AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Curso de posgrado MATEMATICA DISCRETA

T. N. Hibbard - J. F. Yazlle

Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de Salta

Cap. 4: TEORIA DE AUTOMATAS

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

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Automatas

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AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

AUTO–MATAS

Automatas

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

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Lenguajes

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas

Un automata es una maquina abstracta que recibe unaentrada y produce una salida.

Entrada: cadena de sımbolos de algun alfabeto finito.

Salida: ıdem, tal vez de otro alfabeto.

Veremos cuatro clases de automatas:

→ Automatas finitos.

→ Maquinas secuenciales.

→ Maquinas de Turing.

→ Automatas de pila.

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

AUTO–MATAS

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AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.

|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.

ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0

Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :

La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .

Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.

u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Alfabeto Σ: Conjunto finito de sımbolos o letras.

Cadena o palabra sobre Σ: sucesion finita de sımbolos deΣ.|u| denota la longitud de la sucesion correspondiente a lacadena u.ε denota la cadena vacıa. |ε| = 0Los sımbolos pueden verse tambien como palabras delongitud 1.

Un lenguaje sobre Σ es un conjunto de palabras sobre Σ.

Concatenacion de las palabras u y v :La palabra uv de largo |u|+ |v | que resulta de escribir lossımbolos de u y a continuacion los de v .Una palabra es una concatenacion de sımbolos.u 6= ε ⇐⇒ existen una letra a ∈ Σ y una palabra v sobreΣ tales que u = av .

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.

U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}

Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

AUTO–MATAS

Automatas

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Un lenguaje nocomputable

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Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:

Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.

Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

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Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.

Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Alfabetos, palabras y lenguajes

Operaciones fundamentales con lenguajes

Para U y V conjuntos de cadenas:

UV = {uv : u ∈ U ∧ v ∈ V }.U0 = {ε}Uk+1 = UUk para todo natural k .

U∗ = ∪∞k=0Uk

(w ∈ U∗ si y solo si w es una concatenacion de 0 o maspalabras de U.)

En particular:Σk es el conjunto de todas las palabras de largo k sobre Σ.Σ∗ es el conjunto de todas las palabras sobre Σ.Σ+ = Σ∗ − {ε}

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

AUTO–MATAS

Automatas

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Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

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Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

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Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

Automata finito determinista (AFD) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla A = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K es un conjunto finito de estados.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

I ∈ K es el estado inicial.

F ⊂ K es el conjunto de estados finales.

Ejemplo

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} I = 0 F = {0}

δ 0 1

0 0 11 2 02 1 2

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K

se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

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Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en K

δ : K × Σ→ K se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → K ası:

δ∗(p, u) =

{p si u = εδ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

(δ∗ suele denotarse tambien mediante δ)

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el estado en que la maquina queda tras comenzar enel estado p y realizar las transiciones indicadas por la sucesionde sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es

C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}

En el A del ejemplo anterior:

C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}

Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},

δ(p, a) = resto(2p + a, 3)

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es

C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}

En el A del ejemplo anterior:

C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}

Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},

δ(p, a) = resto(2p + a, 3)

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es

C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}

En el A del ejemplo anterior:

C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}

Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},

δ(p, a) = resto(2p + a, 3)

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es

C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}

En el A del ejemplo anterior:

C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}

Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},

δ(p, a) = resto(2p + a, 3)

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Dado un AFD A = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porA o el lenguaje reconocido por A es

C (A) = {u ∈ Σ∗ : δ∗(I, u) ∈ F}

En el A del ejemplo anterior:

C (A) = {u ∈ {0, 1}∗ : u representa en binario un multiplo de 3}

Para verlo, notar que para todos p ∈ {0, 1, 2} y a ∈ {0, 1},

δ(p, a) = resto(2p + a, 3)

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).

Ejemplos de lenguajes regulares

El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.

Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.

El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.

Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).

Ejemplos de lenguajes regulares

El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.

Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.

El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.

Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).

Ejemplos de lenguajes regulares

El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.

Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.

El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.

Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).

Ejemplos de lenguajes regulares

El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.

Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.

El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.

Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)

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AFD

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Definicion

Si Σ es un alfabeto y L ⊂ Σ∗, decimos que L es regular sihay un automata A sobre Σ tal que L = C (A).

