Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Prof. A. Zozaya, Dr.

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departmento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, dic/2009

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 1 / 32

ContenidoIntroducción

Teorema de la Unicidad

Concepto de DualidadFuentes dualesFunciones potenciales dualesCantidades duales

Teoría de imágenes

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de volumen)

Teorema de la Inducción

Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

+ Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior

4 Se desea conocer loscampos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

Introducción

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

+ Las fuentes del campo selocalizan en V 0

Problema exterior

Introducción

+ Ejemplo de problemainterior

Problema exterior

Introducción

Problema exterior+ Se desea conocer los

campos en el exterior decierta región –V 00–

Introducción

Problema exterior4 Se desea conocer los

+ Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

Introducción

Problema exterior4 Se desea conocer los

+ Ejemplo de problemaexterior

+ Dado un problema, interior o exterior.

4 Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.4 Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

4 Dado un problema, interior o exterior.

+ Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.

4 Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

4 Dado un problema, interior o exterior.

4 Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.+ Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

La solución debesatisfacer las ecuaciones–en V 0 o en V 00–:

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

Para medios absorbentes o regenerativos, la soluciónserá única:

+ si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

4 si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

4 si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

4 si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

+ si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

4 si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

4 si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

4 si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

+ si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

Postúlense dossoluciones distintas delas Ecs. (1) y (2):E1;H1 y E2;H2.

Llámensee y h las diferencias E1 ` E2 y H1 ` H2, respectivamente

Este campo diferencia es un campo libre de fuentes enla región de estudio y satisface las ecuaciones:

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

Teorema de la UnicidadEl campo diferencia satisface la ecuaciónde balance energético:

e ˆ h˜ ´ ds = `!2

("00e2 + —00h2) d� (5)

Comprobación+ En virtud de uno cualquiera de los tres casos enunciados se

comprueba que 1=2<HS e ˆ h

˜ ´ ds = 0, resultandoZV

("00e2 + —00h2) d� = 0 (6)

4 La Ec. (6) para "00; —00 6= 0, o para "00 6= 0 y —00 = 0, o para —00 6= 0 y"00 = 0, siendo el medio absorbente ("00; —00 > 0) o regenerativo("00; —00 < 0), implica que e = h = 0 en todos los puntos de la regiónde interés, y por tanto existe una solución única.

Teorema de la UnicidadEl campo diferencia satisface la ecuaciónde balance energético:

e ˆ h˜ ´ ds = `!2

("00e2 + —00h2) d� (5)

Comprobación4 En virtud de uno cualquiera de los tres casos enunciados se

comprueba que 1=2<HS e ˆ h

˜ ´ ds = 0, resultandoZV

("00e2 + —00h2) d� = 0 (6)

+ La Ec. (6) para "00; —00 6= 0, o para "00 6= 0 y —00 = 0, o para —00 6= 0 y"00 = 0, siendo el medio absorbente ("00; —00 > 0) o regenerativo("00; —00 < 0), implica que e = h = 0 en todos los puntos de la regiónde interés, y por tanto existe una solución única.

Concepto de Dualidad Fuentes duales

Concepto de DualidadFuentes duales

Mundo físico actual

`rˆ E = |!—H r ´ ("E) = �e

rˆ H = |!"E + J i r ´ (—H) = 0

Fuentes actuales, cargas y corrientes eléctricas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´ J = `|!�e

Mundo dual

`rˆ E = |!—H +M i r ´ ("E) = 0

rˆ H = |!"E r ´ (—H) = �m

Fuentes duales, cargas y corrientes magnéticas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´M = `|!�m

Concepto de Dualidad Fuentes duales

Concepto de DualidadFuentes duales

Mundo físico actual

`rˆ E = |!—H r ´ ("E) = �e

rˆ H = |!"E + J i r ´ (—H) = 0

Fuentes actuales, cargas y corrientes eléctricas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´ J = `|!�e

Mundo dual

`rˆ E = |!—H +M i r ´ ("E) = 0

rˆ H = |!"E r ´ (—H) = �m

Fuentes duales, cargas y corrientes magnéticas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´M = `|!�m

