Post on 16-Feb-2015
Cuantificadores Anidados
Lógica 2Mtro. Cristian A. Gutiérrez Ramírez
Hasta ahora
� Hasta ahora hemos formalizado oraciones que contienen sólo un cuantificador. Por ejemplo: Todos los perros son mamíferos.
� Dominio de Discurso los seres vivos.
� Diccionario: Px: x es perro, P’x: x es mamífero.
� Formalización: ∀x(P(x) ⊃ P’(x))
Ejemplos de oraciones que requieren
dos o más cuantificadores para ser
formalizadas.
� Todos aman a alguien.
� Alguien ama a todos.
� Alguien es amados por todos.
� Todos los filósofos y todos los
historiadores son odiados por alguien.
� Algunos físicos y algunos matemáticos
se aprecian entre sí.
Alcance de un cuantificador
� Para poder trabajar con cuantificadores es
necesario aprender la noción de alcance de un
cuantificar.
� El alcance de un cuantificador es pedazo de la
fórmula al que el cuantificador afecta.
� Por ejemplo en la fórmula ∀x(P(x) ⊃ P’(x)), el
cuantificador universal tiene alcance hasta
donde se está el paréntesis derecho (es decir,
prácticamente toda la fórmula).
Alcance de un cuantificador (2)
� En el ejemplo anterior es fácil determinar cuál es el alcance del cuantificador universal por dos razones: 1) afecta a toda la fórmula y 2) sólo hay un cuantificador. Veamos otros ejemplos:
� 1) ∀xP(x) ⊃ P’(x)
Aquí el alcance es sólo la Px, pues no hay paréntesis, esto quiere decir que el cuantificador no está relacionado con el consecuente de del condicional que es P’x.
Alcance de un cuantificador (3)
� 2) ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))
Aquí hay dos cuantificadores, cada uno con su propio alcance.
El cuantificador universal tiene como alcance desde el primer paréntesis izquierdo (el que está inmediatamente después de él) hasta el último paréntesis derecho (que es el que cierra el primer paréntesis izquierdo).
El cuantificador existencial tiene como alcance la fórmula que está entre el paréntesis izquierdo que está después del cuantificador y el penúltimo paréntesis derecho (es decir la fórmula que está inmediatamente después de él.)
Alcance de un cuantificador (4)
� Como puede verse en el ejemplo anterior, dos cuantificadores pueden compartir su dominio de influencia. De hecho, uno de ellos (el de menor alcance) tendrá como alcance un pedazo del alcance del otro. Es como si uno fuese el rey y el otro un duque. Los dominios del primero contienen a los dominios del segundo.
Alcance de un cuantificador (5)
� Ahora bien, ¿qué es el alcance de un
cuantificador? y ¿para qué sirve identificarlo?
� El alcance de un cuantificador es la fórmula
que está escrita inmediatamente después de
él. Una forma de identificarlo es reconstruir la
fórmula con las reglas de formación y observar
a que fórmula se le aplica la regla 4 que le
pega el cuantificador, dicha fórmula es el
alcance del cuantificador.
Alcance de un cuantificador (6)
� En nuestro ejemplo:
� ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)), para obtener está fórmula
debemos aplicar la reglas de form. 4 a la
fórmula (P’(x’) & R2(x,x’)), por lo que dicha
fórmula es su alcance.
� Ahora para obtener la fórmula ∀x(P(x) ⊃
∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))), debemos hacer los
mismo pero para la fórmula (P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) &
R2(x,x’))), es su alcance.
Alcance de un cuantificador (7)
� Ya sabemos cuál es el alcance de un cuantificador, pero ¿para qué nos sirve conocerlo?
� Bueno el alcance de un cuantificador nos permite decir con que variables estárelacionado nuestro cuantificador. Hay que recordar que el cuantificador se relaciona con la variables que son iguales a la que tiene después de él, pero sólo se puede relacionar con las variables que están en su alcance.
Alcance de un cuantificador (8)
� Por lo antes dicho, si tengo un cuantificador seguido de la variable x, este cuantificador sólo se puede relacionar con las variables x que están en su dominio. Por ejemplo:
∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))
En está fórmula, el cuantificador universal sólo se puede relacionar con la variable x que aparece en Px, pues su dominio sólo es Px. No puede relacionarse con la x que aparece en R2(x,x’) pues está fórmula está más allá de su alcance.
Alcance de un cuantificador (9)
� Cuando una variable no está ligada (relacionada) con ningún cuantificador, decimos que es una variable libre y entonces la fórmula en la que aparece no tiene un significado bien determinado.
� Por ejemplo, la fórmula Px, no dice si todos tiene la propiedad P o si la tiene alguien, en realidad es una fórmula que no dice nada.
� Para que una fórmula tenga un significado, no debe tener variables libres.
Ejercicio 1: Determine el alcance de los
cuantificadores que aparecen en la siguientes
fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué
cuantificadores y cuáles son variables libres.
