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2. MODELOS MATEMATICOS PARA REACTORES QUIMICOS
Como se planteó en el 1er. curso de Ing. de Reactores, el reactor constituye la parte más importante de la planta química. Los problemas de su diseño conciernen la definición del tipo de reactor, tamaño y sus condiciones de operación. Para decidir lo anterior, es indispensable contar con el modelo matemático, que consiste fundamentalmente en los balances de materia y de energía.
Conviene recordar algunos principios adquiridos durante el estudio de reactores con una sola fase (homogéneos).
* La ecuación de diseño se deriva del balance de materia realizado sobre una especie. De preferencia, se toma el reactivo limitante como base.
* Debemos seleccionar un volumen, donde se apliquen los balances, en el que la concentración y la temperatura sean constantes (volumen de control).
Así, teníamos para los dos casos de reactores ideales de flujo continuo :
RCTA. Consideramos mezclado perfecto, así en cualquier punto la concentración y la temperatura son las mismas. El balance de materia se planteará para el reactivo base A, sobre un elemento de volumen VR, pues en éste la concentración y la temperatura no varían.
FA0 VFA
R
Figura 3.1. RCTA
FA0 + FA - (-rAS)VR =0 (2.1.)
RT. No existe mezclado axial, flujo tipo pistón (tapón), no laminar. Por consiguiente, la concentración y la temperatura no son constantes en todo el volumen, variando con respecto a la longitud (paralela a entradas y salidas). Esto nos sugiere que el balance de materia se realice para un elemento de volumen dVR, donde éstas sean constantes.
FA0
Q0
VR
FA
Q
.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 1
Figura 3.2. RTFA
XAV R
FA
d
+ FAd
XA + XAd
Figura 3.3. Elemento dVR de RT
El BM se plantea para un elemento diferencial de reactor dVR, de la siguiente manera :
FA - ( FA + dFA) - (-rA)dVR =0 (2.2.)o bien, simplificando
dFA = -(-rA)dVR (2.2’.)
En realidad, los balances de materia y de energía planteados para reactores homogéneos corresponden a casos particulares de las ecuaciones de conservación de materia y de energía, abordadas durante los cursos de fenómenos de transporte. Las soluciones de las ecuaciones generales de masa, energía y cantidad de movimiento representan el modelo para cualquier reactor. Sin embargo, en Ingeniería Química se puede simplificar las ecuaciones de conservación, pues la solución de éstas muchas veces no es trivial.
Por otro lado, en el trayecto de este curso se abordarán las soluciones de las ecuaciones de conservación para reactores en más de 1 fase (heterogéneos). Sin pretender una clasificación formal, mencionaremos algunos tipos de reactores frecuentemente encontrados en la industria química.
2.1. Clasificación de reactores heterogéneos
Entre los reactores heterogéneos más comunes, tenemos aquellos donde intervienen al menos dos fases. Generalmente un fluido que reacciona sobre un lecho o cama de catalizador. Este último puede estar inmóvil (reactor empacado de lecho fijo), o en movimiento pero sin salir del reactor (reactor de lecho fluidizado) o bien, el catalizador puede entrar y salir del reactor continuamente (reactor de lecho transportado). Las figuras 3.4. a 3.6. esquematizan cada uno de estos reactores. Kunii y Levenspiel [1] proponen una clasificación completa de los diferentes regímenes de flujo para los lechos catalíticos.
fluidocatalizador sólido
Fig. 3.4. Reactor de lecho fijo
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 2
fluidocatalizador sólido fluidizado
Fig. 3.5. Reactor de lecho fluidizado
fluidocatalizador sólido entrando y saliendo del reactor
Fig. 3.6. Reactor de lecho transportado
Existen también reactores donde se presentan más de dos fases y entre estos tenemos :
fluido 1
catalizador sólido
fluido 2
Fig. 3.7. Reactor de lecho percolador (trickle bed)
catalizador en suspensión líquida
gas
Fig. 3.8. Reactor de suspensión (slurry)
Al final del curso se analizarán los modelos matemáticos para cada reactor heterogéneo y sus diferentes particularidades, en relación con su uso.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 3
II.2. Ecuaciones de conservación
Se detallará fundamentalmente el desarrollo de la ecuación de conservación para transferencia de masa, recordando algunos conceptos matemáticos para una mejor comprensión de la notación empleada. Así, del curso de transferencia de masa se sabe que :
transporte de
masa
transporte por
difusión
transporte por
convección
El transporte total de materia para la especie A, por ejemplo en la dirección z, que pasa por un área transversal Az se define como el flux de A, NAz. Sus
unidades son mol/unidad de tiempo*unidad de área y es una magnitud vectorial, aunque por comodidad se evitará la notación correspondiente.
