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ma
5
Te
ma
5
: M
od
elo
s G
eo
mé
tric
os
2
Indice
Definición
Clasificación de los modelos geométricos
Modelo alámbrico
Modelos superficiales
Modelos sólidos
Otros modelos
Te
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: M
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tric
os
3
Definiciones
Def 1: “Conjunto de métodos matemáticos que
utilizamos para describir la forma de un objeto y
para expresar algunas de sus propiedades
físicas.”
Def 2: “Representación de un objeto en forma de
descripción matemática y geométrica”
Def 3: “Conjunto de estructuras de datos,
algoritmos de manejo de esas estructuras y
operaciones disponibles entre las estructuras que
dan soporte a la información geométrica
correspondiente a un objeto”
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4
Características
Las características deseables para
todos modelo geométrico son:
• Preciso
• No ambiguo
• Compacto
• Rápido
• Util
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5
Clasificación
Modelo Alámbrico
Modelos Superficiales• Objetos poligonales
• Superficies Cuádricas y Supercuádricas
• Isosuperficies
• Superficies Libres o Paramétricas
Modelos Sólidos• Instanciación de Primitivas
• Objetos generados por barrido
• Enumeración espacial
• Geometría Sólida Constructiva (CSG)
Otros Modelos• Modelos de Geometría Fractal
• Modelos Gramaticales
• Sistemas de Partículas
• Modelos Basados en Características Físicas
• Modelos para Visualización Científica
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6
Modelo Alámbrico
Conceptos
Los objetos se representan describiendo vértices y aristas
Estructuras de almacenamiento
• Lista de aristas
• Lista de aristas y de vértices
V1
V2
V4
V3
A1
A2A3
A4
A6
A5
Arista Inicio Fin
A1 (x1, y1, z1) (x2, y2, z2)
A2 (x2, y2, z2) (x3, y3, z3)
A3 (x3, y3, z3) (x1, y1, z1)
A4 (x2, y2, z2) (x4, y4, z4)
A5 (x1, y1, z1) (x4, y4, z4)
A6 (x4, y4, z4) (x3, y3, z3)
Vértice Coordenadas
V1 (x1, y1, z1)
V2 (x2, y2, z2)
V3 (x3, y3, z3)
V4 (x4, y4, z4)
Arista Inicio Fin
A1 V1 V2
A2 V2 V3
A3 V3 V1
A4 V2 V4
A5 V1 V4
A6 V4 V3
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7
Modelo Alámbrico
Características
Ventajas
• Sencillo
• Visualización muy rápida
Inconvenientes
• Visualización ambigua
• No permite visualizar superficies ni visualización realista
• No guarda información sobre puntos interiores/exteriores
• No guarda información sobre superficies ni sólidos
• Es aproximado
• Pueden perderse líneas de silueta
Sólo se emplea para visualizaciones preliminares muy
rápidas
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8
Modelos Superficiales
Conceptos
También se llaman B-Rep (Boundary Representation)
Los objetos se representan con vértices, aristas y caras
Las caras pueden ser planas (modelo poligonal) o
curvas (modelo de superficies curvas)
Fórmula de Euler-Poincaré: relaciona número de
vértices, aristas, caras y agujeros. Asegura que el objeto
es un sólido topológicamente correcto
F + V – E – R = 2 (S – H)
R: nº anillos
S: nº objetos independientes
H: nº agujeros
F: nº caras
V: nº vértices
E: nº aristas
F: 15
V: 24
E: 36
R: 3
S: 1
H: 1
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9
Modelos Superficiales.
Estructuras de almacenamiento
Dos tipos de almacenamiento
• Listas
• Aristas aladas
Almacenamientos en listas: se definen
dos tipos de listas:
• Listas de geometría almacenan datos
geométricos: vértices, aristas, caras, …
• Listas de atributos almacenan otros datos:
color, transparencia, material, …
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10
Vértice Coord Atributos
V1 (x1, y1, z1) AtrV1
V2 (x2, y2, z2) AtrV2
V3 (x3, y3, z3) AtrV3
V4 (x4, y4, z4) AtrV4
Modelos Superficiales
Estructuras de almacenamiento
Listas de geometría• Sólo una lista de caras:
información redundante
• Lista de caras y vértices
• Lista de caras, aristas y
vértices
• Mínima redundancia
• Consistencia de los datos
• Atributos de caras, aristas y vértices
• Referencias cruzadas
Listas de atributos• Propiedades del material
• Ecuaciones de los planos
• Ecuaciones de las superf. curvas
V1 V2
V4
V3
A1
A2A3
A4
A6
A5
C1 C2
C3
C4
Arista Inicio Fin Atributos
A1 V1 V2 AtrA1
A2 V2 V3 AtrA2
A3 V3 V1 AtrA3
A4 V2 V4 AtrA4
A5 V1 V4 AtrA5
A6 V4 V3 AtrA6
Polígono Aristas Atributos
C1 A1,A2,A3 AtrC1
C2 A2,A4,A6 AtrC2
C3 A3,A6,A5 AtrC3
C4 A1,A5,A4 AtrC4
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Modelos Superficiales.
