Lunes23

denoviembre

3°deSecundariaMatemáticas

Relacioneslinealesnoproporcionales

Aprendizajeesperado:Leeyrepresenta,gráficayalgebraicamente,relacioneslinealesycuadráticas.Énfasis:Analizarlasrepresentacionesdeunarelaciónlinealnoproporcional.¿Quévamosaaprender?Tratarás ejercicios que corresponden a una relación no proporcional y, para ello, estudiarás yresolverásdiversassituaciones.Tenalamanocuadernoylápizparatomarapuntesdeaquelloqueconsideresimportante.No es necesario que escribas todo, puedes hacer uso de las palabras clave. Como sugerencia,subraya en tus apuntes, con colores distintos, el concepto de una relación no proporcional y lospasosaseguirpararepresentarla.

Comenzarásporresolverejercicios,queconsistenenplantearunasituaciónquecorrespondaaunarelaciónnoproporcionalyexplicarcómopuederepresentarsepormediodeunagráfica,unatablayunaexpresiónalgebraica.Peroantes,repasarásloaprendidoenlasclasesanteriores,conlasiguientesituación.Unatiendapublicóunavisoparacontratarvendedoresdesusnuevosproductos:

¿Quéplandeventasteconvieneelegir?Deacuerdoconloquesenotaenelanuncio,teconvienetenerunsueldoyaparteunacomisiónporartículoquesevenda.Compruebasiestoesloideal,primeroteapoyaremosenunregistrotabular.

Completalatabla.Comopuedesobservar,faltanalgunosdatos.Analiza:Primero,cuandonosevendeningúnartículoenelplandeventasA,ganaría0pesos;conelplanBtendríalos50pesosdesueldobasealasemana.Sisevenden5artículos,¿cuántoseobtendríaenelplanAycuántoenelplanB?RecuerdaqueenelplandeventasAsepagan4pesosporartículo,porlotanto,sisevenden5,elsueldoseríade20pesos.EnelplanBpagan2pesosporartículovendido,asíquealvender5seobtendrían10pesosyseagreganlos50pesosdelsueldobaseparaobtener60pesos.Delamismaformasecalculacuando10artículossehanvendido,10por4=40paraelplanA,y10por2más50=70paraelplanB.Asísucesivamentepuedesobtenercuandosevenden15artículos,20,25,30y35paraestecaso.TedistecuentadequeenalgunoscasosconvienemáselplanA,porloscuatropesosdecomisión,yenotros,elplanB,porelsueldobaseconelquesecuentamáslosdospesosdecomisión.

Analiza la tabladenuevo; lapreguntasería:¿cuándoconvienemáselplanBqueelA?Escuandovendesmenosde25artículos.¿YparaquéconvengamáselplanA?Enestecasoseríacuandovendesmásde25artículos,yaqueobtendríasmayorpagoporloquevendas.Ylopuedesverenlatabladeformamásclara.

Si observas ambos planes, la relación entre el número de artículos vendidos y el pago es devariaciónlineal,yaqueentremássevende,mássegana.Ahoraobservacómosepuedeobtenerlarazóndecambioy laexpresiónalgebraica,endonde"y"representaelpagoy"x",lacantidaddeartículosvendidos.Recuerdaquelarazóndecambioeselcocientededoscantidades,estoes,unacomparaciónentredoscantidades.Observa:

ParaelplanAlarazóndecambioes4,yaquesiobtienes20pesosdesueldoy lodividesentre5artículosquesevenden,obtienesuncocientede4,ysicomparas losdemásdatossucesivamente,obtendráselmismocociente.Porlotanto,laexpresiónalgebraicaes:y=4x,queindicaqueparacalcularelpago"y"semultiplicapor4lacantidaddeartículosvendidos"x".Así,laexpresiónalgebraicarepresentaunavariaciónlinealproporcional.

En el plan B la razón de cambio es 2, en este caso, recuerda que pagan esta cantidad por cadaartículovendido.“y=2”y“x=1”,porlotanto,2/1=2.Entonces, laexpresiónalgebraicay=2x+50 indicaqueparacalcularelpago "y" semultiplica2(razóndecambio)porlacantidaddeartículosvendidos"x",ysesuma50(sueldobase).Estetemadelafunciónlinealqueacabasdeaplicar,sedescubriódesdeelsigloXIV,conlosfilósofosmedievales, cuando surgió la inquietud de cómo poder medir y representar gráficamente lasvariacionesdeciertasmagnitudes.Como, por ejemplo, la velocidad de un cuerpo o el cambio de temperatura que experimenta unobjetoendiferentespuntos.PeroenParís,fueNicolásdeOresme,quiennacióen1323ymurióenelaño1382denuestraera,elprimeroenutilizardiagramaspararepresentarenelplanomagnitudesvariables.