N Az dirección z
Az
La ecuación 3.3. representa el flujo total de materia por unidad de área (flux) en la dirección z, incluyendo los dos componentes mencionado anteriormente.
NAz JAz CAvz (3.3.)
En general, para un elemento diferencial VR=xyz, tenemos
y
y
x
z
x
z
NAz
NAy
NAx
Fig. 3.9. Elemento VRcon flux de materia en las diferentes direcciones
Podemos escribir el balance de materia :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 4
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 5
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 6
NAxyz x−NAxyz x+x +NAyxz y−NAyxz y+y
+
NAzxyz −NAzxyz+z −(−rA)xyz=∂∂t
(CAΔxΔyΔz )
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 7
(2.4.)
La ecuación 2.4. se divide entre xyz y se toma el límite para cuando cada incremento tiende a cero (ver Cap.18 de Bird et al. [2]) , resultando :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 8
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 9
-∂∂xNAx -
∂∂yNAy -
∂∂zNAz −(−rA)=
∂CA
∂tIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 10
(2.5.)
que en notación vectorial se escribe :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 11
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 12
-∇⋅NA −(−rA)=∂CA
∂tIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 13
(2.6.)
Regresando al caso particular del reactor tubular de flujo pistón operando al estado estable, se puede deducir la ecuación de diseño a partir de la ecuación
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 14
2.6. En este reactor solamente hay transferencia de materia en la dirección z
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 15
NAx = 0, NAy = 0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 16
y el término de acumulación vale cero,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 17
∂CA
∂t= 0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 18
, entonces :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 19
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 20
d
dzNAz + (−rA )=0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 21
(2.7.)
multiplicando ambos términos de la ecn. 2.7. por Azdz,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 22
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 23
d(AzNAz )
dzdz +(−rA )Azdz=0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 24
(2.8.)
Re-arreglando 3.8. y substituyendo la relación dVR=Azdz,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 25
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 26
d(AzNAz )
dz
dz
dz=
d(AzNAz )
dVR=−(−rA)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 27
(2.9.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 28
Substituyendo para el flux,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 29
NAz =J Az +CAvzIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 30
, donde
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 31
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 32
JAz =−DzdC A
dz
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 33
(Ley de Fick) (2.10)donde Dz es el coeficiente de difusividad de A en la dirección z, no
forzosamente molecular en naturaleza.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 34
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 35
d(AzvzCA )
dVR−d AzDz
dCAdz
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥Az
dVR=−(−rA)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 36
(2.11.)introduciendo la relación FA=AzvzCA para el 1er. término y dVR=Azdz, para el 2do. término de la ecn. 2.11. y simplificando obtenemos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 37
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 38
dFA
dVR−Dz
d2CA
dz2=−(−rA )
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 39
(2.12.)
El segundo término en la ecuación 2.12. representa el transporte de materia axial debido a la difusión. A este fenómeno se le conoce como dispersión axial y debido a que Dz es igual a cero en un reactor de flujo pistón, entonces se puede escribir :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 40
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 41
dFA = −(−rA )dVRIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 42
(2.13.)
que coincide con la ecuación de balance de materia presentada al inicio del capítulo (ecn.2.2’.). Resulta claro que las ecuaciones de conservación de materia, energía y cantidad de movimiento pueden aplicarse para modelar cualquier reactor y sus soluciones dependerán de cada caso particular. Conviene entonces presentar ahora las ecuaciones de conservación para sistemas reactivos con geometría cilíndrica, pues se adaptan más a la morfología de la mayoría de los sistemas.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 43
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 44
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 45
Fig. 3.10. Elemento VR para geometría cilíndrica
para un elemento diferencial VR=2r rz, por el BM/A tenemos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 46
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 47
Flux entrando de A.área tranversal{ }c/dirección-
Flux saliendo de A.área tranversal{ }c/dirección- moles consumidas de A{ }VR ± moles cambiando de fase de A{ }VR= moles acumuladas de A{ }VR
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 48
Debe notarse el término de cambio de fase para la especie A (gi.f.), pues frecuentemente ocurre en los reactores heterogéneos. Siguiendo una metodología similar a la ecuación en geometría rectangular llegamos a la ecuación :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 49
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 50
-∂NAzAz∂z
dz-∂NArAr∂x
dr−(−rA )dVR ±gi.f.dVR =∂(CAVR )
∂t
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 51
(2.14.)