Estructuras de almacenamiento
Aristas aladas:
• Grafo no dirigido
• Los nodos representan vértices y aristas
• Las uniones entre nodos representan relaciones de
incidencia entre aristas y vértices.
A1
A2A3 A4
A5
A6
V1 V2
V3 V4
V1 V2
V4
V3
A1
A2A3
A4
A6
A5
C1 C2
C3
C4
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Modelos Superficiales.
Clasificación de los modelos B-Rep
Modelo Poligonal
Superficies Cuádricas y Supercuádricas
Isosuperficies
Superficies Libres
• Superficies interpoladas
• Superficies aproximadas
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Modelo Poligonal
Definición
Las caras son polígonos planos
Para almacenarlo: • Listas de geometría y atributos
• Aristas aladas
En las listas de atributos se suele almacenar:• Normal a cada polígono
• Ecuación del plano de cada polígono
Estos atributos facilitan• Prueba de interioridad/exterioridad
• Cálculo de intersecciones
• Sombreado y visualización realista
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Modelo Poligonal
Ecuación del Plano
A partir de 3 puntos del plano (por
ejemplo, los vértices del polígono)
V1, V2 y V3: vértices del polígono
A = y1(z2-z3)+y2(z3-z1)+y3(z1-z2)
B = z1(x2-x3)+z2(x3-x1)+z3(x1-x2)
C = x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)
D = -x1(y2z3-y3z2)-x2(y3z1-y1z3)-x3(y1z2-y2z1)
Ax + By + Cz + D = 0
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Modelo Poligonal
Normal al Plano
Se obtiene como el producto vectorial de dos
vectores situados sobre el plano
Las componentes de la normal son los coeficientes A, B y C de la ecuación del plano. D se calcula sustituyendo uno de los puntos
N = (v2 -v1) (v3 -v1)
v1
v3
v2
N
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16
Modelo Poligonal
Ecuaciones y Normal
La normal se calcula a partir de la ecuación y al revés
La normal se utiliza para calcular la iluminación de la
cara
Para que la normal apunte hacia el exterior, debemos
especificar los vértices en sentido antihorario
Prueba de interioridad/exterioridad: utilizando la
ecuación
si Ax+By+Cz+D = 0 (x,y,z) sobre el plano
si Ax+By+Cz+D < 0 (x,y,z) dentro del plano
si Ax+By+Cz+D > 0 (x,y,z) fuera del plano
Los puntos del polígono deben ser coplanares
Triangulación
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Modelo Poligonal
Características
Ventajas• Es muy sencillo
• Visualización rápida (dispositivos aceleradores)
• Representación exacta para poliedros
• Visualización no ambigua (utilizando sombreado)
• Prueba de interioridad/exterioridad sencilla
• Cálculo de intersecciones sencillo
• Muy útil como modelo secundario para visualización
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18
Modelo Poligonal
Características
Inconvenientes• Representación aproximada para objetos no
poliédricos
• Mejores aproximaciones implican un gran aumento del número de polígonos
• Para convertir otros modelos son necesarios métodos de poligonalización o mallado que pueden ser complejos
• Altos requerimientos de espacio
• Algunos cálculos complejos: volúmenes, mecanizado, ...
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Sup. Cuádricas y Supercuádricas
Definición
Objetos descritos mediante ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones en forma implícita o paramétrica
Superficies cuádricas: ecuaciones cuadráticas
• Esferas
• Elipsoides
• Toros
• Paraboloides
• Hiperboloides
Superficies supercuádricas: ecuaciones cuádraticas
generalizadas (con parámetros adicionales)
• Superelipsoides
• Superparaboloides, ...
