Value-at-Risk
Análisis y Gestión de Riesgo
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Distintos tipos de riesgo
Riesgopaís
Riesgopaís
Riesgo decrédito
Riesgo decrédito
Riesgo de reinversiónRiesgo de
reinversión
Riesgo de iliquidez
Riesgo de iliquidez
Riesgo de tipo de cambio
Riesgo de tipo de cambio
Riesgo operativo
Riesgo operativo
Riesgo de mercado
Riesgo de mercado
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Riesgo: algunos aspectos por considerar
Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición.
Del diccionario: Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de
seguro
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Visión intuitiva del riesgo de mercado
Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una
emisión particular. Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no
diversificable. Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales).
Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un
portafolio. Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.
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Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico
Algunas medidas de riesgo simétrico: Desviación estándar y varianza Desviación absoluta respecto a la media
Algunas medidas de riesgo asimétrico: Semidesviación estándar Probabilidades empíricas de pérdida Value-at-Risk
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Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico
Distribución asimétricahacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétricahacia pérdidas
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Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico
Distribución asimétricahacia ganancias
Resultado esperado
Distribución asimétricahacia pérdidas
Ambas tienen el mismo riesgo simétrico
Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera
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Definición del Value-at-Risk Presupuestos
Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo.
Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”)
Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora:
Horizonte deinversión
Horizonte deinversión
Significanciaestadística
Significanciaestadística
CriterioasimétricoCriterio
asimétrico
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Definición del Value-at-Risk
Definición
Es la máxima pérdida esperada
dentro de un horizonte de inversión de “n” días
con una probabilidad de error de “α”%
Horizonte deinversión
Horizonte deinversión
Significanciaestadística
Significanciaestadística
CriterioasimétricoCriterio
asimétrico
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El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado.
El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los
siguientes N días V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X%
Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones) y
según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones).
Qué es Value at Risk (VaR)
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Metodologías VaR alternativas
Las similitudes
Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales.
Las diferencias
Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente.
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Histórico”(Histogramas)
Método “Histórico”(Histogramas)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 12
Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Histórico”(Histogramas)
Método “Histórico”(Histogramas)
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VaR Analítico - Delta Normal Supuestos
El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.
Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas.
Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores?
A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado.
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VaR Analítico - Delta Normal
Posibles valores de la variable aleatoria
01%0% 2%-1%-2%
Probabilidad deocurrencia
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 15
VaR Analítico - Delta Normal
Posibles valores de la variable aleatoria
0
μ +1σμ μ +2σ
μ-1σ
μ -2σ
Probabilidad deocurrencia
μ -3σ
μ +3σ 68.26%
95.44%99.74%
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VaR Analítico - Delta Normal
Con una probabilidad de 95% en una cola … =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448 Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar
Posibles valores de la variable aleatoria
Probabilidad deocurrencia
5% 90% 5%
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VaR Analítico - Delta Normal
Generalización
Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N() tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%.
%5
x
zP %565.1
x
P
x
65.1
65.1x
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VaR Analítico - Delta Normal
Los dos componentes: la media y la volatilidad
La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso.
La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo.
Conversión de plazos
Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:
252 diariaanual 252 diariaanual
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 19
VaR Analítico - Delta Normal
Período de anulación de riesgo
El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo.
Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal.
Rendimiento:
Volatilidad:
Trr diariaperiodo
Tdiariaperiodo
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VaR Analítico - Delta Normal
El intervalo de confianza
Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días.
Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones estándar) a 1 día.
[1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996.
[2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996
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Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 22
Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 23
Data-> 1302 díasMean -> 0.000553448
StandardDeviation -> 0.0112249 Kurtosis -> 6.78236
Skewness -> -0.489853
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 24
Asunción de Normalidad
-0.03 -0.02 -0.01 0. 0.01 0.02 0.03Rend
5
10
15
20
25
30
35
Frecuencia
Data-> 252 díasMean -> -0.0000567592Skewness -> -0.101167Kurtosis -> 3.557397StandardDeviation -> 0.0109072
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 25
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 26
Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Histórico”(Histogramas)
Método “Histórico”(Histogramas)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 27
VaR Montecarlo
Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de
rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.
Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica).
Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping.
Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 28
VaR Montecarlo Procedimiento
A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos.
Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico.
Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado.
En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos
“mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 29
Movimiento Browmiano
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 30
Cotización del Indice
8000850090009500
10000105001100011500120001250013000
Mar
zoAbr
il
May
oJu
nio Julio
Agosto
Septie
mbr
e
Octubr
e
Noviem
bre
Diciem
bre
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 31
Simulación de Montecarlo
1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros.
2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo.
3) Selección de la serie de variables aleatorias.
4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal.
5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales.
6) Cálculo de la distribución de los precios finales
7) Cálculo del VaR
8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 32
Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos
{7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35}
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 33
Simulación: 50 pasos
{8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26, 7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 34
200 caminos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 35
500 caminos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 36
Histograma: 200
VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice
Mean -> 7707.1, StandardDeviation -> 256.394, Skewness -> 0.0282609, Kurtosis -> 2.80355
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 37
Histograma:500
VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 38
Metodologías VaR alternativas
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Analítico”(Delta Normal)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Montecarlo”(Simulaciones)
Método “Histórico”(Histogramas)
Método “Histórico”(Histogramas)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 39
VaR Histórico
Supuestos A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos
sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos.
Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano.
Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para
calcular el nivel de pérdidas crítico.
Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 40
VaR Histórico – Síntesis del proceso
Valoración delportafolio
Tasas de interésTasas de interés
Tipos de cambioTipos de cambio
Spreads de riesgoSpreads de riesgo
Índices bursátilesÍndices bursátiles
Tasas de interésTasas de interés
Tipos de cambioTipos de cambio
Spreads de riesgoSpreads de riesgo
Índices bursátilesÍndices bursátiles
Tasas de interésTasas de interés
Tipos de cambioTipos de cambio
Spreads de riesgoSpreads de riesgo
Índices bursátilesÍndices bursátiles
Variables actuales Cambios históricos Valores posibles
+ =
Histogramade valoresposibles
¿Qué hay más allá del Value-at-Risk?
Análisis y Gestión de Riesgo
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 42
¿Por qué el VaR no es suficiente?
Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables:
Falta de subaditividad Falta de convexidad
Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida “coherente” de riesgo.
El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 43
¿Qué es el CVaR?
Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza
dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR.
Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR.
[Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000]
Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR
sino también las pérdidas extremas de la distribución.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 44
Acción de Yahoo
Variance®0.00175868,
StandardDeviation®0.0419366,
SampleRange®0.391606,
MeanDeviation®0.0302709,
MedianDeviation®0.0211623,
QuartileDeviation®0.0220472
VaR -> -4.899%
CVaR-> -7.166%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 45
VaR -> -4.899%
CVaR-> -9.125%
VaR -> -4.899%
CVaR-> -11.29%
Acción de Yahoo (Variantes)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 46
Resumen de las ventajas del CVaR
El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR.
El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera.
El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza.
Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 47
Sol Meliá
Telefónica
BSCH
486 observaciones
- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1
20
40
60
80
100
Sol Melia
- 0.05 0. 0.05 0.1
10
20
30
40
50
60
Telefó nica
Skewness®0.555963,
QuartileSkewness® - 0.122494,
KurtosisExcess®1.72
Variance®0.000766605,
StandardDeviation®0.0276876,
SampleRange®0.225492,
MeanDeviation®0.0213998,
MedianDeviation®0.0170126,
QuartileDeviation®0.0169693
Variance®0.000591326,
StandardDeviation®0.0243172,
SampleRange®0.26306,
MeanDeviation®0.0169168,
MedianDeviation®0.0119135,
QuartileDeviation®0.0119259Skewness® - 0.340253,
QuartileSkewness® - 0.13312,
KurtosisExcess®4.74141
- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1
10
20
30
40
50
60
BSCH
Variance®0.000839184,StandardDeviation®0.0289687,SampleRange®0.208437,MeanDeviation®0.0217709,MedianDeviation®0.0167924,QuartileDeviation®0.0164853
Variance®0.000839184,
StandardDeviation®0.0289687,
SampleRange®0.208437,
MeanDeviation®0.0217709,
MedianDeviation®0.0167924,
QuartileDeviation®0.0164853Skewness®0.235453,
QuartileSkewness® - 0.0984681,
KurtosisExcess®1.10948
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 48
Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH
Valor del portafolio
Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.