Dividiendo la ecuación 2.14. entre dVR, e invirtiendo signos tenemos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 52
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 53
1
dVR
∂NAzAz
∂zdz+
1dVR
∂NArAr∂x
dr+(−rA )±gi.f.=-1
dVR
∂(CAVR )
∂t
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 54
(2.15.)
Substituyendo:
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 55
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 56
NAz =J Az +CAvz = −DzdCAdz
⎛⎝
⎞⎠ +CAvz
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 57
, donde Dz =cte. en z (2.16.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 58
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 59
NAr =J Ar +CAvr =−DrdCAdr
+CAvr vr =0Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 60
(2.17.)
como VR=2r rz , entonces dVR=2r drdz, simplificando la ecn. 2.17.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 61
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 62
∂vzCAAz
Az∂z− Dz
∂2CA
∂z2 −Dr
r
∂
∂rr
∂CA
∂z
⎛ ⎝
⎞ ⎠+ (−rA) ± ri.f. = -
1
dVR
∂(CAVR )
∂t
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 63
(2.18.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 64
como
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 65
FA = vzCAAz y dVR = AzdzIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 66
, tenemos finalmente
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 67
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 68
∂FA
∂VR
−Dz∂2CA
∂z2 −Dr
r∂∂r
r∂CA
∂z
⎛ ⎝
⎞ ⎠+(−rA ) ± ri.f. = -
1VR
∂(nA )
∂t
1{ } 2{ } 3{ } 4{ } 5{ } 6{ }
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 69
(2.19.)
Para cada término podemos decir :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 70
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 71
1{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 72
, cantidad asociada al cambio de flujo molar de A con respecto al volumen del reactor,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 73
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 74
2{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 75
, término asociado con la dispersión axial (en la dirección z), no forzosamente de origen molecular y debida sobre todo, a efectos de turbulencia,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 76
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 77
3{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 78
, magnitud relacionada con la dispersión radial (en la dirección r), al gual que el
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 79
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 80
4{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 81
, término correspondiente a la desaparición o generación de especies, definido n unidades coherentes con el vol u
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 82
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 83
5{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 84
, contabiliza las moles que cambian de fase, es decir, aquella masa que se transfiere desde o hacia una fase diferente a la que se analiza,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 85
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 86
6{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 87
, indica la acumulación de moles de la especie A en el sistema.
Mediante un proceso análogo se llega a la ecuación de conservación de la energía para un sistema con geometría cilíndrica,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 88
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 89
vz∂T∂z−Kz
∂2T∂z2
−Krr∂∂r
r∂T∂z⎛⎝
⎞⎠±
qcρ ˆ C p
±q i.f.
ρ ˆ C p= -
∂T
∂t
1{ } 2{ } 3{ } 4{ } 5{ } 6{ }
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 90
(2.20.)
La interpretación de la ecuación 2.20 es similar a la 2.19 :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 91
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 92
1{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 93
, cantidad asociada al cambio de temperatura con respecto a la dirección z,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 94
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 95
2{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 96
, término asociado con la dispersión térmica axial (en la dirección z), debida a efectos de turbulencia, Kz es la difusividad térmica en la dirección z,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 97
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 98
3{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 99
, magnitud relacionada con la dispersión radial (en la dirección r), al igual que el
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 100
caso anterior, Kr es la difusividad térmica en la dirección radial,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 101
4{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 102
, término correspondiente a la desaparición o generación de calor debido a la reacción química rv,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 103
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 104
qc = (- ˆ H rxn)rvIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 105
(2.21.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 106
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 107
5{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 108
, contabiliza el calor transferido entre diferentes fases, es decir, aquella energía que se transfiere desde o hacia una fase diferente a la que se analiza,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 109
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 110
6{ }Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 111
, indica la acumulación de energía en el sistema.
Finalmente, se tiene la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en términos de la velocidad de fluido :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 112
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 113
vz∂ ρvz( )∂z
+∂P∂z+1r∂rτ*
∂r= -
∂ ρvz( )
∂t
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 114
(2.22.)
donde t* representa el esfuerzo de corte.