Ejemplos de lenguajes regulares

El conjunto de todas las cadenas binarias que representanun multiplo de 3 es un conjunto regular.

Dados B y n fijos, el conjunto de todas las cadenasB–arias que representan un multiplo de n es regular.

El conjunto de todas las cadenas binarias que contienen01011 como subcadena es regular.

Dado U ⊂ Σ∗ con |U| <∞, el conjunto de todas lascadenas sobre Σ que contienen algun elemento de U comosubcadena es regular. (En particular, Σ∗ es regular.)

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AFD

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}

L = {0n1n : n ∈ N}= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}

Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}

= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}

= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}

L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}

= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}

Σ = {0, 1}L = {0n : n es numero primo}

= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}

= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}

L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}

= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}

L = {0n : n es numero primo}

= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Ejemplos de lenguajes que no son regulares

Σ = {0, 1}L = {0n1n : n ∈ N}

= {ε, 01, 0011, 000111, . . .}Σ = {0, 1}

L = {0n : n es numero primo}= {00, 000, 00000, 0000000, . . .}

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Configuraciones

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Ejemplos

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Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

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Ejemplos

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Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes regulares

Propiedades basicas de los lenguajes regulares

Todo conjunto finito es regular.

El complemento de un lenguaje regular es un conjuntoregular.

La union de lenguajes regulares es un conjunto regular.

La interseccion de lenguajes regulares es un conjuntoregular.

Ejercicio Construir los respectivos AFD.

Otras propiedades de los L.R., pero difıciles de ver por AFD:

Si U es regular, el conjunto de palabras en U escritas deatras hacia adelante es regular.

Si U y V son regulares, UV es regular.

Si U es regular, U∗ es tambien regular.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion

hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Automata finito no determinista (AFND) sobre alfabeto Σ

Es una quıntupla B = (K ,Σ, δ, I,F ) donde:

K , I,F son como para los AFD.

δ : K × Σ→ P(K ) es la funcion de transicion hacia unoo varios estados (incluso ninguno).

Ejemplo

K = {A,B,C} Σ = {0, 1} I = A F = {B,C}

δ 0 1

A {A} {B,C}B ∅ {C}C {B} ∅

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk ,

unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

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Caracterizacionde Kleene

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u

es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

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Lenguajes

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

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Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

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Caracterizacionde Kleene

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

Computaciones de AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), p ∈ K y u ∈ Σk , unacomputacion desde p para u es una sucesion de estadosp0, . . . , pk tal que

p0 = p, y

pi ∈ δ(pi−1, ui ) para todo i = 1, . . . , k .

En tal caso, escribimos (p, u) `B pk .

Aceptacion en AFND

Dado un AFND B = (K ,Σ, δ, I,F ), el conjunto aceptado porB es

C (B) = {u ∈ Σ∗ : (I, u) `B q para algun q ∈ F}

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )

δ : K × Σ→ P(K )

se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:

δ∗(p, u) =

{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)

δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

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Computaciones

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )

δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:

δ∗(p, u) =

{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)

δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )

δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:

δ∗(p, u) =

{p} si u = ε

⋃q∈δ(p,a)

δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

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Lenguajes

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Lenguajesregulares

AFND

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )

δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:

δ∗(p, u) =

{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)

δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Automatas finitos no deterministas

δ como funcion de K × Σ∗ en P(K )

δ : K × Σ→ P(K ) se extiende a δ∗ : K × Σ∗ → P(K ) ası:

δ∗(p, u) =

{p} si u = ε⋃q∈δ(p,a)

δ∗(q, v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗

δ∗(p, u) es el conjunto de todos los estados a los que se puedellegar comenzando en el estado p y realizando transicionessegun los sucesivos sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ),

construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K )

IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

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Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I}

FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

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AFD

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Equivalencia entre AFD y AFND

Lema

Sea B = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFND. Para todos p ∈ K y u ∈ Σ∗,δ∗(p, u) = {q : (p, u) `B q}.

Teorema

Cualquier conjunto aceptado por un AFND es un lenguajeregular.

