Post on 20-Mar-2016
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Análisis Matemático III
• PRIMERA PARTEFunciones
• SEGUNDA PARTEIntegrales
• TERCERA PARTEEcuaciones diferenciales
• CUARTA PARTEMétodo para resolver una ecuación diferencial
DefiniciónUna ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.
EjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
III.1 INTRODUCCIÓN
0232
2
ydxdy
dxyd y
dtdy
Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial
En base a la definición anterior se tiene que:
a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.
III.1 INTRODUCCIÓN
xdxdy 2 yxy 2'
vyv
xv
2
2
2
2
2
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.
OrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación.
EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:
III.1 INTRODUCCIÓN
87 53
xdxdy xsen
dxyd 352
2
Solución
La ecuación diferencial:
Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada.
La ecuación diferencial:
Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.
III.1 INTRODUCCIÓN
87 53
xdxdy
xsendx
yd 352
2
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
III.1 INTRODUCCIÓN
735 25
2
22
4
4
xdxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxydx
dxdyx
dxyd
GradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.
III.1 INTRODUCCIÓN
87 53
xxydxdy
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
III.1 INTRODUCCIÓN
735 25
2
22
4
4
xdxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxydx
dxdyx
dxyd
NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para después determinar el grado de la ecuación diferencial.
III.1 INTRODUCCIÓN
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
III.1 INTRODUCCIÓN
17 2 xdxdy
32
2
dxdyx
dxyd
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
III.1 INTRODUCCIÓN
17 2 xdxdy
32
2
dxdyx
dxyd
Ejercicios de Tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
c)
d)
III.1 INTRODUCCIÓN
ydxdyx
dxyd 533
3
5
3
33
3
3
818
dxydx
dxyd
dxdy
dxdyx
dxyd 853
3
53
3
2
2
3dx
ydxdx
yd
Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.
EjemploLa función definida por es una solución de la ecuación diferencial:
puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una identidad
III.2 SOLUCIÓN DE UNA ED
2x9y
yxy'
2
212
929
21
xxxx
y'
22 99 xx
xx
33 x
Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.
EjemploVerificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
III.2 SOLUCIÓN DE UNA ED
03' yxy
2)3( y
SoluciónDerivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:
de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:
La solución particular es:
III.2 SOLUCIÓN DE UNA ED
033 32 CxCxx
CC 2732 3
272
C 3x272y
Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método:
Método1. Observemos que derivada o derivadas aparecen
en la ecuación diferencial.2. Estas derivadas las encontramos al derivar la
ecuación que se supone solución.3. La ecuación será solución cuando al sustituir el
valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.
III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
EjemploComprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación diferencial
Solución1. Observando la ecuación diferencial vemos que
aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución.
2. Derivando y=x2+C tenemos
III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
xdxdy
xdxdy 2
Solución3. Sustituyendo el valor de la derivada encontrada
en la ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y=x2+C si es solución de la ecuación diferencial
III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
122
xx
xdxdy
Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
yxdxdyxCxxy
22 ;
Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
2.
3.
III.2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
2412 ''; yxxyyCxCy
senxysenxdxdysenyCye x
cos;cos1cos
32
225 1606;38 x
dxydCxxy
Para obtener la ED a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método:
1. Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada.
2. Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen
constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada.
b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, así como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=x2+C
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=x2+C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.
xdxdy 2
EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=Cx2
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=Cx2. Así
Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.
Cxdxdy 2
xxy
dxdy
222x
yC
SoluciónPor lo tanto:
Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
ydxdyx 2
Ejercicios para resolver en claseEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
;21xx eCeCy
Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
)3tan( Cxy
22
221 CyCx
III.3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
Métodos para resolver una ecuación diferencialMétodo de separación de variables.La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
dxxgdyyf )()(
x
x
y
ydxxgdyyf
00
)()(
ED exactasDefinición: Sean dos
funciones definidas en cierto dominio . La ecuación de la forma
Se llama una diferencial exacta.
La ecuación diferencial Es exacta si:
Y también se tiene que
x)y,x(N
y)y,x(M
0),(),( dyyxNdxyxM
RRDNM 2:,2RD
0),(),( dyyxNdxyxM
y)y,x(u)y,x(N,
x)y,x(u)y,x(M
ED Lineales de 1er orden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales.
1. Caso Homogéneo (q(x)=0): Es decir, se resuelven usando variación de la constante c de la solución
donde
xqy)x(pdxdy
dx)x(pe)x(c)x(y
1
dx)x(pcdxe)x(q)x(c