Si se tratara de un flujo laminar con un gradiente de presión, al estado estable se tendrá :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 115
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 116
∂P∂z
+1
r
∂rτ*
∂r= 0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 117
(2.23.)
El perfil de velocidades resultante de la solución a la ecuación 2.23 tiene forma parabólica y lo define la ecuación. 2.24.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 118
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 119
vz =P dR
2⎛⎝
⎞⎠
2
4μl1 − 2r
dR
⎛ ⎝
⎞ ⎠
2 ⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥= 2v z 1− 2r
dR
⎛ ⎝
⎞ ⎠
2 ⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 120
(2.24.)
Para un flujo turbulento, la solución de la ecuación tiene la forma :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 121
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 122
vz = vz 1− 2rdR
⎛ ⎝
⎞ ⎠
n ⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥n → ∞
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 123
(2.25.)En ambos casos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 124
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 125
P = caida de presión en el reactor
dR , l = dimensiones del reactor
μ = viscosidad del fluido
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 126
Frecuentemente, para el caso de la transferencia de masa se acostumbra expresar la ecuación de diseño en función del número adimensional de Péclet (Pe), pues éste nos permite cuantificar la dispersión. En otras palabras, este término permite estimar el grado de mezclado tanto en la dirección axial como en la dirección radial. Para ilustrar lo anterior, se considerará la ecuación de conservación de materia 2.19., para un reactor tubular operando al estado estable.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 127
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 128
∂FA
∂VR−Dz
∂2CA
∂z2 −Dr
r
∂
∂rr
∂CA
∂z
⎛ ⎝
⎞ ⎠+ rv ±ri.f. = -
1
VR
∂(nA )
∂t
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 129
(2.19.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 130
Si se desprecia la transferencia de masa en la dirección radial y no hay acumulación ni transferncia de A desde o hacia otra fase :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 131
Dr
r
∂∂r
r∂CA
∂z⎛⎝
⎞⎠ =0 ri.f. = 0 -
1
VR
∂(nA)
∂t= 0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 132
, la ecuación se transforma :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 133
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 134
rv =Dzd2CA
dz2−dFAdVR
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 135
(2.26.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 136
substituyendo
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 137
FA = vzCAAz y dVR = Azdz
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 138
en 2.20. y suponiendo 1er. orden de reacción, la ecuación 2.21. describe un reactor tubular de flujo pistón con dispersión axial.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 139
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 140
Dzd2CA
dz2 −vzdCAdz
=rv =kCAIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 141
(2.27.)
Si se introduce:
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 142
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 143
f =CA
CA0(conc.de A en alim.) y Z= zl( longitud del reactor)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 144
y agrupando
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 145
Pez =lvz
Dz
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 146
, número de Péclet basado en la longitud del reactor.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 147
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 148
1
Pez
d2f
dZ2 −dfdZ=k
l
vzf
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 149
(2.28.)
De la solución de la ecuación 2.28 resulta :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 150
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 151
Pez → ∞ (Dz → 0) Pe z → 0 (Dz → ∞)
PFR (no hay mezclado axial ) CSTR (mezclado axial completo)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 152
Algunos reactores catalíticos heterogéneos siguen cualquiera de los dos comportamientos ideales extremos : en algunos reactores de lecho fijo es posible considerar flujo muy aproximado al pistón, mientras que otros reactores pueden considerarse como perfectamente mezclados, modelándose como un RCTA. Estudios de distribución de tiempos de residencia nos permiten conocer de una manera sencilla si ocurre algunas de estas situaciones.
A continuación se analizará a través de un ejemplo, el diseño para un reactor heterogéneo donde se pueden utilizar las ecuaciones de balance de materia para un PFR y un RCTA. La descripción completa de las ecuaciones que describen los reactores heterogéneos se verá hacia el final del curso. Además, hasta ahora, no hemos enfatizado el hecho de que la expresión de velocidad de reacción es más compleja, pues incluye los fenómenos de transporte.
