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SISTEMAS DE
CONTROL EN TIEMPO
DISCRETO –
OPERACIONESIngeniería de Control Automático II
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
Multiplexión y Demultiplexión
Muestreo y Retención
Conversión A/D (Cuantización y Codificación)
Conversión D/A (Decodificación)
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
MULTIPLEXIÓN
En el campo de la electrónica el multiplexor se utiliza como dispositivo
que puede recibir varias entradas y transmitirlas por un medio de
transmisión compartido. Para ello lo que hace es dividir el medio de
transmisión en múltiples canales, para que varios nodos puedan
comunicarse al mismo tiempo.
Una señal que está multiplexada debe demultiplexarse en el otro
extremo.
DEMULTIPLEXIÓNEn electrónica digital, un demultiplexor es un circuito combinacional que tiene una
entrada de información de datos d y n entradas de control que sirven para
seleccionar una de las 2n salidas, por la que ha de salir el dato que presente en la
entrada. Esto se consigue aplicando a las entradas de control la combinación
binaria correspondiente a la salida que se desea seleccionar.
PrefiltroProceso
ControladoA/D
Control
DigitalDA
+
-
Sistema con muestreo múltiple
Los muestreadores adquieren muestras de la señal con
frecuencia constante, se cumple un periodo de muestreo.
Los retenedores mantienen el valor de la señal retenida
hasta que llega un nuevo valor correspondiente a una
nueva muestra.
Giroscopio
TX
PosiciónRetenedor
Retenedor
S1
º
1T
2T
Comando
Altitud
Muestreadores
El muestreador es el elemento
fundamental en un sistema de control de
tiempo discreto.
Consiste simplemente en un interruptor
que se cierra cada T segundos para
admitir una señal de entrada. En la
práctica, la duración del muestreo debe
ser mucho menor que la constante de
tiempo más significativa de la planta o
proceso.
Muestreadores
La función del muestreador es
convertir una señal continua en el
tiempo (análoga) en un tren de pulsos en
los instantes de muestreo 0, T, 2T… en
donde T es el periodo de muestreo.
Entre dos instantes de muestreo no se
transmite información.
Muestreadores
La figura a) muestra el diagrama en
bloques de un muestreador y la figura b)
representa la forma de la señal a la entrada y
a la salida del muestreador.
Muestreadores
Teniendo en cuenta que la salida del muestreador
es un tren de pulsos ponderado, es posible
relacionar la señal continua x(t) con la salida del
muestreador mediante la ecuación:
En donde (t) representa un tren de pulsos unitarios. Si
la señal continua es muestreada en forma periódica, la
señal de salida del muestreador se puede expresar como:
La ecuación anterior se puede escribir así:
Muestreadores
De la última ecuación se obtiene:
La transformada de Laplace de esta ecuación es:
Es decir:
Esta expresión es poco práctica para aplicarla en
sistemas de control porque genera una serie infinita. Se
recomienda expresarla en forma cerrada utilizando la
integral de convolución del cual se obtiene:
Retenedores
En la práctica, la señal en forma muestreada
no se debe aplicar directamente a la planta
por lo tanto es necesario incluir, después del
muestreador, un dispositivo que reconstruya
la señal.
Este dispositivo se conoce con el nombre de
retenedor y su finalidad es convertir la señal
muestreada en una señal continua de tal
forma que sea igual o lo más aproximada
posible a la señal aplicada al muestreador.
Retenedores
El retenedor más elemental convierte la
señal muestreada en una señal que es
constante entre dos instantes de muestreo
consecutivos, este tipo de retenedor se
conoce como “retenedor de orden cero” y
es comúnmente el más utilizado.
La exactitud del retenedor de orden cero en
la reconstrucción de la señal depende de la
magnitud del periodo de muestreo T.
Retenedores
La figura a) muestra un diagrama en bloques del
conjunto muestreador-retenedor y la figura b) da
las formas de la señal de entrada y de salida en
cada uno de estos dispositivos.
*m
TT1 T2 T3 T4 T5 T6
)(a
tm
TT1 T2 T3 T4 T5
)(b
tm
TT T2 T3 T4 T5
Retenedor de orden
cero Ideal
)(c Retenedor de primer orden
Circuito de Retención
Es un dispositivo para la reconstrucción de señales
continuas, a partir de una secuencia de valores
discretos (señal de tiempo discreto).
Otros tipos: de primer orden, interpolación poligonal,
etc.
Retenedor de Orden cero La función de transferencia H(S) de un retenedor de orden cero se
puede deducir teniendo en cuenta que la entrada al retenedor es el
tren de pulsos cuya transformada de Laplace es:
La salida del retenedor se puede expresar como:
Cuya transformada de Laplace es:
Entonces:
La función de transferencia del retenedor de orden cero es:
Considerando dos valores discretos sucesivos,𝑚 𝐾 − 1 𝑇 y 𝑚 𝐾𝑇 se asume que el siguiente periodo𝐾𝑇 ≤ 𝑡 < 𝐾 + 1 𝑇, la señal continua puede ser dadapor una extrapolación lineal de los dos valoresprevios:
𝑚 𝑡 = 𝑚 𝐾𝑇 +𝑚 𝐾𝑇 −𝑚 𝐾 −1 𝑇 𝑡 −𝐾𝑇
𝑇
Para 𝐾𝑇 ≤ 𝑡 < 𝐾 + 1 𝑇 y K = 1, 2, 3, 4, …
El retenedor de primer orden requiere al menos dedos valores para hacer construir la señal continua, entanto que el de orden cero requiere de un solo valor.
