La ecuación de La ecuación de velocidad biológicavelocidad biológica

IntroducciónIntroducción Las fermentaciones industriales involucran un

gran número de microorganismos en las diferentes etapas de su vida

Los microorganismos se encuentran en diferente estado fisiológico, morfológico e incluso genético.

Pueden utilizarse las propiedades promedio para describir a una población de m.o. Expuestos a determinadas condiciones ambientales

En los modelos cinéticos de sistemas microbiológicos se suele asumir que las propiedades de la masa microbiana no varían

Ecuación de velocidadEcuación de velocidad

La ecuación de velocidad está en función de:

Parámetros cinéticos: k1,k2,...

Concentración de los reactivos y productos: Ci

Factores geométricos: Li, ejem: volumen del bioreactor

Velocidad de reacciónVelocidad de reacción(como propiedad intensiva)(como propiedad intensiva)

1. Velocidad de reacción por unidad de volumen del bioreactor

Rb = Rb’ (masa convertida)

Vb (volumen bioreactor)(tiempo)

2. Velocidad de reacción por unidad de volumen de líquido

Rv = Rb’ (masa convertida)

V (volumen del líquido)(tiempo)

Velocidad de reacciónVelocidad de reacción(como propiedad intensiva)(como propiedad intensiva)3. Por unidad de masa microbiana para flóculos

suspendidos R = Rb = Rb’ (masa convertida)

M MV (masa microbiana)(tiempo)

4. Por unidad de área de superficie de soporte para películas microbianas

N = Rb = Rb’ (masa convertida)

As AsV (área de sup. de soporte)(tiempo)

Objetivos en el desarrollo Objetivos en el desarrollo de una ecuación de velocidadde una ecuación de velocidad

1. Separación de parámetros físicos

2. Simplicidad en cuanto a forma funcional

3. Un número pequeño de coeficientes cinéticos

4. Universalidad

Modelo para microorganismo Modelo para microorganismo aisladoaislado

Ambiente: pH, T, nutrientes

Adaptación

Metabolismo:Productos intra y extra celulares

Multiplicación

Supervivencia

Estructura física de un Estructura física de un microorganismomicroorganismo

Puede considerarse como una combinación de:

Un “vertedero” de substrato: regiones donde el substrato es consumido por los procesos metabólicos

Regiones límite (frontera): a través de la cual el substrato debe primero ser transportado (pared celular y membrana citoplásmica)

Movimiento de las moléculas a través de Movimiento de las moléculas a través de las regiones de los m.o.las regiones de los m.o.(Mecanismos)(Mecanismos)

Proceso de difusión molecular convencional (Ley de difusión de Fick)

Nd = -Dm dC

drDonde:

Nd: Velocidad de transporte por unidad de área

Dm: Coeficiente de difusión de las espécies

transportadas

dC/dr: Gradiente de concentración

(5)

Movimiento de las moléculas a través de Movimiento de las moléculas a través de las regiones de los m.o.las regiones de los m.o.(Mecanismos)(Mecanismos) Moléculas acarreadoras estereoespecíficas

(Cohen y Monod)

Np = pC’

p + C’Donde:

Nd: Velocidad de transporte por unidad de área C’: Concentración de substrato externa a la región

permeable

p: Coeficiente con dimensiones ML-2 T-1

p: Coeficiente con dimensiones ML-3

(6)

Movimiento de las moléculas a través de Movimiento de las moléculas a través de las regiones de los m.o.las regiones de los m.o.(Mecanismos)(Mecanismos)

Transporte activo: El mecanismo de transporte trabaja en contra del gradiente de concentración. La energía para transportar se obtiene dede las reservas de energía dentro de la célula

Transporte pasivo: mecanismos que cuenta con la energía térmica, ocurre cuando la concentración dentro del “vertedero” es menor que aquella en la region permeable

Representación del consumo de Representación del consumo de substrato en el “vertedero”substrato en el “vertedero”

R’ = RC’’

R + C’’

Donde:

R’: Velocidad de consumo de substrato por unidad de volumen

C’’: Concentración de substrato

R: Coeficiente con dimensiones ML-3 T-1

R: Coeficiente con dimensiones ML-3

(7)

Modelos para un microorganismo aislado Modelos para un microorganismo aislado (Presencia de transporte permeable)(Presencia de transporte permeable)

rR

rm

rp

C’

C*

Región metabólica C’’

Zona permeable

Zona de difusión

Modelos para un microorganismo aislado Modelos para un microorganismo aislado (Ausencia de transporte permeable)(Ausencia de transporte permeable)

rRrm

C*

Región metabólica C’’

Zona de difusión

Modelos para un microorganismo aislado Modelos para un microorganismo aislado (Presencia de transporte permeable)(Presencia de transporte permeable)

am -Dm dC = ap pC’ = VR RC”

dr am p + C’ R + C’’

Donde:

am : área superficial externa

am : área externa de la zona permeable

VR : volumen de la región metabólica

(8)

Modelos para un microorganismo aislado Modelos para un microorganismo aislado (Ausencia de transporte permeable)(Ausencia de transporte permeable)

Para substratos no afectados por el transporte permeable, la ecuación anterior se reduce a:

am -Dm dC = ap VR R C”

dr am aR (R + C’’) (9)