REACTORES HETEROGENEOS :LECHO FIJO CON FLUJO PISTON
=> ECN. DISEÑO PFRLECHO FLUIDIZADO O TRANSPORTADO PERFECTAMENTE
AGITADO=> ECN. DISEÑO CSTR
RECORDAR rv no es sencilla, incluye fenómenos de transporte
generalmente rp (=) moles consumidas/t. gr catalizador
Ejemplo 2.1. Se desea realizar la hidrodemetilación catalítica de tolueno en un reactor de lecho fijo, al que se alimenta 40% mol de H2, 20% de tolueno y 40% de
inertes. Se operará a 600ºC y 10 atm de presión total. Calcular el volumen necesario para alcanzar una producción de 10 grmol/min de benceno, a partir de un flujo volumétrico en la alimentción de 400 lt/min. la reacción que ocurre es
CH3-C6H5 + H2---> C6H6 + CH4.
En experimentos previos se obtuvo que la cinética de la reacción a 600ºC corresponde a la ecuación :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 153
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 154
rp =1. 41.10−8PHPT
1+1.45PB +1.01P T(=)grmol/ grcatalizador.s
PH,PT ,PB = presiones parciales de H2, tolueno y benceno
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 155
(SE TRATA DE LA VELOCIDAD GLOBAL OBSERVADA)La densidad aparente del catalizador en el lecho es de 2.3 gr/cm3.
Solución
Para el reactor de lecho empacado, se puede suponer como punto de partida flujo pistón dentro del reactor y que la caida de presión es despreciable. De tal forma, que la ecuación de conservación de materia es similar al BM en un PFR.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 156
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 157
FIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 158
Entonces, para el reactivo limitante (tolueno=A), se realiza un balance en un elemnto diferencial de lecho catalítico, dm.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 159
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 160
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 161
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 162
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 163
FA -(FA + dFA )- rpdm= 0Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 164
(A)
Simplificando (A) y expresando el flujo en función de la conversión, tenemos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 165
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 166
FA0dxA = rpdmIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 167
(B)
A partir de (B) se obtiene mediante integración la masa de catalizador del lecho, aunque antes debe expresarse rp en función de la conversión.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 168
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 169
m = FA0dxA
rpxA 0
x A
∫Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 170
(C)
Se sabe que Pi=CiRT, considerando gas ideal para cada compuesto i, entonces :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 171
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 172
PH = CHRTIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 173
(D)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 174
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 175
PT = CTRTIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 176
(E)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 177
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 178
PB = CBRTIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 179
(F)
Por medio de una tabla estequiométrica (A=tolueno, B=hidrógeno, C=benceno) podemos expresar cada concentración en función de la conversión,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 180
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 181
CA =CA0 (1 − xA)
1 + εxA( )
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 182
(G)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 183
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 184
CB =CA0 θB−
baxA
⎛⎝
⎞⎠
(1+ εxA )
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 185
(H)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 186
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 187
CC =CA0 θC +
caxA
⎛⎝
⎞⎠
(1+ εxA )
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 188
(I)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 189
Tenemos que
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 190
δ =1+1-1-1= 0 ε = 0, θB =yB0
yA0=
0.4
0.2= 2 θC =
yC0
yA0= 0
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 191
, substituyendo los valores anteriores en (G)-(I) e insertándolos en las ecuaciones (D)-(F), obtenemos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 192
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 193
PA = PA0(1- xA )Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 194
(J)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 195
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 196
PB =PA0(2 - xA )Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 197
(K)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 198
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 199
PC = PA0xAIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 200
(L)
como PA0=yA0PTOT0=(0.2)(10) atm=2 atm y substituyendo (J)-(L) en la ecuación
cinética, se tiene :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 201
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 202
rp =5.64.10−8(1−xA )(2 −xA)
3.02 +0.88xA
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 203
(M)
Antes de integrar debemos encontrar la conversión, a partir de la producción deseada,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 204
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 205
FC = FA0xAIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 206
. (N)donde :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 207
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 208
FA0 =PA0Q0
RT 0=
2(400 )
0.082 (873 )=11.17 grmol / min
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 209
entonces
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 210
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 211
xA =FC
FA0=
10 grmol / min
11.17 grmol / min=0.89
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 212
Substuyendo (M) y los valores de flujo de A en alimentación y conversión,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 213
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 214
m =11.17(3.02+ 0.88xA)dxA
5.64.10−8(1−xA )(2 −xA)0
0.89
∫ =21869 kg de catalizadorIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 215
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 216
Si la densidad del catalizador en el lecho,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 217
ρb
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 218
es de 2.3 kg/lt, el volumen del reactor se determina fácilmente :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 219
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 220
VR =m
ρb=
21 869 kg
2.3 kg / lt
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 221
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 222
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 223
VR = 9 508 ltIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 224
Ejemplo 2.2. Se desea diseñar un reactor de lecho fluidizado para los mismos datos del ejemplo 2.1. (misma conversión e iguales condicioens de operación).
