ( 3== -M" mensuales de al4uileres.
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____________________ ¿Cuál de#e ser la renta mensual de cada departamento!
15. DISE%O DE EMPAQUE
*a empresa M<@-F<CE-R< 6FE S.<.C. está dise/ando un empa4ue para
su producto. -na parte del empa4ue será una caa a#ierta +a#ricada apartir de una pie$a cuadrada de aluminio, de la 4ue se cortará uncuadrado a 2 pul%adas desde cada es4uina para as do#lar 7acia arri#ade los lados. *a caa de#erá contener = pul%adas c8#icas.
____________________ ¿Cuáles de#en ser las dimensiones de la pie$a cuadrada de aluminio!
16. POSOLOG&A
"xisten varias re%las para determinar la dosis de medicinas adecuadaspara los ni/os una ve$ 4ue se 7a especi&cado la de los adultos. Ealesre%las pueden tener como #ase el peso, la altura, etc. < continuación se
presentan dos re%las en donde A
es la edad del ni/o,d
es la dosis para
adulto y c la dosis para ni/oO
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Re%la de :oun% O
d A
Ac
+=
12
Re%la de CoPin%O
d A
c
+=
24
1
____________________ 1. ¿< 4u) edad la dosis para ni/os son las mismas #ao am#as re%las!
Redondee su respuesta al a/o más cercano.
2. Se presume 4ue el ni/o se 7a convertido en adulto cuandod c=
, ¿<4u) edad un ni/o se convierte en adulto de acuerdo con la re%la deCoPlin%! ¿: se%8n la re%la de :oun%!
1. PRECIO DE EN"&O DE UN BIEN
"n un análisis acerca del precio de envo de un #ien desde una +á#rica aun cliente, 5eCanio plantea y resuelve las dos ecuaciones cuadráticassi%uientesO
( ) 0121 2
=+−− nvvn
y( ) 01122
=++− vnnv
donde1≥n.
____________________ 17.1. Resuelva la primera ecuación para
v.
17.2. Resuelva la se%unda ecuación parav
si 1<v
.
1!. DISE%O DE PRODUCTO
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*a empresa de dulces, 6A*AS@<S 5"* @ARE" S.<., +a#rica la popular#arra 5<@5:. *a %olosina de +orma rectan%ular tiene 1= cm de lar%o, cm de anc7o y 2 cm de %rosor. 5e#ido a un incremento en los costos, el+a#ricante 7a decidido disminuir el volumen de la #arra en un drástico2H. "l %rosor será el mismo, pero el lar%o y el anc7o se reducirán en la
misma cantidad.
____________________ ¿Cuál será el lar%o y anc7o de la nueva 5<@5:!
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