Vectores
Vectores
Veronica Briceno V.
octubre 2013
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 1 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacio
Operaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalar
Representacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion Geometrica
Producto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto Punto
Proyeccion OrtogonalProducto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion Ortogonal
Producto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
En esta Presentacion...
... veremos:
Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 2 / 29
Vectores en R2
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 3 / 29
Vectores en R3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 4 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...
Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...
Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...
Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~AB
Un vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ R
Vector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)
En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)
En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Notacion
Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 5 / 29
Operaciones Basicas
Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi ,∀i = 1, ...nSuma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)
Producto por escalar.α~v = (αv1, αv2, ..., αvn)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 6 / 29
Operaciones Basicas
Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi , ∀i = 1, ...n
Suma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)
Producto por escalar.α~v = (αv1, αv2, ..., αvn)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 6 / 29
Operaciones Basicas
Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi , ∀i = 1, ...nSuma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)
Producto por escalar.α~v = (αv1, αv2, ..., αvn)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 6 / 29
Operaciones Basicas
Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi , ∀i = 1, ...nSuma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)
Producto por escalar.α~v = (αv1, αv2, ..., αvn)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 6 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...
Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...
Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!
En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~v
Considere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Ejemplos
Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 7 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v
~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~0
0 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~0
1 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v
~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~v
α(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w
(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v
(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Propiedades
∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:
~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 8 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.
Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.
Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Producto Punto (Escalar)
Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.
Definicion Producto Punto
~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R
Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 9 / 29
Ejemplos...
Sean ~u = (1,2,√
3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~vSean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 10 / 29
Ejemplos...
Sean ~u = (1,2,√
3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~v
Sean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 10 / 29
Ejemplos...
Sean ~u = (1,2,√
3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~vSean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 10 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0
~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v
~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w
(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.
Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Producto Punto (Escalar)
TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)
NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 11 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.
Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:
Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :
d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Norma
Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.
Definicion Norma
||~v || =√~v · ~v =
√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn
Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 12 / 29
Ejemplos...
Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 13 / 29
Ejemplos...
Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||
La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 13 / 29
Ejemplos...
Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =
La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 13 / 29
Ejemplos...
Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 13 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0,∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0,∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0
||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||
||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||
||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)
|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:
En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Norma
TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,
||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Dem:En la pizarra...
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 14 / 29
Vector Unitario
DefinicionUn vector de norma 1, se llama unitario
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 15 / 29
Ejemplos...
Sea ~w = (cos θ, sen θ).El vector ~u = (1,2,
√3) no es unitario.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 16 / 29
Ejemplos...
Sea ~w = (cos θ, sen θ).
El vector ~u = (1,2,√
3) no es unitario.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 16 / 29
Ejemplos...
Sea ~w = (cos θ, sen θ).El vector ~u = (1,2,
√3) no es unitario.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 16 / 29
Angulo entre vectores
X
Y
Z
v
w
v-w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 17 / 29
Angulo entre vectores
DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.
Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:
~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)
es el angulo entre ~v y ~w .
Dem: Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 18 / 29
Angulo entre vectores
DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:
~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)
es el angulo entre ~v y ~w .
Dem: Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 18 / 29
Angulo entre vectores
DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:
~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)
es el angulo entre ~v y ~w .
Dem: Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 18 / 29
Angulo entre vectores
DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:
~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)
es el angulo entre ~v y ~w .
Dem:
Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 18 / 29
Angulo entre vectores
DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:
~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)
es el angulo entre ~v y ~w .
Dem: Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 18 / 29
Paralelismo y Perpendicularidad
DefinicionSean ~v , ~w vectores de Rn.
Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~wDos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π
2 . Esto es, ~v · ~w = 0.Se denota: ~v ⊥ ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 19 / 29
Paralelismo y Perpendicularidad
DefinicionSean ~v , ~w vectores de Rn.
Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~w
Dos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π
2 . Esto es, ~v · ~w = 0.Se denota: ~v ⊥ ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 19 / 29
Paralelismo y Perpendicularidad
DefinicionSean ~v , ~w vectores de Rn.
Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~wDos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π
2 . Esto es, ~v · ~w = 0.Se denota: ~v ⊥ ~w
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 19 / 29
Ejercicios
Sean ~v = (1,0,√
2) y ~w = (−2,−1,√
2). Probar que sonortogonales.Sean ~v = (1,−1,0) y ~w = (1,1,0). Consideremos el problema deencontrar un vector ~u ∈ R3 que cumpla las siguientes trescondiciones:~u ⊥ ~v||~u|| = 4]~u, ~w = π
3
Encontrar el angulo entre una diagonal de un cubo y uno de suslados.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 20 / 29
Proyeccion Ortogonal
u
tw w
u-tw
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 21 / 29
Proyeccion Ortogonal
DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.
Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:
proy~w~u =~w · ~u~w · ~w
~w
El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 22 / 29
Proyeccion Ortogonal
DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:
proy~w~u =~w · ~u~w · ~w
~w
El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 22 / 29
Proyeccion Ortogonal
DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:
proy~w~u =~w · ~u~w · ~w
~w
El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 22 / 29
Proyeccion Ortogonal
DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:
proy~w~u =~w · ~u~w · ~w
~w
El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 22 / 29
Ejercicios
Sean ~u = (5,0,√
2) y ~v = (2,1,√
2). Calcular: proy~v~u y proy~u~vSean ~v = (3,1,0) y ~w = (2,2,0). Determinar ~u ∈ R3, tal que~u = (x , y , x) y que cumpla las siguientes condiciones:proy~u~v = −~v y ~u ⊥ ~vConsidere un triangulo determinado por los puntos A,B,C ∈ R3.Calcular la altura y el area de la siguiente manera:Sean: ~u = B − A y ~w = C − A, entonces la altura es:h = ||~u − proy~w~u||Como la base mide ||~w || entonces:
A =||~w || · ||~u − proy~w~u||
2Sea A(2,2,2),B(1,1,0)C(0,2,2). Calcular el area del trianguloABC.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 23 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.
~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Producto Cruz (Vectorial) en R3.
Definicion
Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k
NEMOTECNIA
~v × ~w = det
i j kv1 v2 v3w1 w2 w3
Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 24 / 29
Ejemplos...
Sean ~u = 2i + 4j − 5k y ~v = −3i − 2j + kCalcular: ~v × ~u y ~u × ~v
Sean ~u = (1,−1,1) , ~v = (0,1,−1) y ~w = j .Determinar la alternativa correcta:A) (~u × ~v) · ~w = ~u × (~v · ~w)B) ]~u, ~v = ]~u, ~wC) ||~w || = ||~u + ~v ||D) (~u + ~v) ⊥ ~wE) ~u ‖ (~v + ~w)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 25 / 29
Ejemplos...
Sean ~u = 2i + 4j − 5k y ~v = −3i − 2j + kCalcular: ~v × ~u y ~u × ~vSean ~u = (1,−1,1) , ~v = (0,1,−1) y ~w = j .Determinar la alternativa correcta:A) (~u × ~v) · ~w = ~u × (~v · ~w)B) ]~u, ~v = ]~u, ~wC) ||~w || = ||~u + ~v ||D) (~u + ~v) ⊥ ~wE) ~u ‖ (~v + ~w)
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 25 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~0
2 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)
3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)
4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 0
5 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 0
6 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)
7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w
8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w
9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Propiedades
1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)
10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 26 / 29
Observacion
~u × ~v es un vector.
Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~vDe la Igualdad de Lagrange, se obtiene:
||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ
donde θ es el angulo entre los vectores ~u y ~v .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 27 / 29
Observacion
~u × ~v es un vector.Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~v
De la Igualdad de Lagrange, se obtiene:
||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ
donde θ es el angulo entre los vectores ~u y ~v .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 27 / 29
Observacion
~u × ~v es un vector.Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~vDe la Igualdad de Lagrange, se obtiene:
||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ
donde θ es el angulo entre los vectores ~u y ~v .
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 27 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.
Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||
Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.
Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||
Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θ
Ası, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||
Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||
Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Interpretacion Geometrica Producto Cruz
Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3
Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:
V = det
u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 28 / 29
Ejercicios Propuestos
Encuentre las coordenadas de un vector ~a ∈ R3 de modulo√
3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 29 / 29
Ejercicios Propuestos
Encuentre las coordenadas de un vector ~a ∈ R3 de modulo√
3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .
Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 29 / 29
Ejercicios Propuestos
Encuentre las coordenadas de un vector ~a ∈ R3 de modulo√
3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .
Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 29 / 29
Ejercicios Propuestos
Encuentre las coordenadas de un vector ~a ∈ R3 de modulo√
3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).
Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 29 / 29
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