La única modificación consiste en el cambio en densidad aparente del catalizador en el lecho, siendo ésta de 0.4 gr/cm3.
Solución
Para el reactor de fludizado, se puede suponer un reactor perfectamente mezclado. La ecuación de diseño resultante es aquella analizada al inicio del capítulo.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 225
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 226
FIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 227
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 228
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 229
FA0 -FA - rpm = 0Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 230
(A)
Substituyendo la definición de conversión y despejando m,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 231
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 232
m =FA0(xA −xA0 )
rp
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 233
(B)
Introduciendo los valores encontrados en el ejemplo 2.1. y la expresión de velocidad de reacción en función de la conversión en (B)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 234
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 235
FA0 = 11.17 grmol / min, xA =0.89 xA0 = 0Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 236
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 237
rp =5.64.10−8(1−xA )(2 −xA)
3.02 +0.88xA
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 238
entonces,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 239
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 240
m =11.17(0.89)
5.64.10−8(1−0.89)(2 −0.89)3.02 + 0.880.89
=97 087 kg de catalizadorIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 241
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 242
Si la densidad del catalizador en el lecho,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 243
ρb
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 244
es de 0.4 kg/lt, el volumen del reactor se determina igual que en el ejemplo precedente :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 245
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 246
VR =m
ρb=
97 087 kg
0.4 kg / lt
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 247
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 248
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 249
VR = 2.4.105 ltIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 250
2.3. MODELOS PARA REACTORES NO IDEALES
Los reactores reales muchas veces no siguen los patrones de flujo, tal como lo suponemos cuando se realiza el diseño de un reactor ideal. Así, en los reactores continuos de tanque agitados se presentan regiones donde la concentración cambia con la posición, debido a una agitación imperfecta o bien, debido a la formación de vórtices. Para los reactores tubulares, algunas veces el flujo no es de tipo pistón perfecto y ocurren fenómenos como el mezclado en la dirección radial. Podemos mencionar algunas desviaciones al comportamiento hidrodinámico ideal o no idealidades :
-Canalización de fluido-Mezclado longitdinal-Regiones estancadas-Cortos circuitos (by pass)-Mezclado imperfecto de agitadores
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 251
Enfoques
Métodos exactos
Métodos aproximados
Experimentos con trazadores.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 252
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 253
Simplificaciones
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 254
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 255
REACTOR ISOTERMICO Q = Qo, ρ= constante
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 256
R
inyección de traza
a) Cambio pulso
b) Cambio Escalón
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 257
- el trazador no debe perturbar el 2.3.1. DefinicionesPara el trazador definimos :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 258
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 259
θ tiempo de residencia = edad + vida residual (esperanza)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 260
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 261
tiempo transcurrido
desde que la partícula
de traza entró al reactor
⎫⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪+
restodel
tiempoque
estará
⎫⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 262
La distribución de tiempos de residencia (DTR) la definimos a través de la función J(θ), que se define como la fracción de las partículas de traza en el efluente que tienen un tiempo de residencia menor que θ.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 263
Así DTR
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 264
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 265
J ( θ ) θ = 0 J = 0 θ = oo J = 1
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 266
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 267
θ =VR
Q
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 268
tiempo medio de residencia
d J(θ) fracción que tiene un tR entre θ y dθ
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 269
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 270
θ =θd J θ( )
d J θ( )0
1
∫0
1
∫ = θdJ θ( )0
1
∫ =VR
Q
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 271
(2.29.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 272
DOSCASOS
RCTA(CSTR)
RT(PFR)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 273
mismaedad
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 274
2.3.2. Análisis de respuestas de reactores ideales
J (θ ) no depende del experimento, sino que es propia de cada reactor
Cambio pulsoRT
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 275
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 276
Reactortubular deflujo pistón
Co
t=o t
Entradaen un tiempo iguala cero inyectamos unpulso (a concentraciónconocida de trazador)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 277
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 278
Reactortubular deflujo pistón
C
=θ t
Salida como tenemos un flujo , pistón perfecto las
partículas de trazador salen todas a unmismo tiempot
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 279
IDEAL
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 280
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 281
Reactortubular deflujo pistón no ideal
C
=θ t
Salida como tenemos un flujo
no forzosamente, pistón las partículas