61.22% Telefónica
38.78% BSCH
CVaR -> 5.190%
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.045
0.05
0.055
0.06
Perd%
VaR
CVaR
Telefónica
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 49
El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH
Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.
VaR
Sol Meliá
TelefónicaSol Meliá
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 50
El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH
Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.
48.94% Sol Meliá46.03% Telefónica5.03% BSCH
CVaR -> 4.530%
CVaR
Sol Meliá Telefónica
Sol Meliá
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 51
Descomposición del VaR (1)
Posición en un activo
VaR
100%
Portfolio VaR
Incremental VaR
Marginal VaR
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 52
Descomposición del VaR (2)
Beta VaR Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones
individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad.
2C
C1,AC
σ
σβ
1A
CCAk
CC1A
C VaRβwVaRβwVaRAk1A
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 53
Ejercicios
Cálculo del CVaR y descomposicióndel VaR con CVaR Expert
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 54
CVaR Histórico (1)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 55
CVaR Histórico (2)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 56
CVaR Histórico (3)
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 57
CVaR Histórico (4)
Siete lecciones importantes
5. Aplicación del Value-at-Risk
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 59
Primera lecciónG.I.G.O. (Garbage in… garbage out)
Aspectos por considerar
Cuidado con la forma de calcular rendimientos Un VaR a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a “n”
días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias.
Cuidado con las eliminaciones de datos Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables
consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que
todos se encuentren en la misma base de tiempo
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 60
Segunda lecciónUsar el método más robusto
En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: Discontinuidades en los rendimientos “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos) Histogramas caprichosos
Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información.
Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el VaR CVaR BetaVaR IncrementalVaR…
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 61
Tercera lecciónIdentificar claramente los factores de mercado
¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera?
Tasas de interés ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría?
Tipos de cambio ¿En qué moneda se busca preservar el valor?
Índices bursátiles ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos
o generales?
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 62
Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante…
…e implementar soluciones consistentes
¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado?
Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios
¿Qué hacer con las tasas de interés? Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de
inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los “andenes”.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 63
Quinta lección Integrar el análisis de riesgo en la plataforma
operativa
El análisis VaR debe ser permanente
Idealmente, la institución debería poder contar con la información actualizada diariamente.
Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos.
El considerable volumen de datos involucrados introduce el riesgo de errores humanos.
Debe buscarse incorporar la generación de reportes de riesgo de modo automatizado.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 64
Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de la
empresa
Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la cartera?
Imponer límites a la exposición de riesgo Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas
relativas proyectadas.
Poner a prueba su eficacia Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la
capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 65
Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo
y el propósito de gestión de riesgo
Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa.
Puntos por considerar: Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo. Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda
de información. Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. Un mismo reporte no es para todos. Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario. Incorporar en la cadena a personal especializado. No perder de vista: “¿Qué hay más allá del VaR?”
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 66
Método analítico
V:= vector de flujos W:=vector de proporciones
nwwwww ,...,,' 321
2
322
1
1131221
NNNN
N
N
n
R
R
wwwwR 1
321 ,...,, wwP '2 Pp VVaR
nVVVVV ,...,,' 321
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 67
VaR Incremental
El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera.
Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera
)var(
),cov(
p
pxx r
rr
)var(
),cov(
p
pMFMF r
rr
ww
wMF
'
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 68
VaR Incremental
pMF VaRwVaR 111
321 MFMFMFp VaRVaRVaRVaR
),cov(),cov(),cov( 3322112
pppP rrwrrwrrw
2132
211
22 ppP wwwp
Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 70
Características de los Bonos
BONO Número
Fecha de Vencimiento Vto. Años YTM %
TC (semestral) Precio % Precio $
1 15-May-04 0.980822 1.064% 5.250% 104.02% 1,041.882 15-May-04 0.980822 1.072% 7.250% 105.93% 1,061.653 15-May-05 1.980822 1.295% 6.500% 110.08% 1,102.894 15-May-05 1.980822 1.203% 12.000% 120.93% 1,213.195 15-May-06 2.980822 1.618% 2.000% 101.10% 1,011.666 15-May-06 2.980822 1.622% 4.625% 108.67% 1,088.167 15-May-08 4.983562 2.294% 2.625% 101.55% 1,016.328 15-May-08 4.983562 2.297% 5.625% 115.54% 1,157.219 15-Ago-10 7.235616 2.890% 5.750% 118.52% 1,201.19
10 15-Feb-13 9.742466 3.306% 3.875% 102.69% 1,028.0511 15-Feb-23 19.747945 4.227% 7.125% 138.50% 1,404.90
Tabla 20.1 Características de los Bonos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 71
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
08/09/1993 27/03/1994 13/10/1994 01/05/1995 17/11/1995 04/06/1996 21/12/1996
Yie
ld (
%)
tcm1y
tcm2y
tcm3y
tcm5y
tcm7y
tcm10y
tcm20y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
06/12/1999 23/06/2000 09/01/2001 28/07/2001 13/02/2002 01/09/2002 20/03/2003
Fechas
Yie
ld (
%)
tcm1y
tym 2
tcm3y
tcm5y
tcm7y
tcm10y
tcm20y
tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia 0.294% 0.257% 0.222% 0.165% 0.139% 0.111% 0.061%Desv. Estan. 1.823% 1.969% 2.008% 1.883% 1.861% 1.698% 1.439%Curtosis (exceso) 0.559 0.789 0.976 0.842 0.791 0.567 0.442 Coef. Asimetría 0.535 0.378 0.440 0.342 0.349 0.291 0.315
Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos:
SERIE 2000-2003
SERIE 1993-1997
Fuente: Reserva federal
tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia -0.028% -0.028% -0.027% -0.023% -0.021% -0.018% -0.014%Desv. Estan. 0.099% 0.120% 0.125% 0.122% 0.115% 0.112% 0.095%Curtosis (exceso) 4.324 3.178 2.535 1.967 1.961 1.651 1.332Coef. Asimetría -1.140 -0.031 0.251 0.591 0.796 0.854 0.808
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 72
Medidas Clásicas de Gestión
BONO Número
Fecha de Vencimiento
Duración Macaulay
Duración Modificada Convexidad M-2 Ñ
1 15-May-04 0.96846 -0.9437 1.4488 16.2591 2.01582 15-May-04 0.96392 -0.9302 1.4529 16.2978 2.01803 15-May-05 1.89248 -1.8329 4.7016 9.7507 1.55384 15-May-05 1.82940 -1.7258 4.5993 10.2043 1.58535 15-May-06 2.90829 -2.8795 9.9728 4.5023 1.04596 15-May-06 2.82316 -2.7594 9.6942 5.0015 1.08847 15-May-08 4.70326 -4.6423 25.0177 0.9015 0.14848 15-May-08 4.45058 -4.3288 23.4902 1.7139 0.27479 15-Ago-10 6.12530 -5.9541 43.8626 5.2826 1.0854
10 15-Feb-13 8.25620 -8.0993 77.9711 18.0137 2.016911 15-Feb-23 12.20350 -11.7837 196.3140 99.3028 4.1412
Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 73
CARTERA (Número) 1er Bono
2do Bono % (1er) Convexidad M-2 Ñ
1 1 9 21.822% 34.607 7.678 1.2882 1 10 44.681% 43.781 17.230 2.0163 1 11 64.116% 71.373 46.058 2.7784 2 9 21.802% 34.616 7.684 1.2895 2 10 44.653% 43.804 17.248 2.0176 2 11 64.090% 71.427 46.105 2.7807 3 9 26.585% 33.452 6.470 1.2108 3 10 51.168% 40.480 13.786 1.7809 3 11 69.862% 62.449 36.740 2.334
10 4 9 26.195% 33.578 6.572 1.21611 4 10 50.666% 40.797 14.057 1.79812 4 11 69.437% 63.192 37.435 2.36613 5 9 34.980% 32.008 5.010 1.07214 5 10 60.887% 36.569 9.787 1.42615 5 11 77.497% 51.905 25.835 1.74216 6 9 34.078% 32.219 5.187 1.08617 6 10 59.933% 37.051 10.215 1.46018 6 11 76.794% 53.002 26.885 1.79719 7 9 79.133% 28.950 1.816 0.34420 7 10 91.648% 29.440 2.331 0.30421 7 11 96.044% 31.795 4.795 0.30622 8 9 67.193% 30.174 2.885 0.54123 8 10 85.563% 31.356 4.067 0.52624 8 11 92.913% 35.738 8.630 0.549
Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras
CAMBIOS PARALELOS
La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71.427).