� ∀x(P(x) ⊃ P’(x’))
� ∀xP(x) ⊃ ∃x’P’(x’)
� ∀xP(x) ⊃ ∃x’R2(x,x’)
� ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))
� ∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))
� ∃x((P(x) & P’x’) ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))
� ∃x(P(x) & ∀x’(P’(x’) ⊃ (x=x’)))
Alcance de un cuantificador (10)
� Las cosa no siempre son tan simple podemos tener la siguiente fórmula ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) &R2(x,x)))
� Es fácil ver que es una fórmula y que el alcance del cuantificador universal es (P(x) ⊃∃x(P’(x) & R2(x,x))) y que el alcance del cuantificador existencial es x(P’(x) & R2(x,x)).
� El problema es que ambos cuantificadores están relacionados con la misma variable, en este caso x.
� ¿Qué sucede en estás situaciones?
Alcance de un cuantificador (11)
� Primero que nada debemos decir que
ninguna variable puede estar
relacionada con más de un
cuantificador, son muy fieles. Pero
entonces ¿con quién se quedan? ¿con
el cuantificador de mayor alcance o con
el cuantificador de menor alcance? ¿con
el rey o con el conde?
Alcance de un cuantificador (12)
� Resulta que se quedan con el cuantificador de
menor alcance, el que tienen más cerca (se
quedan con el conde, les gustan las relaciones
más cercanas).
� Así en nuestro ejemplo: ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) &
R2(x,x))) El cuantificador universal sólo se
relaciona con la x de Px y el existencial con
todas las x en la fórmula (P’(x) & R2(x,x))
Ejercicio 2: Determine el alcance de los
cuantificadores que aparecen en la siguientes
fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué
cuantificadores y cuáles son variables libres.
� ∀x(P(x) ⊃ ∃xP’(x))
� ∀xP(x) ⊃ ∃xP’(x)
� ∀x(P(x) ⊃ ∃xR2(x,x))
� ∀xP(x) ⊃ ∃x(P’(x’) & R2(x,x))
� ∃x((P(x) & P’x’) ∃x(P’(x) & R2(x,x’)))
� ∃x(P(x) & ∀x(P’(x) ⊃ (x=x)))
Cuantificadores Anidados
� Ahora que conocemos las nociones de
alcance de cuantificadores y de
variables libres entendemos cuáles
variables están relacionadas con cuáles
cuantificadores.
� Es tiempo de ver cómo nos sirve esto
para formalizar oraciones que requieran
de más de un cuantificador.
Cuantificadores Anidados (2)
� Retomemos un ejemplo:
Todos aman a alguien.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∀x∃x’R2(x,x’)
� La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso ama a algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (3)
� Otro ejemplo:
Todos son amados por alguien.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∀x∃x’R2(x’,x)
� La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso es amado por algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (4)
� Otro ejemplo:
Alguien ama a todos.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∃x∀x’R2(x,x’)
� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a todos los seres humanos.
Cuantificadores Anidados (5)
� Otro ejemplo:
Alguien es amados por todos.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∃x∀x’R2(x’,x)
� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que es amado por todos los seres humanos, o bien, que todos los seres humanos aman a ese alguien.
Cuantificadores Anidados (6)
� Otro ejemplo:
Todos aman a todos.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∀x∀x’R2(x,x’)
� La fórmula dice que todo sujeto del dominio de discurso ama a todos los seres humanos.
Cuantificadores Anidados (7)
� Otro ejemplo:
Alguien ama a alguien.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: R2xy: x ama a y.
� Formalización: ∃x∃x’R2(x,x’)
� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (8)
� Un ejemplo más complicado:
Todos los filósofos y todos los historiadores son odiados por alguien.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: Px: x es filósofo, P’x: x es historiador, R2xy: x odia a y.
� Formalización: ∀x((P(x) ∨ P’(x)) ⊃ ∃x’R2(x’,x))
� La fórmula dice que si cualquier sujeto es o bien filósofo o bien historiador, es odia por alguien.
Cuantificadores Anidados (9)
� Un ejemplo más complicado:
Algunos físicos y algunos matemáticos se aprecian entre sí.
� Dominio de discurso: los seres humanos
� Diccionario: Px: x es físico, P’x: x es matemático, R2xy: x aprecia a y.
� Formalización:
∃x∃x’((P(x) ∧ P’(x)) ∧ (R2(x,x’) ∧ R2(x’,x)))
� La fórmula dice que hay por lo menos un físico y un matemático tales que el primero aprecia al segundo y viceversa.
Formalicemos 1:
� Todos amamos a alguien que no nos ama.
� Alguien que es amado por todos es muy afortunado.
� Si alguien odia a todos, tiene un problema mental.
� Todos los amigos de María aman a alguien.
Formalicemos 2:
� Si alguien es borracho, todos somos borrachos.
� Hay alguien que si es borracho, todos somos borrachos.
� Si todos somos borrachos, entonces hay alguien borrachos.
� Hay alguien que si todos son borrachos, entonces él es borracho.
Gracias