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Sup. Cuádricas y Supercuádricas
Esfera
Ecuación implícita
Ecuación paramétrica
x2 + y2 + z2 = r2
x = r cos cos
y = r cos sen
z = r sen
-/2 /2
-
r
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21
Sup. Cuádricas y Supercuádricas
Elipsoides
Ecuación implícita
Ecuación paramétrica
(x/rx)2 + (y/ry)
2 + (z/rz)2 = 1
x = rx cos cos
y = ry cos sen
z = rz sen
-/2 /2
-
rx
ry
rz
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22
Sup. Cuádricas y Supercuádricas
Toro
Ecuación implícita
Ecuación paramétrica
[r - (x/rx)2 + (y/ry)
2 ]2 + (z/rz)2 = 1
x = rx(r-cos )cos
y = ry(r+cos )sen
z = rz sen
-
-
rx = ryrz
rz
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Sup. Cuádricas y Supercuádricas
Superelipsoide
Ecuación implícita
Ecuación paramétrica
[(x/rx)2/S2 + (y/ry)
2/S2 ]S2/S1 + (z/rz)2/S1 = 1
x = rx cosS1 cosS2
y = ry cosS1 senS2
z = rz senS1
-/2 /2
-
S1
S20 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
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24
Isosuperficies
Definición
Se definen a partir de un conjunto de
primitivas en el espacio que definen un
campo de fuerza
Isosuperficie: superficie exterior que define
el campo de fuerza cuando vale 0
Viene dada por una función de densidad
PrimitivasCampo de fuerza = 0
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25
Isosuperficies
Tipos
Blobs
Metaballs
Soft Objects
k
zyxfa
kTebzyxf kk 0),,(
),,(
dr
drd
d
rb
dr
d
rb
rf
si ,0
3 si ,1
2
3
30 si ),31(
)(
2
2
2
dr
drd
r
d
r
d
rrf
0
09
4
9
17
9
221
)( 6
6
4
4
2
2
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Isosuperficies
Características
Ventajas
• Muy adecuadas para modelar objetos
orgánicos
• Muy compacto
Inconvenientes
• Difícil modelar objetos con aristas
• Poligonalización muy compleja
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Isosuperficies
Ejemplos
Te
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Superficies Libres
Son una extensión de las curvas libres
Se trazan a partir de una nube de puntos, por interpolación o aproximación
La nube de puntos, ordenada, se denomina poliedro de control
Las superficies se definen mediante ecuaciones paramétricas con 2 parámetros (u, v)
Es deseable que cumplan algunas propiedades:
• Continuidad
• Recubrimiento convexo
• Invarianza afín
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29
Superficies Libres
De interpolación
• Hermite
• Splines
De aproximación
• Bézier
• BSplines
• NURBS
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30
Superficies Libres
Superficies por tramos o patches Deseable continuidad
Continuidad Paramétrica (C) Deseable
• C0: Los tramos se tocan
• C1: 1ª derivada coincide
• C2: 1ª y 2ª derivada coinciden
• Cn: 1ª, 2ª … n-ésima derivada coinciden
Continuidad Geométrica (G) Más fácil de conseguir
• G0: Los tramos se tocan
• G1: 1ª derivada proporcional
• G2: 1ª y 2ª derivada proporcionales
• Gn: 1ª, 2ª … n-ésima derivada proporcionales
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31
Superficies Libres
Propiedad del Recubrimiento Convexo
Es deseable que la superficie se encuentre dentro
del recubrimiento convexo formado por el poliedro
de control
Se cumple cuando la suma de las funciones base
es 1 Se cumple para superficies de
aproximación
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Superficies Libres
Propiedad de Invarianza Afín
Es deseable que las superficies sean invariantes a transformaciones afines
Una superficie es invariante a transformaciones afines si:• Calcular los puntos de la superficie y aplicar la
transformación a esos puntos
ES EQUIVALENTE A• Aplicar la transformación a los puntos de control y luego
calcular los puntos de la superficie
Todas las superficies que veremos son invariantes a transformaciones afines
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33
Superficies Libres
Formulaciones
Condiciones Frontera
• Condiciones de continuidad
de la superficie en su
frontera
Matriz Característica
• Matriz característica de
coeficientes
Funciones Base
• Ecuación basada en
funciones base (blending
functions)
• Puntos extremos:
S(0,0) = P0, S(0,1)=P2…
• Derivadas primeras
S’(0,0) = D0, S’(0,1)=D2…
• Derivadas segundas
S’’(0,0) = E0, S’’(0,1)=D2…
T
geomcaractVMMUvuS ···),(
)()(),(,,
0 0,
uBvBpvuSnkmj
m
j
n
kkj
Te
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Superficies Libres
Grado y Orden de la Superficie
Grado = Grado del polinomio que la define
Orden = nº de puntos necesarios para cada
tramo = Grado + 1
Grado 3 el más habitual Superficies Bicúbicas
Hermite
Spline
Bézier
Nº de puntos condiciona el grado
Para evitarlo Definición por tramos
BSpline
NURBSGrado independiente de nº de puntos
Superficies completas, no por tramos
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os
35
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Hermite
Se trata de una extensión de las curvas de
Hermite
Interpolan una nube de puntos
Cada curva sobre la superficie es de
Hermite
Para definir un tramo bicúbico, necesitamos
4 puntos para las esquinas
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36
