VECTORES EN EL PLANO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 C
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido
con punto inicial P y punto final Q
PQ
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
Al g
e bra
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a lVectores en el plano
La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este
sentido SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
PS
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
Al g
e bra
line
a lVectores en el planoVectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
O Eje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
Al g
e bra
line
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(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
Al g
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line
a lVectores en el plano
u=(a,b)
Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:
u
a
b P(a,b)
Eje Y
OEje X
Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de
números reales
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
Punto P en el plano
(a,b)2
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares
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a lVectores en el plano
Magnitud o norma de un
vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de uAngulo positivo que forma con el eje X
22 bau ab tag
u
a
b (a,b)Eje Y
O Eje X
Un vector de norma uno se llama unitario
Al g
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Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector: suma u+v como
u+v= (x+a, y+b) producto por un escalar u como u=(x, y).
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que
u+v=(x+a,y+b)
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
Al g
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line
a lVectores en el plano
Operaciones con vectores
u+v=(x+a,y+b)
a
y
O
Eje Y
Eje X
u+ v u
v
a x
y
b b
b x
x
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
Investiga por tu cuenta
¿Hay alguna relación entre las normas de u, v y la de u+v?
¿Hay alguna relación entre la direcciones de u, v y la de u+v?
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
Operaciones con vectores
Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=(x, y)
Eje Y
O Eje X
u
u
>0
u <0
Al g
e bra
line
a lVectores en el plano
Operaciones con vectores
u=(x, y)
u
u
O
Eje Y
Eje X x
y
Triángulos semejantes
y¿
x?
uu
y
x
?
¿
Al g
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a lVectores en el plano
Ejercicio 1
¿Cuál es la relación entre las normas de u y la de u?
¿Hay alguna relación entre la direcciones de u y la de u?
Al g
e bra
line
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Ejercicio 2
Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (4,-3)Encuentre el vector unitario con dirección /4.
Al g
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line
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Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
ij xi
yj
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line
a lVectores en el planoProducto escalar
Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1
i.j=j.i=0
ybxav.u j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaivyjxiu
Al g
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Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
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Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
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Propiedades del producto escalar
Prueba: Ejercicio
Teorema: Sean u,v vectores en 2 y un número real, entonces:
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
2uu.u
Al g
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Interpretación geométrica:
Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u
v
u
ucos
w= vv
v.u2
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a lVectores en el plano
Teorema del coseno:
cosvuv.u
Prueba:
v
uv-u
cosvu2vuuv 222
cosvu2vu)uv).(uv( 22
cosvu2vuuv.u2v 2222
cosvu2v.u2
Al g
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a lVectores en el planoTeorema:
v
u
Proyvu
Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que
es un vector ortogonal a vvv
v.uu 2w=
w=u-proyvuw
Al g
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a lVectores en el plano
Prueba del Teorema:
Por lo tanto wv
0vv
v.uv.u
v.vv
v.uv.uv.vv
v.uu
22
22
w.v=
w.v=
Al g
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a lVectores en el plano
Ejercicio Propuesto
Pruebe que u y v son ortogonales si y solo si u.v=0Pruebe que u y v son paralelos si y solo si u es múltiplo escalar de v, es decir si u= v
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Solución Nº1
uuyx)y()x(u
22222
1)
o tgxy
xytg
u)dirección( )u(dirección2)
Al g
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a lVectores en el plano
Solución Nº1
2) Eje Y
O Eje X
u
u
>0
u <0
+
Al g
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a lVectores en el plano
Sea la dirección del vector u, entonces
2)
00
sisi
Dirección de u=
Solución Nº1
Al g
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Solución Nº2
5916 u por lo tanto
(4,-3) es el vector buscado 5
44 uu
a) Queremos encontrar tal que:
44 uu 04 ,u
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a lVectores en el planoSolución Nº2
1u),y,x(u
)22,2
2(u
b) Eje Y
O Eje X
uSen
cos
Sen
)sen,(cosu 44
yxxy
4tg1
22xx2u1 22
1sencosu 22
De otra manera: