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EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL
ANLISIS DE VARIANZA
PROF. ZORITZA BRAVO
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Bibliografa recomendada
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Notacin
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Existen dos tipos de modelos: el deefectos fijos y el de efectos aleatorios
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Introduccin
Este modelo es el ms sencillo del diseo de experimentos,en el cual la variable respuesta puede depender de la
inluencia de un !nico actor, de orma "ue el resto de lascausas de variaci#n se en$loban en el error experimental
%e supone "ue el experimento &a sido aleatori'ado porcompleto, es decir, todas las unidades experimentales
&an sido asi$nadas al a'ar a los tratamientos
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Efectos fijos y aleatorios
() *os niveles del actor se seleccionan demodo espec+ico por el experimentador)Esto constituye el llamado modelo de
efectos fijos)
(() *os niveles de un actor son una muestraaleatoria de una poblaci#n mayor detratamientos) Esto es el modelo de efectosaleatorios)
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Ejemplos
na irma comercial desea conocer la inluencia "ue tieneel nivel cultural de las amilias en el -xito de una campaapublicitaria sobre cierto producto) Para ello, aprovec&a losresultados de una encuesta anterior clasiicando lasrespuestas en tantos $rupos como niveles culturales &aestablecido)
Un soloUn solo factorfactor, ya que la firma slo, ya que la firma sloest interesa!a en a"eri#uar si losest interesa!a en a"eri#uar si los
!istintos ni"eles $ulturales influyen o!istintos ni"eles $ulturales influyen o
no !e la misma manera so%re lasno !e la misma manera so%re las"entas, no im&ortn!ole la influen$ia"entas, no im&ortn!ole la influen$ia!el resto !e los fa$tores que &ue!en!el resto !e los fa$tores que &ue!en
in!u$ir a una mayor o menorin!u$ir a una mayor o menorten!en$ia a la $om&raten!en$ia a la $om&ra
'ise(o !eefe$tos fi)os
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Modelo de efectos fijos
YY: variable respuesta: variable respuesta
.onsideramos a poblaciones dierentes y comparamos la
respuesta a un tratamiento, o !nico nivel de un actor)En la poblaci#n i-sima /i = 1, . . . , a se toman ni
observaciones)
*a respuesta se cuantiica mediante yij, donde i = 1, . . . , a
se reiere a la poblaci#n en estudio y j = 1, . . . , ni se reiere
a la observaci#nj -sima.
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Modelo de efectos fijos
.onsideramos a&ora un actor con aniveles, es decir, entotal atratamientos, y una !nica poblaci#n)
%e observa la respuesta yij del tratamiento i-simo a ni
observaciones de la poblaci#n)
YY: variable respuesta: variable respuesta
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Modelo de efectos fijos
El valor medioEl valor mediodede Y,Y, lala
variablevariablerespesta! enrespesta! enla poblaci"n ola poblaci"n onivelnivel i-simoi-simo
Error aleatorioError aleatorio
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Modelo de efectos fijos
1lternativamente, se puede expresar de esta manera
suponiendo $rupos de i$ual tamao
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Modelo de efectos fijos
ijij
es el errores el erroraleatorio,aleatorio,
tal quetal queijij N (0,N (0,
22))
in!e&en!ientesin!e&en!ientesentre s*,entre s*,
+ + ijij - 0 y- 0 y
Var Var ijij - - //22
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Modelo de efectos fijos
Se supone, adems, que las unidades experimentalesestn en un ambiente uniforme, lo cual lleva a un diseo
completamente aleatorizado.