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Hermite
Condiciones de frontera• Tramos bicúbicos polinomio con 16 coeficientes
• Condiciones de frontera en los 4 puntos de esquina:
• Posición de los 4 puntos 4 ecuaciones
• Derivada con respecto a u (tangente en u) 4 ecuaciones
• Derivada con respecto a v (tangente en v) 4 ecuaciones
• Derivada con respecto a u y v (vector torsión) 4 ecuaciones
;10;10;),(3
0
3
0
vuvuavuS ji
i jij
S/u
S/v
2S/uvP0,0 P1,0
P0,1
P1,1
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: M
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os
37
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Hermite
Matriz Característica
• Resolviendo el sistema de 16 ecuaciones
• En forma matricial:
S(0,0) = P00
S(0,1) = P01
S(1,0) = P10
S(1,1) = P11
S(0,0)/u = Du00
S(0,1)/u = Du01
S(1,0)/u = Du10
S(1,1)/u = Du11
S(0,0)/v = Dv00
S(0,1)/v = Dv01
S(1,0)/v = Dv10
S(1,1)/v = Dv11
S2(0,0)/uv = Duv00
S2(0,1)/uv = Duv01
S2(1,0)/uv = Duv10
S2(1,1)/uv = Duv11
TT
HermGeomHermVMMMUvuS ····),(
uvuvuu
uvuvuu
vv
vv
geomHerm
T
DDDD
DDDD
DDPP
DDPP
MMv
v
v
VuuuU
11101110
01000100
11101110
01000100
2
3
23 ;
0001
0100
1233
1122
;
1
;1
Te
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: M
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s G
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os
38
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Hermite
Funciones base
• A partir de la forma matricial:
• bij = Mgeomij
• Fi, Fj se obtienen a partir de la forma matricial
)()(),(3
0
3
0
vFuFbvuSji
i jij
u/v
F0
0 1
1
u/v
F1
0 1
1
u/v
F2
0 1
1
u/v
F3
0 1
1
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39
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Hermite
Ventajas
• Formulación sencilla
Inconvenientes
• Necesario especificar tangentes y torsiones
• Para tramos consecutivos, debe asegurarse la
continuidad C1
• No se asegura la continuidad C2
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40
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Bézier
Se trata de una extensión de las curvas Bézier
Aproximan una nube de puntos
Cada curva sobre la superficie es una Bézier
Para definir un tramo bicúbico, necesitamos 4 x 4 = 16
puntos, cuyas esquinas se interpolan:
• 4 puntos interiores
• 4 puntos en las esquinas
• 8 puntos de frontera
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41
Superficies Libres
Superficies bicúbicas de Bézier
Condiciones de frontera
• Parten del mismo planteamiento que Hermite
• Las derivadas vienen dadas por los puntos interiores y
frontera del poliedro de control
;10;10;),(3
0
3
0
vuvuavuS ji
i jij
S/u
S/v
2S/uv
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42
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Bézier
Matriz característica
• Con un planteamiento similar a Hermite, obtenemos
• Equivalencia entre Hermite y Bézier
TT
BézierBézierVMPMUvuS ····),(
33323130
23222120
13121110
03020100
2
3
23 ;
0001
0033
0363
1331
;
1
;1
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
PMv
v
v
VuuuUBézier
T
11
11
····
····
T
Bézier
T
HermGeomHermBézier
T
Herm
T
BézierBézierHermGeom
MMMMMP
MMPMMM
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os
43
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Bézier
Funciones base
• A partir de la forma matricial:
)()(),(3,3,
3
0
3
0
vBuBpvuSji
i jij
u/v
B0,3
0 1
1
u/v
B2,3
0 1
1
B3,3
u/v
B1,3
0 1
1
u/v0 1
1
pij = Puntos de control
Bi,3, Nj,3: Func. base de grado 3
ini
niuu
i
nuB
)1()(
,
Te
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Superficies Libres
Superficies Bicúbicas de Bézier
Ventajas
• No es necesario especificar tangentes y torsiones
• Continuidad G1 entre tramos: Puntos frontera y adyacentes coplanares
Inconvenientes
• El grado varía según el número de puntos
• Para mantener el grado, debe especificarse por tramos
• Difícil conseguir continuidad C1, G2 y C2
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45
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas B-Spline
Se trata de una extensión de las curvas BSpline
Aproximan una nube de puntos
Cada curva sobre la superficie es una BSpline
El grado es independiente del número de puntos
Para definir una superficie bicúbica, necesitamos al menos 4 x
4 = 16 puntos, aunque pueden ser más (no hay tramos)
Las esquinas pueden o no interpolarse
Para 4 x 4 puntos, interpolando las esquinas, BSpline = Bézier
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46
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas B-Spline
Funciones base
)()(),(,,
0 0
vNuNpvuSLjKi
m
i
n
jij
u/v
N0,3
0 1
1
u/v
N2,3
0 1
1
u/v
N1,3
0 1
1
N3,3
u/v0 1
1
pij = Puntos de control
K, L = Grado en sentido u y v (es 3)
Ni,K, Nj,L: Func. base de grado K y L
1
1,1
1
1,
,
1
1,
)()()()()(
0
1)(
iki
kiki
iki
kii
ki
ii
itt
uNut
tt
uNtuuN
casootroen
tutsiuN
ti = nodos, con i = 0, …, n+K
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tric
os
47
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas B-Spline
Matriz Característica
• Planteamiento similar a Bézier