Concepto de Dualidad Funciones potenciales duales

Concepto de DualidadFunciones potenciales duales

En nuestro mundo físico

E = `|!»1»2r(r ´ A) + A

–y H =

1—rˆ A

A =—

ZV 0J i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

En el mundo dual que se postula

H = `|!»1»2r(r ´ F ) + F

–y E = `1

"rˆ F

ZV 0M i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

Concepto de Dualidad Funciones potenciales duales

Concepto de DualidadFunciones potenciales duales

En nuestro mundo físico

E = `|!»1»2r(r ´ A) + A

–y H =

1—rˆ A

A =—

ZV 0J i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

En el mundo dual que se postula

H = `|!»1»2r(r ´ F ) + F

–y E = `1

"rˆ F

ZV 0M i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

Concepto de Dualidad Cantidades duales

Concepto de DualidadCantidades duales

Fuentes eléctricasJ = 0, M 6= 0

Fuentes magnéticasJ = 0, M 6= 0

H`EMF—

1=””

Concepto de Dualidad Cantidades duales

Concepto de DualidadCantidades duales

Fuentes eléctricasJ = 0, M 6= 0

Fuentes magnéticasJ = 0, M 6= 0

H`EMF—

1=””

Teoría de ImágenesProblemas con valores en la frontera

+ La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

4 Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

aSe asume como fuente la corriente –J o M–

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

4 Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

4 La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

+ Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

+ De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

+ Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

Teoría de Imágenes

Generalización al mundo dualLas ideas anteriores se extiendennaturalmente al mundo dual, en el que seasume la existencia de un conductormagnético perfecto, o PMC, caracterizadopor un ffm !1

+ Un elemento fuente, junto a su «imagen», irradiando en el espaciolibre, producen un campo H, cuya componente tangencial al planoque biseca la linea que une ambas fuentes es nula.

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano PMC.

Teoría de Imágenes

Generalización al mundo dualLas ideas anteriores se extiendennaturalmente al mundo dual, en el que seasume la existencia de un conductormagnético perfecto, o PMC, caracterizadopor un ffm !1

4 Un elemento fuente, junto a su «imagen», irradiando en el espaciolibre, producen un campo H, cuya componente tangencial al planoque biseca la linea que une ambas fuentes es nula.

+ De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano PMC.

Teorema de la Reciprocidad

Intento de enunciado+ La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

cuando se intercambian las posiciones de la fuente y de observación

4 Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

4 Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

Intento de enunciado4 La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

+ Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

4 Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

Intento de enunciado4 La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

4 Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

+ Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

Formalmente+ Dados los conjuntos de fuentes Ja, Ma y Jb, Mb, a la misma

frecuencia, los cuales actúan, simultáneamente o por separado, enun mismo medio lineal.

4 Tales fuentes producen, respectivamente, los campos Ea, Ha y Eb,Hb, los cuales se someten individualmente al siguiente conjunto deecuaciones

rˆ Ha = |!"Ea + Ja

`rˆ Ea = |!—Ha +Ma

rˆ Hb = |!"Eb + Jb

`rˆ Eb = |!—Hb +Mb

Formalmente4 Dados los conjuntos de fuentes Ja, Ma y Jb, Mb, a la misma

frecuencia, los cuales actúan, simultáneamente o por separado, enun mismo medio lineal.

+ Tales fuentes producen, respectivamente, los campos Ea, Ha y Eb,Hb, los cuales se someten individualmente al siguiente conjunto deecuaciones

rˆ Ha = |!"Ea + Ja

`rˆ Ea = |!—Ha +Ma

rˆ Hb = |!"Eb + Jb

`rˆ Eb = |!—Hb +Mb

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

+ Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

Eb ´ r ˆ Ha ` Ha ´ r ˆ Eb =

|!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

4 La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

Ea ´ r ˆ Hb ` Hb ´ r ˆ Ea =

|!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

4 Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

4 Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

+ La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

4 Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

4 Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

4 La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

+ Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

`r ´ (Eb ˆ Ha) = |!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

`r ´ (Hb ˆ Ea) = |!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

Restando la primera de estas ecuaciones a la segunda, se obtiene:

r ´ (Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) = Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb

Al integrar para un volumen dado y aplicar el Teoremade la Divergencia

IS(V )

(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds =ZV

(Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb) d� (7)

`r ´ (Eb ˆ Ha) = |!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

`r ´ (Hb ˆ Ea) = |!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

Restando la primera de estas ecuaciones a la segunda, se obtiene:

r ´ (Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) = Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb

Al integrar para un volumen dado y aplicar el Teoremade la Divergencia

IS(V )

(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds =ZV

(Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb) d� (7)

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

La Ecuación 7 encierra el concepto de reciprocidad y da lugar a dosconceptos importantes

Al Teorema de Reciprocidad de Lorentzcuando se estudian los campos en una región que no contiene las fuentes:H

S(V )(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds = 0

Al concepto de Reaccióncuando la región se extiende hasta el infinito y las fuentes se considerande extensión finita (los campos en el infinito son campos de radiación):R

V (Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d� =

b ´ Ja ` Hb ´Ma) d�

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

que para el caso de fuentes eléctricas solamente, se reduce a:

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

que para el caso de fuentes eléctricas solamente, se reduce a:RV E

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

Concepto de Reacción+ La integral

< a; b >=

(Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d�

4 que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

Eb ´ Ja d�

se lee como la reacción de los campos a «sobre» o «en» lasfuentes b.