Le sigue la Cartera 3 (con 71.373 de convexidad).
CAMBIOS NO PARALELOS
La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ.
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 74
CART (Num)
1er Bono
2do Bono % (1er) Media
Desv. Estan.
Exce. Curt.
Coef. Asime.
VaR 90%
VaR 95%
VaR 99%
1 1 9 21.8% 0.270% 3.355% 20.651 -3.754 4.030% 5.249% 7.536%2 1 10 44.7% 0.273% 2.962% 10.648 -2.699 3.524% 4.600% 6.619%3 1 11 64.1% 0.262% 2.989% 12.205 -2.938 3.568% 4.654% 6.691%4 2 9 21.8% 0.270% 3.508% 22.394 -3.984 4.226% 5.501% 7.892%5 2 10 44.7% 0.272% 3.210% 17.693 -3.407 3.842% 5.009% 7.196%6 2 11 64.1% 0.261% 3.216% 18.063 -3.534 3.861% 5.029% 7.221%7 3 9 26.6% 0.270% 3.450% 20.530 -3.719 4.151% 5.405% 7.756%8 3 10 51.2% 0.272% 3.254% 15.937 -3.134 3.990% 5.200% 7.470%9 3 11 69.9% 0.263% 3.367% 18.196 -3.495 5.351% 6.974% 10.020%10 4 9 26.2% 0.269% 3.481% 19.996 -3.658 4.192% 5.457% 7.829%
Principales Carteras 2000-2003
CART (Num)
1er Bono
2do Bono % (1er) Media
Desv. Estan.
Exce. Curt.
Coef. Asime.
VaR 90%
VaR 95%
VaR 99%
1 1 9 21.8% 0.110% 3.987% 28.782 3.802 4.999% 6.448% 9.165%2 1 10 44.7% 0.116% 3.348% 9.296 2.091 4.174% 5.390% 7.672%3 1 11 64.1% 0.118% 3.378% 12.702 2.345 4.212% 5.439% 7.741%4 2 9 21.8% 0.109% 4.026% 28.042 3.708 5.050% 6.513% 9.257%5 2 10 44.7% 0.115% 3.392% 8.421 1.907 4.233% 5.465% 7.777%6 2 11 64.1% 0.115% 3.421% 12.515 2.213 4.268% 5.511% 7.842%7 3 9 26.6% 0.110% 4.004% 28.900 3.732 5.021% 6.476% 9.205%8 3 10 51.2% 0.116% 3.396% 7.328 1.715 4.335% 5.597% 7.965%9 3 11 69.9% 0.117% 3.515% 15.235 2.393 5.789% 7.476% 10.641%10 4 9 26.2% 0.108% 4.120% 25.877 3.638 5.172% 6.668% 9.476%
Principales Carteras 1993-1997
Asumiendo Normalidad
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 75
VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003
VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997
Distribuciones Reales
CART (Num)
1er Bono
2do Bono % (1er)
VaR 90%
VaR 95%
VaR 99%
CVaR 90%
CVaR 95%
CVaR 99%
1 1 9 21.8% 1.313% 2.972% 18.367% 6.401% 10.668% 20.768%2 1 10 44.7% 1.950% 5.766% 13.125% 6.319% 10.335% 15.008%3 1 11 64.1% 1.851% 3.778% 15.185% 6.429% 10.197% 15.675%4 2 9 21.8% 1.671% 2.953% 21.875% 6.482% 10.935% 22.298%5 2 10 44.7% 2.022% 2.891% 16.467% 6.455% 10.652% 19.441%6 2 11 64.1% 1.475% 4.049% 16.211% 6.562% 10.640% 19.254%7 3 9 26.6% 1.666% 3.602% 21.171% 6.503% 10.891% 21.613%8 3 10 51.2% 1.446% 3.546% 14.399% 6.650% 10.800% 18.636%9 3 11 69.9% 1.531% 4.008% 18.210% 6.749% 10.793% 20.265%
10 4 9 26.2% 1.869% 3.785% 21.145% 6.669% 10.911% 21.686%
CART (Num)
1er Bono
2do Bono % (1er)
VaR 90%
VaR 95%
VaR 99%
CVaR 90%
CVaR 95%
CVaR 99%