• Las superficies BSpline pueden escribirse en forma de
un conjunto de tramos de superficie Bézier
TT
BSplineBSplineVMPMUvuS ····),(
33323130
23222120
13121110
03020100
2
3
23 ;
0141
0303
0363
1331
6
1;
1
;1
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
PMv
v
v
VuuuUBSpline
T
Te
ma
5
: M
od
elo
s G
eo
mé
tric
os
48
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas B-Spline
Ventajas
• La ecuación especifica una superficie completa
• No se especifican tramos, ni tangentes, ni torsiones. Sólo
se especifican puntos de control
• Continuidad intrínseca C2 para superficies BSpline,
independientemente del número de puntos de control
• Modificación local: la modificación de un punto de control
afecta a una porción pequeña de superficie
Inconvenientes
• Formulación más compleja que en casos anteriores
• No se pueden especificar superficies cónicas
Te
ma
5
: M
od
elo
s G
eo
mé
tric
os
49
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas NURBS
NURBS = Non Uniform Rational BSpline
Se trata de una extensión de las curvas NURBS, y por tanto son
un caso general de las superficies BSpline
Como las BSpline, aproximan una nube de puntos
Cada curva sobre la superficie es una NURBS
El grado es independiente del número de puntos
Se incorpora un conjunto de pesos que controlan cómo la
superficie se aproxima a los puntos de control
Si los pesos son 1, NURBS = BSpline
Te
ma
5
: M
od
elo
s G
eo
mé
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os
50
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas NURBS
Funciones base
)()(
)()(
),(
,,
0 0
,,
0 0
vNuNh
vNuNph
vuS
LjKi
m
i
n
j
ij
LjKi
m
i
n
j
ijij
u/v
N0,3
0 1
1
u/v
N2,3
0 1
1
u/v
N1,3
0 1
1
N3,3
u/v0 1
1
pij = Puntos de control
K, L = Grado en sentido u y v (es 3)
Ni,K, Nj,L: Func. base de grado K y L
hij = Peso asociado al punto pij
Las funciones base son las mismas que para las superficies BSpline
Te
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: M
od
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51
Superficies Libres
Superficies Bicúbicas NURBS
Ventajas
• Las mismas ventajas que las BSpline
• Además, son las únicas superficies paramétricas que
pueden especificar superficies cónicas de manera
exacta
Inconvenientes
• La formulación es la más compleja
• El usuario debe manejar un parámetro adicional: los
pesos asociados a los puntos
Te
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52
Superficies Libres
Características
Ventajas• Representación exacta para objetos curvos
• Modelo compacto
Inconvenientes• Formulación compleja
• Visualización directa muy lenta
• Modelo secundario visualización rápida
• Cálculo de modelo secundario complicado
• Prueba de interioridad/exterioridad complicada
• Cálculo de intersecciones complicado
Te
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53
Superficies Libres
Ejemplos
Objeto modelado con 180.000 parches B-Spline
Te
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od
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s G
eo
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os
54
Modelos Sólidos
Conceptos
Representan, además de la superficie, el interior del objeto
Esto permite:• Representar objetos no homogéneos
• Representar propiedades internas
• Representar el comportamiento del interior
Cada modelo representa los objetos de una manera
Algunos modelos (como el CSG) permiten construir objetos complejos combinando otros más sencillos
Te
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55
Modelos Sólidos
Clasificación
Sólidos generados por Instanciación de Primitivas
Sólidos generados por Barrido
Sólidos generados por Enumeración Espacial
Geometría Sólida Constructiva
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od
elo
s G
eo
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56
Instanciación de Primitivas
Definición
Se parte de un conjunto finito de formas
primitivas
En cada primitiva se parametrizan
determinadas dimensiones
Se establecen restricciones entre los
parámetros de las primitivas
Se instancian las primitivas dando valores a
los parámetros respetando las restricciones
Internamente, las primitivas pueden
almacenarse utilizando cualquier modelo
Te
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od
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eo
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os
57
Instanciación de Primitivas
Ejemplo
r1
r2
a
b
c
d
f
InstanciasPrimitiva Restricciones• a, b, c, d, e, f > 0
• r1 < r2
• r2 > d
• c > 2·d
• a, b > d
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58
Instanciación de Primitivas
Características
Ventajas
• Modelado muy sencillo
• Modelo compacto
Inconvenientes
• Objetos “limitados” por las primitivas
disponibles
• Las características de los objetos dependen del
modelo concreto utilizado para las primitivas
Te
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59
Sólidos por Barrido
Definición
También se denomina Modelo Sweep
Los sólidos se obtienen a partir de:
• Una forma bidimensional: sección o generador
• Una forma tridimensional: trayectoria o director