4 Ciertamente< a; b >=< b; a >

Concepto de Reacción4 La integral

< a; b >=

+ que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

Eb ´ Ja d�

4 Ciertamente< a; b >=< b; a >

Concepto de Reacción4 La integral

< a; b >=

4 que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

Eb ´ Ja d�

+ Ciertamente< a; b >=< b; a >

¿K? ¿x? ¿y?

Principio de Equivalencia (de superficie)

En una región R dada, los campos E y Hquedan únicamente determinados: por susfuentes J i y M i en R, y/o por las com-ponentes tangenciales de E , o de H, o deambas, sobre la superficie que encierra a R

Siendo R de extensión 1

4 al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal quelas fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

4 postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

Siendo R de extensión 1+ al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal que

las fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

4 postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

Siendo R de extensión 14 al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal que

las fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

+ postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

Ello implica crear un problema nuevo, equiv-alente al original, en V2, en el que unasfuentes «equivalentes», distribuidas sobre S(imaginaria), y suspendidas en el medio ma-terial original, irradiando, engendran el cam-po E , H en V2 y E1, H1 en V1

Estructura de las fuentes

4 tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ (H ` H1) yMs = `an ˆ (E `E1), donde an es el vector unitario perpendicular aS en dirección de V1 a V2.

Ello implica crear un problema nuevo, equiv-alente al original, en V2, en el que unasfuentes «equivalentes», distribuidas sobre S(imaginaria), y suspendidas en el medio ma-terial original, irradiando, engendran el cam-po E , H en V2 y E1, H1 en V1

Estructura de las fuentes+ tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ (H ` H1) yMs = `an ˆ (E `E1), donde an es el vector unitario perpendicular aS en dirección de V1 a V2.

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

A los fines de determinar el campo en V2, esirrelevante cual campo, E1, H1, se postuleen el interior V1

Equivalencia de LOVE

4 éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

4 en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

Equivalencia de LOVE+ éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

4 en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

Equivalencia de LOVE4 éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

+ en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además,

seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:

4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

4 llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

4 en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además, seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:

4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

Surgen dos posibilidades muy interesantes:+ llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

Surgen dos posibilidades muy interesantes:4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

+ llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

Surgen dos posibilidades muy interesantes:4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

+ en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

+ las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

- Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

- Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

- Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

3 Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

3 Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

- Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

+ grado de dificultad del problema resultante = al original

+ invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

+ ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

+ las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

- Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

- Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

- Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

3 Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

3 Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

- Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

+ grado de dificultad del problema resultante = al original

+ invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

+ ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 1

+ Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

4 Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

4 Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

+ Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario

se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

En este escenario se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

El problema originales reformulado.

Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

El problema reformulado se obtiene al sustraer del caso 2 , el caso 1 , estoes:

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

El problema originales reformulado. Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

El problema originales reformulado. Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

Sumando y restando lostérminos |!—0H y |!"0E ,a las ecuaciones den-tro del objeto, respectiva-mente

se obtiene:

rˆ E s = `|!—0Hs `M ieq

rˆ Hs = |!"0E s + J ieq

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

las cuales constituyen unas fuentes equivalentes distribuidas en el volumenV 0 original del objeto, pero suspendidas en el espacio libre, que, irradiando,engendran los campos E s y Hs .

se obtiene:

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

se obtiene:

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente

* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo

* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo

* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer

+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema

+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)

+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Teorema de la Inducción* Las expresiones analíti-cas de Jeqs y Meq

s ad-miten una simplificaciónal considerar las condi-ciones de borde de loscampos sobre S* en efecto:

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

an ˆ H2 = an ˆ (H i + Hs| {z }H1

* al sustituir las expresiones para E2 y H2 en la ecuaciones de Jeqs y Meqs

anteriores ver I :

Jeqs = `an ˆ H i Meqs = an ˆ E i

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

anteriores ver I :

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

anteriores ver I :

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

anteriores ver I :

Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

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