La función de transferencia de primer orden
𝐻1 𝑠 =1 + 𝑠𝑇
𝑇
1 − 𝑒−𝑠𝑇
𝑠
2
Retenedor de Primer Orden
Retenedores
En la figura se observa el diagrama básico de un circuito
de muestreo y retención. Todos los componentes están
dentro de un circuito integrado excepto el condensador C
que se conecta externamente.
Convertidor Digital a Analógico (D/A)
La conversión de una señal digital a su correspondiente
análoga consiste en transformar la información contenida
en código digital (binario) en una señal equivalente de
voltaje o de corriente proporcional al valor digital.
Un convertidor de digital analógico (D/A) es un dispositivo
que convierte datos digitales en señales de corriente o de
tensión analógica.
En figura se muestran los componentes básicos de un
convertidor D/A.
Convertidor Digital a Analógico (D/A) La figura muestra el circuito básico para un convertidor
D/A de 3 bits. El amplificador operacional se emplea
como un amplificador sumador. Si la resistencia que
corresponde a la rama del bit menos significativo (LSB)
está conectada al voltaje de referencia –Vr, y las otros dos
lo están a tierra, lo que corresponde al número binario
001, asumiendo que Rf = R , el voltaje de salida será:
Convertidor Digital a Analógico (D/A)
En la tabla adjunta se dan los valores Entrada binaria y
Voltaje de salida para el convertidor D/A de 3 bits de la
figura anterior.
Convertidor Digital a Analógico (D/A)
Los parámetros más importantes en la operación
de un convertidor D/A son: la resolución, la
precisión, y el tiempo de establecimiento.
Resolución: Se define como el menor cambio que
puede ocurrir en la salida análoga como resultado
de un cambio en la entrada digital.
Precisión: La precisión relaciona la salida real
obtenida con la salida esperada y se especifica
generalmente como un porcentaje de la salida a
plena escala (PE).
Tiempo de establecimiento: se define como el tiempo
que emplea la salida para alcanzar el 95% de su
nuevo valor. Valores típicos de tiempo de
establecimiento están en el rango de 50 ns y 100 us.
Convertidor Analógico a Digital (A/D)
El convertidor A/D transforma una señal análoga de
voltaje o de corriente en una señal digital o una palabra
codificada numéricamente. El convertidor A/D realiza
sobre la señal de entrada operaciones de muestreo y
retención, cuantificación y codificación.
En la operación de muestreo el dispositivo toma
muestras de la señal cada T segundos, luego retiene
el valor muestreado hasta que la conversión se
complete.
El nivel de cuantificación corresponde al valor del
bit menos significativo y está dado por:
En donde EP es el valor de voltaje a plena escala.
Convertidor Analógico a Digital (A/D) Existen diferentes tipos de convertidores A/D, los más utilizados
son:
Convertidor por A/D por aproximaciones sucesivas.
Convertidores A/D de rampa digital
Convertidores A/D de tipo paralelo.
En la figura se muestra un diagrama del convertidor A/D del
tipo aproximaciones sucesivas
Selección del Periodo de Muestreo T
El periodo de muestreo es un parámetro de
diseño muy importante que debe seleccionarse en
función de un compromiso entre varios factores:
El tiempo de cálculo del procesador:
Precisión numérica en la implementación:
Pérdida de información en el muestreo:
Respuesta a perturbaciones:
En resumen, el periodo de muestreo debe
seleccionarse para satisfacer un compromiso
entre el deterioro de la calidad del control que puede
producir un alto valor de T y la cantidad de cálculos
necesaria para ejecutar el algoritmo de control con
valores pequeños de T.
Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
Introducción:
El Teorema de Nyquist-Shannon, establece que lafrecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el“aliasing” debe ser:
fm>2.BW
BW: ancho de banda de la señal a muestrear(BW=fmax-fmin)
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como,
fm>2.fmax
Introducción:
Aliasing: Las muestras D son un “Alias” de las muestras B
Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
0
*
k
P PkTtkTttftPtftf
Aproximación de Tope Plano:
TktPkTpara
PkTtkTparakTf
tfP
10
*
Así,
Laplace:
0
*
k
P PkTtkTtkTff
sFekTfs
e
s
e
s
ekTftfL P
k
kTsPs
ok
sPkTkTs
P
*
0
* 1
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Aproximación por series:
!3!21
32PsPs
Pse Ps
,.1 LuegoPseentoncesTPSi Ps
0
*
0
*
k
P
k
kTs
P kTtkTfPtfekTfPsF
Se observa que el ancho de pulso “P” está actuando como un atenuador de la señal.
Para evitar este inconveniente, se coloca un dispositivo de retención que mantenga elvalor de la señal muestreada, quedando las expresiones finales:
0
*
0
*
k
kTs
k
ekTfsF
kTtkTftf
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Ejemplo: Se tiene un proceso de muestreo periódico como se
indica:
¿Cuánto vale el período fundamental (cantidad de muestras
hasta que se repite la secuencia) de la señal de tiempo discreto ,si la señal de tiempo continuo tiene una frecuencia de 3 Hz ?
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Representación de los Sistemas Discretos:
Ecuaciones de Diferencias Finitas
Un sistema de tiempo discreto SISO tiene como representación la ecuaciónde diferencias general:
donde es la entrada en el instante y es la salida en el instante
Ejemplo:
Se debe leer como que “el próximo valor de la salida es igual a su valoractual menos el doble del valor de la entrada presente”
La “Ecuación de Diferencias Finitas” para el mundo discreto, es elequivalente a las ecuaciones diferenciales ordinarias del mundo continuo.
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