n el modelo de efectos fijos, los efectos de los
tratamientos i se definen como desviaciones respecto a la
media !eneral, por lo que"
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Modelo de efectos fijos
Esperan$a deltratamiento i
Prueba de HiptesisPrueba de Hiptesis
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Modelo de efectos fijos
1
n
i ij
i
y y
=
= / , 1,...,iiy y n i a = =
1 1
a n
ij
i j
y y
= =
= / ,y y N N an = =
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escomposicin de la suma de cuadrados total
*a idea es descubrir c#mo se reparte la variabilidad totalde la muestra) na posible medida de variabilidad totales la suma de cuadrados, denominada total, o sumatotal de cuadrados corre$ida
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!rados de libertad
%e tiene un total de an observaciones y a tratamientos
S#$ tiene /an 3 4 $rados de libertad)
S#$ra tiene /a 3 4 $rados de libertad) S# tiene a/n34 $rados de libertad, por"ue &ay nr-plicas dentro de cada tratamiento, es decir, se tienen%n&1'$rados de libertad para estimar el error experimental)
1l tener atratamientos, se tiene un total de a%n & 1' $rados
de libertad)
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Estimadores de la "arian#a
%i el t-rmino entre par-ntesis se divide entre n&1, seobtiene la varian'a del tratamiento i
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Estimadores de la "arian#a
%e puede estimar la varian'a poblacional combinandodic&as varian'as por $rupos
%i no &ay dierencias entre los atratamientos, se puede estimar la
varian'a poblacional 52como
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%e dispone, as+ de dos posibles estimadores de 52
Estimadores de la "arian#a
.uando no existen dierencias entre las medias
de los tratamientos, las estimaciones deben sersimilares)
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2#
%i consideramos las medias de cuadrados anteriores,entonces, se puede demostrar, sustituyendo, "ue
Estimadores de la "arian#a
6e este modo, si para al$!n i 0,entonces %(#$ra' ) *+
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$n%lisis estadstico
#mo llevamos a cabo una prueba de iptesis/
No hay
diferencia en las
medias
de los
tratamientos
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$n%lisis estadstico.omo los errores ijse distribuyen independientemente entre s+,
se$!n una 0%, *', entonces
Fisher
Aplicando el teorema de
Cochran, se tiene que SSE/! y
SS"ra/! son independientes,
por lo que si i# $, i
%e distribuye como una 2de%nedecor, Fa1,Na
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$n%lisis estadstico
%i al$!n i , entonces %(S$ra' ) *+
entonces el valor del estad+stico F0 es
mayor, obteni-ndose una re$i#n cr+tica
superior, de modo "ue se rec&a'a, a nivel 3,la &ip#tesis nula de i$ualdad detratamientos, si
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&abla $N'($
%e rec&a'a 4a nivel 3cuando
2) 23,a&1,0&a
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Estimacin de los par%metros
donde i = 1, . . . , a7 j = 1, . . . , n, sepueden estimar los parmetros 5 y i
por el m-todo de los M+nimos.uadrados)
%ma de loscadrados de
los errores
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Inter"alos de confian#a
%i se asume "ue los errores estn distribuidos se$!n unanormal, entonces cada
6e este modo, cuando *+es desconocida un intervalo deconian'a al 1%1&3'6 es
&ntervalo de confian$a para la media idel
tratamiento i-simo
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Inter"alos de confian#a
&ntervalo de confian$a para la diferenciaen las medias de dos tratamientos
cales'iera i- j
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Ejemplon in$eniero de desarrollo de productos est interesado enmaximi'ar la resistencia a la tensi#n de una nueva ibrasint-tica "ue se emplear en la manuactura de tela paracamisas de &ombre) El in$eniero sabe por experiencia "ue laresistencia est inluida por el porcenta8e de al$od#n
presente en la ibra) 1dems, sospec&a "ue el contenido deal$od#n debe estar aproximadamente entre un 40 y 0: para"ue la tela resultante ten$a otras caracter+sticas de calidad"ue se desean /como la capacidad de recibir un tratamiento
de planc&ado permanente)
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Ejemplo
El in$eniero decide probar muestras a cinco niveles deporcenta8e de al$od#n 4;, 20, 2;,
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3#
Ejemplo
1&ora se eli$e al a'ar un n!mero entre 4 y 2;)%upon$amos "ue es el =, entonces la observaci#n =a see8ecuta primero /es decir, a un 20: de al$od#n) 1continuaci#n se eli$e un n!mero al a'ar entre 4 y 2;,"uitando el =) %upon$amos "ue es el , entonces la
observaci#n ase e8ecuta en se$undo lu$ar /a un 4;: deal$od#n) %e repite el proceso &asta completar las 2;observaciones)
Esta secuencia de prueba aleatori'ada es necesaria paraevitar "ue los resultados se contaminen por los eectos devariables desconocidas "ue pueden salir de control duranteel experimento)
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Ejemplo
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Ejemplo
%a &r'fica indica que laresistencia a la tensin
aumenta con el contenido de
al&odn hasta el ($)*'s all' del ($) ocurre un
notable decrecimiento en la
resistencia%a falta de traslape de las
ca+as su&iere una diferencia
si&nificativa entre los
contenidos medios de las
resistencias entre los &rupos
sando un ($) de al&odnparece que se fabrican las
me+ores fibras, es decir, las
de mayor fortale-a4; 20 2;
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Ejemplo
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)iptesis del modelo
ormali!a!1 ijsi#ue una !istri%u$in normal
omo$e!asti$i!a!1 Var(ij) = 2
In!e&en!en$ia1 ij son in!e&en!ientes entre s*
E3ij4 0
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Metodologa
() Estimar los parmetros del modelo)(() .ontrastar si el actor inluye en la respuesta,
es decir, si los valores medios de 7 sondierentes al cambiar el nivel del actor)
((() %i el actor inluye en la variable respuesta, esdecir, las medias no son i$uales, buscar lasdierencias entre poblaciones /o niveles delactor)
(>) 6ia$nosis del modelo comprobar si las&ip#tesis del modelo son ciertas mediante elanlisis de los residuos)
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Estimacin de los par%metros
En este e8emplo, a = 8, ni = 8 y 0 = +8) *asestimaciones puntuales de los parmetros son lassi$uientes
mean.resistenciaporcenta+e##0123
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$n%lisis de "arian#a
mode0#aov.resistencia4porcenta+e3summary.mode03
6 %um %" Mean %" F value Pr/?Fporcenta+e @;)@A 44=)9 4)@;@ 9)42=e0ABBBResiduals 20 4A4)20 =)0ACCC%i$ni) codes 0 DBBBD 0)004 DBBD 0)04 DBD 0)0; D)D 0)4 D D4
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$n%lisis de "arian#a
qf.$561, 7, !$3#!,8990
(e)i"n derec*a$o
Por lo tanto,
recha-amos H$a los
niveles anteriores y
concluimos que haydiferencias entre
los tratamientos5
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iagnosis del modelo
$
$ ( )ij ij ij
iij i i
e y y
y y y y y
=
= + = + =$
ij
ij
ed
MCE=
par/mroc/4,
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iagnosis del modelo* Normalidad
Histo&rama de los residuos estandari-ados
rstandard/mode4
Fre"uency
C4 0 4 2
0
2
9
A
=
C4);
C4)0
C0);
0)0
0
);
4)0
4);
2)0
rama de ca+as de los residuos
C2 C4 0 4 2
C4);
C4)0
C0);
0)0
0
);
4)0
4);
2)0
ormal de los residuos
uantiles
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iagnosis del modelo* +omocedasticidad
; 40 4; 20 2;
C4);
C4
)0
C0);
0)0
0);
4)0
4);
2)0
ia&rama de los residuos
(ndex
rstandard/mode4
40 42 4 4A 4= 20 22
C4);
C4
)0
C0);
0)0
0);
4)0
4);
2)0
mode4Litted
uos versus valores a+ustados
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iagnosis del modelo* independencia
; 40 4; 20 2;
C4);
C4)0
C0);
0)0
0);
4)0
4);
2)0
=esiduos contra el tiempo
(ndex
rstandard/mode4
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omparaciones entre medias
na ve' obtenidas dierencias si$niicativas entre lostratamientos, conviene estudiar por "u- se rec&a'a lai$ualdad entre medias, comparando todos los pares de
medias, por"ue puede ser "ue se rec&ace la i$ualdad demedias por"ue &aya un par de medias dierentes entre s+)
%e considera, entonces, los si$uientes contrastes
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iferencia significati"a mnima
9S: de 2iser %9east si!nificant difference'
Bajo la hiptesisnula
Diferenciasignificatia !"ni!a
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Mtodo de Bonferroni
En este criterio se rec&a'a5i= 5j /i 8 si
donde p es el n!mero de comparaciones "ue se puedenobtener
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istribucin de recorrido estudenti#ada
(ndependientes
se distribuye con una distribuci#n de recorridoestudenti'ado de parmetros ay m)
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Mtodo de &ucey
%e re"uiere "ue ni= n, i = 1, . . . , a)
%i esto no se cumple, entonces se toma n = mini;ni