Post on 20-Feb-2016
description
Marco Flores
Doctor (PhD) en Ingeniería Eléctrica
Abril-Agosto 2015
Universidad de las Fuerzas Armadas
Operaciones sobre señalesSean ( ) dos señales continuas (discretas)
Suma
Multiplicación (Modulación)
Escalamiento (producto por un escalar)
Desplazamiento
Inversión temporal (founding)
𝑥[𝑛] + 𝑧[𝑛] = 𝑥 𝑛 + 𝑧[𝑛]
𝑥(𝑡) × 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) × 𝑧(𝑡)
𝑥(𝑡) , 𝑧(𝑡)
𝛼 𝑥(𝑡) = 𝛼𝑥(𝑡)
z n = 𝑥[𝑛 − 𝑘]
z(t) = 𝑥(−𝑡)
𝑥[𝑛] , 𝑧[𝑛]
𝑥(𝑡) + 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑧(𝑡)
𝑥[𝑛] × 𝑧[𝑛] = 𝑥 𝑛 × 𝑧[𝑛]
𝛼 𝑥[𝑛] = 𝛼𝑥 𝑛
z(t) = 𝑥(𝑡 − 𝑘)
z n = 𝑥[−𝑛]
Señales par e impar Señal par
Señal impar
En este caso
x(t)=x(−t)
𝑥 𝑛 = 𝑥 −𝑛
𝑥(−𝑡)= − x(t)
𝑥 −𝑛 = −𝑥[𝑛]-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Señal Par
Señal impar
𝑥 0 = −𝑥 0 = 0
Señales par e impar Cualquier señal se puede separar en dos, una par y una
impar:
𝐸𝑣[𝑥[𝑛]] =1
2𝑥 𝑛 + 𝑥[−𝑛]
𝑂𝑑[𝑥[𝑛]] =1
2𝑥 𝑛 − 𝑥[−𝑛]
Señal par
Señal impar
𝐸𝑣(𝑥 𝑡 ) =1
2𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)
𝑂𝑑(𝑥 𝑡 ) =1
2𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)
Continua Discreta
Ejercicios Sea 𝑥 𝑡 dada por
𝑥 𝑡 = 𝑡 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 4
0 𝑠𝑖 𝑛𝑜
Hallar : y t = 𝑥 −𝑡 ,
z t = 𝑥 𝑡/2 y
𝑤 𝑡 = 𝑥(−𝑡/4)
Sea 𝑥[𝑛] una señal discreta tal que 𝑥 𝑛 = 2𝑛 + 1
Hallar las señales par e impar
En ambos casos, graficar las señales usando Matlab
Señales periódicas Sea 𝑥(𝑡) una señal continua, se dice periódica, con
período 𝑇, si:𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)
Sea 𝑥[𝑛] una señal discreta, se dice periódica, con período 𝑁, si:
𝑥 𝑛 = 𝑥[𝑛 + 𝑘𝑁]
con 𝑛 = 0, ±1,±2,… y 𝑘, 𝑁 = 1,2, …
Si una señal es no periódica entonces de denominaaperiódica
0, Tt
Ejemplos señales periódicas
N=3 o 5?
Señales periódicas Señales no periódicas
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6-15
-10
-5
0
5
10
15
Señales periódicas Sean 𝑥1(𝑡) una señal con período fundamental 𝑇01, y𝑥2(𝑡) una señal con período fundamental 𝑇02,
Sea 𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 , entonces:
Si 𝑇01 𝑇02 es un numero racional (cociente de dos enteros)entonces 𝑥(𝑡) es periódica. Entonces 𝑇 = 𝑚𝑐𝑚(𝑇01, 𝑇02)
Si 𝑇01 𝑇02 es un numero irracional entonces 𝑥(𝑡) esaperiódica
Sea 𝑦 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 , entonces:
𝑇 = 𝑚𝑐𝑚(𝑇01, 𝑇02) es el de período o un múltiplo del período
Referencia: Roberts, pg. 54-55, Corinthios pg. 28. LCM = last common multiple (mcm)
Período fundamental (Continuo) Una señal periódica, de período 𝑇 > 0, satisface la
relación𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)
El número real más pequeño, positivo, 𝑇0, que satisfaceesta relación se denomina período fundamental.