La sección se desplaza sobre la trayectoria
formando el objeto por barrido
Tipos de objetos generados por barrido:
• Extrusión
• Rotación
• Barrido Generalizado
Te
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: M
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s G
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60
Sólidos por Barrido
Extrusión
La sección es un forma bidimensional
que permanece constante
La trayectoria es una recta normal a la
sección
Sección
Trayectoria
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61
Sólidos por Barrido
Rotación
La sección es un forma bidimensional
que permanece constante
La trayectoria es un eje de rotación
Sección
Eje de rotación
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od
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62
Sólidos por Barrido
Generalización
La sección puede cambiar de tamaño,
orientación o forma
La trayectoria es cualquier forma
Te
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elo
s G
eo
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63
Sólidos por Barrido
Generalización
Orientación de la sección:
• Sección normal a la trayectoria
• Sección con cualquier orientación
Una orientación inadecuada puede dar
lugar a inconsistencias
N
Te
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: M
od
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eo
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64
Sólidos por Barrido
Características
Ventajas
• Modelado muy sencillo de entender y realizar
• Posibilidad de obtener objetos complejos a partir de
componentes muy sencillas
• Modelo matemáticamente conciso
• Sirve de base a otros modelos (objetos paramétricos,
CSG, …)
Inconvenientes
• Posibilidad de crear objetos inconsistentes
• Necesidad de obtener un modelo secundario para
visualización
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65
Enumeración Espacial
Definición
Enumeración de la ocupación espacial
El espacio se divide en regiones (cubos,
vóxels …) etiquetadas como
interiores/exteriores
Posibles representaciones:
• Rejilla de vóxels
• Arboles octales (octrees)
• Arboles de partición binaria del espacio (BSP)
Te
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: M
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66
Enumeración Espacial
Rejilla de Voxels
El objeto se representa en un espacio
dividido en pequeños cubos (vóxels):
• Los vóxels interiores al objeto se etiquetan con 1
• Los vóxels exteriores al objeto se etiquetan con 0
Tiene grandes requerimientos de espacio
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Te
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67
Enumeración Espacial
Árboles Octales (Octrees)
Se utiliza una estructura jerárquica en forma de árbol
Algoritmo:
• Definir un cubo inicial que engloba a todo el objeto
• Si cubo completamente exterior al objeto, etiqueta = 0
• Si cubo completamente interior al objeto, etiqueta = 1
• En otro caso, dividir cubo en 8 y repetir para cada cubo
• Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 00
0
Te
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68
Enumeración Espacial
Árboles BSP
También se trata de una estructura en forma de árbol
Algoritmo:
• Dividir el espacio en dos subespacios mediante un plano
• Si un subespacio es exterior al objeto, su etiqueta = 0
• Si un subespacio es interior al objeto, su etiqueta = 1
• En otro caso, dividir en dos subespacios y repetir para cada uno
• Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada
subespacio1 subespacio2
0
1
subespacio1 subespacio2
0
0
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69
Enumeración Espacial
Características
Los árboles octales y BSP rebajan la necesidad de
espacio
Ventajas
• Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla, recorriendo el
árbol
• Representación homogénea
Inconvenientes
• Se pierden las relaciones entre las diferentes partes del objeto
• Sigue habiendo grandes requerimientos de espacio para
almacenar el modelo
• Modelo aproximado
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70
Geometría Sólida Constructiva
Definición
No es propiamente un modelo, sino una
forma de combinar objetos sencillos para
obtener otros más complejos
Consta de:
• Un conjunto de primitivas descritas mediante cualquier
modelo
• Un conjunto de operadores booleanos: unión,
intersección y diferencia
Los objetos se representan mediante árboles
binarios que especifican las operaciones
entre primitivas
Te
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s G
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71
Geometría Sólida Constructiva
Árboles Binarios
En un árbol CSG:
• Las hojas son las
primitivas
• Los nodos
interiores son las
operaciones
• La raíz es el objeto
final
U
P1 P2
P3
Te
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s G
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72
Las operaciones booleanas pueden dar lugar a objetos
incosistentes Operaciones regularizadas
Geometría Sólida Constructiva
Operaciones Booleanas
A
B
A B
A
B
A B A B A - B
A
B
A B
Te
