*BYRON

TANDALLA

DEFINICIÓN

MATEMÁTICA:En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

CÁLCULO:En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Para la definición de un limite se debe tomar en cuenta estos dos gráficos:En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados. Pero debemos de saber lo que es una función y los intervalos:

FUNCIÓN Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica las funciones se clasifican de la siguiente forma:

INTERVALOS

Es una porción de recta con ciertas características. Los intervalos se determinan sobre la recta real y, por tanto, se corresponden con conjuntos de números. Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

CLASESLIMITES NOTABLESComo ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

DEMOSTRACIÓN Para demostrar, por ejemplo, estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

DEFINICIÒN: La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a Decimos

que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < δ, tenemos que |f(x) - L| < εEl siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy apresable para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como épsilon - delta.Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:si , entonces

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues 0 < | x - a | implica x distinto de a, mientras que la solución de | f (x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Notación de límite de una función de punto en punto Sea f una función real, entonces:

( )

si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función.

Notación formal:

En el limite de una función punto a punto a su vez se orienta o limita a diferentes lados, así pues tenemos:

a) Límite finito:Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por:

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio, podemos encontrar un entorno de a de radio, que depende dede modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, )

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

c) Limite por la izquierda:

d) Límite por la derecha:

Límites indeterminados   Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

 

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.   Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la -¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.  

PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos:

a)Límite por un escalar.

donde k es un multiplicador escalar.

b)Límite de una suma.

siempre que no aparezca la indeterminación

c) Límite de una resta.

siempre que no aparezca la indeterminación

d) Límite de una multiplicación.

siempre y cuando no aparezca la indeterminación e) Límite de una división.

siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e

f)

con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

g)

siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos:

1) Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene límite l en ese punto, la otra también tiene límite l en a.

2) Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. Una función no puede tener dos límites distintos en un punto.

3) Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite

Corolario1: si una función tiene en un punto un límite distinto de cero, en un entorno reducido del punto, la función determina valores del mismo signo que su límite

Corolario2: toda función que tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno reducido del mismo

4) Si en un entorno reducido de un punto, los valores que determina la función están comprendidos entre los de otras dos funciones que tienen el mismo límite en ese punto, ella

INDETERMINACIONES

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

Cálculo del límite de funciones polinómicasUna función polinómica es una función del tipo:

Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:

A. Limite de una función polinòmica en un punto Xo infinito El límite de una función polinómica en un punto x 0 es igual al valor que toma la función en ese punto:

B. Límite de una función polinómica en el infinito El límite de una función polinómica en el infinito es +¥ ó -¥, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:    

CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES RACIONALES

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

A. Limite de una función racional en un punto x0 finito Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.   Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.  

 

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.

En este caso se obtiene el resultado que es una indeterminación.P(x0) = 0, x0 es raíz Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente se puede simplificar.

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

El limite del cociente da como resultado la indeterminación

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

Ejercicios:

Resolución:

Resolución:

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 y Q(x) = x2 + 3x -10.

· Descomposición factorial de P(x):

· Descomposición factorial de Q(x):

· El límite del cociente P(x)/Q(x) es:

Resolución:

· Se simplifican numerador y denominador:

 Límite de una función racional en el infinito   Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ±¥, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones. El límite de una función racional cuando x ±¥, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador

Si

El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ±¥, dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales o distintos. Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m),

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n<m), el límite es 0.

Ejercicios:

Resolución: En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ¥.

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:

Resolución:

El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:

CÁLCULO DE LIMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES

Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz. Son funciones irracionales las siguientes:

El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.

Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara.   En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.  

EJEMPLOS:

Resolución:

Resolución:

Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador

Resolución:

Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por

Cálculo del límite de una función irracional en el infinito

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación , ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.

Ejemplo:

Resolución:

Haciendo uso de la regla mencionada, resulta: Grado del numerador = 3