Dado B = (K ,Σ, δ, I,F ), construimos un AFDA = (KA,Σ, δA, IA,FA) ası:

KA = P(K ) IA = {I} FA = {S ⊂ K : S ∩ F 6= ∅}

δA(S , a) =⋃p∈S

δ(p, a)

resultando C (B) = C (A).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

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Un lenguaje nocomputable

Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

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Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F

{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

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Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}

∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

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Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

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Un lenguaje nocomputable

Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

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Un lenguaje nocomputable

Ejemplo de aplicacion de AFND

Los lenguajes regulares revertidos son tambien regulares

Si L es regular, sea A = (K ,Σ, δ, I,F ) AFD tal que L = C (A).

Definimos un AFND B = (KB,Σ, δB, IB,FB}) ası:

KB = K ∪ {IB} (se supone que IB /∈ K )

FB =

{{I} si I /∈ F{I, IB} si I ∈ F

∀a ∈ Σ: δB(IB, a) = {p : δ(p, a) ∈ F}∀(q, a) ∈ K × Σ: δB(q, a) = {p ∈ K : δ(p, a) = q}

Con esto: w ∈ C (B) ⇐⇒ wR ∈ C (A)

Luego, el conjunto de todas las palabras de L escritas al reveses regular.

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:

√cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.

√la union de dos conjuntos regulares es regular.

√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.

√U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.

√la union de dos conjuntos regulares es regular.

√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.

√U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√

la union de dos conjuntos regulares es regular.

√la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.

√U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√

la union de dos conjuntos regulares es regular.√

la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.

√U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√

la union de dos conjuntos regulares es regular.√

la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√

U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√

la union de dos conjuntos regulares es regular.√

la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√

U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Fijado un alfabeto Σ, sabemos que:√

cualquier conjunto finito sobre Σ es regular.√

la union de dos conjuntos regulares es regular.√

la concatenacion de dos conjuntos regulares es regular.√

U∗ es regular cuando U es regular.

Por lo tanto, la clase de todos los conjuntos regulares sobre Σcontiene a todos los conjuntos finitos y es cerrada bajo union,concatenacion y operacion ∗.

Teorema

La clase de todos los conjuntos regulares sobre Σ es la maspequena (en el sentido de la contencion) de las familias desubconjuntos de Σ∗ que contiene a todos los conjuntos finitos yes cerrada bajo union, concatenacion y operacion ∗.

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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La familia K(Σ)

Dado un alfabeto Σ, designamos por K(Σ) a la mas pequenafamilia de subconjuntos de Σ∗ tal que:

∀U ⊂ Σ∗, |U| <∞ =⇒ U ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),U ∪ V ∈ K(Σ).

∀U,V ∈ K(Σ),UV ∈ K(Σ).

∀U ∈ K(Σ),U∗ ∈ K(Σ).

(P(Σ∗) cumple las cuatro propiedades. La interseccion detodas las familias que cumplen las cuatro propiedades tambienlas cumple. Luego, K(Σ) esta bien definida.)

Veremos que K(Σ) = {R ⊂ Σ∗ : R es regular}

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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito)

y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Sea L regular, y A = (K ,Σ, δ, I,F ) un AFD tal que C (A) = L.

Para cada q ∈ K definimos

Bq = {u : δ(q, u) ∈ F}

En particular, BI = C (A) = L.

Haciendo

Aq =

{{ε} si q ∈ F∅ si q /∈ F

se tiene que Aq ∈ K(Σ) (por ser finito) y se cumple que, paracada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃a∈Σ

{a}Bδ(q,a)

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K ,

para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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K(Σ)

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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K(Σ)

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ)

y ε /∈ Aqp.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Fijando q ∈ K , para cada p ∈ K llamamos

Aqp = {a ∈ Σ : δ(q, a) = p}

(Observar que ∀q, p ∈ K ,Aqp ∈ K(Σ) y ε /∈ Aqp.)

