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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU
FACULTAD DE INGENIERA DETELECOMUNICACIONES Y TELEMATICA
VECTORES EN R3Lic. Eduardo M. Bolvar Joo
email:[email protected]
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TEMA : VECTORES EN R2 y R3
MTEMATICA BASICA II
UNIDAD 2
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Habilidades:
1. Define un vector geomtricamente.
2. Reconoce un vector en el plano y el espacio.
3. Realiza operaciones con vectores.4. Descompone un vector en trminos de sus
componentes rectangulares.
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Definamos el vector como un
segmento de recta dirigido.
Sean P y Q dos puntos del
espacio. El segmento de recta
dirigido PQ, es el segmento de
recta que va del punto inicial Pal punto final Q.
Definicin 1: (Definicin geomtrica de un vecto
VECTORES
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A
B
R = A+B
B
R = A+B
A
Mtodo del tringulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adicin de vectores
x
z
y
Mtodo del
paralelogramo.
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Definicin 2: (Definicin algebraica de unvector)
Un vector v en el plano XY es un par
ordenado de nmeros reales (a,b), donde a yb se llaman componentes del vector.(a,b) v= (a,b) se llama vector
de posicin, cuyo puntoinicial es el origen (0,0)
y
x
VECTORES EN EL PLANO (R2)
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Direccin del vector (a,b): ngulomedido en radianes, que forma el vector
con el semieje positivo de las X (abscisas).
22bav
0a,a
btan
Magnitud de un vector: Se denota por v
20
v= (a,b)con:
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VECTOR EN R3
2
3
2
2
2
1aaaa
p(a1,a2,a3)z
x
y
a
a1
a2a3
mdulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de
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Z
X
Y
Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
Ejes Perpendiculares
Origen
Z
Y
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Z
X
Y
X0
Y
0
Z
0
(X0 Y0
Z0)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ubicacin de un punto en el espacio.
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Vector Tridimensional Operaciones bsicas
a
b
ba
a
at
),,( 321 tatataat
),,( 332211 babababa
Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
Dos vectores son iguales si tienen el mismo mdulo, direccin y
sentido 332211 ,, babababa
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)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i
Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R3 existen tres vectores que nospermiten representar cualquier otro vector
como una combinacin lineal de ellos. Se lesllaman vectores cannicos y se representanpor
a
aaa
a
a
ua
),,( 321
1u
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VECTORES UNITARIOS i, j, k
x
z
y
i
j
k
Los vectores i, j y k son unitarios y estndirigidos en la direccin de los ejes x, y y zrespectivamente.
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Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre s si todas sus
componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definicin
),,( 321 aaau
),,( 321 bbbv
Dado:
vu
// kb
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1
vku
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PRODUCTO ESCALAR
cosvuvu
u
v
Donde: 1800 rad0 o
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1. El producto escalar de dos vectores es
un nmero real.
OBSERVACIONES:
2.Si los vectores son perpendicularesel producto escalar es cero y viceversa.
3. a . a = a 2
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Producto escalar en trminos decomponentes.
Se define:
En R2, sean:
)b;a(v)b;a(u 2211 ;
2121 bbaavu
Se define:
En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111
212121 ccbbaavu
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Sean y dos vectores cualesquiera que formanun ngulo . El producto vectorial se
define como un vector que tiene:
u
v
vu
Magnitud:
Direccin: Perpendicular al plano que forman
senvu
vyu
PRODUCTO VECTORIAL
NOTA:Este producto slo se da para vectores en R3
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Regla de la mano derecha
u
v
vu
uv
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PRODUCTO VECTORIAL EN TRMINOS DELAS COMPONENTES.
)baba,caca,cbcb(vu 122121121221
)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111
Se define al Producto Vectorial
como:
vu
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OJO
Existe un recurso nemotcnico para recordar
la frmula del producto vectorial, el cual
emplea la notacin de determinante:
kji22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
cb
cbvu
222
111
cba
cba
kji Es decir puededesarrollarse
como un
determinante
Observe que la primera fila contiene vectores y no
nmeros reales
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Ejemplo
Sea a = 4i 2j + 5k, b = 3i +jk, hallara b.Solucin
kji
kji
ba
13
24
13
54
11
52
113
524
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VECTOR ORTOGONAL
(i) a b > 0 si y slo si es agudo(ii) a b < 0 si y slo si es obtuso(iii) a b = 0 si y slo si cos = 0, = /2
Observacin: Como 0 b = 0, decimos queel vector nulo es ortogonal a todos losvectores.
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y slo sia b = 0.
Criterio de Vectores Ortogonales
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Ejemploi,j, k son vectores ortogonales.i j =j i = 0,j k = k j = 0, k i = i k = 0
EjemploSi a = 3i j + 4k, b = 2i + 14j + 5k,
entoncesa b = 6 14 + 20 = 0
Son ortogonales.
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ngulo que Forman Dos
Vectores
||||||||cos 332211
ba
bababa
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Ejemplo
Hallar el ngulo entrea = 2i + 3j + k, b= i + 5j + k.Solucin
14,27||||,14|||| baba
9
42
2714
14cos
44.9
77.09
42
cos1
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Cosenos Directores
Observando la figura , los ngulos , , se llamanngulos directores. Ahora por la ecuacion anterior
decimos que cos , cos , cos son cosenosdirectores, y
cos2+ cos2+ cos2 = 1
||k||||a||
ka
||j||||a||
ja
||i||||a||
ia cos,cos,cos
||a||||a||||a||
321 cos,cos,cos aaa
kjik||a||
j||a||
i||a||
a||a||
)(cos)(cos)(cos1 321 aaa
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Ejemplo
Hallar los cosenos directores y los ngulosdirectores de a = 2i + 5j + 4k.
Solucin
5345452||||222
a
53
4cos,
53
5cos,
53
2cos
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Areas
rea de un paralelogramoA = || a b||
rea de un tringuloA = ||a b||
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Fig 7.50
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EjemploHallar el area del tringulo definido por lospuntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0,1).Solucin
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EjemploHallar el area del tringulo definido por lospuntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0,1).Solucin
Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemosdos vectores a = , b =
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EjemploHallar el area del tringulo definido por lospuntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0,1).Solucin
Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemosdos vectores a = , b =
kji
kji
kji
58
31
21
51
31
53
32
531
3213221
PPPP
102
3||58||
2
1 kjiA
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Ejemplo
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