T
𝑥 𝑡 = 5cos2𝜋
5𝑡
Ejemplo de señal periódica continuaConsiderando la señal:
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔0𝑡
Entonces, para ser periódica: 𝑒𝑗𝜔𝑜 𝑡+𝑇0 = 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑡𝑒𝑗𝜔𝑜𝑇0
Para ser periódica 𝑒𝑗𝜔0𝑇0 = 1 con lo cual
𝑇0 =
𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 > 0 𝑠𝑖 𝜔0 = 02𝜋
𝜔0𝑠𝑖 𝜔0 ≠ 0
La señales 𝑒𝑗𝜔0𝑡 y 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 tienen el mismo periodofundamental
Período fundamental (Discreto) Una señal periódica, de período 𝑁 > 0, 𝑁 entero,
satisface la relación:
𝑥 𝑛 = 𝑥[𝑛 + 𝑁] para todo 𝑛
El entero 𝑁 más pequeño que satisface esta relación sedenomina período fundamental, y se denota por 𝑁0.
𝑥 𝑛 = 5cos2𝜋
500𝑛
𝐹𝑠 = 100 𝐻𝑧
Ejemplo de señal periódica discretaConsiderando la señal: 𝑥[𝑛] = 𝑒𝑗𝜔0𝑛
Entonces: 𝑒𝑗𝜔𝑜(𝑛+𝑁0) = 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑛𝑒𝑗𝜔𝑜𝑁0
2𝜋
𝑁0=
𝜔0
𝑚
Despejando el período fundamental se tiene
𝑁0 =2𝜋
𝜔0𝑚 con 𝑚 entero
Frecuencias analógica y digital Sea 𝑥(𝑡) una señal continua con periodo 𝑇 = 1/𝐹 > 0
y frecuencia analógica 𝜔𝑎 (rad/seg).
Sea 𝑥[𝑛] la señal discreta, obtenida al muestrear 𝑥(𝑡) auna frecuencia de muestreo 𝐹𝑠 = 1/𝑇𝑠 (Hz), es decir,𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑡)|𝑡=𝑛𝑇𝑠, con frecuencia digital 𝜔𝑑 (rad/seg).
Entonces, la relación entre la frecuencia analógica y lafrecuencia digital es:
𝜔𝑑 =𝜔𝑎
𝐹𝑠= 𝜔𝑎𝑇𝑠
Referencia: Soria et al, pg. 3
Ejercicios Sea 𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡 + 𝜋/4)
¿Cuál es su período y su frecuencia analógicos?
Si 𝐹𝑠 = 4 KHz, ¿Cuál es su período y su frecuencia digital?
Verificar la relación entre frecuencia analógica y digital
Sea 𝑥 𝑡 = 10 sin 12𝜋𝑡 + 4cos(18𝜋𝑡). ¿Es periódica?, Verificar que su período es 1/3(=mcm(1/6,1/9)=1/mcd(6,9)). Graficar en Matlab
Determinar el período fundamental de:
𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗 2𝜋/3 𝑛 + 𝑒𝑗 3𝜋/4 𝑛
Graficar en Matlab y comprobar que:
𝑁01 = 3 y 𝑁02 = 8 entonces 𝑁0 = 24 (=mcm(8,3))
Referencia: Roberts, pg. 54-55: LCM = last common multiple (mcm)
Ejercicios ¿La señal 𝑦(𝑡) es periódica? Graficar en Matlab (No)
𝑦 𝑡 = cos 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 < 0sin 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ejemplo señales periódicas Sean 𝑥 𝑡 = 5cos
2𝜋
5𝑡 y 𝑦 𝑡 = 2sin
2𝜋
3𝑡 . Representar en Matlab
𝑤 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑦(𝑡) y 𝑧 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑦(𝑡) y hallar sus períodos.
t = -2*pi:pi/100:6*pi; xt = 5*cos(2*pi*t/5); % T01 = 2pi/(2pi/5) = 5 yt = 2*sin(2*pi*t/3+pi/2); % T02 = 2pi/(2pi/3) = 3 wt = xt+yt; % T = mcm(5,3)=15 zt = xt.*yt; % T = 7.5 subplot(4,1,1), plot(t,xt) subplot(4,1,2), plot(t,yt) subplot(4,1,3), plot(t,zt) subplot(4,1,4), plot(t,wt)
Verificar experimentalmente zt