Ası resulta que, para cada q ∈ K ,

Bq = Aq ∪⋃p∈K

AqpBp

con Aq y los Aqp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ Aqp.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J)

, el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪

⋃p∈J

AqpBp : q ∈ J

puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”

{Bq : q ∈ J}

con “coeficientes”

{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}

todos en K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪

⋃p∈J

AqpBp : q ∈ J

puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”

{Bq : q ∈ J}

con “coeficientes”

{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}

todos en K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪

⋃p∈J

AqpBp : q ∈ J

puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”

{Bq : q ∈ J}

con “coeficientes”

{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}

todos en K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪

⋃p∈J

AqpBp : q ∈ J

puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”

{Bq : q ∈ J}

con “coeficientes”

{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}

todos en K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Haciendo J = K (y por lo tanto I ∈ J), el sistema de todas lasecuaciones Bq = Aq ∪

⋃p∈J

AqpBp : q ∈ J

puede verse como un “sistema” en las |J| “incognitas”

{Bq : q ∈ J}

con “coeficientes”

{Aq : q ∈ J} {Aqp : q, p ∈ J}

todos en K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI).

Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}

tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ)

y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Ejemplos

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Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T

. Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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Configuraciones

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Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Caracterizacion de Kleene de los lenguajes regulares

Veremos que si |J| > 1, podemos “eliminar” cualquierincognita (distinta de BI). Es decir, para cualquier J ′ ⊂ J talque I ∈ J ′ y |J ′| = |J| − 1, existen

{A′q : q ∈ J ′} {A′qp : q, p ∈ J ′}tales que para todo q ∈ J ′,

Bq = A′q ∪⋃p∈J′

A′qpBp

con A′q y los A′qp perteneciendo todos a K(Σ) y ε /∈ A′qp.

Lema

Sean S ,A,T ⊂ Σ∗ tales que

ε /∈ A, y

S = T ∪ AS .

Entonces S = A∗T . Ademas, (A,T ∈ K(Σ)) =⇒ S ∈ K(Σ).

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Definicion

Maquina secuencial: sextupla (K ,Σ,∆, δ, λ,I)

K es un conjunto finito de estados.

Σ: Alfabeto finito de entradas.

∆: Alfabeto finito de salidas.

δ : K × Σ→ K es la funcion de transicion.

λ : K × Σ→ ∆ es la funcion de salidas.

I ∈ K es el estado inicial.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Ejemplo

Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0

δ, λ 0 1

0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Ejemplo

Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0

δ, λ 0 1

0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Ejemplo

Maquina secuencial que emite salida r ∈ {0, 1, 2} cuando lacadena de entradas en {0, 1}, interpretada como numerorepresentado en binario, es r mod 3.

K = {0, 1, 2} Σ = {0, 1} ∆ = {0, 1, 2} I = 0

δ, λ 0 1

0 0, 0 1, 11 2, 2 0, 02 1, 1 2, 2

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

AUTO–MATAS

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas Secuenciales

Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

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Un lenguaje nocomputable

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Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.

λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

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Un lenguaje nocomputable

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Extension de δ y λ a K × Σ∗

δ∗(p, u) =

{p si u = ε

δ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

λ∗(p, u) =

{ε si u = ε

λ(p, a)λ∗(δ(p, a), v) si u = av para a ∈ Σ, v ∈ Σ∗

Interpretacion de δ∗ y de λ∗

δ∗(p, u) es igual que para los AFD.λ∗(p, u) es la sucesion de salidas emitidas por la maquina trascomenzar en el estado p y realizar las transiciones indicadas porla sucesion de sımbolos de la cadena u.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I),

definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.

Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))

IB = (I, IA)FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas secuenciales

Dada la maquina secuencial M = (K ,Σ,∆, δ, λ,I), definimosg : Σ∗ → ∆∗ mediante

g(u) = λ∗(I, u)

Proposicion

Dado R ⊂ ∆∗ con R regular, g−1(R) es tambien regular en Σ∗.

Sea A = (KA,∆, δA, IA,FA) AFD tal que C (A) = R.Definimos el AFD B = (KB ,Σ, δB , IB ,FB) mediante

KB = K × KA

δB((p, q), a) = (δ(p, a), δA(q, λ(p, a)))IB = (I, IA)

FB = {(p, q) ∈ KB : q ∈ KA}

Entonces, C (B) = {u ∈ Σ∗ : g(u) ∈ R}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta)

conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Maquinas de Turing

Definicion

Maquina de Turing: M = (K ,Σ,∆, β, δ, I,F)

K : conjunto finito de estados.