1 1 9 21.8% 3.471% 5.039% 8.471% 5.268% 6.423% 9.176%2 1 10 44.7% 3.699% 4.486% 6.099% 4.657% 5.394% 6.481%3 1 11 64.1% 3.026% 4.352% 6.156% 4.742% 5.730% 7.362%4 2 9 21.8% 3.539% 5.564% 8.446% 5.458% 6.653% 9.182%5 2 10 44.7% 3.758% 4.807% 6.725% 5.030% 5.825% 6.787%6 2 11 64.1% 3.021% 4.547% 7.054% 4.994% 6.219% 7.800%7 3 9 26.6% 3.431% 5.477% 9.060% 5.432% 6.703% 9.153%8 3 10 51.2% 3.561% 4.376% 7.094% 5.080% 6.195% 7.186%9 3 11 69.9% 3.215% 4.431% 7.779% 5.104% 6.398% 8.652%
10 4 9 26.2% 3.607% 5.525% 9.305% 5.525% 6.898% 9.430%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 76
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.045
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA 1HBono 1 y Bono 9L93- 97
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.045
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA 2HBono 1 y Bono 10L93- 97
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.045
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA 3HBono 1 y Bono 11L93- 97
CARTERA 1
W1 = 40.35%W9 = 59.65%
CVaR = 5.824%Dm = 4.045Cnx = 26.749M2= 5.28
CARTERA 2
W1 = 45.495%W10 = 54.505%
CVaR = 5.393%Dm = 4.941Cnx = 43.157M2= 18.014
CARTERA 3
W1 = 40.059%W11 = 56.941%
CVaR = 5.443%Dm = 7.366Cnx = 112.407M2= 99.303
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA 4HBono 2 y Bono 9L93- 97
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.045
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA5HBono 2 y Bono 10L93- 97
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.045
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Perd% CARTERA6HBono 2 y Bono 11L93- 97
CARTERA 4
W2 = 34.932%W9 = 65.058%
CVaR = 6.250%Dm = 4.322Cnx = 29.048M2= 5.286
CARTERA 5
W2 = 43.04%W10 = 56.96%
CVaR = 5.819%Dm = 5.118Cnx = 45.038M2= 18.014
CARTERA 6
W1 = 41.42%W9 = 58.58%
CVaR = 5.869%Dm = 7.548Cnx = 115.603M2= 99.30
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 77
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA1HBono 1 y Bono 9L00- 03CARTERA 1
W1 = 33.99%W9 = 66.01%
CVaR = 10.386%Dm = 4.373Cvx = 29.447M2= 9.013
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA 2HBono 1 y Bono 10L00- 03 CARTERA 2
W1 = 32.52%W10 = 67.48%
CVaR = 10.302%Dm = 5.886Cvx = 17.443M2= 17.443
0.2 0.4 0.6 0.8 1w1
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA 3HBono 1 y Bono 11L00- 03 CARTERA 3
W1 = 32.17%W11 = 67.83%
CVaR = 9.934%Dm = 8.589Cvx = 133.629M2= 72.589
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA 4HBono 2 y Bono 9L00- 03CARTERA 4
W2 = 33.92%W9 = 57.08%
CVaR = 10.707%Dm = 4.374Cvx = 29.476M2= 4.374
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA 5HBono 2 y Bono 10L00- 03 CARTERA 5
W2 =32.51%W10 = 68.49%
CVaR = 10.638%Dm = 5.885Cvx = 53.094M2= 17.456
0.2 0.4 0.6 0.8 1w2
0.04
0.06
0.08
0.12
Perd% CARTERA 6HBono 2 y Bono 11L00- 03 CARTERA 6
W1 = 40.52%W9 = 59.48%
CVaR = 10.238%Dm = 7.649Cvx = 117.350M2= 65.667
OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003
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