Algunos siglos después, un matemático suizo llamado Leonhard Euler, fue el que definió como“funciones”aestetipoderelaciónentredoscantidades,ydesdeelsigloXVIIIsedesarrollóeltema,ehizounadefiniciónqueutilizashastaeldíadehoy.

NacióenBasilea,Suiza,y fuediscípulodeotrograncientífico, JohannBernoulli,peromuyprontosuperóasumaestro.TrabajóenlasAcademiasdeCienciasdeBerlínydeSanPetersburgo,dondeescribiólamayorpartedesusobras;esunodeloscientíficosmásdetallistasdetodoslostiempos.Apesardequelosúltimos17añosdesuvidasufrióunacegueratotal,susobrascompletasocupanmásde100volúmenes.Euler tuvo 13 hijos, a quienes entretenía recitando La Eneida de memoria (que consiste en unpoemaépicoqueconstade12librosquecuentanlahistoriadeEneas,unhéroetroyano,unaobraescritaporelpoetaVirgilio).Además de literatura y lenguas clásicas, tenía amplios conocimientos de fisiología, medicina,botánicayfísica.ElestudiodelasfuncionestuvograndesarrolloconEuler.Élsugirióquealgunasrelaciones,comoy=2x+1,debíanserllamadasfunciones.Eulerdefiníalasfunciones,en1755,delasiguientemanera:"Sialgunascantidadesdependendeotrascantidadesdetalmaneraque,silasúltimascambian,lasprimerastambiéncambian,entonceslasprimerascantidadessellamanfuncionesdelasúltimas."Es importante conocer que muchos de los conocimientos matemáticos son producto deinvestigacionesquese llevaroncientosdeaños,yquenofue la intervencióndeunasolapersona,sinoquehancolaboradovariasparaquehoyendíasepuedanaplicarestostérminos.¿Quéhacemos?

Observaráselsiguientevideoparareafirmareltema.Recuerdarevisartusnotasyescribirpalabrasclaveparaqueasípuedasdarseguimientoalrecurso.Analizarásladiferenciaentrevariaciónlinealproporcionalyvariaciónlinealnoproporcional.

1. Expresionesalgebraicasderelacionesfuncionalesyoutube.com/watch?v=y3UWGXHYb-g

Tedistecuentadelasdosformasdeexpresionesalgebraicas:y=ax+b,paralavariaciónlinealnoproporcional,yy=axparavariaciónlinealproporcionalTrabajaahoraconunasituacióncotidiana.Piensaquésucedecuandoentucasahiervenaguaparaprepararalgúnalimentoobebida.Latemperaturadellíquidoaumentaráconformepaseeltiempo.Latemperaturayeltiemposondoscantidadesquepuedesmedir.¿Cómocreesquevariarálaprimeraalcambiarlaotra?:Observaelsiguientevideodelminuto8:23al10:11dondepodrássaberelregistroqueseobtuvoalcalentarelagua.Observadequétipodevariaciónlinealsetrata.

2. Pendienteyrazóndecambioyoutube.com/watch?v=B_JxNROc-Hc&feature=youtu.be

Acabasdeobservarunejemplodevariaciónlinealnoproporcional.Laecuacióndelaformay=mx+besunaexpresióndevariaciónlinealnoproporcional,ypuederepresentarseentablasográficas.Tienesquerecordarque,enunfenómenolineal,lagráficacorrespondienteenunalínearectaysupendienteesigualalarazóndecambioentrelascantidadesgraficadas.Observaotrasituacióndevariaciónlinealnoproporcional.Recuerda que tienes que plantear una situación que corresponda a una relación de noproporcionalidadyexplicarcómopuederepresentarsegráfica,tabularyalgebraicamente.Observaatentamenteyrecuerdatomarnotasrelevantes.

Paralograrvermejorlasopciones,loquepuedeshaceresunatabla,sugráficayobtenertambiénlaexpresiónalgebraica.Observalatabulacióndelproblema.Primerotomaencuentaquehayquehacerunpagodesalidadela bicicleta de 30 pesos para la tarifa 1, es decir, 30 más 15 pesos de la renta de cada hora,obteniendolosiguiente:

Algosimilarocurreconlatarifa2,yaquetambiénsedebedarunpagodesalida,peroenestecasoesde10pesos;asíquedaríaelpagodeunahora:10pesosdesalidamáslos20pesosdelarenta.Unavezgeneradaslastablas,puedesobtenerlaexpresiónalgebraicadelavariaciónlinealdecadasituación.Recuerdatusnotasrelevantesparaobtenerla.