Σ y ∆: alfabetos finitos (de entrada y de cinta) conΣ ⊂ ∆.

β: blanco; β ∈ ∆− Σ.

I y F : estados inicial y final.

δ: funcion parcial de (K − {F})×∆ en K ×∆× {I ,D}.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆,

tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗,

la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u

(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u))

es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1)

tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

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MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Configuraciones de Maquinas de Turing

Definicion

Una configuracion de M es una terna (t, p, i) con:

p ∈ K (el estado actual de M).

i ∈ Z (la posicion del cabezal de lectura).

t : Z→ ∆ sucesion bi-infinita sobre ∆, tal que#{j ∈ Z : tj 6= β} <∞ (el contenido de la cinta).

Configuraciones iniciales

Dada u ∈ Σ∗, la configuracion inicial de M con entrada u(denotada M(u)) es la configuracion (t, I, 1) tal quet1 · · · t|u| = u y tj = β para todo j < 1 o j > |u|.

Paros

La configuracion (t, p, i) es un paro si δ(p, ti ) no esta definida.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j),

escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando

δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde

• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b

• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk

• d = I =⇒ j = i − 1d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Lenguajes

AFD

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

AUTO–MATAS

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Lenguajes

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

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Lenguajes

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AFND

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M

es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que

ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.

En tal caso, escribimos c1 `M cn.

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Computabilidad

Transicion entre configuraciones

Para configuraciones (t, p, i) y (s, q, j), escribimos(t, p, i)→ (s, q, j) cuando δ(p, ti ) esta definida y es igual a(q, b, d) donde• si = b• ∀k 6= i , sk = tk• d = I =⇒ j = i − 1

d = D =⇒ j = i + 1

Ejemplo en estado p, conti = a, δ(p, a) = (q, b,D):

Computaciones

Una computacion de M es una sucesion de configuracionesc1, . . . , cn tal que ci → ci+1 para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}.En tal caso, escribimos c1 `M cn.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗

si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

AUTO–MATAS

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Lenguajes

AFD

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K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

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Lenguajes

AFD

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗

si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

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Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗

si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

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Lenguajes

AFD

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AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Lenguajes computables

Aceptacion

M acepta u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t,F , i) para algunos t, i .

M rechaza u ∈ Σ∗ si M(u) `M (t, p, i) para algunost, p, i , donde (t, p, i) es un paro con p 6= F .

M acepta L ⊂ Σ∗ si acepta cada palabra en L y rechazacada palabra en Σ∗ − L.

Definicion

Un conjunto se dice computable si es aceptado por algunamaquina de Turing.

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Lenguajes

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}

inicio

. si (leo β) aceptar

. si (leo 0)

. . escribir β

. . buscar β a derecha

. . retroceder una posicion

. . si (leo 1)

. . . escribir β

. . . buscar β a izquierda

. . . avanzar una posicion

. . . repetir desde inicio

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Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

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Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}

inicio. si (leo β) aceptar

. si (leo 0)

. . escribir β

. . buscar β a derecha

. . retroceder una posicion

. . si (leo 1)

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. . . buscar β a izquierda

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}

inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0)

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Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ∈ N}

inicio. si (leo β) aceptar. si (leo 0). . escribir β. . buscar β a derecha

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}

si (leo 0 o 1)

. volver cabezala primera posicion

. entregar controla M del ejemplo anterior

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}

si (leo 0 o 1). volver cabezal

a primera posicion

. entregar controla M del ejemplo anterior

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Ejemplo: Reconocimiento de {0n1n : n ≥ 1}

si (leo 0 o 1). volver cabezal

a primera posicion. entregar control

a M del ejemplo anterior

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M

∆ = {a, b, c , d , β}

a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Con ∆ = {0, 1, β} se puede simular cualquier M

∆ = {a, b, c , d , β}

a↔ 00b ↔ 01c ↔ 10d ↔ 11

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ.

Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N.

Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆,

si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)

Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Codificacion de maquinas

Sea M una maquina con K = {1, . . . ,N}, Σ = {0, 1},∆ = {0, 1, β} y funcion de transiciones δ. Sin perdergeneralidad, asumimos I = 1 y F = N. Definimosrep(0) = 1, rep(1) = 11, rep(β) = 111, rep(I ) = 1, rep(D) = 11.

Con esto, para cada (i , a) ∈ K ×∆, si δ(i , a) = (j , b, d),definimos:

c(i , a) = 1j0rep(b)0rep(d)

(Y si δ(i , a) no esta definida, definimos c(i , a) = ε.)Entonces, la informacion de los movimientos desde el estado ise puede representar por la cadena c(i) de 0 y 1 definida por

c(i) = 1i0c(i , 0)0c(i , 1)0c(i , β)

y M queda representada por la concatenacion

c(M) = 1N0c(1)0c(2)0 · · · 0c(N)

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MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1

de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

AUTO–MATAS

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing

(y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.

M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

AUTO–MATAS

Automatas

Lenguajes

AFD

Lenguajesregulares

AFND

Caracterizacionde Kleene

K(Σ)

K(Σ) y losconjuntosregulares

MaquinasSecuenciales

Maquinas deTuring

Configuraciones

Computaciones

Lenguajescomputables

Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Sea L el conjunto de todas las cadenas de 0 y 1 de la formac(M)u tales que:

M es maquina de Turing (y c(M) su codificacion).

u ∈ {0, 1}∗.M(u) `M c con c un paro de M (en cualquier estado).

Teorema

L es no computable.

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.

Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Un lenguaje nocomputable

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Un lenguaje nocomputable

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Si lo fuera...

Sea U ′ = (K , {0, 1}, {0, 1, β}, β, δ, I,F) una maquina deTuring que acepta L.Entonces, para cada maquina M y cada cadena u ∈ {0, 1}∗:

U ′(c(M)u) para en F ⇐⇒ M(u) para.

U ′(c(M)u) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(u) no para.

Entonces...

Sea U ′′ una maquina de Turing tal que:

1 realiza una copia de su cadena de entrada a la derecha dela misma, luego

2 mueve el cabezal hasta la posicion 1 de la cinta, y

3 entra en una submaquina como la U ′.

(El estado final de U ′′ sigue siendo F .)

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L,

es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Un lenguaje nocomputable

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Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

Dada una maquina M cualquiera:

U ′′ permite decidir si c(M)c(M) ∈ L, es decir, si M para o nocuando la cinta de M contiene inicialmente la codificacion de lapropia M.

U ′′(c(M)) para en F ⇐⇒ M(c(M)) para.

U ′′(c(M)) para en algun p 6= F ⇐⇒ M(c(M)) no para.

Pequenos ajustes a U ′′

Sea U la maquina que resulta de modificar U ′′ ası:

1 agregar movimientos δ(F , a) = (F , a,D) para cada a ∈ ∆.

2 agregar nuevo estado F ′ (sera el estado final de U).

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MaquinasSecuenciales

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Configuraciones

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Ejemplos

Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

¿Que pasa con U?

Dada una maquina de Turing M cualquiera:

U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F

⇐⇒ M(c(M)) no para

¿Y si M = U?

U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para

Contradiccion que proviene de suponer L computable.

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

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¿Que pasa con U?

Dada una maquina de Turing M cualquiera:

U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para

¿Y si M = U?

U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para

Contradiccion que proviene de suponer L computable.

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Codificacion demaquinas

Un lenguaje nocomputable

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¿Que pasa con U?

Dada una maquina de Turing M cualquiera:

U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para

¿Y si M = U?

U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para

Contradiccion que proviene de suponer L computable.

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K(Σ) y losconjuntosregulares

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Un lenguaje nocomputable

Un lenguaje no computable

¿Que pasa con U?

Dada una maquina de Turing M cualquiera:

U(c(M)) para⇐⇒ U ′′(c(M)) para en algun p 6= F⇐⇒ M(c(M)) no para

¿Y si M = U?

U(c(U)) para ⇐⇒ U(c(U)) no para

Contradiccion que proviene de suponer L computable.