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73
Geometría Sólida Constructiva
Intersección Regularizada *
Dividimos los objetos en interior (iA e iB) y frontera
(fA y fB) A = iA fA; B = iB fB
A * B = (iAiB) (iAfB) (fAiB) (fAfB)*Int
(iA iB) (iA fB) (fA iB)
A
B
no
sí
A * BA B
(fA fB)*Int
Te
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: M
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s G
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74
Geometría Sólida Constructiva
Unión Regularizada *
A*B = (iAiB) (fAfB) -[(iAfB) (fAiB) (fAfB)*Un]
(iA iB) (fA fB) (iA fB) (fA iB)
A
B
sí
no
A * B
(fA fB)*Un
Te
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75
Geometría Sólida Constructiva
Diferencia Regularizada -*
A-*B = (fA-fB-iB) (iAfB) (fAfB)*Dif (iA-fB-iB)
(fA-fB-iB) (iA fB) iA-fB-iB
A
B
sí
no
A -* B
(fA fB)*Dif
Te
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76
Geometría Sólida Constructiva
Características
Los objetos resultantes de las operaciones
regularizadas, son válidos si lo son las primitivas
Posibles primitivas:
• Instanciación de primitivas básicas
• Objetos simples generados por barrido
Se utilizan dos representaciones
• Modelo procedural (primario): árbol binario
• Modelo superficial (secundario): b-rep
Evaluador Superficial: Conjunto de algoritmos para
generar el modelo secundario:
• Crea y borra vértices, aristas y caras
• Reorganiza los elementos asegurando la consistencia
Te
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77
Geometría Sólida Constructiva
Características
Ventajas
• Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla,
recorriendo el árbol
• Modelo exacto
Inconvenientes
• Difícil implementación de las operaciones booleanas
• Visualización complicada:
• Métodos directos
• Modelo secundario superficial
• Limitación impuesta por las primitivas utilizadas
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78
Otros Modelos
Clasificación
Veremos un conjunto de modelos no
emparentados entre sí:
• Geometría fractal
• Modelos gramaticales
• Sistemas de partículas
• Modelos basados en características físicas
• Modelos para visualización científica
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79
Geometría Fractal
Definición
Modo alternativo de representar objetos
• Geometría Euclídea: objetos representados por ecuaciones
• Geometría Fractal: objetos representados por
procedimientos
Los objetos se generan mediante una operación
sobre una primitiva repetida infinitamente
Características de los objetos fractales
• Infinito detalle
• Autosimilitud entre las partes y el todo
Te
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80
Geometría Fractal
Usos
Gráficos: generación de objetos naturales
• Rocas
• Montañas
• Plantas
• Nubes
• Agua
• Plumas
• Piel
Otros campos
• Modelado de fenómenos físicos
• Distribuciones de astros
• Modelado de variaciones en bolsa
• Música fractal
Te
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81
Geometría Fractal
Dimensión Fractal
Dimensión de los objetos
• En Geometría Euclídea, la dimensión es entera
• Puntos: dimensión 0
• Rectas: dimensión 1
• Planos: dimensión 2
• Volúmenes: dimensión 3
• En Geometría Fractal, la dimensión puede ser
fraccionaria (de ahí el nombre Fractal). La dimensión
fractal indica la “rugosidad” del objeto
• Recta: dimensión 1
• Curva rugosa: dimensión entre 1 y 2
Te
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: M
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s G
eo
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82
Geometría Fractal
Cálculo de la Dimensión Fractal
Figura OriginalDuplicando sus
DimensionesDimensiónNúmero de
Copias
1
2
2 = 21
3
4 = 22
8 = 23
d = log n/log 2n = 2d
Recta
Cuadrado
Cubo
En general
Triángulo de
Sierpinski
d = log 3/log 2
= 1,58496 3 = 2d
Te
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od
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s G
eo
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tric
os
83
Geometría Fractal
Generación de Objetos Fractales
Para definir un objeto fractal necesitamos:
• Un primitiva geométrica P0: punto, recta, curva, área de color,
superficie, sólido, …
• Una función de transformación F que puede ser afín
(traslaciones, rotaciones, escalados), no lineal, aleatoria, con
parámetros de decisión, …
La transformación se aplica infinitamente a la primitiva:
P1 = F(P0) P2 = F(P1) P3 = F(P2) …
En la práctica, la aplicación de la transformación es
finita se detiene cuando el detalle tiene menor
tamaño que un pixel
Te
ma
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: M
od
elo
s G
eo
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tric
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84
Geometría Fractal
Ejemplo: Curva de Von Koch
Primitiva P0: un triángulo
Función de transformación F
P0 P1 P2 P
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85
Geometría Fractal
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot
Primitiva P0: Número real 0
Función de transformación F: Pi=Pi-12+c, con c todos los
reales y complejos tal que |c| 2