Transporte activo (C” > C’; Transporte activo (C” > C’; RR > > PP

Actividad metabólica

Actividad permeable

C’ C’’ C

Vel

ocid

ad d

e co

nsum

o de

su

bstr

ato

aP P = VR R

Transporte pasivo (C’ > C’’; Transporte pasivo (C’ > C’’; PP > > RR

Actividad permeable

Actividad metabólica

C’’ C’ C

Vel

ocid

ad d

e co

nsum

o de

su

bstr

ato

aP P = VR R

Ecuación generalizadaEcuación generalizada

am -Dm dC = ai Ci

dr am ( + Ci)

Donde:

representa p o aRVR / aR

(10)

Modelo en serieModelo en serie

R = Rmax [[ [1 + (k’2)2 + C*] - {[1 + (k’2)2 - k3C*]2 + 4k3C*}1/2]]

2 (k’2)2

El parámetro k’2 representa una limitación de difusión de fase “sólida”, cuando ésta está ausente o es muy pequeña, la ecuación de velocidad para un microorganismo aislado se simplifica a:

R = Rmax k3C*

1 + k3C*

(11)

(12)

Modelo en paraleloModelo en paralelo

a) Para microorganismos esféricos

D d r2 dC - RC = 0

r2 dr dr R + C

b) Para microorganismos cilíndricos

D d r dC - RC = 0

r dr dr R + C

(13)

(14)

Modelo en paraleloModelo en paralelo

Las restricciones para aplicar las ecuaciones anteriores son las siguientes:

r = 0 dC = 0

dr

r = rm C = C*

(15)

Modelo en paraleloModelo en paralelo

La solución a las ecuaciones 13 y 14 tomando en cuenta las restricciones:

R = D dC am

dr rm oVm

o

R = g(D, R, R, rm, C*)

(16)

(17)

Modelo en serieModelo en serie

ri

r

rm

00

0

C1

C*

C1

C*

C

Modelo en paraleloModelo en paralelo

r

rm

00

0

C* C*

C

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

d2f - (k2L)2f = 0,

dX2 1 + (k3C*)f

X = 0 df = 0,

dX

X = 1 f = 1,

(18)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

Donde:

k2 = a ½

De

k3 = 1 /

f = C / C*

X = (L – x) L

(19)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

La solución a la ecuación 18 es de la siguiente forma y debe resolverse por procedimientos numéricos

f = g(k2L, k3C*, X)

Donde:

0 < f < 1

(20)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

En ausencia de limitación difusional de fase sólida,substrato la velocidad de consumo de por una película microbiana está dada por:

N* = (aL) C* + C*o

N* = k1LC* = Nmax k3C*

1 + k3C* 1 + k3C*

(21)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

Considerando una desviación del flujo dado en la ecuación 21:

N = - De dC = N*

dx x=0

Donde:

es el factor de efectividad, < 1

(22)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica

Combinando las ecuaciones 19, 21 y 22, se obtiene:

= 1 + k3C* df

(k2L)2 dX X=1

De las ecuaciones 20, 22 y 23:

N = g(k1, k2, k3, C*, L)

Donde k1, k2 y k3 son los coeficientes de la ecuación de velocidad biológica

(23)

(24)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)(Atkinson y Daoud, 1968)Para películas microbianasPara películas microbianas

i. Para k3C* < 1

N = tanh k1LC*

1 + k3C*

Donde:

= k2L

(1 + k3C*)0.576

(25)

(26)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)(Atkinson y Daoud, 1968)Para películas microbianasPara películas microbianas

ii. Para k3C* > 50

N = k1LC* si < 1

1 + k3C*

N = 1 k1LC* si > 1

1 + k3C*

(27)

(28)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)(Atkinson y Daoud, 1968)Para flóculos microbianosPara flóculos microbianos

i. Para k3C* < 1

R = tanh k1LC*

o(1 + k3C*)

Donde:

= k2Vp

Ap(1 + k3C*)0.576

(29)

(30)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)(Atkinson y Daoud, 1968)Para flóculos microbianosPara flóculos microbianos

ii. Para k3C* > 50

R = k1LC* si < 1

o(1 + k3C*)

N = 1 k1LC* si > 1

o (1 + k3C*)

(31)

(32)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológica(Atkinson y col., 1974)(Atkinson y col., 1974)Ecuación completa para películas microbianasEcuación completa para películas microbianas

N = k1LC*

1 + k3C*

Donde: = 1 – tanh k2L P - 1 P <1

k2L tanh P

= 1 – tanh k2L - 1 P >1

P k2L tanh P

P = (k2L)(k3C*) [k3C* - ln(1 + k3C*)] -1/2

2(1 + k3C*)

(33)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológicaEcuaciones reducidas Ecuaciones reducidas para películas microbianaspara películas microbianas

Si k2L < 1 para cualquier k3C* o si k3C* < 0.1 para cualquier k2L:

N = tanh R k1LC*

R 1 + k3C*

Donde:

= k2L

(1 + 2k3C*)0.5

(34)

(35)

Ecuación de velocidad biológicaEcuación de velocidad biológicaEcuaciones reducidas Ecuaciones reducidas para películas microbianaspara películas microbianas

Si k2L >20 para cualquier k3C* o

si k3C* > 100 para cualquier k2L:Para R < 1 (Ec. 35)

N = k1LC*

1 + k3C*Para R > 1 (Ec. 35)

N = (1 + 2k3C*) k1C*

(1 + k3C*) k2

(36)

(37)