Traslada la tabla a una función para conocer la relación entre variables numéricas, las cualesalgebraicamentepuedesdenominarcomo:"x"y"y"Esdecir,acadavalorde"x"lecorrespondeunúnicovalorde"y".Comopuedesdartecuentaenlatabladelatarifa1,larazóndecambioes15,yaqueeselcocientede2cantidadesqueserelacionan.Enestecaso,15entre1,obienconcualquierparejadenúmeros,porejemplo:60entre4;120entre8.Entodosloscasoselresultadoeselmismo:15.Si observas la tabla, puedes comprobar cada término, por ejemplo, si rentas 3 horas pagarías 45pesosmáslos30depagodesalida,obteniendoasí75.Recuerdaquelaformadeunavariaciónlinealnoproporcionales:y=ax+bYparaestecaso:y=15x+3015eselvalorque,multiplicadoporeltiempo"x",permitesabercuántopagarporhora,aloquesetienenquesumarlos30pesosdelpagodesalida.b=30,yaqueeselvalorquesesumaráalproducto.

Paraobtenerlarazóndecambiodelatarifa2,hayquerelacionarloquesepagaconeltiempodeuso,entonces:Sirentaspor2horas,pagarás40,entonces40entre2=20,porejemplo,ysiobtienesloscocientesfaltantestedaráscuentadequeelresultadoeselmismo:20;estaeslarazóndecambio.Siobservas la tabla,puedescomprobarcada término;porejemplo, si rentas4horas,pagarías80pesosmáslos10depagodesalida,obteniendoasí,90.Ylaexpresiónalgebraicasería:y=20(x)+10Dondeel10sesuma,yaqueeselpagodesalidaporalquilarlabicicleta.Conlatabulaciónylaexpresiónalgebraica,puedescontestarcuálteconvienemásendeterminadotiempo.Sinembargo,hayotraformadeanalizarlosdatos;esdecir,puedesgraficarlosdatosparaobtenerunmejoranálisisdelasituación.

Retoma la tabulación, puedes obtener las coordenadas para poder graficar cada tarifa. Esimportantecolocareltítulodelagráfica,queenestecasolallamarás"Pagocontratiempo".Cabemencionarquelas"x",oejedelasabscisas,representaneltiempoenhorasenestecaso.Yeleje"y",delasordenadas,elpagoenestecaso.Trabajaenubicarcadapunto.Paralatarifa1:

x=0,y=30;esteeselpuntodelpagodesalida.Parax=1,y=45Parax=2,y=60Delamismamaneraubicastodoslospuntosdelatablaylosunesconunalínearecta.Paralatarifa2:x=0,y=10;esteeselpuntodelpagodesalida.Parax=1,y=30Parax=2,y=50Delamismamaneraubicastodoslospuntosdelatablayéstoslosunesconotralínearecta.Nótesequeseintersecanenelpunto(4,90),yapartirdeaquíseseparan.Recuerdaestoparapodercontestarlaspreguntasposteriormente.Como puedes notar, obtienes líneas rectas en ambos casos. Además, ninguna recta pasa por elorigen,porlocual,sedenominanvariaciónlinealnoproporcionalconsuforma:y=ax+bDonde"a"eslarazóndecambioyladiferenciaentrecadapardenúmerosdelacolumnadela"y".Y"b"eselvalorenelejedelas"y"pordondecruzalalínea.Ahorasí,puedescontestarlaspreguntasinicialesdelproblema:

• ¿Cuálleconvienerentarsiocupalabicicletasólo3horas?• ¿YcuállugarderentaleconvieneaOmarsiocupalabicicleta8horas?

Observanuevamentelagráficadondesecomparanambastarifasycontesta.

Como puedes observar en la gráfica de pago contra tiempo, ambas rectas coinciden cuando hanpasado4horasderenta.En ambas se pagarían, en total, 90 pesos, es decir, si Omar ocupa la bicicleta por ese lapso,cualquieradelasopcionesesaceptable.Ahorasí,pararesponderalaspreguntasiniciales:¿Cuálleconvienerentarsiocupalabicicletasólo3horas?Latarifa2,yaquepagaría70pesos,5pesosmenosquelatarifa1.Talcomoseobservaenlagráfica.

¿Ycuálleconvienesilaocupa8horas?Para8horasleconvienelatarifa1,pagando150pesos,20pesosmenosquelatarifa2.Con el ejemplo de Omar, te puedes dar cuenta cómo la variación lineal puede ser también noproporcional.

Noolvidesponerentusnotasrelevanteslascaracterísticasdelavariaciónlinealnoproporcional:

1) Laexpresiónalgebraicaes:y=ax+b

2) Ytienecomográficaunalínearectaquenopasaporelorigen(0,0)enelplanocartesiano.ElRetodeHoy:Recuerda que en tu libro de texto puedes localizar algunos ejemplos y secciones de apoyo paraconsolidarlosaprendizajes.Encasodequenocuentesconellibrodetexto,tieneslaopcióndeconsultarloatravésdelapáginadelaComisiónNacionaldeLibrosdeTextoGratuitos.

¡Buentrabajo!

Graciasportuesfuerzo.