Pertenecen al conjunto, aquellos valores de c que hacen que
la serie Pi=Pi-12+c no tienda a infinito
Los valores para los que la serie necesita muchas
iteraciones para tender a infinito, se encuentran en la
frontera
Parte real
Pa
rte
co
mp
leja
Te
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: M
od
elo
s G
eo
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86
Geometría Fractal
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot
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87
Geometría Fractal
Ejemplos
Te
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s G
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88
Modelos Gramaticales
Definición
Se parte de una gramática con reglas
de producción
Un objeto válido, es cualquier palabra
que sea reconocida por la gramática
Las reglas de producción permiten:
• Aplicar transformaciones alterar la
geometría
• Añadir detalle
Te
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89
Modelos Gramaticales
Ejemplo
Gramática
árbol tronco {rama}
rama {rama} | rama {hoja} | hoja
…
Objeto
tronco (rama (rama hoja rama) rama hoja)
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90
Sistemas de Partículas
Definición
Adecuado para definir objetos variables tipo
“fluido”:
• Nubes
• Humo y fuego
• Pelo y plumas
• Líquidos
• Campos de hierba
• Explosiones
Los objetos están formados por partículas
que cambian de posición o atributos con el
tiempo
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91
Sistemas de Partículas
Ejemplo
Fuegos Artificiales
• Cada partícula modela un punto
de luz
• Se generan partículas
aleatoriamente en un volumen
esférico
• La partícula se mueve
radialmente, con dirección inicial
aleatoria
• Se tiene en cuenta la gravedad
• La partícula cambia de color
conforme avanza
• Se destruye la partícula en algún
momento de forma aleatoria
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92
Sistemas de Partículas
Ejemplos
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93
Sistemas de Partículas
Ejemplos
Te
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94
Características Físicas
Definición
Modelos basados en características físicas
de los materiales
El objeto se describe en términos de la
interacción de las fuerzas internas/externas
Muy adecuado para modelar objetos no
rígidos:
• Tejidos
• Objetos de goma
• Muelles
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95
Características Físicas
Modelado mediante resortes
Un caso particular muy útil
Los objetos se modelan como una red de nodos unidos
mediante conexiones flexibles (resortes)
Cada resorte lleva asociado una constante k
Se plantea una ecuación para cada resorte (ley de Hooke) y
se resuelve el sistema para todas las ecuaciones
Los objetos pueden ser 2D (tejidos…) o 3D (bloques de
goma…)k1 k2
k3 k4
k5 k6 k7
Si k1 = k2 = … = kn objeto homogéneo
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96
Características Físicas
Ejemplos
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97
Visualización Científica
Definición
Visualización científica: visualización de
datos para el análisis científico
• Representacionse gráficas de datos no gráficos
• Conjunto de datos demasiado grandes, para descubrir
tendencias, ciclos, …
Se pueden representar
• Escalares
• Vectores
• Tensores
• Datos con variables múltiples
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98
Visualización Científica
Representación de Escalares
Cantidades con un solo valor, en función del tiempo, la
posición u otros parámetros
Son escalares:
Técnicas para representar escalares:
• Diagramas de barras
• Gráficos de pseudocolor
• Trazos de contorno (isolíneas)
• Presentación de volumen
• Presión
• Carga
• Resistencia
• Frecuencia
• Energía
• Densidad
• Masa
• Temperatura
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99
Visualización Científica
Ejemplos de Rep. de Escalares
Te
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100
Visualización Científica
Representación de Vectores
Un vector n-dimensional puede representarse
• Como un punto en un espacio n-dimensional
• Como magnitud y dirección, en un espacio 3D
Son vectores:
• Velocidad
• Aceleración
• Fuerza
• Campos (eléctricos, magnéticos, gravitatorios)
• Corriente eléctrica
Técnicas para representar vectores
• Flechas
• Líneas de campo
• Flujo de partículas
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101
Visualización Científica
Ejemplos de Rep. de Vectores
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102
Visualización Científica
Representación de Tensores
En un espacio 3D, un tensor tiene 9 componentes (una
matriz 3x3), generalmente 3 simétricos (en total 6
diferentes)
Son tensores
• Tensiones de un material
• Conductividad
• Resistividad
Técnicas para representar tensores
• Formas con 6 parámetros: Flechas (3 términos dan la
dirección y magnitud y los otros 3 el color y forma)
• Reducción a vectores o escalares
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os
103
Visualización Científica
Ejemplos de Rep. de Tensores
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