de trazador salen a tiempo diferentet
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 282
REALLa DTR para un reactor tubular de flujo pistón se deduce fácilmente :
J(θ)=0 , para θ<VR/Q (2.30.)J(θ)=1, para θ>=VR/Q
RCTA
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 283
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 284
Reactoragitación perfecta
Co
t=o t
Entradaen un tiempo iguala cero inyectamos unpulso (a concentraciónconocida de trazador)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 285
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 286
Reactoragitación perfecta
C
=θ t
Salida
t
63.2%Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 287
IDEAL
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 288
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 289
Reactoragitación no perfecta
C
t
Salida
=θt
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 290
REAL
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 291
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 292
Todas las partículas tienen la misma oportunidad de salir.Entonces para una inyección pulso en un RCTA :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 293
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 294
J θ( ) =∅mθρVR
=Q0 Δθ
V R
=Δθ
θ
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 295
(2.31.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 296
además, la probabilidad de que un elemento permanezca un tiempo mayor que
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 297
θ1 + θ 2( )Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 298
, el producto de ambas probabilidades
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 299
1−J θ1 + θ2( ) = 1− J θ1( )[ ] 1− J θ2( )[ ]
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 300
(2.32.)Si θ pequeño, entonces
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 301
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 302
1−J θ + Δθ( ) = 1−J θ( )[ ] 1− J Δθ( )[ ] Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 303
(2.33.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 304
combinando (IV.4.) y (IV.4.) tomando límite.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 305
θ → oIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 306
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 307
dJ θ( )dθ
+1
θJ θ( ) =
1
θ
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 308
, (2.34.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 309
con C.L.
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 310
J θ( ) =0, θ = 0Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 311
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 312
J θ( ) =1− e −θ / θ Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 313
(2.35.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 314
como
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 315
θ=τIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 316
5.3. Determinación de la curva J ( θ ) para un reactor real, a partir de datos de respuesta a un pulso
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 317
(m )T inyección de
traza
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 318
t w (g/cm )s3
(concentración másica de traza en la salida)
Cs(conc. molar)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 319
mT (masa total de trazador inyectado)
¿Tiempo de residencia promedio?¿( DTR ) J ( θ )?
La probabilidad de que la partícula tenga un tiempo de residencia menor que θ se define :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 320
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 321
J θ( ) =Csφmdθ
o
θ
∫
Csφmdθo
∞
∫
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 322
(2.36.)
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 323
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 324
cs ≈ws enestecaso
φm =flujo másico, efluente principal
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 325
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 326
podemos aproximar estas integrales si
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 327
θ → o
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 328
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 329
J θ( ) =Csφmθ( )
o
θ
∑
Csφmθ( )o
∞
∑
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 330
(2.37.)si m (flujo másico) es constante,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 331
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 332
J θ( ) =Csθ
o
θ
∑
Csθo
∞
∑
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 333
(2.38.)
para T "equidistantes"
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 334
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 335
J θ( ) =Cs
o
θ
∑
Cso
∞
∑
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 336
(2.39.)
además
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 337
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 338
Cso
∞
∑ =totalen todoel tiempoIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 339
Para el tiempo de residencia promedio :
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 340
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 341
dJ θ( )dθ
=CsφmmT
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 342
(2.40.)por definición,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 343
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 344
θ= θdJ θ( )
dθ ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
o
∞
∫ dθIng. de Reactores II/J.A. de los Reyes 345
(2.41.)
entonces
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 346
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 347
θ=θCsφmdθ
o
∞
∫
Csφmdθo
∞
∫
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 348
(2.42.)
aproximando para intervalos pequeños,
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 349
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 350
θ=θCs
o
∞
∑
Cso
∞
∑
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 351
(2.42’.)
Ejemplo 2.3. Se monitoreó la concentración de trazador en un reactor industrial, como resultado de una inyección de cierta cantidad de éste en un tiempo cero. Encontrar la DTR e interpretarla con respecto al comportamiento de los reactores ideales.
t (min) Cs (mg/lt) 0.1 0.2 0.2 0.17
1 0.15 2 0.125 5 0.0710 0.0230 0.001
Ing. de Reactores II/J.A. de los Reyes 352